八年级数学上册第五章相交线与平行线单元测试卷练习(Word版 含答案)

八年级数学上册第五章相交线与平行线单元测试卷练习（Word 版 含答案）
一、选择题
1．下列结论中：①同一平面内，两条不相交的直线被第三条直线所截，形成的同旁内角互补；②在同一平面内，若,//a b b c ⊥，则a c ⊥； ③直线外一点到直线的垂线段叫点到直线的距离；④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．如图，直角三角形ABC 的直角边AB =6，BC =8，将直角三角形ABC 沿边BC 的方向平移到三角形DEF 的位置，DE 交AC 于点G ，BE =2，三角形CEG 的面积为13.5，下列结论：①三角形ABC 平移的距离是4；②EG =4.5；③AD ∥CF ；④四边形ADFC 的面积为6．其中正确的结论是
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．②④
3．如图，AB ∥EF ，设∠C ＝90°，那么x 、y 和z 的关系是（ ）
A ．y ＝x+z
B ．x+y ﹣z ＝90°
C ．x+y+z ＝180°
D ．y+z ﹣x ＝90°
4．下列命题中，正确的是（ ）
A ．两个直角三角形一定相似
B ．两个矩形一定相似
C ．两个等边三角形一定相似
D ．两个菱形一定相似
5．如图，OC 是∠AOB 的平分线，直线l ∥OB ．若∠1＝50°，则∠2的大小为（ ）
A ．50°
B ．60°
C ．65°
D ．80°
6．如图，直线,a b 被直线c 所截，下列条件中不能判定a//b 的是（ ）
A ．25∠=∠
B ．45∠=∠
C ．35180∠+∠=︒
D ．12180∠+∠=︒ 7．如图，25AOB ︒∠=，90AOC ︒∠=，点B ，O ，D 在同一直线上，则COD ∠的度数为
（ ）
A ．65
B ．25
C ．115
D ．155
8．下列命题是假命题的是（ ）
A ．等腰三角形底边上的高是它的对称轴
B ．有两个角相等的三角形是等腰三角形
C ．等腰三角形底边上的中线平分顶角
D ．等边三角形的每一个内角都等于60° 9．如图，下列不能判定DF ∥AC 的条件是（ ）
A ．∠A ＝∠BDF
B ．∠2＝∠4
C ．∠1＝∠3
D ．∠A +∠ADF ＝180° 10．如图，直线AC 和直线BD 相交于点O ，O
E 平分∠BOC ．若∠1+∠2＝80°，则∠3的度
数为（ ）
A ．40°
B ．50°
C ．60°
D ．70°
11．已知：如图，直线a ∥b ，∠1=50°，∠2=∠3，则∠2的度数为（ ）
A ．50°
B ．60°
C ．65°
D ．75°
12．如图，在Rt ABC △中，90,BAC ︒∠=3,AB cm =4AC cm =，把ABC 沿着直线
BC 的方向平移2.5cm 后得到DEF ，连接AE ，AD ，有以下结论：①//AC DF ；②//AD BE ；③ 2.5CF cm =；④DE AC ⊥.其中正确的结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题
13．如图，已知AD //BC ，BD 平分∠ABC ，∠A ＝112°，且BD ⊥CD ，则∠ADC ＝_____．
14．一个七边形棋盘如图所示，7个顶点顺序从0到6编号，称为七个格子．一枚棋子放在0格，现在依逆时针移动这枚棋子，第一次移动1格，第二次移动2格，…，第n 次移动n 格．则不停留棋子的格子的编号有_____．
15．已知M 、N 是线段AB 的三等分点，C 是BN 的中点，CM =6 cm ，则AB =_________ cm ．
16．如图，长方形ABCD 的周长为30，则图中虚线部分总长为____________．
17．一副直角三角板叠放如图①所示，现将含30角的三角板固定不动，把含45角的三角板CDE 由图①所示位置开始绕点C 逆时针旋转(a DCF α=∠且018)0a <<，使两块三角板至少有一组边平行．如图,30a =︒②时，//AB CD ．
请你在图③、图④、图⑤内，各画一种符合要求的图形，标出a ，并完成各项填空： 图③中α=_______________时，___________//___________﹔图④中
α=_____________时，___________//___________﹔图⑤中α=_______________时，___________//___________﹔
18．如图，∠AOB ＝60°，在∠AOB 的内部有一点P ，以P 为顶点，作∠CPD ，使∠CPD 的两边与∠AOB 的两边分别平行，∠CPD 的度数为_______度．
19．观察下列图形：已知a b ，在第一个图中，可得∠1+∠2=180°，则按照以上规律：112n P P ∠+∠+∠++∠=…_________度．
20．在数学拓展课程《玩转学具》课堂中，老师把我们常用的一副三角板带进了课堂．
（1）嘉嘉将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点A 落在DE 上，且//BC DE ，则ACE ∠的度数为__________．
（2）如图2，淇淇将等腰直角三角板放在一组平行的直线与之间，并使直角顶点A 在直线a 上，顶点C 在直线b 上，现测得130∠=，则2∠的度数为__________．
三、解答题
21．为了探究n 条直线能把平面最多分成几部分,我们从最简单的情形入手:
①一条直线把平面分成2部分;
②两条直线可把平面最多分成4部分;
③三条直线可把平面最多分成7部分;
④四条直线可把平面最多分成11部分;
……
把上述探究的结果进行整理,列表分析:
直线条数
把平面最多 分成的部分数 写成和的形式 1
2 1+1 2
4 1+1+2 3
7 1+1+2+3 4
11 1+1+2+3+4 … … …
(1)当直线条数为5时,把平面最多分成____部分,写成和的形式:______;
(2)当直线条数为10时,把平面最多分成____部分;
(3)当直线条数为n 时,把平面最多分成多少部分?
