2019世纪金榜理科数学2.11

3.求函数f(x)在[a,b]上最值的步骤 (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的_极__值__. (2)将函数y=f(x)的各_极__值__与端点处的_函__数__值__f_(_a_)_,_f_(_b_)_比较, 其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值,得出函数f(x) 在[a,b]上的最值.
【解题视点】(1)根据已知条件构造函数y=xf(x),并用导数确 定其单调性,利用单调性比较a,b,c大小. (2)①根据f(0)=f′(0)=4构建关于a,b的方程求解. ②根据①确定f(x)的解析式,利用导数确定f(x)的单调性.
【规范解答】(1)选A.因为函数y=f(x)关于y轴对称, 所以函数y=xf(x)为奇函数. 因为[xf(x)]′=f(x)+xf′(x), 所以当x∈(-∞,0)时,[xf(x)]′=f(x)+xf′(x)<0, 函数y=xf(x)单调递减, 当x∈(0,+∞)时,函数y=xf(x)单调递减. 因为1<20.2<2,0<logπ3<1,log39=2, 所以0<logπ3<20.2<log39,所以b>a>c,选A.
五年 考题
2019 T21 2019 T12
2019 T21 2009 T20
1.利用导数求函数的单调区间及极值(最值)、结合单
调性与不等式的成立情况求参数范围、证明不等式等
考情 播报
问题是高考命题的热点 2.常与基本初等函数的图象与性质、解析几何、不等 式、方程等交汇命题,主要考查转化与化归思想、分类
【考点自测】 1.(思考)给出下列命题: ①f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件; ②函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的; ③函数的极大值不一定比极小值大; ④对可导函数f(x),f′(x0)=0是x0点为极值点的充要条件; ⑤函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极 小值. 其中正确的是 ( )
第十一节 导数在研究函数中的应用
广东五年4考 高考指数:★★★★☆
1.了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函 数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数不超 考纲 过三次) 考情 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会 用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超 过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多 项式函数不超过三次)
A.①③ B.②④ C.③⑤ D.④⑤ 【解析】选C.①错误.f′(x)>0能推出f(x)为增函数,反之不一定. 如函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上单调递增,但f′(x)≥0.所以f′(x)>0 是f(x)为增函数的充分条件,但不是必要条件. ②错误.一个函数在某区间上或定义域内的极大值可以不止一个. ③正确.一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系,极大 值可能比极小值大,也可能比极小值小.
【变式训练】(2019·武汉模拟)已知函数f(x)= ln x k (k为常
ex
数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))
处的切线与x轴平行.
(1)求k的值.
(2)求f(x)的单调区间.
【解析】(1)由f(x)= ln x 得 kx∈(0,+∞),
f′(x)=
④错误.对可导函数f(x),f′(x0)=0只是x0点为极值点的必要条件, 如y=x3在x=0时f′(0)=0,而函数在R上为增函数,所以0不是极 值点. ⑤正确.当函数在区间端点处取得最值时,这时的最值不是极值.
2.函数y= 1 x2-lnx的单调递减区间为( )
2
A.(-1,1] B.(0,1]
【易错警示】求单调区间时要先关注函数的定义域 利用导数确定函数的单调性(区间),切记应先求定义域,再考
虑导数的符号,特别在确定含参数函数的单调性时,要注意分类 讨论.如本题中函数的定义域为(0,+∞),若解题时未求出此定义 域,则会导致错误.
【规律方法】用导数求函数的单调区间的“三个方法” (1)方法一:当不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)可解时, ①确定函数y=f(x)的定义域; ②求导数y′=f′(x); ③解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间; ④解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.
①当a>0时，
由f′(x)>0,及x>0得x>2a;
由f′(x)<0,及x>0得0<x<2a.
所以当a>0时，函数f(x)在(2a,+∞)上单调递增，在(0,2a)上
单调递减.
②当a<0时，由f′(x)>0及x>0得x>-a; 由f′(x)<0及x>0得0<x<-a. 所以当a<0时，函数f(x)在(0,-a)上单调递减，在(-a,+∞)上单 调递增. 综上所述，当a<0时，函数f(x)在(0,-a)上单调递减，在 (-a,+∞)上单调递增. 当a>0时，函数f(x)在(2a,+∞)上单调递增，在(0,2a)上单调 递减.
x
所以-ln x>0,所以 1 -1-ln x＞0,
x
所以f′(x)>0;
当x>1时，0<1 <1,ln x>0,
x
所以 1 -1<0,-ln x<0,所以 -1 1-ln x＜0，
x
x
所以f′(x)<0,
于是f(x)在区间(0,1)内为增函数，在(1,+∞)内为减函数.
【加固训练】
1.(2019·杭州模拟)定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x),
(3)方法三:当不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)及方程f′(x)=0均不可 解时, ①确定函数y=f(x)的定义域; ②求导数并化简,根据f′(x)的结构特征,选择相应基本初等函数, 利用其图象与性质确定f′(x)的符号. ③得单调区间. 提醒:利用导数确定单调性时要把导数的符号与函数单调性的关 系记准.
【互动探究】若本例题(2)中所有条件变为“已知函数f(x)= -alnx+ 2 a 2 +x(a≠0)”讨论f(x)的单调性.
x
【解析】依题意得函数的定义域为(0,+∞),
因为 f x x a 2 x a 2 2 1 x 2 a x x 2 2 a 2 x a x 2 x 2 a x 0 .
