人教A版高中数学必修三湖北新课改专用作业：第3章 常用逻辑用语(选修2-1)章末跟踪测评3

第三章章末跟踪测评
(时间：120分钟满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列说法正确的是()
A．若p是q的充分不必要条件，则p⇒q，但q⇒/p
B．若p是q的必要不充分条件，则p⇒q，但q⇒/p
C．若p的充分不必要条件是q，则p⇒q，但q⇒/p
D．若p的必要不充分条件是q，则q⇒p，但p⇒/q
A解析A项正确；B项中，p，q间的关系应为q⇒p但p⇒/q，故B项错误；C项中，p，q间的关系应为q⇒p但p⇒/q，故C项错误；D项中，p，q间的关系应为p⇒q但q⇒/p，故D项错误．故选A项．
2．已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞2a”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
A解析a＞2⇒a2＞2a，反之不成立，如a＜0，故“a>2”是“a2>2a”的充分不必要条件．3．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关，黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．即不充分也不必要条件
B解析因为“返回家乡”的前提条件是“攻破楼兰”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件．
4．全称命题“∀x∈R，x2＋5x＝4”的否定是()
A．∃x0∈R，x20＋5x0＝4 B．∀x∈R，x2＋5x≠4
C．∃x0∈R，x20＋5x0≠4 D．以上都不正确
C解析全称命题的否定既要改变量词，又要否定结论，故C项正确．
5．设a＞0且a≠1，则“函数f(x)＝a x在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R 上是增函数”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
A解析由函数f(x)＝a x在R上是减函数可得0＜a＜1；由函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数可得a＜2.因为0＜a＜1⇒a＜2，a＜2⇒/0＜a＜1，所以题干中前者为后者的充
分不必要条件．故选A项．
6．下列说法错误的是()
A．若p是q的充要条件，则p⇔q
B．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件
C．有些角的正弦值大于1
D．对于命题p：∃x0∈R，x20＋x0＋1＜0，则命题p的否定¬p：∀x∈R，x2＋x＋1≥0 C解析C项中，三角函数的正弦值的取值范围为[－1，1]，故C项错误．
7．已知p：x≥k，q：3
x＋1
＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是()
A．[1，＋∞) B．(2，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1)
B解析
3
x＋1
＜1⇔x＜－1或x＞2，又p是q的充分不必要条件，则k＞2.故选B项．
8．命题“∀n∈N，f(n)∉N且f(n)≤n”的否定是()
A．∀n∈N，f(n)∈N且f(n)>n
B．∃n0∈N，f(n0)∈N且f(n0)>n0
C．∀n∈N，f(n)∈N或f(n)>n
D．∃n0∈N，f(n0)∈N或f(n0)>n0
D解析由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题“∀n∈N，f(n)∉N且f(n)≤n”的否定是“∃n0∈N，f(n0)∈N或f(n0)>n0”．故选D项．
9．设a，b∈R，则“(a－b)a2＜0”是“a＜b”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
A解析因为(a－b)a2＜0⇒a＜b，而当a＝0时，a＜b⇒/(a－b)a2＜0，所以“(a －b)a2＜0”是“a＜b”的充分不必要条件．故选A项．
10．以下说法正确的是()
A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题
B．命题“∀x∈N，x3＞x2”的否定是“∃x0∈N，x30＞x20”
C．“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的必要不充分条件
D．“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件
D解析“负数的平方是正数”即为“∀x＜0，x2＞0”，是全称命题，所以A项不正确；因为全称命题“∀x∈N，x3＞x2”的否定为“∃x0∈N，x30≤x20”，所以B项不正确；
因为f(x)＝cos2ax－sin2ax＝cos 2ax，当其最小正周期为π时，有2π
|2a|＝π，则|a|＝1⇒a＝±1.
故“a ＝1”是“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的充分不必要条件，所以C 项不正确．故选D 项．
11．若∀x ∈R ，kx 2－kx －1＜0是真命题，则k 的取值范围是( )
A ．[－4，0]
B ．[－4，0)
C ．(－4，0]
D ．(－4，0)
C 解析 依题意，有k ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧
k ＜0，k 2＋4k ＜0，解得－4＜k ≤0. 12．“a ＝18”是“对任意的正数x ，2x ＋a x
≥1”的( ) A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 A 解析 a ＝18⇒2x ＋a x ＝2x ＋18x ≥22x ·18x ＝1.另一方面，对任意正数x ，2x ＋a x
≥1⇒2x 2＋a ≥x ⇒2x 2－x ＋a ≥0恒成立⇒2⎝⎛⎭⎫x －142≥18－a 恒成立⇒18－a ≤0，即a ≥18
.故选A 项． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．命题“存在x ∈R ，使得2x ＋2x ＋1<0”的否定是________________________________________________________________________
________________________________________________________________________. 解析 特称命题的否定既要改变量词，又要否定结论，所以其否定为“对于任意的x ∈R ，都有2x ＋2x ＋1≥0”．
答案 对于任意的x ∈R ，都有2x ＋2x ＋1≥0
14．已知p ：－4＜x －a ＜4，q ：(x －2)(3－x )＞0，若q 是p 的充分条件，则实数a 的取值范围是____.