22．()1如图1，//,40,130AB CD AEP PFD ∠=︒∠=︒．求EPF ∠的度数．
小明想到了以下方法(不完整)，请填写以下结论的依据：
如图1，过点P 作//,PM AB
140AEP ∴∠=∠=︒（ ）
//,AB CD (已知)
//,PM CD ∴（ ）
2180PFD ∴∠+∠=．（ ）
130,PFD ∠=︒
218013050∴∠=︒-︒=．
12405090∴∠+∠=︒+︒=．
即90EPF ∠=．
()2如图2，//,AB CD 点P 在,AB CD 外，问,,PEA PFC P ∠∠∠之间有何数量关系．请说明理由；
()3如图3所示，在()2的条件下，已知,P a PEA ∠=∠的平分线和PFC ∠的平分线交于点,G 用含有a 的式子表示G ∠的度数是 ____．(直接写出答案，不需要写出过程)
23．如图，直线MN ∥GH ，直线l 1分别交直线MN 、GH 于A 、B 两点，直线l 2分别交直线MN 、GH 于C 、D 两点，且直线l 1、l 2交于点E ，点P 是直线l 2上不同于C 、D 、E 点的动点．
（1）如图①，当点P 在线段CE 上时，请直写出∠NAP 、∠HBP 、∠APB 之间的数量关系： ；
（2）如图②，当点P 在线段DE 上时，（1）中的∠NAP 、∠HBP 、∠APB 之间的数量关系还成立吗？如果成立，请说明成立的理由；如果不成立，请写出这三个角之间的数量关系，并说明理由．
（3）如果点P 在直线l 2上且在C 、D 两点外侧运动时，其他条件不变，请直接写出∠NAP 、∠HBP 、∠APB 之间的数量关系 ．
24．已知：直线//AB CD ，点E ，F 分别在直线AB ，CD 上，点M 为两平行线内部一点． （1）如图1，∠AEM ，∠M ，∠CFM 的数量关系为________；(直接写出答案)
（2）如图2，∠MEB 和∠MFD 的角平分线交于点N ，若∠EMF 等于130°，求∠ENF 的度数；
（3）如图3，点G 为直线CD 上一点，延长GM 交直线AB 于点Q ，点P 为MG 上一点，射线PF 、EH 相交于点H ，满足13PFG MFG ∠=∠，13
BEH BEM ∠=∠，设∠EMF =α，
求∠H 的度数(用含α的代数式表示)．
25．如图1，AB//CD ，在AB 、CD 内有一条折线EPF ．
（1）求证：AEP CFP EPF ∠∠∠+=．
（2）如图2，已知BEP ∠的平分线与DFP ∠的平分线相交于点Q ，试探索EPF ∠与EQF ∠之间的关系；
（3）如图3，已知BEQ ∠=1BEP 3∠，1DFQ DFP 3
∠∠=
，则P ∠与Q ∠有什么关系，请说明理由．
26．如图，如图1，在平面直角坐标系中，已知点A （﹣4，﹣1）、B （﹣2，1），将线段AB 平移至线段CD ，使点A 的对应点C 在x 轴的正半轴上，点D 在第一象限． （1）若点C 的坐标（k ，0），求点D 的坐标（用含k 的式子表示）；
（2）连接BD 、BC ，若三角形BCD 的面积为5，求k 的值；
（3）如图2，分别作∠ABC 和∠ADC 的平分线，它们交于点P ，请写出∠A 、和∠P 和∠BCD 之间的一个等量关系，并说明理由．
27．在平面直角坐标系中，如图1，将线段AB 平移至线段CD ，连接AC 、BD ．
（1）已知A （﹣3，0）、B （﹣2，﹣2），点C 在y 轴的正半轴上，点D 在第一象限内，且三角形ACO 的面积是6，求点C 、D 的坐标；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知一定点M （1，0），两个动点E （a ，2a +1）、F （b ，﹣2b +3）．
①请你探索是否存在以两个动点E 、F 为端点的线段EF 平行于线段OM 且等于线段OM ，若存在，求出点E 、F 两点的坐标；若不存在，请说明理由；
②当点E 、F 重合时，将该重合点记为点P ，另当过点E 、F 的直线平行于x 轴时，是否存在△PEF 的面积为2？若存在，求出点E 、F 两点的坐标；若不存在，请说明理由．
28．如图1,在四边形ABCD 中，A D BC ,A=C ∠∠.
