宁波市必修一第四单元《函数应用》检测题(有答案解析)

一、选择题
1．关于x 的方程2||10x a x ++=有4个不同的解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()(),22,-∞-+∞
B ．(],2-∞-
C ．(),2-∞-
D ．()2,+∞
2．已知函数()24x
f x =-，()()()1
g x a x a x a =-++同时满足：①x ∀∈R ，都有
()0f x <或()0g x <，②(],1x ∃∈-∞-，()()0f x g x <，则实数a 的取值范围为
（ ） A ．(-3，0) B ．13,2⎛⎫--
⎪⎝⎭
C ．(-3，-1)
D ．(-3，-1]
3．已知方程923310x x k -⋅+-=有两个实根，则实数k 的取值范围为（ ）
A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D ．[1,)+∞
4．已知函数()()2log 1,1
212,1x x x f x x ⎧-<-⎪=⎨-+≥-⎪⎩
，若函数()()F x f x k =- 恰有3个零点，则实
数k 的取值范围是（ ） A ．52,2
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
B ．()2,3
C ．(]3,4
D ．()2,+∞
5．设函数()243,0
23,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩
，若互不相等的实数1x 、2x 、3x ，满足
()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是（ ）
A ．5
,62⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．5,42⎛⎤
⎥⎝⎦
C ．()2,4
D ．()2,6
6．流行病学基本参数：基本再生数0R 指一个感染者传染的平均人数，世代间隔T 指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可用模型：0()rt
I t N e =（其中
0N 是开始确诊病例数）描述累计感染病例()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增
长率r 与0R ，T 满足01R rT =+，有学者估计出0 3.4,6R T ==．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，当0()2I t N =时，t 的值为（ln 20.69≈）（ ） A ．1.2 B ．1.7
C ．2.0
D ．2.5
7．函数f(x)＝2log ,0
2,0
x
x x a x >⎧⎨-+≤⎩ 有且只有一个零点的充分不必要条件是( ) A ．a<0
B ．0<a<
C ． <a<1
D ．a≤0或a>1
8．已知函数()()()2
22,0423,46x x x f x x -⎧--≤<⎪
=⎨
-≤≤⎪⎩
,若存在12,x x ,当12046x x ≤<≤≤时,()()12f x f x =,则()12x f x ⋅的取值范围是（ ） A ．[)0,1
B ．[]1,4
C ．[]
1,6
D ．[][]0,1
3,8
9．有一组数据，如表所示：
下列函数模型中，最接近地表示这组数据满足的规律的一个是（ ）． A ．指数函数
B ．反比例函数
C ．一次函数
D ．二次函数
10．已知函数()21x
f x x =++，()2lo
g 1g x x x =++，()2log 1
h x x =-的零点依次为
,,a b c ，则（ ）
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．b c a <<
D ．b a c <<
11．已知函数f (x )＝1,01,0x x x
⎧⎪
⎨>⎪⎩则使方程x ＋f (x )＝m 有解的实数m 的取值范围是
（ ） A ．(1，2)
B ．(－∞，－2]
C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)
D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)
12．一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有3
4
的质量发生衰变.若该物质余下质量不超过原有的1%，则至少需要的年数是（ ） A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
二、填空题
13．已知函数()2
20
0x a x f x x ax x +<⎧=⎨
-≥⎩
，，
，若关于x 的方程()()0f f x =有8个不同的实根，则a 的取值范围__________.
14．2019年1月1日起新的个人所得税法开始实施，依据《中华人民共和国个人所得税法》可知纳税人实际取得工资、薪金（扣除专项、专项附加及依法确定的其他）所得不超过5000元（俗称“起征点”）的部分不征税，超出5000元部分为全月纳税所得额.新的税率表如表：
2019年1月1日后个人所得税税率表
个人所得税专项附加扣除是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金和赡养老人等六项专项附加扣除.其中赡养老人一项指纳税人赡养60岁（含）以上父母及其他法定赡养人的赡养支出，可按照以下标准扣除：纳税人为独生子女的，按照每月2000元的标准定额扣除；纳税人为非独生子女的，由其与兄弟姐妹分摊每月2000元的扣除额度，每人分摊的额度不能超过每月1000元.某纳税人只有一个姐姐，且两人仅符合规定中的赡养老人的条件，如果他在2020年5月份应缴纳个人所得税款为180元，那么他当月的工资、薪金税后所得是_____元.
