广西柳州高中2019届高三3月模拟数学(文)试卷

2016级高三月考数学（文）试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：（本大题共12小题.每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1.已知复数z 满足(1)i z i +=，则2z =（ ）
A. 2i
B. 2i -
C.
12i D. 12i - 2. 设集合M={}1,1-，N=⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧<21x x ，则下列结论正确的是（ ）
A. M N ⊆
B. N M ⊆
C. ∅=N M .
D. R N M =
3. 2014年5月，国家统计局公布了《2013年农民工监测调查报告》，报告显示：我国农民工收入持续快速增长．某地区农民工人均月收入增长率如图1，并将人均月收入绘制成如图2的不完整的条形统计图．
根据以上统计图来判断以下说法错误的是（ ） A ． 2013年农民工人均月收入的增长率是10%． B ． 2011年农民工人均月收入是2205元．
C ． 小明看了统计图后说：“农民工2012年的人均月收入比2011年的少了”．
D ． 2009年到2013年这五年中2013年农民工人均月收入最高． 4. 已知等比数列{}n a 满足22a =-，且108a =-，则6a =（ ） A. 4 B. 4- C. 4± D. 5
5. 定义在上的函数在
上为减函数，且函数为偶函数，则
A ．
B ．
C ．
D ．
6. 下列说法中，正确的是（ ）
A ．命题“若ax 2<bx 2，则a <b ”的逆命题是真命题
B ．命题“x =y ，则sinx =siny ”的逆否命题为假命题
C ．命题“p 且q ”为假命题，则命题“p ”和命题“q ”均为假命题
D ．命题“0,2≤-∈∃t t R t ”的否定是“0,2>-∈∀t t R t ”.
7. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升.问：米几何？”如图所示的是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的
（单位：升），则输入的值为（ ）
A ． 6
B ． 7
C ． 8
D ． 9
8.
接球的体积为（ ） A ． 4π
B ． 36π
C ． 16π
D ．
323
π
9.已知等差数列{}n a ，{}n b 的前项和分别为
231n n S n T n =+，则99
a b =（ ） A.
3249 B. 3655 C. 1726 D. 9
14
10. 已知函数
．将
的图象向左平移
3
π
个单位长度后所得的函数为偶函数，则关于函数，下列命题正确的是（ ）
A ． 函数在区间上有最小值
B ． 函数
在区间上单调递增
C ． 函数
的一条对称轴为
D ． 函数
的一个对称点为
11.若函数2
()1f x ax bx =+-（0a >）的两个零点分别介于[1,0)-和(0,1]之间，则()f x 在1x =处的切线斜率的最小值为（ ） A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ．4
12. 已知双曲线22
22:1x y M a b
-=的离心率为在其中一条渐近线上任取一点A ，过A 向
另一条渐近线引垂线于B ，AB 交x 轴于C ，则
BC AC
的值为（ ）
A.
12 B. 3
5
C. D. 第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分。

） 13. 已知向量
，且，则__________．
14. 过抛物线2
4y x =的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为
2，则AB 等于 。

15.已知,x y 均为正实数，且1112
2
6
x y +=++，则x y +的最小值为________．
16. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2
710n a n n =-+，对任意的正整数,m n （()m n <，
则n m S S -的最小值为 。

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 在斜ABC ∆中，角,,A B C 所对边,,a b c 成等差数列，且
sin()sin B A C A -+=
， （1） 求cos B 的大小；（2）若D 为AC 边的中点，4b =，求BD 的长。

18. 2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中规定：居民
区的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米．某城市环保部门在2018年1月1日到
（Ⅰ）在这120天中采用分层抽样的方法抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？
（Ⅱ）在（I ）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干天中，随机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概率．
19. 如图，四边形ABCD 为平行四边形，面ABEF ⋂面DCEF EF = （1）求证：//EF CD ；
（2）已知EF ⊥面EAC ，EAC ∆为等腰直角三角形，1==EA EC ，
2=AD AB ，求四棱锥E-ABCD 的体积。