(1)求证：B=D ∠∠;
(2)如图2,点E 在线段AD 上，点G 在线段AD 的延长线上，连接BG ,AEB=2G ∠∠,求证：BG 是EBC ∠的平分线;
(3)如图3,在(2)的条件下，点E 在线段AD 的延长线上，EDC ∠的平分线DH 交BG 于点H ,若ABE=66∠︒．,求B HD ∠的度数.
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
根据平行线的性质，点到直线的距离依次判断.
【详解】
解：①同一平面内，两条不相交的直线（即两直线平行）被第三条直线所截，形成的同旁内角互补，说法正确；
②在同一平面内，若,//a b b c ⊥，则a c ⊥，说法正确；
③直线外一点到直线的垂线段叫点到直线的距离，说法错误；
④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，说法错误；
正确的说法有2个，
故选：B .
【点睛】
此题考查平行线的性质，点到直线的距离，正确理解定义是解题的关键.
2．B
解析：B
【解析】
分析：(1)对应线段的长度即是平移的距离；(2)根据EC 的长和△CEG 的面积求EG ；(3)平移前后，对应点的连线平行且相等；(4)根据平行四边形的面积公式求.
详解：(1)因为点B ，E 是对应点，且BE ＝2，所以△ABC 平行的距离是2，则①错误； ②根据题意得，13.5×2＝(8－2)EG ，解得EG ＝4.5，则②正确；
③因为A ，D 是对应点，C ，F 是对应点，所以AD ∥CF ，则③正确；
④平行四边形ADFC 的面积为AB ·CF ＝AB ·BE ＝6×2＝12，则④错误.
故选B .
点睛：本题考查了平移的性质，平移的性质有：①平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小；②平移得到的图形与原图形中的对应线段平行(或在同一条直线上)且相等，对应角相等；对应点连线平行(或在同一条直线上)且相等.
3．B
解析：B
【分析】
过C 作CM ∥AB ，延长CD 交EF 于N ，根据三角形外角性质求出∠CNE ＝y ﹣z ，根据平行线性质得出∠1＝x ，∠2＝∠CNE ，代入求出即可．
【详解】
解：过C 作CM ∥AB ，延长CD 交EF 于N ，
则∠CDE ＝∠E+∠CNE ，
即∠CNE ＝y ﹣z
∵CM ∥AB ，AB ∥EF ，
∴CM ∥AB ∥EF ，
∴∠ABC ＝x ＝∠1，∠2＝∠CNE ，
∵∠BCD ＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴x+y﹣z＝90°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和三角形外角性质的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
4．C
解析：C
【分析】
利用反例可分析排除判断．
【详解】
解：等腰直角三角形和非等腰直角三角形显然不相似，故A错误；
正方形和长方形都是矩形，显然不相似，故B错误；
内角分别是60°，120°，60°，120°的菱形和内角分别是80°，100°，80°，100°的菱形显然不相似，故D错误；
故选C．
【点睛】
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
5．C
解析：C
【分析】
根据平行线的性质可求∠AOB，再根据角平分线的定义求得∠BOC，再根据平行线的性质可求∠2．
【详解】
∵l∥OB，
∴∠AOB+∠1=180°
∴∠AOB＝180°﹣∠1＝130°，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠BOC＝65°，
∴∠2＝∠BOC＝65°．
故选：C．
考查了角平分线，平行线的性质，关键是熟悉两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补的知识点．
6．D
解析：D
【分析】
根据平行线的判定定理逐项判断即可．
【详解】
解：A. 由2∠和5∠是同位角，则25∠=∠ ，可得a//b ，故该选项不符合题意；
B. 由4∠和5∠是内错角，则45∠=∠，可得a//b ，故该选项不符合题意；
C. 由∠3和∠1相等，35180∠+∠=︒，可得a//b ，故该选项不符合题意；
D. 由∠1和∠2是邻补角，则12180∠+∠=︒不能判定a//b ，故该选项满足题意． 故答案为D ．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解答本题的关键．
7．C
解析：C
【分析】
先求出∠BOC ，再由邻补角关系求出∠COD 的度数．
【详解】
∵∠AOB=25°，∠AOC=90°，
∴∠BOC=90°-25°=65°，
∴∠COD=180°-65°=115°．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了余角、邻补角的定义和角的计算；弄清各个角之间的关系是解题的关键．
8．A
解析：A
【分析】
分别分析各题设是否能推出结论，不能推出结论的既是假命题，从而得出答案．
【详解】
A.等腰三角形底边上的高所在的直线是它的对称轴，故该选项错误，是假命题，
B.有两个角相等的三角形是等腰三角形，正确，是真命题，
C.等腰三角形底边上的中线平分顶角，正确，是真命题，
D.等边三角形的每一个内角都等于60°，正确，是真命题，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了命题与定理，判断命题的真假，关键是分析各题设是否能推出结论．
解析：B
【分析】
根据选项中角的关系,结合平行线的判定,进行判断．
【详解】
解：A．∠A＝∠BDF，由同位角相等，两直线平行，可判断DF∥AC；
B．∠2＝∠4，不能判断DF∥AC；
C．∠1＝∠3由内错角相等，两直线平行，可判断DF∥AC；
D．∠A+∠ADF＝180°，由同旁内角互补，两直线平行，可判断DF∥AC；
故选：B．
【点睛】
此题考查平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
10．D
解析：D
【分析】
根据对顶角和邻补角的定义即可得到∠BOC的度数，再根据角平分线即可得出∠3的度数．
【详解】
解：∵∠1＝∠2，∠1+∠2＝80°，
∴∠1＝∠2＝40°，
∴∠BOC＝140°，
又∵OE平分∠BOC，
∴∠3＝70°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了邻补角、对顶角、角平分线的应用，解题时注意运用：对顶角相等，邻补角互补，即和为180°．
11．C
解析：C
【分析】
根据平行线的性质，即可得到∠1+∠2+∠3=180°，再根据∠2=∠3，∠1=50°，即可得出∠2的度数．
【详解】
∵a∥b，
∴∠1+∠2+∠3=180°，
又∵∠2=∠3，∠1=50°，
∴50°+2∠2=180°，
∴∠2=65°，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
12．D
解析：D
【分析】
根据平移是某图形沿某一直线方向移动一定的距离，平移不改变图形的形状和大小可对
①②③进行判断；根据∠BAC=90°及平移的性质可对④进行判断，综上即可得答案.
