2021-2022学年广东省深圳市龙岗区高二(上)期末数学试卷

2021-2022学年广东省深圳市龙岗区高二（上）期末数学试卷
1.（单选题，5分）直线√3 x-y+3=0的倾斜角是（）
A.30°
B.45°
C.60°
D.150°
2.（单选题，5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a7=3，则S13的值为（）
A.28
B.39
C.56
D.117
3.（单选题，5分）若向量a⃗=(1，2，0)，b⃗⃗=(−2，0，1)，则（）
A. cos＜a⃗，b⃗⃗＞=−1
2
B. a⃗⊥b⃗⃗
C. a⃗//b⃗⃗
D. |a⃗|=|b⃗⃗|
4.（单选题，5分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，点M在抛物线上，且|MF|=3，则M的横坐标为（）
A.1
B. √2
C.2
D.3
5.（单选题，5分）圆（x-2）2+y2=4与圆（x+2）2+（y+3）2=9的位置关系为（）
A.内切
B.相交
C.外切
D.相离
6.（单选题，5分）函数f（x）=kx-lnx在区间[1，+∞）单调递增，则实数k的取值范围是（）
A.[1，+∞）
B.[2，+∞）
C.（-∞，-1]
D.（-∞，-2]
7.（单选题，5分）直线l 1：x-2y+m=0与直线l 2：mx+6y-1=0平行，则两直线间的距离为（ ）
A.
4√55 B.
2√53 C. 4√515
D. √5
8.（单选题，5分）已知圆柱的表面积为定值3π，当圆柱的容积V 最大时，圆柱的高h 的值为（ ）
A.1
B. √2
C. √3
D.2
9.（多选题，5分）已知椭圆C ： x 23+y 22 =1的左、右焦点为F 1、F 2，点M 为椭圆上的点（M 不在x 轴上），则下列选项中正确的是（ ）
A.椭圆C 的长轴长为2 √3
B.椭圆C 的离心率e= 13
C.△MF 1F 2的周长为2 √3 +2
D. MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为[1，2）
10.（多选题，5分）已知正项等比数列{a n }满足a 1=2，a 4=2a 2+a 3，若设其公比为q ，前n 项和为S n ，则（ ）
A.a n =2n
B.数列{a n }单调递减
C.S n+1=2S n +2
D.数列{lga n }是公差为2的等差数列
11.（多选题，5分）对于函数f （x ）= lnx x 2 ，下列说法正确的是（ ）
A.f （x ）在（0，+∞）上单调递增
B.f （x ）在x= √e 处取得极大值
C.f （x ）有两个不同的零点
D.若f （x ）≤kx 在（0，+∞）上恒成立，则k≥ 13e
12.（多选题，5分）如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1B 的中点，F 为线段BC 上的动点（不包括端点），则（ ）
A.对任意的F点，三棱锥F-ADE与三棱锥A1-ADE的体积相等
B.对任意的F点，过D，E，F三点的截面始终是梯形
C.存在点F，使得EF || 平面A1C1D
D.存在点F，使得EF⊥平面BDC1
13.（填空题，5分）曲线y=ln（2x+1）在点（0，0）处的切线方程为___ ．
14.（填空题，5分）已知直线l1：x+（a+1）y-3=0与直线l2：ax-3y+2=0垂直，则实数a 的值为 ___ ．
15.（填空题，5分）已知F1、F2双曲线x2
a2−y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，A、B为双
曲线上关于原点对称的两点，且满足AF1⊥BF1，∠ABF1=π
12
，则双曲线的离心率为 ___ ．
16.（填空题，5分）已知数列{a n}满足a n+a n+2=n+4（n∈N*），则{a n}的前20项和S20=___ ．
17.（问答题，10分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+2在x=-1处取得极值7．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）在区间[-2，2]上的最大值．
18.（问答题，12分）圆心为C的圆经过点A（-4，1），B（-3，2），且圆心C在l：x-y-
2=0上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点P（3，-1）作直线m交圆C于M、N且|MN|=8，求直线m的方程．
19.（问答题，12分）已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a1，a3的等差中项为5，a2=4．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n= n
a n
，求数列{b n}的前n项和S n．
20.（问答题，12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PBC⊥平面ABCD ，PB⊥PD ．
（1）证明：平面PAB⊥平面PCD ；
（2）若PB=PC ，E 为棱CD 的中点，∠PEA=90°，BC=2，求二面角B-PA-E 的余弦值．
21.（问答题，12分）已知椭圆 C ：x 2a 2+y 2
b 2=1(a ＞b ＞0) ，过焦点且垂直于长轴的弦长为1，
且焦点与短轴两端点构成等边三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点Q （-1，0）的直线l 交椭圆于A ，B 两点，交直线x=-4于点E ，且 AQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λQB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=μEB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．求证：λ+μ为定值，并计算出该定值．
22.（问答题，12分）设函数f （x ）=x 2+aln （x+2），且f （x ）存在两个极值点x 1、x 2，其中x 1＜x 2．
（Ⅰ）求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）若f （x 1）＞mx 2恒成立，求m 的最小值．。