数学建模_矩阵简介

5.
a12 a22
a1n a2n
0
ann
a 11
0
a21
a 22
an1
a n2
a nn
上三角阵 下三角阵
6. 梯形阵
设 A = (aij)mn，若当 i > j(或 i < j)时 aij = 0， 且各行中第一个(最后一个)非零元素前(后)面 零元素的个数随行数增大而增多(减少)，则称 为上(下)梯形矩阵。简称为上(下)梯形阵。
与矩阵乘法有关的性质
• (AB)C = A(BC) • A(B + C) = AB + AC
(B + C)A = BA + CA • k(AB) = (kA)B = A(kB) • EmAmn = A = AmnEn
6. 矩阵的转置
设矩阵 A = (aij)mn，定义 A 的转置为 AT = (aji)nm
矩阵简介
• 矩阵是《线性代数》中的重要部分。
• 线性代数包括如下内容
行列式、矩阵、n 维向量、线性方程组、标 准形与二次型，其中行列式与矩阵是其基本理 论基础。
Cayley被公 认为矩阵论 的创立者。
Leibniz在十七世纪就有了行列式的概念。 Vandermonde是第一个对行列式理论做 出连贯的逻辑阐述的人。
矩阵论在二十世纪得到飞速发展，成为在 物理学、生物学、经济学中有大量应用的数学 分支。
矩阵比行列式在数学中占有更重要的位置。
一、矩阵的定义
方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a21x1 a22x2 a2n xn b2 am1x1 am2 x2 amnxn bm
2 0
3 0
4 0
0 0
0 0
它们是梯形阵吗?
4 4 3 2 1 1 2 3 0 0 1 0 0 0 0
不是!
梯形阵是最常用的矩阵!
三、矩阵的运算
1. 相等 两个矩阵相等是指这两个矩阵有相同的行 数与列数，且对应元素相等。即
A = (aij)mn, B = (bij)mn, 且 aij = bij
它们统称为梯形阵
1 0 0 0 0
9 6 0 0 0
1 5
2 2
3 3
0 3
70
1 2 3 4 5 0 0 7 8 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 0
2
2
0
0
5 7 0 12 3 0 1 2 2 1
0 0
0 0
0 0
8 0
9 1
1 0 0 0 0
5 0 6 0 0
k a12
k a22
ka1n ka2n
kam1 kam2 kamn
1 A A, (1) A A, 0 A O k(lA) (kl) A, (k l) A kA lA k(A B) kA kB
5. 矩阵的乘法(积)
设矩阵 A = (aij)ms，B = (bij)sn，定义
如果 A = (aij)nn 是一个给定的方阵，则称
a11 a12 a1n
| A|
a21
a22
a2n
an1 an2 ann
是给定方阵 A 的行列式。
五、逆矩阵
对于 n 阶方阵 A，若有 n 阶矩阵 B，使 AB = BA = E
则称 A 为可逆阵，称 B 为 A 的逆矩阵，记为 A1。 一般地 (1) 逆阵惟一； (2) A 可逆 |A| 0； (3) 并非每个方阵都可逆。
00
=
O，
BA
2 2
2 2
一般地，AB BA。
这正是矩阵 与数的不同
例2 设
A
2 3
46,
B
1 2
41, C 11
10
则有
AB
6 9
46,
AC
6 9
46
即 AB = AC。但是，B C。
这又是矩阵 与数的不同
请记住：
1. 矩阵乘法不满足交换率； 2. 不满足消去率； 3. 有非零的零因子。
n 阶行列式是一个数，用下面的符号表示
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
an1 an2 ann
行数与列数相等
例如
3 1 1 2
5 1 3 4
D
40
2 0 1 1
1 5 3 3
2. 二阶行列式的计算
a11 a21
例如
a12 a21
a11a22 a12a21
25 2 7 5 5 11
矩阵通常用大写字母 A、B、C 等表示，例 如
a 11
A
a 21
a 12
a 22
a 1n
a 2n
，简记为
A
=
(aij)mn。
am1
a m2
a mn
(a11, a12, , a1n )
行矩阵
a 11
a21
列矩阵
am1
行、列矩阵也称之为行、列向量。
当 m = n 时，即矩阵
任一方阵均可分解成对称阵与反对称阵之和
A AT A AT
A
2
2
8. 方阵的正整数幂 设矩阵 A = (aij)nn 为方阵，定义
Ak = AAA，A0 = E 一般地，有
Ak+l = AkAl (AB)k AkBk
请注意！
思考：什么条件下可以 (AB)k = AkBk？
四、行列式
1. 描述
对应元素相等
2. 和与差
设矩阵 A = (aij)mn，B = (bij)mn，定义 A + B = (aij + bij)mn A B = (aij bij)mn
3. 负矩阵
设矩阵 A = (aij)mn，定义 A = (aij)mn
4. 数乘(数与矩阵的乘法)
一般地
ka11
k
A
k
a21
的系数排成一个矩形数表。
a 11
a21
a 12
a22
a 1n
a2n
am1 am2 amn
这就是矩阵
由 mn 个数按一定的 次序排成的 m 行 n 列 的矩形数表称为 mn 矩阵，简称矩阵。
横的各排称为矩阵的行，竖的各排称为矩 阵的列。aij 称为矩阵的第 i 行 j 列的元素。
元素为实数的称为实矩阵。 我们只讨论实矩阵。
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3. 三阶行列式的计算
a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21 a32
a31 a32 a33
a13 a22 a31 a11 a23 a32 a12 a21 a33
例如
1 1 2 1 3 4 16 5 3 3
4. 方阵的行列式
一般地，有
AT = (AT)T， (kA)T = kAT
(A + B) = AT + BT
(AB)T = BTAT
请牢记！
7. 对称矩阵与反对称矩阵
设矩阵 A = (aij)mn 则
• 若 AT = A 即 aij = aji，则称 A 为对称阵
• 若 A = AT 即 aij = aji 并且 aii = 0，则称 A 为反对称阵
例如
A
1 0
0 0
就不可逆。
反证：假若
A
可逆，不妨令
A1
a c
b d
，
则由 AA1 = E 有
10
00 ac
b d
a 0
b 0
1 0
10
从而得 0 = 1，矛盾。
利用逆矩阵，可以求解线性方程组。例如
x13x1x2
2
x3 x2
1 x3
0
2x1 x3 2
其系数矩阵和常向量分别为
1 A 3
AB = C = (cij)mn
s
其中 cij aikbkj ai1b1 j ai2b2 j aisbsj。
k 1
注意：①
A (a ) ij ms
B (b ) ij sn
② 行矩阵与列矩阵之积即数量积。
例1 设
1 1 1 1 A 1 1, B 1 1
则有
AB
0 0
a 11
的称矩行阵数为与方列阵数。相同时，Ann
a21
a 12
a 22
a 1n
a 2n
主对角线 an1 an2 ann
二、几种特殊形式的矩阵
0 0
1.
Omn
0 0
a11
2.
ann
零矩阵 对角阵
k 3.
k
1
4. En
1
数量矩阵 单位矩阵
a11
1 2
1 1
，b
1 0
2 0 1
2
于是方程组可写为 Ax = b，其中 x = (x1, x2, x3)T。
因为 A 可逆，且
2
A1
5
1 1 3 2
4
2
1
于是
4
x
A1b
9
6
即：x1 = 4，x2 = 9， x3 = 6。
谢谢
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