【详解】
∵△ABC沿着直线BC的方向平移2.5cm后得到△DEF，
∴AB//DE，AC//DF，AD//CF，CF=AD=2.5cm，故①②③正确.
∵∠BAC=90°，
∴AB⊥AC，
∵AB//DE
∴⊥，故④正确.
DE AC
综上所述：之前的结论有：①②③④，共4个，
故选D.
【点睛】
本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转．
二、填空题
13．124°
【分析】
先由平行线的性质求得∠ABC，然后根据角平分线的定义求得∠DBC，然后再根据平行线的性质求得∠ADB，最后结合BD⊥CD即可求得∠AD C．
【详解】
解：∵AD//BC
∴∠AB
解析：124°
【分析】
先由平行线的性质求得∠ABC，然后根据角平分线的定义求得∠DBC，然后再根据平行线的性质求得∠ADB，最后结合BD⊥CD即可求得∠ADC．
【详解】
解：∵AD//BC
∴∠ABC=180°-∠A=180°-112°=68°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=1
∠ABC=34°
2
∵AD//BC
∴∠ADB=∠DBC=34°
∵BD⊥CD，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC=90°+34°=124°．
故答案为124°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、垂直的性质，其中掌握平行线的性质是解答本题的关键．
14．2，4，5
【解析】
【分析】
因棋子移动了n次后走过的总格数是1+2+3+…+n＝12n（n+1），然后再根据题目中所给的第n次依次移动n个顶点的规则，可得到不等式最后求得解.
【详解】
解：因棋
解析：2，4，5
【解析】
【分析】
因棋子移动了n次后走过的总格数是1+2+3+…+n＝n（n+1），然后再根据题目中所给的第n次依次移动n个顶点的规则，可得到不等式最后求得解.
【详解】
解：因棋子移动了n次后走过的总格数是1+2+3+…+n＝n（n+1），应停在第n（n+1）﹣7p格，
这时p是整数，且使0≤n（n+1）﹣7p≤6，分别取n＝1，2，3，4，5，6，7时，
n（n+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停留棋子，
若7＜n≤10，设n＝7+t（t＝1，2，3）代入可得， n（n+1）﹣7p＝7m+12t（t+1），
由此可知，停棋的情形与n＝t时相同，
故第2，4，5格没有停留棋子．
故答案为：2，4，5．
【点睛】
此题主要考查推理与论证，解题的关键是根据题意分析运动规则，再列出式子来解答.
15．12
【解析】
如图，∵M、N是线段AB的三等分点，C是BN的中点，
∴AM=MN，CN=CB，
∴AM+CB=MN+CN=MC=6，
∴AB=AM+MN+CN+CB=（AM+CB）+（MN+CN）
解析：12
【解析】
如图，∵M、N是线段AB的三等分点，C是BN的中点，
∴AM=MN，CN=CB，
∴AM+CB=MN+CN=MC=6，
∴AB=AM+MN+CN+CB=（AM+CB）+（MN+CN）=6+6=12（cm）.