15．2x m =+有实数根，则实数m 的取值范围是__________.
16．定义在R 上的函数()f x ，满足()()f x f x -=-且()(2)f x f x =-，当01x <≤时，
2()log f x x =，则方程()f x x =-在()2,2-上的实数根之和为___________．
17．已知函数()()
3(0)0x x f x x x ≥⎧=⎨<-⎩，若函数()()()2
|2|g x f x kx x k R =--∈恰有4个不
同的零点，则k 的取值范围是______.
18．已知函数2log ,02()25(),23
9x x x f x x <<⎧⎪
=⎨+≥⎪⎩，若函数g (x )=f (x )-k 有两个不同的零点，则实数k
的取值范围是________.
19．函数()()2
1
21x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，，，如果方程()f x b =有四个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++=______.
20．如果关于x 的方程x 2+（m -1）x -m =0有两个大于1
2
的正根，则实数m 的取值范围为____________.
三、解答题
21．某地为开拓当地的一种农产品销售市场，将该农产品进行网上销售.该地统计了一个月的网上销售情况，在30天内每斤的交易价格P （元）与时间t （天）组成有序数对
(),t P ，点(),t P 恰好落在如图中的两条线段上；该农产品在30天内（包括第30天）的日
交易量Q （万斤）与时间t （天）满足30Q at =+，且已知第十天的交易量为20万斤. （1）根据提供的图象，写出该农产品每斤交易价格P （元）与时间t （天）所满足的函数关系式；
（2）用y （万元）表示该农产品日交易额（日交易额=每斤交易价格×日交易量），求y 关于t 的函数关系式，并求这30天中第几天的日交易额最大，最大值为多少？
22．某市出租汽车的收费标准如下：在3km 以内（含3km ）的路程统一按起步价7元收费，超过3km 以外的路程按2.4元/km 收费.而出租汽车一次载客的运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，约为2.3元；二是燃油费，约为1.6元/km ；三是折旧费，它与路程的平方近似成正比，且当路程为20km 时，折旧费为0.1元.现设一次载客的路程为x km. （1）试将出租汽车一次载客的收费F 与成本C 分别表示为x 的函数；
（2）若一次载客的路程不少于2km ，则当x 取何值时，该市出租汽车一次载客每千米的收益y 取得最大值？（每千米收益计算公式为)F C
y x
-=
23．党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，发展混合所有制经济，培育具有全球竞争力的世界一流企业．这为我们深入推进公司改革发展指明了方向，提供了根本遵循．某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A 、B 两种产品，根据市场调查与市场预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）
（1）分别求出A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 24．设函数2
()(,)f x ax x b a b R =-+∈.
（1）当0b =时，若不等式()2f x x ≤在[0,2]x ∈上恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若a 为常数，且函数()f x 在区间[0,2]上存在零点，求实数b 的取值范围. 25．某工厂生产某产品x 件所需成本费用为P 元，且2
110005,10
P x x =++而每件售出的价格为Q 元，其中(),x
Q a a b R b
=+
∈. （1）问:该工厂生产多少件产品，使得每件产品所需成本费用最少?
（2）若生产出的产品能全部售出，且当产量为150件时利润最大，此时每件价格为30，求a b 、的值.