解析 p ：a －4＜x ＜a ＋4，q ：2＜x ＜3.由q 是p 的充分条件得q ⇒p ，所以⎩⎪⎨⎪⎧
a －4≤2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6.
答案 [－1，6]
15．若命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围是____. 解析 由题意得“∀x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1≥0”是真命题，所以Δ＝(a －1)2－4≤0，解得－1≤a ≤3.
答案 [－1，3]
16．若y ＝f (x )为定义在R 上的函数，则“任意x ∈R ，使得[f (－x )]2≠[f (x )]2”是“函数y ＝f (x )为非奇非偶函数”的__________条件．
解析 当x ∈R 时，若[f (－x )]2≠[f (x )]2，则f (－x )≠f (x )且f (－x )≠－f (x )，所以函数y ＝f (x )
为非奇非偶函数；若函数y ＝f (x )为非奇非偶函数，但当x ＝0时，有f (－x )＝f (x )，即[f (－x )]2＝[f (x )]2.
答案 充分不必要
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)在下列各题中，哪些p 是q 的充要条件？
(1)p ：a ＞b ，q ：a 2＞b 2；
(2)p ：两直线平行，q ：内错角相等；
(3)p ：直线l 与平面α所成角的大小为90°，q ：l ⊥α；
(4)函数f (x )＝log a x (a ＞1)，p ：f (x 1)＞f (x 2)，q ：x 1＞x 2＞0.
解析 在(1)中，p ⇒/ q ，q ⇒/ p ，所以(1)中的p 不是q 的充要条件．在(2)(3)(4)中，p ⇔q ，所以(2)(3)(4)中的p 是q 的充要条件．
18．(12分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．
(1)对数函数都是单调函数；
(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；
(3)∀x ∈{x |x ＞0}，x ＋1x
≥2； (4)∃x 0∈Z ，log 2x 0＞2.
解析 (1)本题隐含了全称量词“所有的”，可表述为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．
(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题．
(3)命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，真命题．
(4)命题中含有存在量词“∃”，是特称命题，真命题．
19．(12分)求证：ax 2＋bx ＋c ＝0有一根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.
证明 必要性：由ax 2＋bx ＋c ＝0有一根为1，把它代入方程，即得a ＋b ＋c ＝0.
充分性：由a ＋b ＋c ＝0得a ＝－b －c ，代入ax 2＋bx ＋c ＝0，得(－b －c )x 2＋bx ＋c ＝0，即－bx 2－cx 2＋bx ＋c ＝0，
所以bx (1－x )＋c (1－x 2)＝0，
即(1－x )[bx ＋c (1＋x )]＝0，
则x ＝1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根．
所以ax 2＋bx ＋c ＝0有一根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.
20．(12分)已知p ：实数x 满足x －a <0的集合为A ，q ：实数x 满足x 2－4x ＋3≤0的集合为B ．若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
解析 由x －a <0得x <a ，所以A ＝{x |x <a }，由x 2－4x ＋3≤0得1≤x ≤3，所以B ＝{x |1≤x ≤3}．又p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，所以a >3，所以实数a 的取值范围
为(3，＋∞)．
21．(12分)已知命题p ：存在a >0，使函数f (x )＝ax 2－4x 在(－∞，2]上单调递减；命题q ：存在a ∈R ，使∀x ∈R ，16x 2－16(a －1)x ＋1≠0.若命题p ，q 都是真命题，求实数a 的取值范围．
解析 若p 为真命题，则f (x )的对称轴x ＝－－42a ＝2a 在区间(－∞，2]的右侧，即2a
≥2，所以0<a ≤1；若q 为真命题，则方程16x 2－16(a －1)x ＋1＝0无实数根，所以Δ＝[16(a －1)]2
－4×16<0，所以12<a <32.所以⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a ≤1，12<a <32，所以12
<a ≤1.故实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤12，1. 22．(12分)已知命题“∀x ∈{x |－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m ＜0成立”是真命题．
(1)求实数m 的取值集合B ；
(2)设不等式(x －3a )(x －a －2)＜0的解集为A ，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
解析 (1)因为命题“∀x ∈{x |－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m ＜0成立”是真命题，所以x 2－x －m ＜0在－1≤x ≤1时恒成立，所以m ＞(x 2－x )max ，得m ＞2，即B ＝{m |m ＞2}．
(2)不等式(x －3a )(x －a －2)＜0.
①当3a ＞2＋a ，即a ＞1时，解集A ＝{x |2＋a ＜x ＜3a }，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A B ，所以2＋a ≥2，此时a ∈(1，＋∞)．
②当3a ＝2＋a ，即a ＝1时，解集A ＝∅，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A B 成立．
③当3a ＜2＋a ，即a ＜1时，解集A ＝{x |3a ＜x ＜2＋a }，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要
条件，则A B 成立，所以3a ≥2，此时a ∈⎣⎡⎭⎫23，1.
综上，实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫23，＋∞.
由Ruize收集整理。

感谢您的支持！。