16．15
【分析】
由长方形的性质和平移的性质，即可求出答案．
【详解】
解：根据题意，
虚线部分的总长为：．
故答案为：15．
【点睛】
本题考查了长方形的性质，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，解析：15
【分析】
由长方形的性质和平移的性质，即可求出答案．
【详解】
解：根据题意，
虚线部分的总长为：
1
3015
2
AB BC
+=⨯=．
故答案为：15．
【点睛】
本题考查了长方形的性质，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17．；（答案不唯一)
【分析】
画出图形，再由平行线的判定与性质求出旋转角度．
【详解】
图中，当时，DE//AC ；
图中，当 时，CE//AB ，
图中，当 时，DE//BC ．
故答案为：；（答案
解析：45,//DE AC ︒；120,//;135,//CE AB DE BC ︒︒（答案不唯一)
【分析】
画出图形，再由平行线的判定与性质求出旋转角度．
【详解】
图③中，当45DCF D α=∠=∠=时，DE//AC ；
图④中，当9090120DCF DCB BCF B α=∠=∠+∠=︒-∠+︒=︒ 时，CE//AB ，
图⑤中，当90135a DCF DCB BCF D =∠=∠+∠=∠+=︒ 时，DE//BC ．
故答案为：45,//DE AC ︒；120,//;135,//CE AB DE BC ︒︒（答案不唯一）．
【点睛】
考查了平行线的判定和性质，解题关键是理解平行线的判定与性质，并且利用了数形结合．
18．60或120
【分析】
根据题意分两种情况，如图所示（见解析），再分别根据平行线的性质即可得．
【详解】
由题意，分以下两种情况：
（1）如图1，，
（两直线平行，同位角相等），
（两直线平行，内错
解析：60或120
【分析】
根据题意分两种情况，如图所示（见解析），再分别根据平行线的性质即可得．
【详解】
由题意，分以下两种情况：
PC OB PD OA，
（1）如图1，//,//
∠︒（两直线平行，同位角相等），
∴=∠=
60
PDB
AOB
∴=∠=
∠︒（两直线平行，内错角相等）；
PDB
CPD
60
PC OB PD OA，
（2）如图2，//,//
∠︒（两直线平行，同位角相等），
∴=∠=
AOB
PDB
60
∠=︒-
∴∠=︒（两直线平行，同旁内角互补）；
D
P D
C P B
180120
∠的度数为60︒或120︒，
综上，CPD
故答案为：60或120．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．
19．（n﹣1）×180
【分析】
分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E，P2F，P3G，由平行线的性质可得
出：∠1+∠3=180°，∠5+∠6=180°，∠7+∠8=180°，∠4+∠2=18
解析：（n﹣1）×180
【分析】
分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E，P2F，P3G，由平行线的性质可得出：
∠1+∠3=180°，∠5+∠6=180°，∠7+∠8=180°，∠4+∠2=180°于是得到∠1+∠2=10°，
∠1+∠P1+∠2=2×180，∠1+∠P1+∠P2+∠2=3×180°，∠1+∠P1+∠P2+∠P3+∠2=4×180°，根据规律得到结果∠1+∠2+∠P1+…+∠P n=（n+1）×180°．
【详解】
解：如图，分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E，P2F，P3G，
∵AB∥CD，
∴AB∥P1E∥P2F∥P3G．
由平行线的性质可得出：∠1+∠3=180°，∠5+∠6=180°，∠7+∠8=180°，∠4+∠2=180°
∴（1）∠1+∠2=180°，
（2）∠1+∠P1+∠2=2×180，
（3）∠1+∠P1+∠P2+∠2=3×180°，
（4）∠1+∠P1+∠P2+∠P3+∠2=4×180°，
∴∠1+∠2+∠P1+…+∠P n=（n+1）×180°．
故答案为：（n+1）×180．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，利用两直线平行，同旁内角互补是解答此题的关键．
20．15° 15°
【分析】
（1）根据平行线的性质得出∠D+∠BCD=180°，从而得到∠BCD，再利用角的和差得到∠ACE；
（2）根据平行线的性质得出∠2+∠BAC+∠ACB+∠1=
解析：15° 15°
【分析】
（1）根据平行线的性质得出∠D+∠BCD=180°，从而得到∠BCD，再利用角的和差得到
∠ACE；
（2）根据平行线的性质得出∠2+∠BAC+∠ACB+∠1=180°，再由等腰直角三角形的性质得到∠BAC=90°，∠ACB=45°，结合∠1的度数可得结果．
【详解】
解：（1）由三角板的性质可知：∠D=60°，∠ACB=45°，∠DCE=90°，
∵BC ∥DE ，
∴∠D+∠BCD=180°，
∴∠BCD=120°，
∴∠BCE=∠BCD-∠DCE=30°，
∴∠ACE=∠ACB-∠BCE=15°，
故答案为：15°；
（2）∵a ∥b ，
∴∠2+∠BAC+∠ACB+∠1=180°，
∵△ABC 为等腰直角三角形，
∴∠BAC=90°，∠ACB=45°，
∴∠1+∠2=180°-∠BAC-∠ACB=45°，
∵∠1=30°，
∴∠2=15°，
故答案为：15°．
【点睛】
本题考查了三角板的性质，平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
三、解答题
21．(1) 16； (2) 56； (3)(1)12n n +⎡⎤+⎢
⎥⎣⎦
部分 【分析】
（1）根据已知探究的结果可以算出当直线条数为5时，把平面最多分成16部分； （2）通过已知探究结果，写出一般规律，当直线为n 条时，把平面最多分成
1+1+2+3+…+n ，求和即可．
【详解】
（1）16;1+1+2+3+4+5.
