云南省玉溪一中高二数学下学期期中试题 理

玉溪一中高2021届高二下学期期中考试数学（理科）试题
第Ⅰ卷 选择题部份（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。

1．假设复数z 知足,21i i
z
=+ 那么z 对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．已知集合{}12-==x y y M ，集合{
}
24x y x N -==，那么=⋂N M C R （ ）
A ．（-2，-1）
B ．[-2，-1]
C ．[-2，1）
D ．[-2，-1）
3. 设函数211
()21x x f x x x
⎧+≤⎪
=⎨>⎪
⎩,那么((3))f f = （ ）
A ．
15 B ．3 C ．23 D ． 139 4． “lg lg x y >”是“x y >”的 （ ）
A ．充分没必要要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也没必要要条件 5．阅读右面的程序框图，那么输出的k = （ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
6．不等式|5||3|10x x -++≥的解集是( ) A ．[-5，7] B ．[-4，6]
C ．(]
[),57,-∞-+∞ D ．(][),46,-∞-+∞
7．已知一个空间几何体的三视图如下图，依照图中标出的尺寸 (单位：cm)，
可得那个几何体的体积为（ ）cm 3.
A ．24
B ．12
C ．8
D ．4
8. 假设变量y x ,知足约束条件⎩
⎨⎧≤-≤≤+≤969
23y x y x ，那么y x z 2+=的最小值为 （ ）
A ．0
B ． 3
C ．3-
D ．6-
9. 函数ax x x f +=ln )(存在与直线02=-y x 平行的切线，那么实数a 的取值范围是 ( )
A. ]2,(-∞
B. ),2(+∞
C. ),0(+∞
D. )2,(-∞
10．已知数列:n a 11，21，12，31，22，13
，41，32，23，1
4
，…，依它的前10项的规律，则99100a a +的值为( )
A.
3724 B.76 C.1115 D.715
11．设椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 的离心率21=e ，右核心)0,(c F ,方程02
=-+c bx ax 的两个根别离为1x ，
2x ，那么点),(21x x P 在 ( )
A. 圆22
2
=+y x 上 B. 圆22
2
=+y x 内 C. 圆22
2
=+y x 外 D. 以上都有可能
12．正数a ，b 知足12=+b a ，且2
1
4222-≤--t b a ab 恒成立，那么实数t 的取值范围是（ ） A ．]22,
(-∞ B ． ),22[+∞ C ．]22,22[- D ．),2
1[+∞ 第Ⅱ卷 非选择题部份（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分。

13．已知向量(cos ,2),(sin ,1),//a b a b αα=-=且,那么tan()4
π
α-= .
14.定积分
=-⎰
-dx x )1(11
_____________.
15.在ABC ∆中，内角A ,B ,C 的对边别离是a ，b ，c ，假设22
a b -=
，sin C B =， 则=A ___
16.已知函数()2f x x =-，假设0a ≠，且,a b R ∈，都有不等式
()a b a b a f x ++-≥
成立，那么实数x 的取值范围是_____________
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤。

17.（此题总分值10分）把函数3sin cos()44y x x ππ⎛⎫
=-+
⎪⎝⎭
的图像向右平移a (0>a )个单
位，取得的函数)(x g y =的图像关于直线4
π
=x 对称.
（Ⅰ）求a 的最小值；
（Ⅱ）就a 的最小值求函数)(x g y =在区间]3
,12[π
π-上的值域。

18.（此题总分值12分）
等比数列{}n a 的各项均为正数，且2
12326231,9a a a a a +==。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设
31323log log ......log n n b a a a =+++，求数列1n b ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和。

