2021年山东省聊城市莘县第二中学高一数学理期末试卷含解析

2021年山东省聊城市莘县第二中学高一数学理期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数的单调减区间是（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
2. 设集合, , 函数若x, 且
,则的取值范围是( )
A.B. C.
D.
参考答案：
C
略
3. 函数的值域是（）
A. B. C. D.
参考答案：
B 略
4. 下面各组对象中不能形成集合的是（）
A．所有的直角三角形
B．圆x2+y2=1上的所有点
C．高一年级中家离学校很远的学生
D．高一年级的班主任
参考答案：
C
【考点】集合的含义．
【专题】集合．
【分析】根据集合的含义判断即可．
解：对于A、B、D满足集合的含义，
对于C不满足集合的确定性，不能形成集合，
故选：C．
【点评】本题考查了集合的含义，是一道基础题．
5. 函数的零点所在的区间是（）
A． B. C. D.
参考答案：
C
6. 若角α终边在第二象限，则π－α所在的象限是（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：
A
7. 若α，β∈（0，π）且，则α+β=（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
【考点】两角和与差的正切函数．
【分析】直接利用两角和的正切函数求解即可．
【解答】解：∵α，β∈（0，π）且，
则tan（α+β）===1，
∴α+β=．
故选：A．
8. 数列中，，又数列是等差数列，则=（）
A、 B、0 C、 D、参考答案：
A
9. 若，则的定义域为( )
A. B. C.
D.
参考答案：
A
10. 已知，，则（）
A. 2
B.
C. 4
D.
参考答案：
C 【分析】
先求出坐标，再利用向量的模的公式求解.
【详解】由题得=（0,4）
所以．
故选：C
【点睛】本题主要考查向量的坐标的求法和向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 下列四组中的函数与表示相同函数的是。

（填序号）
①；②；
③；④
参考答案：
②
12. 在等比数列{a n}中,已知,则的值为.
参考答案：
3
因为等比数列中,,
所以，
则，故答案为3.
13. 已知－7，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－4，b 1，b 2，b 3，－ 1五个实数成等比数列，则。

参考答案：
-1
14. 已知正实数,
,且
，若
，则
的值域
为
．
参考答案：
因为
，
所以.
因为
且,
.
所以，所以，
所以,.
则的值域为.
15. 集合A ={x |≤2x ≤，x ∈R }，B ={x |x 2﹣2tx +1≤0}，若A ∩B =A ，则实数t 的取值范围是 ．
参考答案：
（﹣∞，﹣]．
【考点】交集及其运算．
【分析】首先求出集合A ，根据A∩B=A ，得到A?B ，设f （x ）=x 2﹣2tx+1，则应满足，
求出t 的范围即可．
【解答】解：A={x|≤2x ≤，x ∈R}={x|﹣2≤x≤﹣1}，B={x|x 2﹣2tx+1≤0}， 因为A∩B=A ，所以A?B ，
设f （x ）=x 2﹣2tx+1，满足，即，解得 t
故答案为：（﹣∞，﹣]．
16. 已知
，若存在，使得任意恒成立，且
两边等号能取到，则
的最小值为 .
参考答案：
略
17. 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若
，则角
C= 。

参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 求值：
（1）
；
（2）．
参考答案：
【考点】对数的运算性质；根式与分数指数幂的互化及其化简运算． 【分析】（1）利用有理数指数幂性质、运算法则求解．
（2）利用对数性质、运算法则求解． 【解答】（本小题满分14分） 解：（1）
；
=．
（2）
=log23?log34+2
=log24+2
=4．
19. 在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2，AB=1．
（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积V；
（Ⅱ）若F为PC的中点，求证：平面PAC⊥平面AEF．
参考答案：
【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，故，由此能求出四棱锥P﹣ABCD 的体积V．
（Ⅱ）由PA⊥平面ABCD，知PA⊥CD，由此能证明平面PAC⊥平面AEF．
【解答】解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，
∴…（2分）
在Rt△ACD中，AC=2，∠CAD=60°，…（4分）
∵，
…（6分）
证：（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD…（7分）
又AC⊥CD，PA∩AC=A
∴CD⊥平面PAC，…（8分）
∵E、F分别是PD、PC的中点，∴EF∥CD
∴EF⊥平面PAC…（10分），
∵EF?平面AEF，
∴平面PAC⊥平面AEF…（12分）
【点评】本题考查棱锥的体积的求法，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意合理地化立体问题为平面问题．
20. （本小题满分12分）已知是奇函数.
（1）求的值；
（2）判断并证明在上的单调性；
（3）若关于的方程在上有解，求的取值范围.
参考答案：
（1）因为是奇函数，故对定义域内的x，都有
即，
即，于是.…………………3分
（2）在上的单调递减. .……………………………………………………2分
对任意的
故
即在上的单调递减. . .……………………………………………………3分
（3）解法一：方程可化为：
，令
于是在上有解………………………………………..2分
设
（1）在上有两个零点（可重合），令无解.
（2）在上有1个零点，令，得
综上得……………………………………………………………………2分
解法二：方程可化为：
，令
于是，………………………………………..2分
则
的值域为，故.…………………………2分
21. （本题满分16分）已知圆和点．
（1）过点M向圆O引切线，求切线的方程；
（2）求以点M为圆心，且被直线截得的弦长为8的圆M的方程；
（3）设P为（2）中圆M上任意一点，过点P向圆O引切线，切点为Q，试探究：平面内是否存在一
定点R，使得为定值？若存在，请求出定点R的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．
参考答案：（1）若过点M的直线斜率不存在，直线方程为：，为圆O的切线；…………1分
当切线l的斜率存在时，设直线方程为：，即，
∴圆心O到切线的距离为：，解得：
∴直线方程为：．
综上，切线的方程为：或
……………4分
（2）点到直线的距离为：，
又∵圆被直线截得的弦长为
8 ∴……………7分
∴圆M的方程为：
……………8分（3）假设存在定点R，使得为定值，设，，
∵点P在圆M上∴，则……………10分∵PQ为圆O的切线∴∴，
即
整理得：（*）
若使（*）对任意恒成立，则……………13分
∴，代入得：
整理得：，解得：或∴或
∴存在定点R，此时为定值或定点R，此时为定值．………………16分
22. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y （吨）标准煤的几组对照数据：
（1）请根据上表提供的前四列数据（对应的x=3，4，5，6），用最小二乘法求出y 关于x 的线性回
归方程=x+
（2）在误差不超过0.05的条件下，利用x=7时，x=8来检验（1）所求回归直线是否合适；
（3）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤，试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？
（参考公式： ==， =﹣b）
参考答案：
【考点】BK：线性回归方程．
【分析】（1）根据表格分别求出x，y的平均数，求出系数，的值，求出回归方程即可；
（2）分别将x=7，8代入方程求出结果判断即可；
（3）将x的值代入解析式计算即可．
【解答】解：（1）=4.5； =3.5
==0.7， =0.35，
所以=0.7x+0.35，
（2）由（1）可知，当x=7时，y=5.25，5.25﹣5.22=0.03＜0.05
当x=8时，y=5.95，5.97﹣5.95=0.02＜0.05
所以，此回归直线符合条件；
（3）由（1）可知，当x=100时，y=70.35（吨）
所以，降低了90﹣70.35=19.65吨．
【点评】本题考查了回归方程问题以及回归方程的应用，考查计算能力，是一道中档题．。