26．已知函数()y f x =为二次函数，()04f =，且关于x 的不等式()20f x -<的解集
为{}
12x x <<
（1）求函数()f x 的解析式
（2）若关于x 的方程()0f x m -=有一实根大于1，一实根小于1，求实数m 的取值范围 （3）已知()1g x x =+，若存在x 使()y f x =的图象在()y g x =图象的上方，求满足条件的实数x 的取值范围
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
由2
||10x a x ++=可得1a x x =--
，转化为y a =与()1
g x x x
=--的图象有4个不
同的交点，作出()1
g x x x
=--，数形结合即可求解. 【详解】
由2
||10x a x ++=可得2
2111||||x x a x x x x
----=
==--， 令()1
g x x x
=--
， 若关于x 的方程2
||10x a x ++=有4个不同的解， 则y a =与()1
g x x x
=--
的图象有4个不同的交点， ()1
g x x x
=--
是偶函数， 当0x <时()()()
111x x x x x x g x --
=---=+-=， ()1
g x x x
=+
在(),1-∞-单调递增，在()1,0-单调递减， 所以()1
g x x x
=+
的图象如图所示： 当1x =-时()max 1
121
g x =-+
=--，
若y a =与()1
g x x x
=--的图象有4个不同的交点， 由图知2a <-， 故选：C 【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
2．C
解析：C 【分析】
先判断当2x <时()0f x <，当2x ≥时()0f x ≥，问题转化为当2x ≥时，()0g x <恒成立且当1x ≤-时，()0g x >有解，分类讨论列出不等式可解出a 的范围． 【详解】
∵()24x
f x =-，
∴当2x <时()0f x <，当2x ≥时()0f x ≥.
因为x ∀∈R ，都有()0f x <或()0g x <且 (]
,1x ∃∈-∞-，()()0f x g x < 所以函数()g x 需满足:
①当2x ≥时，()0g x <恒成立； ②当1x ≤-时，()0g x >有解.
（1）当0a ≥时，显然()g x 不满足条件①；
（2）当0a <时，方程()0g x =的两根为1x a =，21x a =--， ∵0a <，∴11a -->-， ∴1
12a a <-⎧⎨
--<⎩
，
解得31a -<<-. 故选：C . 【点睛】
转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将问题转化为当2x ≥时，()0g x <恒成立且当1x ≤-时，()0g x >有解是解题的关键.
3．B
解析：B 【分析】
先将指数型方程的解的问题转化为二次方程的根的问题，再利用判别式和韦达定理即可求出实数k 的取值范围. 【详解】
设3x t =，则0t >，
则方程923310x x k -⋅+-=有两个实根可转化为方程22310t t k -+-=有两个正根，
则利用判别式和韦达定理得()()224310
20310k k ⎧∆=---≥⎪
>⎨⎪->⎩
，
解得：
1233
k <≤； 所以实数k 的取值范围为12,33⎛⎤
⎥⎝⎦
. 故选：B. 【点睛】
关键点睛：将指数型方程的解的问题转化为二次方程的根的问题是解决本题的关键.
4．A
解析：A 【分析】
函数()()F x f x k =- 恰有3个零点，即函数()y f x =与()h x k =的图象有三个交点，画两个函数的图象，观察图象即得结果. 【详解】
函数()()F x f x k =- 恰有3个零点，即函数()y f x =与()h x k =的图象有三个交点，
分别画出()y f x =与()h x k =的图象，如图所示，5(1)2
f -=
，
观察图象可得，当5
22
k <≤时，两图象有3个交点，即函数()()F x f x k =-恰有3个零点. 故选：A. 【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
5．C
解析：C 【分析】
设123x x x <<，作出函数()f x 的图象，结合图象可得出1x 的取值范围，结合二次函数图象的对称性可得出234x x +=，进而可求得123x x x ++的取值范围. 【详解】
设123x x x <<，作出函数()f x 的图象如下图所示：
设()()()123f x f x f x m ===，
当0x ≥时，()()2
243211f x x x x =-+=--≥-，
由图象可知，13m -<<，则()()11231,3f x x =+∈-，可得120x -<<， 由于二次函数243y x x =
