高考数学二轮复习专题三数列第2讲数列的求和及综合应用课时规范练文

第2讲 数列的求和及综合应用
一、选择题
1．已知数列112，314，518，71
16，…，则其前n 项和S n 为( )(导学号 55410114)
A ．n 2
＋1－12n
B ．n 2
＋2－12
n
C ．n 2
＋1－
12
n －1
D ．n 2
＋2－12
n －1
解析：a n ＝(2n －1)＋1
2
n ，
所以S n ＝n （1＋2n －1）2＋12⎝ ⎛
⎭⎪
⎫1－12n 1－12＝n 2＋1－1
2
n .
答案：A
2．(2017·浙江卷)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋
S 6>2S 5”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：由S 4＋S 6－2S 5＝S 6－S 5－(S 5－S 4)＝a 6－a 5＝d ， 当d ＞0时，则S 4＋S 6－2S 5＞0，即S 4＋S 6＞2S 5. 反之，S 4＋S 6＞2S 5，可得d ＞0.
所以“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的充要条件． 答案：C
3．(2017·东北三省四市二模)已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( )
A ．9
B ．15
C ．18
D ．30
解析：因为a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，所以数列{a n }是公差为2的等差数列．所以a n ＝－5＋2(n －1)＝2n －7.
数列{a n }的前n 项和S n ＝
n （－5＋2n －7）
2
＝n 2
－6n .
令a n ＝2n －7≥0，解得n ≥7
2
.
所以n ≤3时，|a n |＝－a n ；n ≥4时，|a n |＝a n . 则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝－a 1－a 2－a 3＋a 4＋a 5＋a 6，
S 6－2S 3＝62－6×6－2(32－6×3)＝18.
答案：C
4．满足a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *
)，它的前n 项和为S n ，则满足S n ＞1 025的最小n 值是( )(导学号 55410115)
A ．9
B ．10
C ．11
D ．12
解析：因为a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)， 所以a n ＋1＝2a n ，a n ＝2
n －1
，S n ＝2n
－1.
则满足S n ＞1 025的最小n 值是11. 答案：C
5．(2017·长沙一中月考)数列a n ＝
1n （n ＋1），其前n 项之和为9
10
，则在平面直角坐
标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( )
A ．－10
B ．－9
C ．10
D ．9
解析：由于a n ＝
1n （n ＋1）＝1n －1
n ＋1
，
所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1
n －1n ＋1＝1－1n ＋1， 因此1－
1n ＋1＝9
10
，所以n ＝9， 所以直线方程为10x ＋y ＋9＝0.
令x ＝0，得y ＝－9，所以在y 轴上的截距为－9. 答案：B 二、填空题
6．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”．若a 1＝1，{a n }的“差数列”的通项公式为a n ＋1－a n ＝2n
，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．
解析：因为a n ＋1－a n ＝2n ，应用累加法可得a n ＝2n
－1，
所以S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2＋22
＋23
＋ (2)
－n ＝2（1－2n
）1－2
－n ＝2n ＋1
－n －2.
答案：2
n ＋1
－n －2
7．(2017·潮州二模)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a n ＝2·3n －1
(n ∈N *
)，若b n ＝
a n ＋1
S n S n ＋1
，则b 1＋b 2＋…＋b n ＝________．
解析：易知数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列， 所以S n ＝2（1－3n
）1－3＝3n －1，
又b n ＝
a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1
S n ＋1
， 则b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 1－1S 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪
⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝12－13n ＋1－1
.
答案：12－1
3n ＋1－1
8．已知向量a ＝(2，－n )，b ＝(S n ，n ＋1)，n ∈N *
，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，若
a ⊥
b ，则数列⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫
a n a n ＋1a n ＋4的最大项的值为________． 解析：因为a ⊥
b ，所以a ·b ＝2S n －n (n ＋1)＝0， 所以S n ＝n （n ＋1）
2
，所以a n ＝n ，
所以
a n a n ＋1a n ＋4＝n （n ＋1）（n ＋4）＝1
n ＋4
n
＋5，
当n ＝2时，n ＋4
n
取最小值4，此时a n a n ＋1a n ＋4取到最大值1
9
.
答案：19
三、解答题
9．(2016·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋
a 7＝6.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.
解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由题意有2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3.解得a 1＝1，d ＝2
5.
所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋3
5
. (2)由(1)知，b n ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤2n ＋35.
当n ＝1，2，3时，1≤2n ＋3
5＜2，b n ＝1；
当n ＝4，5时，2≤2n ＋3
5＜3，b n ＝2；
当n ＝6，7，8时，3≤2n ＋3
5＜4，b n ＝3；
当n ＝9，10时，4≤2n ＋3
5
＜5，b n ＝4.
所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.