（2）56.根据表中规律知,当直线条数为10时,把平面最多分成56部分,即1+1+2+3+…+10=56. （3）当直线条数为n 时,把平面最多分成1+1+2+3+…+n=(1)12n n +⎡⎤+⎢⎥⎣⎦
部分. 【点睛】
本题考查了图形的变化，通过直线分平面探究其中的隐含规律，运用了从特殊到一般的数学思想，解决此题关键是写出和的形式．
22．（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，同旁内角互补；（2）,PFC PEA P ∠=∠+∠理由见解析；（3）1.2
G α∠=
【分析】
（1）根据平行线的性质与判断，即可解答．
（2）过P 点作PN//AB ，则PN//CD ，根据平行线的性质得出∠PEA=∠NPE ，进而得到
∠FPN=∠PFC ；
（3）令AB 与PF 交点为O ，连接EF EF 如图3，在△GFE 中，利用三角形内角和定理进行计算，由（2）知∠PFC=∠PEA+∠P ，得到∠PEA=∠PFC −α，即可解答.
【详解】
解：（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，同旁内角互补
（2）PFC PEA P ∠=∠+∠
理由如下：过点P 作//PN AB ，则//PN CD
∴PEA NPE ∠=∠
∵FPN NPE FPE ∠=∠+∠
∴FPN ∠=PEA FPE ∠+∠
∵//PN CD
∴F FPN P C ∠=∠
∴PFC PEA FPE ∠=∠+∠
即PFC PEA P ∠=∠+∠.
（3）令AB 与PF 交点为O ，连接EF 如图3，在GFE 中，
180()G GFE GEF ∠=︒-∠+∠， ∵12GEF PEA OEF ∠=∠+∠，12
GFE PFC OFE ∠=∠+∠， ∴1122GEF GFE PEA PFC OEF OFE ∠+∠=
∠+∠+∠+∠， ∵由（2）知PFC PEA P ∠=∠+∠，
∴C PEA PF α=∠-∠，
而180180OF PF E OEF F E C O ∠+∠=-︒-∠∠=︒， ∴11()22GEF GFE PFC PFC α∠+∠=∠-+∠+11801802PFC α︒-∠=︒-，
∴
11 180()180180
22
G GEF GFEαα∠=︒-∠+∠=︒-︒+=．
故答案为：
1
2 Gα∠=
【点睛】
此题考查平行线的性质的运用，三角形内角和定理，解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算．
23．（1）∠APB＝∠NAP+∠HBP；（2）见解析；（3）∠HBP＝∠NAP+∠APB
【分析】
（1）过P点作PQ∥GH，根据平行线的性质即可求解；
（2）过P点作PQ∥GH，根据平行线的性质即可求解；
（3）根据平行线的性质和三角形外角的性质即可求解.
【详解】
解：（1）如图①，过P点作PQ∥GH，
∵MN∥GH，
∴MN∥PQ∥GH，
∴∠APQ＝∠NAP，∠BPQ＝∠HBP，
∵∠APB＝∠APQ+∠BPQ，
∴∠APB＝∠NAP+∠HBP，
故答案为：∠APB＝∠NAP+∠HBP；
（2）如图②，过P点作PQ∥GH，
∵MN∥GH，
∴MN∥PQ∥GH，
∴∠APQ+∠NAP＝180°，∠BPQ+∠HBP＝180°，
∵∠APB＝∠APQ+∠BPQ，
∴∠APB＝（180°﹣∠NAP）+（180°﹣∠HBP）＝360°﹣（∠NAP+∠HBP）；
（3）如备用图，
∵MN∥GH，
∴∠PEN＝∠HBP，
∵∠PEN＝∠NAP+∠APB，
∴∠HBP＝∠NAP+∠APB.
故答案为：∠HBP＝∠NAP+∠APB.
【点睛】
此题考查了平行公理的推论：平行于同一条直线的两直线平行，以及平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，熟记定理是解题的关键.
24．（1）M AEM CFM ∠=∠+∠；（2）115ENF ∠=︒；（3）1603
H α∠=︒-．
【分析】
（1）过点M 作//ML AB ，利用平行线的性质可得1AEM ∠=∠，2CFM ∠=∠，由12EMF ∠=∠+∠，经过等量代换可得结论； （2）过M 作//ME AB ，利用平行线的性质以及角平分线的定义计算即可．
（3）如图②中设BEH x ∠=，PFG y ∠=，则3BEM x ∠=，3MFG y ∠=，设EH 交CD 于K ．证明H x y ∠=-，求出x y -即可解决问题．
【详解】
（1）如图1，过点M 作//ML AB ，
//AB CD ，
////ML AB CD ∴，
1AEM ∴∠=∠，2CFM ∠=∠，
12EMF ∠=∠+∠，
M AEM CFM ∴∠=∠+∠；
（2）过M 作//ME AB ，
//AB CD ，
//ME CD ∴，
24180BEM DFM ∴∠+∠=∠+∠=︒，
1802BEM ∴∠=︒-∠，1804DFM ∠=︒-∠， EN ，FN 分别平分MEB ∠和DFM ∠， 112BEM ∴∠=∠，132DFM ∠=∠， 111113(1802)(1804)180(24)1801301152222∴∠+∠=
︒-∠+︒-∠=︒-∠+∠=︒-⨯︒=︒， 36013360115130115ENF EMF ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒-︒-︒=︒；