-+的图象的对称轴为直线2x =，所以，234x x +=，
因此，12324x x x <++<. 故选：C. 【点睛】
方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（或取值范围），常用方法如下： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数的取值范围； （2）分离常数法：先将参数分离，转化为求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
6．B
解析：B 【分析】
根据所给模型求得0.4r =，代入已知模型，再由0()2I t N =，得002rt
N e N =，求解t 值
得答案 【详解】
解：把0 3.4,6R T ==代入01R rT =+，得3.416r =+，解得0.4r =，
所以0.40()t
I t N e =，
由0()2I t N =，得0.4002t
N e
N =，则0.42t e =，
两边取对数得，0.4ln 2t =，得ln 20.69
1.70.40.4
t =≈≈， 故选：B
【点睛】
关键点点睛：此题考查函数模型的实际应用，考查计算能力，解题的关键是准确理解题意，弄清函数模型中各个量的关系，属于中档题
7．A
解析：A 【分析】
函数y=f （x ）只有一个零点，分段函数在0x >时，2log y x = 存在一个零点为1，在
0x ≤无零点，所以函数图象向上或向下平移，图像必须在x 轴上方或下方,解题中需要注意的是：题目要求找出充分不必要条件，解题中容易选成充要条件. 【详解】
当0x >时，y=2log x ，x=1是函数的一个零点，
则当0y 2x
x a ≤=-+，无零点，由指数函数图像特征可知：a≤0或a>1 又题目求函数只有一个零点充分不必要条件，即求a≤0或a>1的一个真子集， 故选A 【点睛】
本题考查函数零点个数问题，解决问题的关键是确定函数的单调性，利用单调性和特殊点的函数值的正负确定零点的个数；本题还应注意题目要求的是充分不必要条件，D 项是冲要条件，容易疏忽而出错.
8．B
解析：B 【详解】
根据图像，当()()12f x f x =时，有()212f x ≤≤，
将()1f x =代入函数()22f x x =--中，可解得11x =或13x =， 所以当()()12f x f x =时，113x ≤≤， 当[1,2]x ∈时，()f x x =，因为()()12f x f x =， 所以()()2
1211111x f x x f x x x x ==⋅=⋅⋅，
因为1[1,2]x ∈，所以()12[1,4]x f x ⋅∈；
当[2,3]x ∈时，()4f x x =-，因为()()12f x f x =， 所以()()2
1211111(4)(2)4x f x x f x x x x ==⋅-=--⋅+⋅，
因为1[2,3]x ∈，所以()12[3,4]x f x ⋅∈； 综上所述，()12x f x ⋅的取值范围是[1,4]. 故选：B.
【点睛】
本题考查了分段函数与函数与方程的综合性问题，属于中档题型，当正确画出函数的图像后，重点抓住本题的一个关键的条件()12()f x f x =，这样就可以将求()12x f x ⋅的范围转化为求()11x f x ⋅的范围.
9．C
解析：C 【解析】
随着自变量每增加1函数值大约增加2， 函数值的增量几乎是均匀的，
故一次函数最接近地表示这组数据满足的规律． 故选C ．
10．A
解析：A 【解析】
令函数()210x
f x x =++=，可得0x <，即0a <，
令()2log 10g x x x =++=，则01x <<，即01b <<，
令()2log 10h x x =-=，可知2x =，即2c =，显然a b c <<，故选A.
11．D
解析：D 【分析】
分别讨论x ≤0和x >0，方程有解时，m 的取值. 【详解】
当x ≤0时，x ＋f (x )＝m ，即x ＋1＝m ，解得m ≤1；
当x >0时，x ＋f (x )＝m ，即1
x m x
+=，解得m ≥2， 即实数m 的取值范围是(,1][2,)-∞⋃+∞
故选：D 【点睛】
本题考查了方程有解求参数的取值问题，考查了计算求解能力和逻辑推理能力，属于一般
题目.
12．C
解析：C 【分析】
设这种放射性物质最初的质量为1，经过x ()x N ∈年后，剩留量是y ，则有1()4
x
y =，
然后根据物质的剩留量不超过原来的1%，建立不等关系，利用对数运算性质进行求解即可. 【详解】
设这种放射性物质最初的质量为1，经过x ()x N ∈年后，剩留量是y ， 则有1()4
x
y =， 依题意得11
()4
100
x
≤，整理得22100x ≥， 解得4x ≥，
所以至少需要的年数是4， 故选C. 【点睛】
该题考查的是有关放射性物质的剩留量的求解问题，在解题的过程中，注意根据条件，列出相应的关系式，之后将其转化为指数不等式，结合指数函数的性质，求得结果，属于简单题目.