10．(2017·莆田质检)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2
＋kn ，其中k 为常数，a 6＝13. (1)求k 的值及数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝
2
n （a n ＋1）
，求数列{b n }的前n 项和T n .
解：(1)由已知S n ＝n 2
＋kn ，有a n ＝S n －S n －1＝2n ＋k －1(n ≥2)， 又a 1＝S 1＝k ＋1，所以a n ＝2n ＋k －1.
又因为a 6＝13，所以2×6＋k －1＝13，解得k ＝2， 所以a n ＝2n ＋1. (2)因为b n ＝
2n （a n ＋1）＝2n （2n ＋2）＝1
n （n ＋1）
，
所以b n ＝1n －1
n ＋1
，
所以T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1，
所以数列{b n }的前n 项和T n ＝
n
n ＋1
.
11．(2016·山东卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2
＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n
＋b n ＋1.(导学号 55410116)
(1)求数列{b n }的通项公式；
(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1
（b n ＋2）n ，求数列{c n }的前n 项和T n .
解：(1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，符合上式． 所以a n ＝6n ＋5. 设数列{b n }的公差为d .
由⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ， 可解得b 1＝4，d ＝3.所以b n ＝3n ＋1.
(2)由(1)知c n ＝（6n ＋6）n ＋1
（3n ＋3）n ＝3(n ＋1)·2
n ＋1
， 又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，
得T n ＝3×[2×22
＋3×23
＋…＋(n ＋1)×2n ＋1
]，
2T n ＝3×[2×23
＋3×24
＋…＋(n ＋1)×2
n ＋2
]，
两式作差，得－T n ＝3×[2×22
＋23＋24
＋…＋2
n ＋1
－(n ＋1)×2
n ＋2
]＝
3×⎣⎢⎡⎦
⎥⎤4＋4（1－2n
）1－2－（n ＋1）×2n ＋2＝－3n ·2n ＋2， 所以T n ＝3n ·2
n ＋2
.
[典例] (本小题满分12分)(2016·全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝1
3
，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n .
(1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和．
规范解答：(1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝1
3，所以a 1＝2，(3分)
所以数列{a n )是首项为2，公差为3的等差数列，(4分) 因此{a n }的通项公式a n ＝2＋3(n －1)＝3n －1.(6分) (2)由(1)知a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，
得b n ＋1＝nb n 1＋a n ＝b n 3≠0，则b n ＋1b n ＝1
3
，(9分)
因此数列{b n }是首项为b 1，公比为1
3的等比数列，(10分)
设数列{b n }的前n 项和为S n ，则
S n ＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫13n
1－13
＝32－12×3n －1.(12分
)
1．牢记等差、等比数列的定义：在判断数列为等差或等比数列时，应根据定义进行判断，所以熟练掌握定义是解决问题的关键，如本题第(2)问，要根据定义判断
b n ＋1b n ＝1
3
. 2．注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上求得b n ＋1与b n 的关系．
3．写全得分关键：写清解题过程的关键点，有则给分，无则没有分，同时解题过程中计算准确，是得分的根本保证．如本题第(1)问要写出a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝1
3，才能得
出a 1，并指出数列{a n }的性质，否则不能得全分．第(2)问中一定要写出求b n ＋1＝b n
3的步骤并
要指明{b n }的性质；求S n 时，必须代入求和公式而不能直接写出结果，否则要扣分．
[解题程序] 第一步：将n ＝1代入关系式a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，求出a 1的值； 第二步：利用等差数列的通项公式求出a n ；
第三步：将第(1)问中求得的a n 代入关系式a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，求得b n ＋1与b n 的关系； 第四步：判断数列{b n }为等比数列； 第五步：代入等比数列的前n 项和公式求S n . 第六步：反思检验，规范解题步骤．
[跟踪训练] (2017·江西七校联盟联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫
S n n 是公
差为1的等差数列，且a 2＝3，a 3＝5.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝a n ·3n
，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)因为S 33－S 22
＝1，所以
a 1＋3＋53
－
a 1＋3
2
＝1，所以a 1＝1.
所以S n n
＝1＋(n －1)×1＝n ，所以S n ＝n 2
， 所以a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)， 并且a 1＝1也满足上式，所以a n ＝2n －1. (2)因为b n ＝(2n －1)·3n
，
所以T n ＝1×3＋3×32
＋…＋(2n －1)·3n
， 所以3T n ＝1×32
＋3×33＋…＋(2n －1)·3
n ＋1
.
所以T n －3T n ＝3＋2×(32
＋33
＋ (3)
)－(2n －1)·3
n ＋1
，
则－2T n ＝3＋2×32
－3n
×31－3－(2n －1)·3n ＋1＝3n ＋1－6＋(1－2n )·3n ＋1＝(2－2n )·3n ＋1
－
6，
故T n ＝(n －1)·3n ＋1
＋3.。