19.（本小题总分值12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，AB AD ⊥，
4AB AD +=，2CD =，︒=∠45CDA ．
（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面PAD ；
（Ⅱ）设AB AP =,假设直线PB 与平面PCD 所成的角为︒30， 求线段AB 的长；
20.（此题总分值12分）某工厂统计资料显示，产品次品率p 与日产量x (单位：件，+
∈N x ，961≤≤x )的关
系如下：
又知每生产一件正品盈利a (a 为正常数)元，每生产一件次品就损失3
a 元. （注：次品率p =
产品总数
次品个数
×100%，正品率=p -
1)
（Ⅰ）将该厂日盈利额T （元）表示为日产量x 的函数； （Ⅱ）为了取得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？
21．（本小题总分值15分）如图，焦距为2的椭圆E 的两个极点别离为A 和B ，且AB 与(2,1)n =-共线． （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；
（Ⅱ）假设直线m kx y +=与椭圆E 有两个不同的交点P 和Q ，且原点O 总在以PQ 为直径的 圆的内部，求实 数m 的取值范围． 22.（此题总分值
12
分） 已知函数
2()(33)x f x x x e =-+⋅概念域为[]t ,2-（2t >-）,
设n t f m f ==-)(,)2(．
（Ⅰ）试确信t 的取值范围,使得函数)(x f 在[]t ,2-上为单调函数； （Ⅱ）求证:n m >；
（Ⅲ）求证:关于任意的2->t ,总存在),2(0t x -∈,知足0
'20()2
(1)3
x f x t e =-,并确信 A
B
x
O
y
如此的0x 的个数．
玉溪一中高2021届高二下学期期中考试 数学（理科）答案
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。

1．假设复数z 知足,21i i
z
=+ 那么z 对应的点位于（ B ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．已知集合{}12-==x y y M ，集合{
}
24x y x N -==，那么=⋂N M C R （ C ）
A ．（-2，-1）
B ．[-2，-1]
C ．[-2，1）
D ．[-2，-1）
3. 设函数211
()21x x f x x x
⎧+≤⎪
=⎨>⎪
⎩,那么((3))f f = （ D ）
A ．
15 B ．3 C ．23 D ． 139
4． “lg lg x y >”是“x y >”的 （ A ）
A ．充分没必要要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也没必要要条件
5．阅读右面的程序框图，那么输出的k = （ A ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
6．不等式|5||3|10x x -++≥的解集是( D ) A ．[-5，7] B ．[-4，6]
C ．(]
[),57,-∞-+∞ D ．(][),46,-∞-+∞
7．已知一个空间几何体的三视图如下图，依照图中标出的尺寸 (单位：cm)，
可得那个几何体的体积为___cm 3. ( D ) A ．24 B ．12 C ．8 D ．4 8. 假设变量y x ,知足约束条件⎩⎨
⎧≤-≤≤+≤9
69
23y x y x ，那么y x z 2+=的最小值为 （ D ）
A ．0
B ． 3
C ．3-
D ．6-
9. 函数ax x x f +=ln )(存在与直线02=-y x 平行的切线，那么实数a 的取值范围是 ( D ) A. ]2,(-∞ B. ),2(+∞ C. ),0(+∞ D. )2,(-∞
10．已知数列:n a 11，21，12，31，22，13，41，32，23，1
4，…，依它的前10项的规律，则99100a a +的值为( A )
A.
3724 B.76 C.1115 D.715
11．设椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 的离心率21=e ，右核心)0,(c F ,方程02
=-+c bx ax 的两个根别离为1x ，
2x ，那么点),(21x x P 在 ( B )
A. 圆22
2
=+y x 上 B. 圆22
2
=+y x 内 C. 圆22
2
=+y x 外 D. 以上都有可能
12．正数a ，b 知足12=+b a ，且2
1
422
2
-
≤--t b a ab 恒成立，那么实数t 的取值范围是 （ B ） A ．]22,
(-∞ B ． ),22[+∞ C ．]22,22[- D ．),2
1[+∞. 非选择题部份（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分
13．已知向量(cos ,2),(sin ,1),//a b a b αα=-=且,那么tan()4
π
α- 3- .
14.定积分
=-⎰
-dx x )1(11
_____1-________.
15.在ABC ∆中，内角A ,B ,C 的对边别离是a ，b ，c ，假设22
a b -=
，sin C B =， 则=A __
6
π
_ 16.已知函数()2f x x =-，假设0a ≠，且,a b R ∈，都有不等式
()a b a b a f x ++-≥
成立，那么实数x 的取值范围是_____]4,0[________
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤。