二、填空题
13．【分析】先讨论结合函数解析式确定显然不满足题意；再讨论画出的图象利用数形结合的方法即可求出结果【详解】若当时恒成立；当时由得；即仅有一个根；所以由可得则；即方程仅有一个实根；故不满足有8个不同的实根 解析：()8,+∞
【分析】
先讨论0a ≤，结合函数解析式，确定显然不满足题意；再讨论0a >，画出()f x 的图象，利用数形结合的方法，即可求出结果. 【详解】
若0a ≤，当0x <时，()20f x x a =+<恒成立；
当0x ≥时，由()()2
0f x x ax x x a =-=-=得0x =；即()0f x =仅有0x =一个根；
所以由()()0f
f x =可得()0f x =，则0x =；即方程()()0f f x =仅有一个实根；
故不满足()()0f f x =有8个不同的实根；
若0a >时, 画出()2200x a x f x x ax x +<⎧=⎨-≥⎩
，，的大致图象如下，
由()()0f
f x =可得()12f x a =-，()2
0f
x =，()3f x a =，
又()()0f f x =有8个不同的实根，
由图象可得，()20f x =显然有三个根，()3f x a =显然有两个根，
所以()12f x a =-必有三个根，而20a -<，2
222
244a a a y x ax x ⎛⎫=-=--≥- ⎪⎝⎭，
为使()12f x a =-有三个根，只需2
24
a a ->-，解得8a >；
综上可知，8a >. 故答案为：()8,+∞. 【点睛】 方法点睛：
已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
14．9720【分析】按题意从最低纳税额开始计算最高纳税同时考虑到专项附加扣除后可得【详解】设他的工资是元工资是8000元时纳税为由于他有专项附加扣1000元因此他工资是9000元时纳税90元纳税后收入为
解析：9720 【分析】
按题意从最低纳税额开始计算最高纳税，同时考虑到专项附加扣除后可得． 【详解】
设他的工资是x 元，
工资是8000元时纳税为30003%90⨯=，由于他有专项附加扣1000元，因此他工资是
9000元时，纳税90元，(9000)10%18090x -⨯=-，9900x =，纳税后收入为9900－180＝9720（元）． 故答案为：9720． 【点睛】
本题考查函数的应用，解题时根据分段函数的意义分段计算纳税额即可得．解题关键是正确理解题意，弄懂工资收入与纳税额之间的关系．
15．【分析】方程有实根等价于半圆和直线有交点数形结合可得实数的取值范围【详解】方程有实根故半圆和直线有交点半圆和直线在交点处取得最小值此时半圆和直线相切时的值最大因为所以；数形结合可得：；故答案为：【点 解析：[2,
]5-
【分析】
方程212x x m -=+有实根等价于半圆22
1(0)x y y +=≥和直线2y x m =+有交点，数
形结合可得实数m 的取值范围. 【详解】
212x x m -=+有实根，
故半圆22
1(0)x y y +=≥和直线2y x m =+有交点，
半圆22
1(0)x y y +=≥和直线2y x m =+在交点1,0A 处取得最小值，
此时2m =-，
半圆22
1(0)x y y +=≥和直线2y x m =+相切时m 的值最大，
2
2
1521
m
m =⇒=±+
因为0m >，
所以5m =
数形结合可得：52m -≤≤ 故答案为：[5-. 【点睛】
方法点睛：本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法；函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提
供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．
16．0【分析】首先由条件求出函数周期为再利用当时作出和的图象方程在上的实数根之和为由图象结合奇函数的性质即可求解【详解】因为函数满足且所以即所以所以函数周期为由可得所以对称轴为当时作函数和图象如图所示：
解析：0 【分析】
首先由条件求出函数()f x 周期为4，再利用当01x <≤时，2()log f x x =，作出和
y x =-的图象，方程()f x x =-在()2,2-上的实数根之和为1234x x x x +++，由图象结
合奇函数的性质即可求解. 【详解】
因为函数()f x 满足()()f x f x -=-且()(2)f x f x =-， 所以[](2)2(2)()f x f x f x +=-+=-，即(2)()f x f x +=-， 所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=， 所以函数()f x 周期为4，
由()(2)f x f x =-可得(1)(1)f x f x +=-，所以()f x 对称轴为1x =， 当01x <≤时，2()log f x x =， 作函数()y f x =和y x =-图象如图所示：
其中()y f x =时奇函数，y x =-也是奇函数， 设两个函数图象交点的横坐标分别为1x 、2x 、3x 、4x 方程()f x x =-在()2,2-上的实数根之和为1234x x x x +++，
由图象结合奇函数的性质可得：14230x x x x +=+=，O 所以12340x x x x +++=，
方程()f x x =-在()2,2-上的实数根之和为0， 故答案为：0 【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是利用已知条件求出()f x 周期为4，方程()f x x =-在
()2,2-上的实数根之和等价于()y f x =和y x =-图象交点的横坐标之和，关键点是作出()y f x =在()2,2-的图象，数形结合即可求解.