20. 我们把直线2y kx b =+称为直线:l y kx b =+的2倍直线，已知直线l 与椭圆
2
2:14
x c y +=相交于A 、B 两点，
（12b ≤≤时，求实数k 的取值范围；
（2）当椭圆c 上存在着点M 使得132OM OA OB =
+（O 为坐标原点），求证l 的2倍直线总与圆心在O 点的定圆相切，并求出该圆的方程。

21. 设函数1()ln ,(1)a
f x x ax x x
-=-+
≥ （1）当时，求函数f(x)的单调区间。

（2）当()0f x ≤恒成立时，求a 的取值范围。

请考生从第22、23题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。

22. (选修4-4：坐标系与参数方程)
在平面直角坐标系xoy 中，曲线c
的参数方程为11x y θ
θ
⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，在以原点o 为极点，x
正半轴为极轴，单位长度不变的极坐标系中，已知曲线1:l θα=，曲线2:4
l π
θα=+ （其
中α[0,
]4
π
∈）
（1） 求曲线c 的极坐标方程；（2）若1l ，2l 与曲线c 分别交于异于原点o 的A ，B 两点，
求AB 的最大值。

22. (选修4-5：不等式选讲)
设函数()1f x x =-，()2g x x a =+
（1）当1a =时，求不等式()()1f x g x ->的解集；
（2）若关于x 的不等式2
2()()(1)f x g x a +≤+有解，求a 的取值范围．
2016级高三月考数学（文）试题答案
第Ⅰ卷
一、选择题：（本大题共12小题.每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）
1.已知复数z 满足(1)i z i +=，则2
z =（ ）
A. 2i
B. 2i -
C. 12i
D. 12
i - 【答案】C
2. 设集合M={}1,1-，N=⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧<21x x
，则下列结论正确的是（ ） A. M N ⊆ B. N M ⊆ C. ∅=N M . D. R N M = 【答案】B
3. 2014年5月，国家统计局公布了《2013年农民工监测调查报告》，报告显示：我国农民工收入持续快速增长．某地区农民工人均月收入增长率如图1，并将人均月收入绘制成如图2的不完整的条形统计图．
根据以上统计图来判断以下说法错误的是（ ） A ． 2013年农民工人均月收入的增长率是10%． B ． 2011年农民工人均月收入是2205元．
C ． 小明看了统计图后说：“农民工2012年的人均月收入比2011年的少了”．
D ． 2009年到2013年这五年中2013年农民工人均月收入最高． 【答案】C
A.由折现统计图可得出：2013年农民工人均月收入的增长率是： 10%，故正确；
B.由条形统计图可得出：2011年农民工人均月收入是：2205元，故正确；
C.因为2012年农民工人均月收入是： ()2205120%2646⨯+= (元)，大于2205元；所以农民工2012年的人均月收入比2011年的少了，是错误的；
D.由条形统计图可得出，2009年到2013年这五年中2013年农民工人均月收入最高；故选C.
4. 已知等比数列{}n a 满足22a =-，且108a =-，则6a =（ ） A. 4 B. 4- C. 4± D. 5
答案B
5. 定义在上的函数在
上为减函数，且函数为偶函数，则
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 因为函数为偶函数，
所以即
，
因为在
上为减函数， 所以， 所以
6. 下列说法中，正确的是（ ）
A ．命题“若ax 2<bx 2，则a <b ”的逆命题是真命题
B ．命题“x =y ，则sinx =siny ”的逆否命题为假命题
C ．命题“p 且q ”为假命题，则命题“p ”和命题“q ”均为假命题
D ．命题“0,2≤-∈∃t t R t ”的否定是“0,2>-∈∀t t R t ” 答案.
7. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升.问：米几何？”如图所示的是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的
（单位：升），则输入的值为（ ）
A ． 6
B ． 7
C ． 8
D ． 9 【答案】C 模拟程序的运行，可得n=1，S=k 满足条件n ＜4，执行循环体，n=2，S=，
满足条件n ＜4，执行循环体，n=3，S=，满足条件n ＜4，执行循环体，n=4，S=，此时，不满足条件n ＜4，退出循环，输出S 的值为，由题意可得：=2，解得：k=8．答案为：C 8.
） A ． 4π B ． 36π
C ． 16π
D ．
323
π
答案D
圆锥的底面半径
为
，圆锥的母线长
为，则高为3，设球的半径为R ，
则
2
()32R =⨯，2R =，323
V π
=
9.已知等差数列{}n a ，{}n b 的前项和分别为
231n n S n T n =+，则99
a b =（ ） A.
3249 B. 3655 C. 1726 D. 9
14
答案 10. 已知函数．将
的图象向左平移
3
π
个单位长度后所得的函数为偶函数，则关于函数，下列命题正确的是（ ）
A ． 函数
在区间
上有最小值 B ． 函数
在区间
上单调递增
C ． 函数的一条对称轴为
D ． 函数的一个对称点为
【答案】B
由题意知平移后的解析式为：，因为此函数为偶函数，
所以轴为其对称轴之一，所以将代入可得
，
解得：，由的取值范围可得
，
所以原解析式为
，
选项，将区间代入函数，可得，根据图像可知无最值，故错误；
选项，将区间代入函数，可得，根据
图像知函数单调递增，故正确；
选项，将代入函数，可得，所以应为对称中心的横坐标，故错误；
选项，将
代入函数，可得
，所以应为对称轴与轴的交点，故错误，综上故选.
11.若函数2
()1f x ax bx =+-（0a >）的两个零点分别介于[1,0)-和(0,1]之间，则()f x 在1x =处的切线斜率的最小值为（ ） A ． 1 B ． 2
C ． 3
D ．4
答案B
由已知(1)10(1)100f a b f a b a -=--≥⎧⎪=+-≥⎨⎪>⎩
，'(1)2f a b =+，当1,0a b ==时，'
min (1)2f =
12. 已知双曲线22
22:1x y M a b
-=
的离心率为在其中一条渐近线上任取一点A ，过A 向
另一条渐近线引垂线于B ，AB 交x 轴于C ，则
BC AC
的值为（ ）
A.
12 B. 3
5
C.
D. 解：设渐近线的倾角为θ (0)>，则251tan 4θ+=
，1
tan 2
θ=，由角平分线定理得： 22
1tan 3
cos 21tan 5
BC OB AC OA θθθ-====+
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须
做答。