17.（此题总分值10分）把函数3sin cos()44y x x ππ⎛⎫
=-+
⎪⎝⎭
的图像向右平移a (0>a )个单
位，取得的函数)(x g y =的图像关于直线4
π
=x 对称.
（1）求a 的最小值；
（2）就a 的最小值求函数)(x g y =在区间]3
,12[π
π-上的值域。

解：（1）311sin cos sin cos sin 2cos 24444222y x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=-⋅+=+⋅+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
∴1
()cos(22)2
g x x a =
-，它关于直线4π=x 对称，
∴22,4a k k Z ππ⨯-=∈ ∴24
k a ππ=-+ ∵0a > 4a π∴=最小
（2）由（1）知11
()cos(2)sin 2222
g x x x π=-=
即()g x 的值域为11,42⎡⎤-
⎢⎥⎣
⎦ 18.（此题总分值12分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且2
12326231,9a a a a a +==。

（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设 31323log log ......log n n b a a a =+++，求数列1n b ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和。

解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32
34
9a a =因此2
1
9
q =。

由条件可知a>0,故13
q =。

由12231a a +=得12231a a q +=，因此113a =。

故数列{a n }的通项式为a n =13
n 。

（Ⅱ ）111111log log ...log n b a a a =+++
(12...)
(1)
2
n n n =-++++=-
故12112()(1)1n b n n n n =-=--++ 因此数列1{
}n b 的前n 项和为21
n n -+ 19.（本小题总分值12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，AB AD ⊥，
4AB AD +=，2CD =，︒=∠45CDA ．
（1）求证：平面PAB ⊥平面PAD ；
（2）设AB AP =,假设直线PB 与平面PCD 所成的角为︒30， 求线段AB 的长；
解：（I ）因为PA ⊥平面ABCD ，
AC ⊂平面ABCD ，
因此PA AB ⊥， 又,,AB AD PA
AD A ⊥=
因此AB ⊥平面PAD 。