17．【分析】由题意可知对任意的且为函数的一个零点构造函数可知函数与的图象有个交点分和两种情况讨论数形结合可求得实数的取值范围【详解】由题意可知对任意的且为函数的一个零点令则函数与的图象有个交点当时函数的 解析：()
()
,02
2,-∞+∞
【分析】
由题意可知，对任意的x ∈R ，()0f x ≥，且0x =为函数()g x 的一个零点，构造函数
()()
()0f x h x x x =≠，()222kx x p x kx x
-==-，可知，函数()p x 与()h x 的图象有
3个交点，分0k <和0k >两种情况讨论，数形结合可求得实数k 的取值范围.
【详解】
由题意可知，对任意的x ∈R ，()0f x ≥，且0x =为函数()g x 的一个零点， 令()()()()2010f x x x h x x x
⎧>⎪=
=⎨<⎪⎩
，()222kx x p x kx x -==-， 则函数()p x 与()h x 的图象有3个交点. 当0k <时，函数()p x 的零点为2
0x k
=
<，如下图所示：
此时，函数()p x 与()h x 的图象有3个交点，合乎题意； 当0k >时，函数()p x 的零点为
2
0x k
=
>， 则函数()p x 与()h x 在y 轴左侧的图象没有交点， 所以，函数()p x 与()h x 在y 轴右侧的图象必有3个交点，
则直线2y kx =-与()02
>=x x y 有两个交点，联立2
2
y x y kx ⎧=⎨=-⎩，可得220x kx -+=，
则方程220x kx -+=在()0,∞+上有两个不等的实根，可得28002
k k ⎧∆=->⎪
⎨>⎪⎩，解得
22k >.
综上所述，实数k 的取值范围是()()
,02
2,-∞+∞.
故答案为：()()
,02
2,-∞+∞.
【点睛】
方法点睛：判定函数()f x 的零点个数的常用方法：
（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；
（2）数形结合法：先令()0f x =，将函数()f x 的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.
18．【分析】作出函数f(x)的图象将函数g(x)=f(x)-k 有两个不同的零点转化为y=f(x)y=k 的图象又两个不同的交点求解【详解】函数的图象如图所示：若函数g(x)=f(x)-k 有两个不同的零点等
解析：5,1
9⎛⎫
⎪⎝⎭
【分析】
作出函数f (x )，的图象，将函数g (x )=f (x )-k 有两个不同的零点，转化为y =f (x )，y =k 的图象又两个不同的交点求解. 【详解】
函数2log ,02()25(),23
9x x x f x x <<⎧⎪
=⎨+≥⎪⎩的图象如图所示：
若函数g (x )=f (x )-k 有两个不同的零点，等价于y =f (x )，y =k 的图象又两个不同的交点， 由图知：
5
19k << 故答案为：5,19⎛⎫ ⎪⎝⎭
【点睛】
方法点睛：由函数零点或个数求参数范围问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围；若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．
19．【分析】作出的图象可得和的图象有四个不同的交点不妨设交点横坐标由
关于原点对称关于点对称即可得到所求的和【详解】作出的图象方程有四个不同的实数解等价为和的图象有四个不同的交点不妨设交点横坐标为且由关于 解析：4
【分析】
作出()f x 的图象，可得()y f x =和y b =的图象有四个不同的交点，不妨设交点横坐标
1234x x x x <<<，由1x ，2x 关于原点对称，3x ，4x 关于点()2,0对称，即可得到所求的和.
