【配套K12】高中数学2.2向量的分解与向量的坐标运算2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算自

2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
自我小测
1．如图，设e 1，e 2为互相垂直的单位向量，则向量a －b 可表示为( )
A ．e 1－3e 2
B ．－2e 1－4e 2
C ．2e 2－e 1
D ．3e 1－e 2
2．若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c ＝( )
A ．－12a ＋32b
B ．12 a －32b
C ．32 a －12b
D ．－32a ＋12
b 3．△ABC 的两个顶点为A (4,8)，B (－3,6)，若AC 的中点在x 轴上，BC 的中点在y 轴上，
则点C 的坐标为( )
A ．(－8,3)
B ．(－3,4)
C ．(3，－8)
D ．(－4,3)
4．已知在▱ABCD 中，AD ＝(3,7)，AB ＝(－2,3)，对角线AC ，BD 交于点O ，则CO 的坐
标为( )
A ．1,52⎛⎫- ⎪⎝⎭
B ．1,52⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．1,52⎛⎫-- ⎪⎝⎭
D ．1,52⎛⎫- ⎪⎝⎭ 5．设点A ，B ，C ，D 的坐标依次为(－1,0)，(3,1)，(4,3)，(0,2)，则四边形ABCD 的形状
为________．(填“平行四边形”“菱形”)
6．平面上有A (2，－1)，B (1,4)，D (4，－3)三点，点C 在直线AB 上，且AC ＝
12BC ，连接DC 延长至点E ，使|CE |＝14
|ED |，则点E 的坐标为________． 7．已知边长为1的正方形ABCD ．若点A 与坐标原点重合，边AB ，AD 分别落在x 轴，y 轴的
正方向上，则向量4AB ＋BC －3AC 的坐标为__________．
8．已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP ＝OA ＋t AB ，求：
(1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？
(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．
9．已知向量u ＝(x ，y )与v ＝(y,2y －x )的对应关系用v ＝f (u )表示．
(1)证明：对于任意向量a ，b 及常数m ，n ，恒有f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )成立；
(2)设a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量f(a)及f(b)的坐标；
(3)求使f(c)＝(p，q)(p，q为常数)的向量c的坐标．
参考答案
1．答案：A
2．答案：B
3．答案：C
4．解析：如图所示，AC =AB +AD =(-2,3)+(3,7)=(1,10)，
所以OC =12AC =1,52⎛⎫ ⎪⎝⎭
． 所以错误!未定义书签。

=1,52⎛⎫-- ⎪⎝⎭
．
答案：C
5．解析：如图所示，AD ＝(0,2)－(－1,0)＝(1,2)，BC ＝(4,3)－(3,1)＝(1,2)，所以AD ＝BC ．
又AB ＝(3,1)－(－1,0)＝(4,1)，
所以|AD ||AB |，
所以|AD |≠|AB |，
所以四边形ABCD 为平行四边形．
答案：平行四边形
6．解析：因为AC ＝
12BC ， 所以OC －OA ＝12
(OC －OB )， 即OC ＝(3，－6)．
又因为CE ＝－14ED ， 设E (x ，y )，则()()134,4163,4
x x y y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=--⎪⎩ 得8,37,
x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ 答案：8,73⎛⎫- ⎪⎝⎭
7．解析：如图，各顶点的坐标为A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，
所以AB ＝(1,0)，BC ＝(0,1)，AC ＝(1,1)．
所以4AB ＋BC －3AC ＝(1，－2)．
答案：(1，－2)
8．解：(1)设P (x ，y )，由OP ＝OA ＋t AB 得
(x ，y )＝(1,2)＋t (3,3)，即13,2 3.x t y t =+⎧⎨=+⎩
若P 在x 轴上，则y P ＝0，即2＋3t ＝0，所以t ＝－23
． 若P 在y 轴上，则x P ＝0，即1＋3t ＝0，所以t ＝－
13． 若P 在第二象限，则130,230.
t t +<⎧⎨+>⎩⇔－23<t <－13． (2)若四边形OABP 能构成平行四边形，则 OP ＝AB ，即(1＋3t,2＋3t )＝(3,3)．
所以133,233,t t +=⎧⎨+=⎩
这是不可能的．
故不能成为平行四边形．
9．解：(1)证明：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，
则m a＋n b＝(ma1＋nb1，ma2＋nb2)，
所以f(m a＋n b)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)，
mf(a)＋nf(b)＝m(a2,2a2－a1)＋n(b2,2b2－b1)
＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)．
所以f(m a＋n b)＝mf(a)＋nf(b)，
即对于任意向量a，b及常数m，n，
恒有f(m a＋n b)＝mf(a)＋nf(b)．
(2)f(a)＝f((1,1))＝(1,2×1－1)＝(1,1)，
f(b)＝f((1,0))＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．
(3)设c＝(x′，y′)，则f(c)＝(y′，2y′－x′)＝(p，q)，
所以
,
2,
y p
y x q
'=
⎧
⎨''
-=
⎩
解得
2,
.
x p q
y p
'=-
⎧
⎨'
=
⎩
故向量c＝(2p－q，p)．。