又AB ⊂平面PAB ，因此平面PAB ⊥平面PAD 。

（II ）以A 为坐标原点，成立空间直角坐标系A —xyz （如图） 在平面ABCD 内，作CE//AB 交AD 于点E ，那么.CE AD ⊥ 在Rt CDE ∆中，DE=cos451CD ⋅︒=，
设AB=AP=t ，那么B （t ，0，0），P （0，0，t ） 由AB+AD=4，得AD=4-t ，
因此(0,3,0),(1,3,0),(0,4,0)E t C t D t ---，
(1,1,0),(0,4,).CD PD t t =-=-- 设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =，
由n CD ⊥，n PD ⊥，得0,(4)0.x y t y tx -+=⎧⎨--=⎩
取x t =，得平面PCD 的一个法向量{,,4}n t t t =-，
又(,0,)PB t t =-，故由直线PB 与平面PCD 所成的角为30︒，得 解得445
t t =
=或（舍去，因为AD 40t =->），因此4
.5AB =
20.（此题总分值12分）某工厂统计资料显示，产品次品率p 与日产量x (单位：件，+
∈N x ，961≤≤x )的关系如下：
又知每生产一件正品盈利a (a 为正常数)元，每生产一件次品就损失3
a 元. （注：次品率p =
产品总数
次品个数
×100%，正品率=p -
1)
（1）将该厂日盈利额T （元）表示为日产量x 的函数； （2）为了取得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？ 解：（1）依题意：x
p -=
1003
(1≤x ≤96,x ∈N *),日产量x 件中次品有xp 件，正品有xp x -件， 日
盈利额)1004(3)(x
x x a px a xp x a T --=-
-= (2)∵⎪⎭
⎫
⎝⎛
--
=x x x a T 1004
=()⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡
-+--
x x x a 1004001004 =⎪⎭
⎫ ⎝
⎛--
+x x a 1004004
=()⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡--
--x x a 100400100104
≤a(104-2400)=64a ，
因此当100-x=20，即x=80时，T 最大.因此日产量为80件时，日盈利额T 取最大值.
21．（12分）焦距为2的椭圆E 的两个极点别离为A ,B ，且AB 与），（12-=n 共线．
（1）求椭圆E 的标准方程；
（2）假设直线m kx y +=与椭圆E 有两个不同的交点P 和Q ，且原点O 总在以PQ 为直径的 圆的内部，求实 数m 的取值范围．
解：（Ⅰ）设椭圆E 的标准方程为）（0122
22>>=+b a b
y
a x ，
由已知得
、，)0(a A )0(b B ，
∴）（b a AB ,-=，∵AB 与)12(-=，n 共线，
∴b a 2=，又122=-b a
∴122
2
==b a ，， ∴椭圆E 的标准方程为12
22
=+y x
（Ⅱ）设),(),,(2211y x Q y x P ,把直线方程m kx y +=代入椭圆方程12
22
=+y x ， 消去y ，得，0224)12(222=-+++m kmx x k ,
∴1
24221+-=+k km
x x , 12222
221+-=k m x x
08816)22)(12(416Δ222222>+-=-+⨯-=m k m k m k （*）
∵原点O 总在以PQ 为直径的圆内，∴0<⋅OQ OP ，即02121<+y y x x
又1
22)())((22
22
21212
1121+-=+++=++=k k m m x x mk x x k m kx m kx y y
由01
22212222222<+-++-k m k k m 得323222
+
<k m ，依题意322<m 且知足（*） 故实数m 的取值范围是)3
6
36(，-
22.（此题总分值12分） 已知函数2
()(33)x
f x x x e =-+⋅概念域为[]t ,2-（2t >-）, 设n t f m f ==-)(,)2(．
（1）试确信t 的取值范围,使得函数)(x f 在[]t ,2-上为单调函数； （2）求证:n m >；
（3）求证:关于任意的2->t ,总存在),2(0t x -∈,知足0
'2
0()2(1)3
x f x t e =-,并确信 如此的0x 的个数．
（1） 因为2()(33)(23)(1)x x x
f x x x e x e x x e '=-+⋅+-⋅=-⋅
由()010f x x x '>⇒><或；由()001f x x '<⇒<<, 因此()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上递增,在(0,1)上递减 欲)(x f 在[]t ,2-上为单调函数,那么20t -<≤ （2）因为()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上递增,在(0,1)上递减, 因此()f x 在1x =处取得极小值e 又2
13
(2)f e e -=
<,因此()f x 在[)2,-+∞上的最小值为(2)f - 从而当2t >-时,(2)()f f t -<,即m n <
（3）因为0
'2000()x f x x x e =-,因此0'20()2(1)3x f x t e =-即为22
002(1)3
x x t -=-, 令2
22()(1)3g x x x t =--
-,从而问题转化为证明方程 222
()(1)3
g x x x t =---=0在(2,)t -上有解,并讨论解的个数
因为222
(2)6(1)(2)(4)33g t t t -=-
-=-+-, 221
()(1)(1)(2)(1)33
g t t t t t t =---=+-,
因此 ① 当421t t >-<<或时,(2)()0g g t -⋅<,因此()0g x =在(2,)t -上有解,且只有一解
② 当14t <<时,(2)0()0g g t ->>且,但由于22
(0)(1)03
g t =--<, 因此()0g x =在(2,)t -上有解,且有两解
③ 当1t =时,2
()001g x x x x x =-=⇒==或,因此()0g x =在(2,)t -上有且只有一解；
④ 当4t =时,()0g x =在(2,4)-上也有且只有一解
综上所述, 关于任意的2->t ,总存在),2(0t x -∈,知足0
'20()2
(1)3
x f x t e =-, 且当421t t ≥-<≤或时,有唯一的0x 适合题意； 当14t <<时,有两个0x 适合题．。