【详解】
作出()
(
)2
1
21x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，，的图象，
方程()f x b =有四个不同的实数解，等价为()y f x =和y b =的图象有四个不同的交点，不妨设交点横坐标为1x ，2x ，3x ，4x 且1234x x x x <<<， 由1x ，2x 关于原点对称，3x ，4x 关于点()2,0对称， 可得12=0x x +，344x x +=， 则12344x x x x +++=， 故答案为：4 【点睛】
本题主要考查了函数方程的转化思想，考查数形结合的思想以及对称性的运用，属于中档题.
20．（-∞-）【分析】方程有两个大于的根据此可以列出不等式组求得m 的取值范围即可【详解】解：根据题意m 应当满足条件即：解得：实数m 的取值范围：（-∞-）故答案为：（-∞-）【点睛】本题考查根的判别式及根
解析：（-∞，-12
） 【分析】
方程有两个大于1
2
的根，据此可以列出不等式组求得m 的取值范围即可. 【详解】
解：根据题意，m 应当满足条件
2(1)40112211(1)042
m m m m m ⎧
⎪∆=-+>⎪
-⎪->⎨⎪⎪+-->⎪⎩即：2210012m m m m ⎧⎪++>⎪<⎨⎪⎪<-⎩，解得：1
2m <-， 实数m 的取值范围：（-∞，-1
2
）. 故答案为：（-∞，-12
）. 【点睛】
本题考查根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确的运用判别式及韦达定理，是中档题.
三、解答题
21．（1）12,020518,203010t t P t t ⎧+<<⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩；（2）()()1230,02051830,2030
10
t t t y t t t ⎧⎛⎫+-+<< ⎪⎪⎪⎝⎭
=⎨⎛⎫⎪-+-+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，这
30天中第10天的日交易额最大，最大值为80万元. 【分析】
（1）设出分段函数，利用图象，建立方程组求解.
（2）先确定y 关于t 的函数解析式，再利用二次函数的性质求解. 【详解】
（1）当020t <<时，设P kt b =+， 将()()0,2,20,6带入上式，
，得2620b
k b =⎧⎨=+⎩
，
解得215b k =⎧⎪⎨=⎪⎩
，
所以()1
20205
P t t =
+<<，
当2030t ≤≤时，同理可求1810
P t =-+， 所以12,020518,203010
t t P t t ⎧+<<⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩； （2）由30Q at =+，当10t =时，20Q =，故得1a =-，
所以30Q t =-+， 因为()()1230,02051830,203010
t t t y PQ t t t ⎧⎛⎫+-+<< ⎪⎪⎪⎝⎭==⎨⎛⎫⎪-+-+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩ 当020t <<时，当10t =时，y 取得最大值80；
当2030t ≤≤时，当20t =时，y 取得最大值60；
所以，这30天中第10天的日交易额最大，最大值为80万元.
【点睛】
方法点睛：(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型，如出租车的票价与路程的函数就是分段函数．(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．
22．（1）7,032.40.2,3x F x x <≤⎧=⎨
->⎩，212.3 1.6(0)4000C x x x =++>；（2）100km. 【分析】
（1）根据在3km 以内（含3km ）的路程统一按起步价7元收费，超过3km 以外的路程按
2.4元/km 收费求得F ，设折旧费2z kx =，由路程为20km 时，折旧费为0.1元.代入求得k ，再根据运输成本包含固定费用，二是燃油费和折旧费求得C .