2
6
则x∈[ 0 , 时) ，y′>0;x∈ （ 时 , ， ] y′<0,
6
62
故函数在[ 0 , 上) 递增，在 （ 上, 递] 减，
6
62
所以当x= 时，函数取最大值，为 . 3

6
答案： 3
6
6.(2019·济南模拟)已知函数f(x)的定义域为[-1,5],部分对 应值如下表:
x
-1
0
2
4
5
y
1
2
0
2
1
f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示.
(1)f(x)的极小值为
.
(2)若函数y=f(x)-a有4个零点,则实数a的取值范围为
.
【解析】(1)由y=f′(x)的图象可知,
x (-1,0) 0 (0,2) 2 (2,4) 4 (4,5)
f′(x) +
0
-
0
+
0
-
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
C.[1,+∞) D.(0,+∞)
【解析】选B.由题意知函数的定义域为(0,+∞),
又由y′=x- ≤1 0,解得0<x≤1,
x
所以函数的单调递减区间为(0,1].
3.已知f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是增函数,则a的最大值是
()
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选D. f′(x)=3x2-a≥0在[1,+∞)上恒成立,即a≤3x2在
x
x，22 令 1x
f′(x)=0，即 x22 x1，xx解22得x0=2.当0<x<2时，
f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0，所以x=2为f(x)的极小值点.
5.(2019·杭州模拟)函数y=x+2cos x在区间 [ 0 ， ] 上的最大值
2
是
.
【解析】y′=1-2sin x,令y′=0,且x∈ [，0 ， 得 ] x= ,
a=(20.2)·f(20.2),b=(logπ3)·f(logπ3),
c=(log39)·f(log39),则a,b,c的大小关系是 ( )
A.b>a>c
B.c>a>b
C.c>b>a
D.a>c>b
(2)(2019·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x, 曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4. ①求a,b的值. ②讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.
所以f(2)为f(x)的极小值,f(2)=0.
(2)y=f(x)的大致图象如图所示:
若函数y=f(x)-a有4个零点,则a的取值范围为1≤a<2. 答案:(1)0 (2)[1,2)
考点1 利用导数确定函数的单调性
【典例1】(1)(2019·武汉模拟)已知函数y=f(x)的图象关于y
轴对称,且当x∈(-∞,0)时,f(x)+xf′(x)<0成立.
(2)①由已知得函数的定义域为R, f′(x)=ex(ax+a+b)-2x-4. 由已知得f(0)=4,f′(0)=4. 故b=4,a+b=8,从而a=4,b=4.
②由①知,f(x)=4ex(x+1)-x2-4x, f′(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+（2)e x 1.）
2
令f′(x)=0,得x=-ln2或x=-2. 从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln2,+∞)时,f′(x)>0; 当x∈(-2,-ln2)时,f′(x)<0; 故f(x)在(-∞,-2),(-ln2,+∞)上单调递增, 在(-2,-ln2)上单调递减. 当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2).
已知f(x+1)是偶函数，(x-1)f′(x)<0.若x1<x2,且x1+x2>2,则
f(x1)与f(x2)的大小关系是( )
A.f(x1)<f(x2)
B.f(x1)=f(x2)
C.f(x1)>f(x2)
D.不确定
【解析】选C.由(x-1)f′(x)<0可知, 当x>1时,f′(x)<0,函数递减. 当x<1时,f′(x)>0,函数递增. 因为函数f(x+1)是偶函数, 所以f(x+1)=f(1-x),f(x)=f(2-x), 即函数的对称轴为x=1, 所以若1<x1<x2,则f(x1)>f(x2). 若x1<1,则x2>2-x1>1,
(2)方法二:当方程f′(x)=0可解时, ①确定函数y=f(x)的定义域; ②求导数y′=f′(x),令f′(x)=0,解此方程,求出在定义区间内的一 切实根; ③把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各 实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的 定义区间分成若干个小区间; ④确定f′(x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相 应区间内的单调性.
[1,+∞)上恒成立,而(3x2)min=3×12=3. 所以a≤3,故amax=3.
4.设函数f(x)= 2 +lnx,则
x
A.x= 1 为f(x)的极大值点
2
C.x=2为f(x)的极大值点
()
B.x= 1 为f(x)的极小值点
2
D.x=2为f(x)的极小值点
【解析】选D. 因为f(x)= 2+ln x，所以f′(x)=-
讨论思想的应用
3.题型主要以解答题为主,属中高档题
【知识梳理】 1.函数的单调性与导数的关系
增函数 常量函数
减函数
2.函数的极值与导数 (1)极值的概念
极大值点
f(x)＜f(x0)
小值点
f(x)＞f(x0) 极
(2)利用导数求极值的步骤 ①求导数f′(x); ②求方程f′(x)=0的根; ③列表,检验f′(x)在方程f′(x)=0的根左右两侧的符号(判断 y=f(x)在根左右两侧的单调性),如果_左__正__右__负__(左增右减),那 么f(x)在这个根处取得_极__大__值__,如果_左__负__右__正__(左减右增),那 么f(x)在这个根处取得_极__小__值__.如果左右两侧符号一样,那么 这个根不是极值点. ④得极值,由表得极大值与极小值.
ex
lnxkexlnxkex
1 xlnxk，
e2x
ex
由曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行可知
1 ln 1 k
f′(1)= 1
e1
0,
解得k=1.
1 1 ln x
(2)f′(x)= x ,x∈(0,+∞).
ex
当0<x<1时，1 >1,
x
所以 1 -1>0,又ln x<0,