第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分。

） 13. 已知向量，且，则__________．
【答案】
，，
，
14. 过抛物线2
4y x =的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为
2，则AB 等于 。

【答案】设1122(,),(,)A x y B x y ，则124x x +=，1226AB x x =++=
15.已知,x y 均为正实数，且
111
226
x y +=++，则x y +的最小值为________． 答案
16. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2
710n a n n =-+，对任意的正整数,m n （()m n <，
则n m S S -的最小值为 。

因为(2)(5)n a n n =--，所以34,0a a <，其它项全为正，所以n m S S -的最小值 为344a a +=-
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 在斜ABC ∆中，角,,A B C 所对边,,a b c 成等差数列，
且 sin()sin 3
B A
C A -+=
， （1） 求cos B 的大小；（2）若D 为AC 边的中点，4b =，求BD 的长。

解：由sin()sin B A C A -+=
得sin cos sin cos sin cos sin cos B A A B B A A B -++
2sin cos B A =cos 3A =
，所以sin 3
B =或cos 0A =（舍），因为2b a c =+，所
以b a <或b c <，故B ∠是锐角，1
cos 3
B ==
（2） ,,a b c 成等差数列，且4b =，所以8a c +=
在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，所以2
2
()2(1cos )b a c ac B =+-+
18ac =，
由1()2BD BA BC =
+，所以221()4BD BA BC =+221
(2cos )4c a ac B =++
214
[()]43
a c ac =+-=10，故BD = 18. 2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中规定：居民区的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米．某城市环保部门在2018年1月1日到 2018年4
（Ⅰ）在这120天中采用分层抽样的方法抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？
（Ⅱ）在（I ）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干天中，随机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概率． 答案
19. 如图，四边形ABCD 为平行四边形，面ABEF ⋂面DCEF EF =，（1）求证：
//EF CD ；
（2）已知EF ⊥面EAC ，EAC ∆为等腰直角三角形，EA EC =，2AB AD =，求四棱锥E-ABCD 的体积。