（2）根据F C y x
-=
，结合（1）求得y ，再根据分段函数的最值的求法求解. 【详解】 （1）由题意得：7,037 2.4(3),3x F x x <≤⎧=⎨+->⎩
，. 即7,032.40.2,3x F x x <≤⎧=⎨->⎩
. 设折旧费2z kx =，将(20,0.1)代入，
得0.1400k =，解得14000k =
. 所以212.3 1.6(0)4000
C x x x =++>.
（2）因为F C y x
-=， 所以 4.7 1.6,234000 2.50.8,34000x x x y x x x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+> ⎪⎪⎝⎭⎩
， 当3x >
时，由基本不等式，得0.80.75y ≤-=， 当且仅当100x =时取等号.
当23x ≤≤时，由y 在[2,3]上单调递减，
当2x =时，得max 10.750.752000
y =-<. 综上所述，该市出租汽车一次载客路程为100km 时，每千米的收益y 取得最大值.
【点睛】
方法点睛：(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型，如出租车的票价与路程的函数就是分段函数．(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．
23．（1）A 产品的利润为1()(0)2
f x x x =
≥，B
产品的利润为()0)g x x =≥；（2）A 产品投入6万元，B 产品投入4万元时取得最大利润，最大利润为7万元．
【分析】 （1）由题设1()f x k x =
，()g x k =
（2
）列出企业利润的函数解析式21()(10)10)y f x g x x x =+-=
+≤≤换元法求得函数最值得解.
【详解】
（1）设投资为x 万元，A 产品的利润为()f x 万元，B 产品的利润为()g x 万元 由题设1()f x k x =
，()g x k =，
由图知()21f =，故112k =
，又(4)4g =，∴22k =． 从而1()(0)2
f x x x =≥
，()0)g x x =≥． （2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入10x -万元，设企业利润为y 万元
21()(10)10)y f x g x x x =+-=
+≤≤
令t =
21(2)7(02
y t t =--+≤≤
当2t =时，max 7y =，此时6x =．
【点睛】
函数最值问题中函数表达式中若含有根式，通常采用换元法求解函数最值.
24．（1）[0,2]；（2）答案见解析.
【分析】
（1）0x =时恒成立，2(]0,x ∈，不等式变形后得22x a -≤-≤，求出x a -的取值范围，由这个范围包含于(0,2]可得a 的范围；
（2）问题转化为程||2x a x b -=-在[0,2]上有解，引入函数
22,(),x ax x a h x x a x x ax x a
⎧-≥=-=⎨-<⎩，分类讨论求出()h x （[0,2]x ∈）的值域以可得． 【详解】
解：（1）当0b =时，若不等式||2x a x x -在[0,2]x ∈上恒成立；
当0x =时，不等式恒成立，则a R ∈；
当02x <≤，则||2a x -在(0,2]上恒成立，即22x a -≤-≤在(0,2]上恒成立， 因为y x a =-在(0,2]上单调增，max 2y a =-，y a >-，则222
a a -⎧⎨
--⎩， 解得，02a ≤≤；
则实数a 的取值范围为[0,2]；
（2）函数()f x 在[0,2]上存在零点，即方程||2x a x b -=-在[0,2]上有解； 设22,(),x ax x a h x x ax x a ⎧-≥=⎨-+<⎩
当0a ≤时，则()2h x x ax =-，[]
0,2x ∈，且()h x 在[0,2]上单调递增，
所以()()min 00h x h ==，()()max 242h x h a ==-， 则当0242b a ≤-≤-时，原方程有解，则20a b -≤≤；
当0a >时，22,(),x ax x a h x x ax x a
⎧-≥=⎨-+<⎩， 则()h x 在0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调增，在,2
a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调减，在[,)a +∞上单调增； ①当22
a ≥，即4a ≥时，()()max 242h x h a ==-，()()min 00h x h ==， 则当0224
b a ≤-≤-时，原方程有解，则20a b -≤≤；
②当22a a <≤，即24a ≤<时，2max ()24
a a h x h ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()(0)0min h x h == 则当2024a
b -时，原方程有解，则2
08
a b -；。