（3）如图②中设BEH x ∠=，PFG y ∠=，则3BEM x ∠=，3MFG y ∠=，设EH 交CD 于K ．
//AB CD ，
BEH DKH x ∴∠=∠=，
PFG HFK y ∠=∠=，DKH H HFK ∠=∠+∠，
H x y ∴∠=-，
EMF MGF α∠=∠=，180BQG MGF ∠+∠=︒，
180BQG α∴∠=︒-，
QMF QMF EMF MGF MFG ∠=∠+∠=∠+∠，
3QME MFG y ∴∠=∠=，
BEM QME MQE ∠=∠+∠，
33180x y α∴-=︒-，
1603
x y α∴-=︒-， 1603
H α∴∠=︒-．
【点睛】
本题考查平行线的性质和判定，三角形的外角的性质，三角形的内角和定理等知识，作出平行线，利用参数解决问题是解题的关键．
25．（1）见解析；（2）∠EPF+2∠EQF＝360°；（3）∠P+3∠Q＝360°．
【分析】
（1）首先过点P作PG∥AB，然后根据AB∥CD，PG∥CD，可得∠AEP＝∠1，∠CFP＝
∠2，据此判断出∠AEP+∠CFP＝∠EPF即可．
（2）首先由（1），可得∠EPF＝∠AEP+CFP，∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ；然后根据∠BEP的平
分线与∠DFP的平分线相交于点Q，推得∠EQF＝1
(360)
2
EPF
⨯︒-∠，即可判断出
∠EPF+2∠EQF＝360°．
（3）首先由（1），可得∠P＝∠AEP+CFP，∠Q＝∠BEQ+∠DFQ；然后根据∠BEQ＝
1 3∠BEP，∠DFQ＝
1
3
∠DFP，推得∠Q＝
1
3
×（360°﹣∠P），即可判断出∠P+3∠Q＝
360°．
【详解】
（1）证明：如图1，过点P作PG∥AB，
∵AB∥CD，
∴PG∥CD，
∴∠AEP＝∠1，∠CFP＝∠2，
又∵∠1+∠2＝∠EPF，
∴∠AEP+∠CFP＝∠EPF．
（2）如图2，
，
由（1），可得
∠EPF＝∠AEP+CFP，∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ，
∵∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，∴∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ
＝1
2
（∠BEP+∠DFP）
＝1
[360()] 2
AEP CFP
︒-∠+∠
＝1
(360)
2
EPF
⨯︒-∠，
∴∠EPF+2∠EQF＝360°．
（3）如图3，
，
由（1），可得
∠P＝∠AEP+CFP，∠Q＝∠BEQ+∠DFQ，
∵∠BEQ＝1
3
∠BEP，∠DFQ＝
1
3
∠DFP，
∴∠Q＝∠BEQ+∠DFQ
＝1
3
（∠BEP+∠DFP）
＝1
3
[360°﹣（∠AEP+∠CFP）]
＝1
3
×（360°﹣∠P），
∴∠P+3∠Q＝360°．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．（2）定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．（3）定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
26．（1）D（k+2，2）；（2）k＝2；（3）∠BPD＝1
2
∠BCD+
1
2
∠A，理由详见解析
【分析】
（1）由平移的性质可得出答案；
（2）过点B作BE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，由四边形BEFD的面积可得出答案；
（3）过点P作PE∥AB得出∠PBA＝∠EPB，由平移的性质得出AB∥CD，由平行线的性质得出PE∥CD，则∠EPD＝∠PDC，得出∠BPD＝∠PBA+∠PDC，由角平分线的性质得出
∠PBA＝1
2
∠ABC，∠PDC＝
1
2
∠ADC，即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵点A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），C（k，0），将线段AB平移至线段CD，∴点B向上平移一个单位，向右平移（k+4）个单位到点D，
∴D（k+2，2）；
（2）如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，
∵A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），C（k，0），D（k+2，2），
∴BE＝1，CE＝k+2，DF＝2，EF＝k+4，CF＝2，
∵S四边形BEFD＝S△BEC+S△DCF+S△BCD，
∴1
(12)(k4)
2
⨯+⨯+＝
11
1(k2)225
22
⨯⨯++⨯⨯+，
解得：k＝2．
（3）∠BPD＝1
2
∠BCD+
1
2
∠A；理由如下：
过点P作PE∥AB，如图2所示：
∴∠PBA＝∠EPB，
∵线段AB平移至线段CD，
∴AB∥CD，
∴PE∥CD，∠ADC＝∠A，∠ABC＝∠BCD，∴∠EPD＝∠PDC，
∴∠BPD＝∠PBA+∠PDC，
∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，
