黑龙江省绥化市望奎县第五中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试卷(含答案)

2024-2025学年度第一学期第四次月考考试
初四数学试题
考生注意：1．考试时间90分钟
2．全卷共四道大题，总分120分
一、选择题（每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。

）
1．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．2．抛物线的对称轴是（ ）
A ．直线
B ．直线
C ．直线
D ．直线3．下列事件中是必然事件的是（ ）
A ．实心铁球投入水中会沉入水底
B ．抛出一枚硬币，落地后正面向上
C ．明天太阳从西边升起
D ．NBA 篮球队员在罚球线投篮2次，至少投中一次
4．如图，是的圆周角，，则的度数为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．5．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．6．如图，的半径为5，为弦，，垂足为
E ，如果，那么的长是（ ）
A ．4
B ．8
C ．6
D ．107．通过改进工艺降低了某种产品的成本，两个月内从每件产品250元降低到每件160元，则平均每月降低的百分率为（
）2(1)3y x =-+1x =3x =1x =-3
x =-A ∠O 50A ∠=︒BOC ∠40︒50︒
90︒100︒22y x =222y x =+222y x =-22(2)y x =+2
2(2)y x =-O AB OC AB ⊥2CE =AB
A ．10％
B ．5％
C ．15％
D ．20％
8．一个圆锥形的纸帽，其底面直径为6，母线长为5，围成这样的纸帽所需纸片的面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．9．若关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．且
D ．且10．如图，在中，，D 、
E 是斜边上两点，且，将绕点A 顺时针旋转后，得到，连接，下列结论：①；②；③的面积等于四边形的面积；④；⑤．其中正确的是（ ）
A ．①②④
B ．③④⑤
C ．①③⑤
D ．①③④
二、填空（每题3分，共33分）
11．抛物线的顶点坐标为________．
12．若关于x 的一元二次方程无解，则a 的取值范围是________．
13．在一个不透明的布袋中装有2个白球和n 个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出
一个球，摸到黄球的概率是
，则________．14．如图，已知点A ，B ，C 在上，，，则________．15．设a ，b 是方程的两个不相等的实数根，则的值为________．
16．把二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为________．
17．方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为________．
18．如图，是由绕点E 顺时针旋转后得到的图形，则的度数是________．cm cm 215 cm π2
30 cm π218 cm π212 cm π22(1)20k x x -+-=12
k >12k ≥12k >1k ≠12
k ≥1k ≠Rt ABC △AB AC =BC 45DAE ∠=︒ADC △90︒AFB △EF AED AEF △△≌::AE BE AD CD =ABC △AFBD 222BE DC DE +=BE DC DE +=2
3(1)5y x =--+2210ax x +-=45
n =O AC OB ∥40BOC ∠=︒ABO ∠=220170x x +-=22a a b ++2
23y x x =-+27120x x -+=ECD △EAB △40︒BFD ∠
19．若扇形的半径为6，圆心角为，则此扇形的弧长为________．
20．如图，放置在直线L 上的扇形，由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动（无滑动）到图③．若半径，．点O 所经过的最短路径的长________．
21．一段抛物线：，记为，它与x 轴交于点O ，；将绕点旋转得，交x 轴于点；将绕点旋转得，交x 轴于点；……如此进行下去，则段对应的函数解析式________．
三、解方程（6分）
22．（1）（配方法）
（2）（因式分解法）23．（本小题8分）
关于x 的一元二次方程的两个实数根分别为，．
（1）求m 的取值范围；
（2）若，求m 的值．
24．（本小题7分）
如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，请按要求完成下列步骤：
（1）画出将向右平移3个单位后得到的，再画出将绕点按逆时针方向旋转
后所得到的；
（2）求线段旋转到的过程中，点所经过的路径长．
cm 120︒AOB 2OA =45AOB ∠=︒(3)(03)y x x x =--≤≤1C 1A 1C 1A 180︒2C 2A 2C 2A 180︒3C 3A 6C 2410x x -+=21)2(1)0(y y y -+-=2310x x m ++-=1x 2x 12122()100x x x x +++=ABC △ABC △111A B C △111A B C △1B 90︒212A B C △11B C 12B C 1C
25．（本小题8分）
如图，在中，，是的平分线，O 是上一点，以为半径的经过点D ．
（1）求证：是切线；
（2）若，，求的长．
26．（本小题8分）
如图，直线与双曲线（为常数，）相交于A 和，．
（1）求直线和双曲线所对应的函数解析式；
（2）若，，为双曲线上的三点，且，请写出，，及0的大小关系．
（3）观察图象，请直接写出不等式
的解集．27．（本小题10分）
如图，四边形是边长为2，一个锐角等于的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D 重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交、（或它们的延长线）于点E 、F ，，当时，如图1小芳同学得出的结论是．