（1） 证： //AB CD ， ∴ //CD 面EAB ， 又面ABEF ⋂面DCEF EF =， CD ⊂面DCEF ∴//EF CD
20. 我们把直线2y kx b =+称为直线:l y kx b =+的2倍直线，已知直线l 与椭
圆2
2:14
x c y +=相交于A 、B 两点， （1
2b ≤≤时，求实数k 的取值范围；
（2）当椭圆c 上存在着点M 使得132OM OA OB =
+（O 为坐标原点），求证l 的2倍直线总与圆心在O 点的定圆相切，并求出该圆的方程。

解：联立直线l 与圆c 的方程2
214x y y kx b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
消掉y 得：222
(41)84(1)0k x bkx b +++-=
（1）因为直线l 与圆c 相交于不同的两点，所以2
2
2
2
6416(41)(1)0b k k b ∆=-+->，
即2241k
b +>，2b ≤≤时，2413k +
>，解得
k >
k <，所以实数
k 的
取值范围是(,)-∞⋃+∞ （2）设00(,)M x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由132OM OA OB =
+
得0
120121
212
x x x y y y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+
⎪⎩ 因为M 在椭圆上，将00(,)
M x y
代入椭圆方程得22121211()4()42222
x x y y +
+
+= 2222
1122121213(4)(4)(4)4442
x y x y x x y y +++++=， 所以121240x x y y +=，22
1212(41)4()40k x x bk x x b ++++=，
由韦达定理得22
222
4(1)8(41)4404141
b bk
k bk b k k --+++=++，即 22412k b += 因为圆心O 到直线l 的2
倍直线的距离2
r =
=
为定值，所以直线2
l 总与圆心在O 的圆相切，圆方程为2212
x y +=
21. 设函数1()ln ,(1)a
f x x ax x x
-=-+
≥ （1）当时，求函数f(x)的单调区间。

（2）当()0f x ≤恒成立时，求a 的取值范围。

解：
请考生从第22、23题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。

22. (选修4-4：坐标系与参数方程)
在平面直角坐标系xoy 中，曲线c
的参数方程为11x y θ
θ
⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，在以原点o 为极点，x
正半轴为极轴，单位长度不变的极坐标系中，已知曲线1:l θα=，曲线2:4
l π
θα=+ （其
中α[0,
]4
π
∈）
（2） 求曲线c 的极坐标方程；（2）若1l ，2l 与曲线c 分别交于异于原点o 的A ，B 两点，
求AB 的最大值。

解：曲线c 的直角坐标方程为2
2
(1)(1)2x y -+-=，即2
2
220x y x y +--=，()* 令cos sin x y ρθ
ρθ
=⎧⎨
=⎩代入()*得：2(sin cos )ρθθ=+
（2）联立2(sin cos )
ρθθθα=+⎧⎨=⎩
得2(sin cos )ραα=+，即2(sin cos )OA αα=+，
同理cos )OB αα=+
在OAB ∆中，由余弦定理得：2222cos
4
AB OA OB OA OB π
=+-∙24(sin cos )αα=+
28sin ()4πα=+8≤，当且仅当4
π
α=时，AB
的最大值为
22. (选修4-5：不等式选讲)
设函数()1f x x =-，()2g x x a =+
（1）当1a =时，求不等式()()1f x g x ->的解集；
（2）若关于x 的不等式2
2()()(1)f x g x a +≤+有解，求a 的取值范围． 解：（1）当
时，
，即
，
即或或，所以或，
所以原不等式的解集为；
（2）
，
因为不等式有解，
所以，即，
所以的取值范围是．。