∴∠PBA＝1
2
∠ABC，∠PDC＝
1
2
∠ADC，
∴∠BPD＝1
2
∠ABC+
1
2
∠ADC＝
1
2
∠BCD+
1
2
∠A．
【点睛】
本题考查了平移的综合问题，掌握平移的性质、平行线的性质、角平分线的性质是解题的关键．
27．（1）C的坐标为（0，4），点D的坐标为（1，2）；（2）①点E的坐标为（1，3），F的坐标为（0，3）或点E的坐标为（0，1），F的坐标为（1，1）；②存在△PEF 的面积为2，点E、F两点的坐标为E（﹣，0）、F（，0），或E（，4）、F（﹣，4）．
【解析】
【分析】
（1）由点A和点C在y轴上确定出向右平移3个单位，再根据△ACD的面积求出向上平移的单位，然后写出点C、D的坐标即可．
（2）①根据线段EF平行于线段OM且等于线段OM，得出2a+1＝﹣2b+3，|a﹣b|＝1，解答即可；
②首先根据题意求出点P的坐标为（，2），设点E在F的左边，由EF∥x轴得出a+b＝1，求出△PEF的面积＝（b﹣a）×|2a+1﹣2|＝2，得出（b﹣a）|2a﹣1|＝4，当EF在点P 的上方时，（b﹣a）（2a﹣1）＝4，与a+b＝1联立得：，此方程组无解；当EF在点P的下方时，（b﹣a）（1﹣2a）＝4，与a+b＝1联立得：
，解得：，或；分别代入点E（a，2a+1）、F（b，﹣
2b+3）即可．
【详解】
解：（1）∵A（﹣3，0），点C在y轴的正半轴上，
∴向右平移3个单位，
设向上平移x个单位，
∵S△ACO＝OA×OC＝6，
∴×3x＝6，
解得：x＝4，
∴点C的坐标为（0，4），
﹣2+3＝1，﹣2+4＝2，
故点D的坐标为（1，2）．
（2）①存在；理由如下：
∵线段EF平行于线段OM且等于线段OM，
∴2a+1＝﹣2b+3，|a﹣b|＝1，
解得：a＝1，b＝0或a＝0，b＝1，
即点E的坐标为（1，3），F的坐标为（0，3）或点E的坐标为（0，1），F的坐标为（1，1）；
②存在，理由如下：如图2所示：
当点E、F重合时，，
解得：，
∴2a+1＝2，
∴点P的坐标为（，2），
设点E在F的左边，
∵EF∥x轴，
∴2a+1＝﹣2b+3，
∴a+b＝1，
∵△PEF的面积＝（b﹣a）×|2a+1﹣2|＝2，
即（b﹣a）|2a﹣1|＝4，
当EF在点P的上方时，（b﹣a）（2a﹣1）＝4，与a+b＝1联立得：
，此方程组无解；
当EF在点P的下方时，（b﹣a）（1﹣2a）＝4，与a+＝1联立得：
，
解得：，或；
分别代入点E（a，2a+1）、F（b，﹣2b+3）得：E（﹣，0）、F（，0），或E（，4）、F（﹣，4）；
综上所述，存在△PEF 的面积为2，点E 、F 两点的坐标为E （﹣，0）、F （，0），或E （，4）、F （﹣，4）．
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了平移的性质、三角形面积公式、坐标与图形性质、方程组的解法、平行线的性质等知识；本题综合性强，根据题意得出方程组是解题的关键．
28．（1）见解析；（2）见解析；（3）57BHD ∠=︒.
【解析】
【分析】
(1)由AD BC ∥可得180A B ∠+∠=︒，进而可证180C B ∠+∠=︒，从而AB CD ∥，180A D +=︒∠∠，根据等角的补角相等可证B D ∠=∠；
（2）由AD BC ∥，可得CBG G ∠=∠，又2AEB G ∠=∠，可证EBG G ∠=∠，从而EBG CBG ∠=∠，可证BG 是EBC ∠的角平分线；
（3）设GDH HDC α∠=∠=，EBG CBG β∠=∠=，由AB CD ∥，可得6622180βα︒++=︒，即57αβ+=︒.过点H 作HP AB ,可证CD HP ，所以DHP HDC α∠=∠=，180DHP BHD ABE GBE ∠+∠+∠∠=︒＋，即
66180BHD αβ+∠+︒+=︒，进而可求出57BHD ∠=︒. 【详解】
解：(1)证明：∵AD BC ∥，
∴180A B ∠+∠=︒，
∵A C ∠=∠，
∴180C B ∠+∠=︒，
∴AB CD ∥，
∴180A D +=︒∠∠，
∴B D ∠=∠；
（2）∵AD BC ∥，
∴CBG G ∠=∠，
∵2AEB G ∠=∠，
∴2CBE G ∠=∠，
∴2EBG CBG G ∠+∠=∠， ∴EBG G ∠=∠，
∴EBG CBG ∠=∠，
∴BG 是EBC ∠的角平分线； （3）∵DH 是GDC ∠的平分线， ∴GDH HDC ∠=∠，设GDH HDC α∠=∠=， ∵AD BC ∥，
∴2BCD GDC α∠=∠=. 设EBG CBG β∠=∠=， ∵AB CD ∥，
∴180ABC BCD ∠+∠=︒， ∴180ABE EBC BCD ∠+∠+∠=︒， ∵66ABE ∠=︒，
∴6622180βα︒++=︒， ∴57αβ+=︒.
过点H 作HP AB ，
∴180PHB ABH ∠+∠=︒， ∵AB CD ∥，
∴CD HP ，
∴DHP HDC α∠=∠=， ∴180DHP BHD ABE GBE ∠+∠+∠∠=︒＋， 即 66180BHD α
β+∠+︒+=︒， ∴57BHD ∠=︒.
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质与判定的综合应用，熟练掌握平行线的性质与判定方法是解
答本题的关键.解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．。