ABC △90C ∠=︒AD BAC ∠AB OA O BC O 5BD =3DC =AC 11(0)y k x b k =+≠2k y x
=2k 20k ≠(,1)B m -1AOC S =△111(,)A x y 222(,)A x y 333(,)A x y 1230x x x <<<1y 2y 3y 21k k x b x
+>ABCD 60︒CB BA 60EDF ∠=︒CE AF =DE DF =
（1）继续旋转三角形纸片，当时，如图2小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；
（2）再次旋转三角形纸片，当点E ，F 分别在，的延长线上时，如图3连，若
，求的面积．
28．（本小题10分）
如图，已知抛物线经过点，，三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M 是线段上的点（不与B ，C 重合），过M 作轴交抛物线于N ，若点M 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示的长；
（3）在（2）的条件下，连接，，是否存在点m ，使的面积最大？若存在，求出最大值及点M 的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
一、选择题
1．C 2．A 3．
A 4．D 5．A 6．
B 7．D 8．A 9．
C 10．D
二、填空题
11．
12． 13．8 14． 15．2016 16． 17．10或11 18． 19． 20． 21．三、解方程
22．（1）解：CE AF ≠CB BA EF 12BE =DBF △(1,0)A -(3,0)B (0,3)C BC NM y ∥MN NB NC BNC △()1,51a <-20︒2y x =40︒4cm π52
π233270y x x =-+x =
，（2）解：或，．
23．（1）解：方程有两个实数根解得：（2）由已知得：，．解得：．
24．（1）
（2）25．（1）证明：连接（半径）
平分
=12x =
+22x =(1)(12)0
y y y ---=(1)(1)0
y y ---=10y ∴-=10
y --=11y ∴=21y =- 0
∴∆≥234(1)0
m ∴--≥13
4
m ≤123x x +=-121x x m ⋅=-()12122100
x x x x ++⋅+=()()231100
m ∴⨯-+-+=3m =-90242360l ππ︒⨯⨯=
=︒
OD OA OD = O ODA OAD
∴∠=∠AD BAC ∠CAD OAD ∴∠=∠ODA CAD
∴∠=∠OD AC
∴∥90C ∠=︒
AC BC
∴⊥
是切线．
（2）解：过D 作于点E 是的平分线
，，．
在中，，在中，解得：26．解：（1）双曲线位于第一、第三象限
在图象上轴，设直线解析式：，将，代入得解得：，直线解析式：．
综上所述，直线解析式OD BC
∴⊥BC ∴O DE AB ⊥AD BAC ∠DC AC ⊥DE AB
⊥3DE DC ∴==AE AC =Rt BDE △90BED ∠=︒5BD
=BE ∴=
=4
=Rt ACB △90C ∠=︒
()2
22
AC AE BE BC =+-()222
48AC AC =+-6
AC =1AOC S = △22
k ∴= 2y x
∴=(),1B m - 2y x
=2
m ∴=-()
2,1B ∴--AC x ⊥ ()
1,0C ()
1,2A ∴AB y kx b =+()1,2A ()2,1B --221
k b k b +=-+=-⎧⎨
⎩1k =1b =∴1y x =+∴1
y x =+
双曲线解析式：（2）（3）或27．解：（1）小芳结论成立：．理由如下：连接，
四边形是菱形
是等边三角形
（2）连接，作于点M ．四边形是菱形
是等边三角形
， 在等边中，2
y x
=312
0y y y >>>20x -<<1
x >DE DF =BD ABCD 60A ∠=︒
ABD ∴△AD AB BD
∴==60A ADB ABD ∠=∠=∠=︒
60DBE A ∴∠=∠=︒
60EDF ∠=︒
60EDB BDF ∴∠+∠=︒
60ADF BDF ∠+∠=︒
ADF BDE
∴∠=∠DAF DBE
∴△△≌DF DE
∴=BD DM FB ⊥ ABCD 60DAB ∠=︒
ABD ∴△AD DB
∴=60A ABD ∠=∠=︒
120ABC ∠=︒60DBC ∠=︒
120DAF ∴∠=︒
180120DBE DBC ∠=︒-∠=︒
DAF DBE
∴∠=∠60EDF ∠=︒
60FAD ADE BDE ADE ∴∠+∠=∠+∠=︒FDA EDB
∴∠=∠DFA DEB
∴△△≌12
FA BE ∴==ABD △2AB AD BD ==
=DM ∴=12
DBF S BF DM ∴=⨯⨯△
28．解：（1）设抛物线解析式：在图象上．
．
将，代入，得，解得：，抛物线解析式：（2）设直线解析式：．将，代入得，直线解析式：．
轴，M 横坐标为m ，
M 在直线上．
N 在抛物线上，线段．
（3）存在
点．
11222⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭
=2(0)
y ax bx c a =++≠(0,3)C 3C ∴=(1,0)A -(3,0)B 90
0333a b a b +=++=-⎧⎨
⎩1a =-2b =∴223
y x x =-++BC (0)y kx b k =+≠(3,0)B (0,3)C 30
3
k b b +==⎧⎨⎩1k ∴=-3
b =BC 3y x =-+MN y ∥:3BC y x =-+2
23y x x =-++(,3)M m m ∴-+2(,23)N m m m -++∴223(3)MN m m m =-++--+23m m
=-+23(03)MN m m m ∴=-+<< (3,0)
B 3OB ∴=
当时，最大，最大值为．在中，
当时，．综上所述，存在点M ，当，最大值为．()2332
m m =
-+()2332m m =--23327228
m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭32m =BNC S △2783y x =-+32x =32
y =33,22M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭
33,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭BNC S △278。