2021初三数学九年级上册期末试题和答案

2021初三数学九年级上册期末试题和答案
一、选择题
1．二次函数y ＝x 2﹣6x 图象的顶点坐标为（ ） A ．（3，0） B ．（﹣3，﹣9）
C ．（3，﹣9）
D ．（0，﹣6）
2．如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ，已知CD a =，DCA β∠=∠，下列结论错误
的是（ ）
A ．BDC β∠=∠
B ．2sin a
AO β
=
C ．tan BC a β=
D ．cos a
BD β
=
3．已知3
sin 2
α=，则α∠的度数是（ ） A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
4．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若DE ＝2，BC ＝6，则
ADE ABC 的面积
的面积
＝（ ）
A ．
13
B ．
14
C ．
16
D ．
19
5．已知二次函数y=-x 2+2mx+2,当x<-2时，y 的值随x 的增大而增大，则实数m （ ） A ．m=-2
B ．m>-2
C ．m≥-2
D ．m≤-2
6．如图，以AB 为直径的⊙O 上有一点C ，且∠BOC ＝50°，则∠A 的度数为（ ）
A ．65°
B ．50°
C ．30°
D ．25°
7．已知Rt △ABC 中，∠C=900，AC=2，BC=3，则下列各式中，正确的是（ ）
A．
2
sin
3
B=；B．
2
cos
3
B=；C．2
tan
3
B=；D．以上都不对；
8．如图1，S是矩形ABCD的AD边上一点，点E以每秒k cm的速度沿折线BS－SD－DC匀速运动，同时点F从点C出发点，以每秒1cm的速度沿边CB匀速运动．已知点F运动到点B时，点E也恰好运动到点C，此时动点E，F同时停止运动．设点E，F出发t秒时，△EBF的面积为2
ycm．已知y与t的函数图像如图2所示．其中曲线OM，NP为两段抛物线，MN为线段．则下列说法：
①点E运动到点S时，用了2.5秒，运动到点D时共用了4秒；
②矩形ABCD的两邻边长为BC＝6cm，CD＝4cm；
③sin∠ABS＝
3
2
；
④点E的运动速度为每秒2cm．其中正确的是（）
A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④
9．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BA、CA的延长线上，AB
AD
=2，那么下列条件中
能判断DE∥BC的是（）
A．
1
2
AE
EC
=B．2
EC
AC
=C．
1
2
DE
BC
=D．2
AC
AE
=
10．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在格点上，点E在AB的延长线上，以A为圆心，AE为半径画弧，交AD的延长线于点F，且弧EF 经过点C，则扇形AEF的面积为（）
A ．
58
π B ．58
π
C ．54
π
D ．
54
π 11．如图，AB 是⊙O 的弦，∠BAC ＝30°，BC ＝2，则⊙O 的直径等于（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
12．如图，四边形ABCD 中，90BAD ACB ∠=∠=，AB AD =，4AC BC =，设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是（ ）
A ．2
225
y x = B ．2
425
y x = C ．225
y x = D ．245
y x =
13．在同一坐标系内，一次函数y ax b =+与二次函数2y ax 8x b =++的图象可能是
A ．
B ．
C ．
D ．
14．二次函数y =()2
1x ++2的顶点是( ) A ．(1，2)
B ．(1，−2)
C ．(−1，2)
D ．(−1，−2)
15．方程x 2=4的解是（ ）
A ．x=2
B ．x=﹣2
C ．x 1=1，x 2=4
D ．x 1=2，x 2=﹣2
二、填空题
16．如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△EDC ，若点A 、D 、E 在同一条直线上，∠ACD ＝70°，则∠EDC 的度数是_____．
17．若a 是方程223x x =+的一个根，则代数式263a a -的值是______.
18．若记[]
x 表示任意实数的整数部分，例如：[]4.24=，21⎡⎤=⎣⎦，…，则
123420192020⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
（其中“+”“－”依次相间）的值
为______.
19．飞机着陆后滑行的距离s （单位：m ）关于滑行的时间t （单位：s ）的函数解析式是
2200.5s t t =-，飞机着陆后滑行______m 才能停下来.
20．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，点D 是AB 边上一点（不与A 、B 重合），若过点D 的直线截得的三角形与△ABC 相似，并且平分△ABC 的周长，则AD 的长为____．
21．数据2，3，5，5，4的众数是____．
22．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，直线EF 是⊙O 的切线，B 是切点．若∠C ＝80°，∠ADB ＝54°，则∠CBF ＝____°．
23．“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数（如：34，568，2469等）．任取一个两位数，是“上升数”的概率是_________ ．
24．将抛物线 y ＝（x+2）2-5向右平移2个单位所得抛物线解析式为_____．
25．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中．点 A ，B ，C ，D 都在这些小正方形的格点上，AB 、CD 相交于点E ，则sin ∠AEC 的值为_____．
26．若一个圆锥的主视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该圆锥的侧面积是
____________．
27．如图，正方形ABCD 的边长为5，E 、F 分别是BC 、CD 上的两个动点，AE ⊥EF ．则AF 的最小值是_____．
28．如图，圆形纸片⊙O 半径为 52，先在其内剪出一个最大正方形，再在剩余部分剪出 4个最大的小正方形，则 4 个小正方形的面积和为_______．
29．如图，1ABB △，12AB B ，△A 2B 2B 3 是全等的等边三角形，点 B ，B 1，B 2，B 3 在同一条 直线上，连接 A 2B 交 AB 1 于点 P ，交 A 1B 1 于点 Q ，则 PB 1∶QB 1 的值为___．
30．如图，将二次函数y ＝
1
2
(x －2)2＋1的图像沿y 轴向上平移得到一条新的二次函数图像，其中A (1，m )，B (4，n )平移后对应点分别是A′、B′，若曲线AB 所扫过的面积为12(图中阴影部分)，则新的二次函数对应的函数表达是__________________．
三、解答题
31．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，求两辆车经过这个十字路口时，下列事件的概率： （1）两辆车中恰有一辆车向左转； （2）两辆车行驶方向相同．
32．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，60BAC ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC
于点D，过点D作DE AC 交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM并延长分别交DE，AC于点F、G.
（1）求CD的长.
（2）若点M是线段AD的中点，求
EF
DF
的值.
（3）请问当DM的长满足什么条件时，在线段DE上恰好只有一点P，使得
60
CPG
∠=︒?
33．如图，在ABC
∆中，AB AC
=.以AB为直径的O与BC交于点E，与AC交于点D，点F在边AC的延长线上，且
1
2
CBF BAC
∠=∠.
（1）试说明FB是O的切线；
（2）过点C作CG AF
⊥，垂足为C.若4
CF=，3
BG=，求O的半径；
（3）连接DE，设CDE
∆的面积为
1
S，ABC
∆的面积为2S，若1
2
1
5
S
S
=，10
AB=，求BC的长.
34．市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x＝45时，y＝10；x＝55时，y＝90．在销售过程中，每天还要支付其他费用500元．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
35．如图①，在矩形ABCD中，BC＝60cm．动点P以6cm/s的速度在矩形ABCD的边上沿A→D的方向匀速运动，动点Q在矩形ABCD的边上沿A→B→C的方向匀速运动．P、Q两
点同时出发，当点P 到达终点D 时，点Q 立即停止运动．设运动的时间为t (s )，△PDQ 的面积为S (cm 2)，S 与t 的函数图象如图②所示． （1）AB ＝ cm ，点Q 的运动速度为 cm /s ；
（2）在点P 、Q 出发的同时，点O 也从CD 的中点出发，以4cm /s 的速度沿CD 的垂直平分线向左匀速运动，以点O 为圆心的⊙O 始终与边AD 、BC 相切，当点P 到达终点D 时，运动同时停止．
①当点O 在QD 上时，求t 的值；
②当PQ 与⊙O 有公共点时，求t 的取值范围．
四、压轴题
36．如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，连接AC 、EC 、EF 、FC ，且EC EF ⊥.
（1）求证：AEF BCE ∽； （2）若23AC =AB 的长；
（3）在（2）的条件下，求出ABC 的外接圆圆心与CEF △的外接圆圆心之间的距离？ 37．某校网球队教练对球员进行接球训练，教练每次发球的高度、位置都一致．教练站在球场正中间端点A 的水平距离为x 米，与地面的距离为y 米，运行时间为t 秒，经过多次测试，得到如下部分数据： t 秒 0 1.5 2.5 4 6.5 7.5 9 … x 米 0 4 8 10 12 16 20 … y 米
2
4.56
5.84
6
5.84
4.56
2
…
（2）网球落在地面时，与端点A 的水平距离是多少？ （3）网球落在地面上弹起后，y 与x 满足(2
56
y a x k =-+
①用含a 的代数式表示k ；
②球网高度为1.2米，球场长24米，弹起后是否存在唯一击球点，可以将球沿直线扣杀到A 点，若有请求出a 的值，若没有请说明理由．
38．如图，抛物线y ＝ax 2－4ax ＋b 交x 轴正半轴于A 、B 两点，交y 轴正半轴于C ，且OB ＝OC ＝3.
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 如图1，D 为抛物线的顶点，P 为对称轴左侧抛物线上一点，连接OP 交直线BC 于G ，
连GD ．是否存在点P ，使
2GD
GO
？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3) 如图2，将抛物线向上平移m 个单位，交BC 于点M 、N ．若∠MON ＝45°，求m 的值.
39．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A ，B ，C ，给出如下定义：
如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A ，B ，C 三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A ，B ，C 的覆盖矩形．点A ，B ，C 的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A ，B ，C 的最优覆盖矩形．例如，下图中的矩形A 1B 1C 1D 1，A 2B 2C 2D 2，AB 3C 3D 3都是点A ，B ，C 的覆盖矩形，其中矩形AB 3C 3D 3是点A ，B ，C 的最优覆盖矩形． （1）已知A （﹣2，3），B （5，0），C （t ，﹣2）． ①当t ＝2时，点A ，B ，C 的最优覆盖矩形的面积为 ；
②若点A ，B ，C 的最优覆盖矩形的面积为40，求直线AC 的表达式；
（2）已知点D （1，1）．E （m ，n ）是函数y ＝
4
x
（x ＞0）的图象上一点，⊙P 是点O ，D ，E 的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆，求出⊙P 的半径r 的取值范围．
40．矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转至矩形EGCF（其中E、G、F分别与A、B、D对应）．
（1）如图1，当点G落在AD边上时，直接写出AG的长为；
（2）如图2，当点G落在线段AE上时，AD与CG交于点H，求GH的长；
（3）如图3，记O为矩形ABCD对角线的交点，S为△OGE的面积，求S的取值范围．
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一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
【分析】
将二次函数解析式变形为顶点式，进而可得出二次函数的顶点坐标．
【详解】
解：∵y＝x2﹣6x＝x2﹣6x+9﹣9＝（x﹣3）2﹣9，
∴二次函数y＝x2﹣6x图象的顶点坐标为（3，﹣9）．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查二次函数的顶点，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质.
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据矩形的性质得对角线相等且互相平分，再结合三角函数的定义，逐个计算即可判断.【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD,AO=CO,BO=DO, ∠ADC=∠BCD=90°
∴AO=CO=BO=DO,
∴∠OCD=∠ODC=β,
A、BDC DCAβ
∠=∠=∠,故A选项正确；
B、在Rt△ADC中，cos∠ACD=DC
AC
, ∴cosβ=
2
a
AO
,∴AO=
2cos
a
，故B选项错误；
C、在Rt△BCD中，tan∠BDC=BC
DC
, ∴ tanβ=
BC
a
∴BC=atanβ，故C选项正确；
D、在Rt△BCD中，cos∠BDC=DC
DB
, ∴ cosβ=
a
BD
∴
cos
a
BD
β
=，故D选项正确.
故选：B.
【点睛】
本题考查矩形的性质及三角函数的定义，掌握三角函数的定义是解答此题的关键. 3．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据特殊角三角函数值，可得答案．
【详解】
解：由sin
2
α=，得α=60°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
4．D
解析：D
【解析】
【分析】
由DE∥BC知△ADE∽△ABC，然后根据相似比求解．
【详解】
解：∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC.
又因为DE＝2，BC＝6，可得相似比为1:3.
即ADE
ABC
的面积
的面积
=22
13：=
1
9
.
故选D.
【点睛】
本题主要是先证明两三角形相似，再根据已给的线段求相似比即可．5．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质，确定抛物线的对称轴及开口方向得出函数的增减性，结合题意确定m值的范围.
【详解】
解：抛物线的对称轴为直线
2
21
m
x m
∵10
a=-<,抛物线开口向下，
∴当x m
<时，y的值随x值的增大而增大，
∵当2
x<-时，y的值随x值的增大而增大，
∴2
m≥-，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，由系数的符号特征得出函数性质是解答此题的关键.
6．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据圆周角定理计算即可．
【详解】
解：由圆周角定理得，
1
25
2
A BOC
∠=∠=︒，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出AB，根据锐角三角函数的定义求出各个三角函数值，即可得出答案．【详解】
如图：
由勾股定理得：2222
21
33
AC BC
++
＝＝，
所以
cosB=
BC AB ，
sinB=23AC AC tanB AB BC =＝ ，所以只有选项C 正确； 故选：C ．
【点睛】 此题考查锐角三角函数的定义的应用，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．
8．C
解析：C
【解析】
【分析】
①根据函数图像的拐点是运动规律的变化点由图象即可判断．②设AB CD acm ==，BC AD bcm ==，由函数图像利用△EBF 面积列出方程组即可解决问题．③由 2.5BS k =，1.5SD k =，得53
BS SD =，设3SD x =，5BS x =，在RT ABS ∆中，由222AB AS BS +=列出方程求出x ，即可判断．④求出BS 即可解决问题．
【详解】
解：函数图像的拐点时点运动的变化点根据由图象可知点E 运动到点S 时用了2.5秒，运动到点D 时共用了4秒．故①正确．
设AB CD acm ==，BC AD bcm ==， 由题意，1··( 2.5)721·(4)42
a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 解得46a b =⎧⎨=⎩
， 所以4AB CD cm ==，6BC AD cm ==，故②正确，
2.5BS k =， 1.5SD k =， ∴
53BS SD =，设3SD x =，5BS x =， 在Rt ABS ∆中，222AB AS BS +=，
2224(63)(5)x x ∴+-=，
解得1x =或134
-（舍)， 5BS ∴=，3SD =，3AS =，
3sin 5
AS ABS BS ∴∠=
=故③错误， 5BS =， 5 2.5k ∴=，
2/k cm s ∴=，故④正确，
故选：C ．
【点睛】
本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、勾股定理、三角形面积、函数图象问题等知识，读懂图象信息是解决问题的关键，学会设未知数列方程组解决问题，把问题转化为方程去思考，是数形结合的好题目，属于中考选择题中的压轴题．
9．D
解析：D
【解析】
【分析】 只要证明
AC AB AE AD =，即可解决问题． 【详解】
解:A.
12AE EC = ，可得AE ：AC=1：1，与已知2AB AD =不成比例，故不能判定 B. 2EC AC =，可得AC ：AE=1：1，与已知2AB AD
=不成比例，故不能判定； C 选项与已知的2AB AD
=，可得两组边对应成比例，但夹角不知是否相等，因此不一定能判定； 12
DE BC = D.
2AC AB AE AD
==，可得DE//BC ， 故选D.
【点睛】 本题考查平行线的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10．B
解析：B
【解析】
【分析】
连接AC ，根据网格的特点求出r=AC 的长度，再得到扇形的圆心角度数，根据扇形面积公式即可求解.
【详解】
连接AC ，则
扇形的圆心角度数为∠BAD=45°，
∴扇形AEF 的面积=245360
π⨯⨯=58
π 故选B.
【点睛】
此题主要考查扇形面积求解，解题的关键是熟知勾股定理及扇形面积公式.
11．C
解析：C
【解析】
【分析】
如图，作直径BD，连接CD，根据圆周角定理得到∠D＝∠BAC＝30°，∠BCD＝90°，根据直角三角形的性质解答．
【详解】
如图，作直径BD，连接CD，
∵∠BDC和∠BAC是BC所对的圆周角，∠BAC＝30°，
∴∠BDC＝∠BAC＝30°，
∵BD是直径，∠BCD是BD所对的圆周角，
∴∠BCD＝90°，
∴BD＝2BC＝4，
故选：C．
【点睛】
本题考查圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°圆周角所对的弦是直径；熟练掌握圆周角定理是解题关键．
12．C
解析：C
【解析】
【分析】
四边形ABCD图形不规则，根据已知条件，将△ABC绕A点逆时针旋转90°到△ADE的位置，求四边形ABCD的面积问题转化为求梯形ACDE的面积问题；根据全等三角形线段之间的关系，结合勾股定理，把梯形上底DE，下底AC，高DF分别用含x的式子表示，可表示四边形ABCD的面积．
【详解】
作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，
∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE
∴∠BAC=∠DAE
又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°
∴△ABC≌△ADE（AAS）
∴BC=DE，AC=AE，
设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，
CF=AC-AF=AC-DE=3a，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，
CF2+DF2=CD2，即（3a）2+（4a）2=x2，
解得：a=
5
x，
∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE=1
2
×（DE+AC）×DF
=1
2
×（a+4a）×4a
=10a2
=2
5
x2．
故选C．
【点睛】
本题运用了旋转法，将求不规则四边形面积问题转化为求梯形的面积，充分运用了全等三角形，勾股定理在解题中的作用．
13．C
解析：C
【解析】
【分析】
x=0，求出两个函数图象在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解．
【详解】
x=0时，两个函数的函数值y=b，
所以，两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；
由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，
所以，a＞0，
所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限，
所以，A选项错误，C选项正确．
故选C．
14．C
解析：C
【解析】
【分析】
x++2的顶点坐标．因为顶点式y=a（x-h）2+k，其顶点坐标是（h，k），即可求出y=()21
【详解】
x++2是顶点式，
解：∵二次函数y=()21
∴顶点坐标为：(−1，2)；
故选：C.
【点睛】
此题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，此题型是中考中考查重点，同学们应熟练掌握．
15．D
解析：D
【解析】
x2=4，
x=±2.
故选D.
点睛：本题利用方程左右两边直接开平方求解.
二、填空题
16．115°
【解析】
【分析】
根据∠EDC＝180°﹣∠E﹣∠DCE，想办法求出∠E，∠DCE即可．
【详解】
由题意可知：CA＝CE，∠ACE＝90°，
∴∠E＝∠CAE＝45°，
∵∠ACD＝7
解析：115°
【解析】
【分析】
根据∠EDC＝180°﹣∠E﹣∠DCE，想办法求出∠E，∠DCE即可．
【详解】
由题意可知：CA＝CE，∠ACE＝90°，
∴∠E ＝∠CAE ＝45°，
∵∠ACD ＝70°，
∴∠DCE ＝20°，
∴∠EDC ＝180°﹣∠E ﹣∠DCE ＝180°﹣45°﹣20°＝115°，
故答案为115°．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，问题，属于中考常考题型．
17．9
【解析】
【分析】
根据方程解的定义，将a 代入方程得到含a 的等式，将其变形，整体代入所求的代数式.
【详解】
解：∵a 是方程的一个根，
∴2a2=a+3,
∴2a2-a=3,
∴.
故答案为：9
解析：9
【解析】
【分析】
根据方程解的定义，将a 代入方程得到含a 的等式，将其变形，整体代入所求的代数式.
【详解】
解：∵a 是方程223x x =+的一个根，
∴2a 2=a+3,
∴2a 2-a=3,
∴()
2263=32339a a a a --=⨯=.
故答案为：9.
【点睛】
本题考查方程解的定义及代数式求值问题，理解方程解的定义和整体代入思想是解答此题的关键.
18．-22
【解析】
【分析】
先确定的整数部分的规律，根据题意确定算式的运算规律，再进行实数运算. 【详解】
解：观察数据12=1，22=4，32=9，42=16，52=25,62=36的特征，得出数
解析：-22
【解析】
【分析】
2020的整数部分的规律，根据题意确定算式
-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-的运算规律，再进行实数运算.【详解】
解：观察数据12=1，22=4，32=9，42=16，52=25,62=36的特征，得出数据1,2,3,4 (2020)
中，算术平方根是1的有3个，算术平方根是2的有5个，算数平方根是3的有7个，算
数平方根是4的有9个，…其中432=1849，442=1936,452=2025，所以在、
⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，算术平方根依次为1,2,3……43的个数分别为3,5,7,9……个，均为奇数个，最大算数平方根为44的有85个，所以
-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-=1-2+3-4+…+43-44= -22
【点睛】
本题考查自定义运算，通过正整数的算术平方根的整数部分出现的规律，找到算式中相同加数的个数及符号的规律，方能进行运算.
19．200
【解析】
【分析】
要求飞机从滑行到停止的路程就，即求出函数的最大值即可.
【详解】
解：
所以当t=20时，该函数有最大值200.
故答案为200.
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用
解析：200
【解析】
【分析】
要求飞机从滑行到停止的路程就，即求出函数的最大值即可.
【详解】
解：()()2
22200.50.5404002000.520200s t t t t t =-=--++=--+ 所以当t=20时，该函数有最大值200.
故答案为200.
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数求最值的方法，即公式法或配方法是解题关键.
20．、 、
【解析】
【分析】
根据直线平分三角形周长得出线段的和差关系，再通过四种情形下的相似三角形的性质计算线段的长.
【详解】
解：设过点D 的直线与△ABC 的另一个交点为E ，
∵AC ＝4，BC ＝ 解析：83、
103、 54 【解析】
【分析】
根据直线平分三角形周长得出线段的和差关系，再通过四种情形下的相似三角形的性质计算线段的长.
【详解】
解：设过点D 的直线与△ABC 的另一个交点为E ，
∵AC ＝4，BC ＝3，∴
设AD=x ，BD=5-x ，
∵DE 平分△ABC 周长，∴周长的一半为（3+4+5）÷2=6，
分四种情况讨论：
①△BED ∽△BCA ，如图1，BE=1+x ∴BE BD BC AB =，即：515
3x x -+=， 解得x=
54，
②△BDE∽△BCA，如图2，BE=1+x
∴BD BE
BC AB
=，即：
51
35
x x
-+
=，
解得：x=11 4
，
BE=15
4
>BC，不符合题意.
③△ADE∽△ABC，如图3，AE=6-x
∴AD AE
AB AC
=，即
6
54
x x
-
=，
解得：x=10
3
，
④△BDE∽△BCA，如图4，AE=6-x
∴AD AE
AC AB
=，即：
6
45
x x
-
=，
解得：x=8
3
，
综上：AD的长为8
3
、
10
3
、
5
4
.
【点睛】
本题考查的相似三角形的判定和性质，根据不同的相似模型分情况讨论，根据不同的线段比例关系求解.
21．5
【解析】
【分析】
由于众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，由此即可确定这组数据的众数．
【详解】
解：∵5是这组数据中出现次数最多的数据，
∴这组数据的众数为5．
故答案
解析：5
【解析】
【分析】
由于众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，由此即可确定这组数据的众数．
【详解】
解：∵5是这组数据中出现次数最多的数据，
∴这组数据的众数为5．
故答案为：5．
【点睛】
本题属于基础题，考查了确定一组数据的众数的能力，解题关键是要明确定义，读懂题意．
22．46°
【解析】
【分析】
连接OB，OC，根据切线的性质可知∠OBF=90°，根据AD∥BC，可得
∠DBC=∠ADB＝54°，然后利用三角形内角和求得∠BDC=46°，然后利用同弧所对的圆心角是圆
解析：46°
【解析】
【分析】
连接OB，OC，根据切线的性质可知∠OBF=90°，根据AD∥BC，可得∠DBC=∠ADB＝54°，然后利用三角形内角和求得∠BDC=46°，然后利用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求得∠BOC=92°，然后利用等腰三角形的性质求得∠OBC的度数，从而使问题得解.
【详解】
解：连接OB，OC，
∵直线EF是⊙O的切线，B是切点
∴∠OBF=90°
∵AD∥BC
∴∠DBC=∠ADB＝54°
又∵∠D CB＝80°
∴∠BDC=180°-∠DBC -∠D C B=46°
∴∠BOC=2∠BDC =92°
又∵OB=OC
∴∠OBC=1
(18092)44 2
-=
∴∠CBF＝∠OBF-∠OBC=90-44=46°
故答案为：46°
【点睛】
本题考查切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据题意添加辅助线正确推理论证是本题的解题关键.
23．4
【解析】
【分析】
先列举出所有上升数，再根据概率公式解答即可．
【详解】
解：两位数一共有99-10+1=90个，
上升数为：
共8+7+6+5+4+3+2+1=36个．
概率为36÷90=
解析：4
【解析】
【分析】
先列举出所有上升数，再根据概率公式解答即可．
【详解】
解：两位数一共有99-10+1=90个，
上升数为：
共8+7+6+5+4+3+2+1=36个．
概率为36÷90=0.4．
故答案为：0.4．
24．y＝x2−5
【解析】
【分析】
根据平移规律“左加右减”解答．
【详解】
按照“左加右减，上加下减”的规律可知：y＝（x＋2）2−5向右平移2个单位，
得：y＝（x＋2−2）2−5，即y＝x2−5
解析：y＝x2−5
【解析】
【分析】
根据平移规律“左加右减”解答．
【详解】
按照“左加右减，上加下减”的规律可知：y＝（x＋2）2−5向右平移2个单位，
得：y＝（x＋2−2）2−5，即y＝x2−5．
故答案是：y＝x2−5．
【点睛】
考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
25．【解析】
【分析】
通过作垂线构造直角三角形，由网格的特点可得Rt△ABD是等腰直角三角形，进而可得Rt△ACF是等腰直角三角形，求出CF，再根据△ACE∽△BDE的相似比为1：3，根据勾股定理求
解析：25
【解析】
【分析】
通过作垂线构造直角三角形，由网格的特点可得Rt△ABD是等腰直角三角形，进而可得Rt△ACF是等腰直角三角形，求出CF，再根据△ACE∽△BDE的相似比为1：3，根据勾股定理求出CD的长，从而求出CE，最后根据锐角三角函数的意义求出结果即可．
【详解】
过点C作CF⊥AE，垂足为F，
在Rt△ACD中，CD＝22
1310
+=，
由网格可知，Rt△ABD是等腰直角三角形，因此Rt△ACF是等腰直角三角形，
∴CF＝AC•sin45°＝
2
2
，
由AC∥BD可得△ACE∽△BDE，
∴
1
3 CE AC
DE BD
==，
∴CE＝1
4
CD＝
10
，
在Rt△ECF中，sin∠AEC＝
225
210
CF
CE
=⨯=，
故答案为：25
．
【点睛】
考查锐角三角函数的意义、直角三角形的边角关系，作垂线构造直角三角形是解决问题常
用的方法，借助网格，利用网格中隐含的边角关系是解决问题的关键．
26．15π．
【解析】
【分析】
根据圆锥的主视图得到圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求
解析：15π．
【解析】
【分析】
根据圆锥的主视图得到圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【详解】
解：根据题意得圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，
所以这个圆锥的侧面积=1
2
×5×2π×3=15π．
【点睛】
本题考查圆锥侧面积的计算，掌握公式，准确计算是本题的解题关键.
27．【解析】
【分析】
设BE＝x，CF＝y，则EC＝5﹣x，构建二次函数了，利用二次函数的性质求出CF 的最大值，求出DF的最小值即可解决问题．
【详解】
解：设BE＝x，CF＝y，则EC＝5﹣x，
解析：25 4
【解析】
【分析】
设BE＝x，CF＝y，则EC＝5﹣x，构建二次函数了，利用二次函数的性质求出CF的最大值，求出DF的最小值即可解决问题．
【详解】
解：设BE＝x，CF＝y，则EC＝5﹣x，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，
而∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
∴Rt△ABE∽Rt△ECF，
∴AB
EC
＝
BE
CF
，
∴
5
5x
-
＝
x
y
，
∴y＝﹣1
5
x2+x＝﹣
1
5
（x﹣
5
2
）2+
5
4
，
∵﹣1
5
＜0，
∴x＝5
2
时，y有最大值
5
4
，
∴CF的最大值为5
4
，
∴DF的最小值为5﹣5
4
＝
15
4
，
∴AF的最小值＝22
AD DF
+＝
2
2
15
5
4
⎛⎫
+ ⎪
⎝⎭
＝
25
4
，
故答案为25
4
．
【点睛】
本题考查了几何动点问题与二次函数、相似三角形的综合问题，综合性较强，解题的关键是找出相似三角形，列出比例关系，转化为二次函数，从而求出AF的最小值．
28．16
【解析】
【分析】
根据题意可知四个小正方形的面积相等，构造出直角△OAB，设小正方形的面积为x，根据勾股定理求出x值即可得到小正方形的边长，从而算出4 个小正方形的面积和.
【详解】
解：如
解析：16
【解析】
【分析】 根据题意可知四个小正方形的面积相等，构造出直角△OAB ，设小正方形的面积为x ，根据勾股定理求出x 值即可得到小正方形的边长，从而算出4 个小正方形的面积和.
【详解】
解：如图，点A 为上面小正方形边的中点，点B 为小正方形与圆的交点，D 为小正方形和大正方形重合边的中点，
由题意可知：四个小正方形全等，且△OCD 为等腰直角三角形，
∵⊙O 半径为 52，根据垂径定理得：
∴OD=CD=522
=5， 设小正方形的边长为x ，则AB=
12x ， 则在直角△OAB 中，
OA 2+AB 2=OB 2，
即()()
22215=522x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 解得x=2，
∴四个小正方形的面积和=242=16⨯.
故答案为：16.
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理、正方形的性质，熟练掌握利用勾股定理解直角三角形是解题的关键．
29．【解析】
【分析】
根据题意说明PB1∥A2 B3，A1B1∥A2B2，从而说明△BB1P∽△BA2 B3，
△BB1Q∽△BB2A2，再得到PB1 和A2B3的关系以及QB1和A2B2的关系，根据
解析：23
【解析】
【分析】
根据题意说明PB 1∥A 2 B 3，A 1B 1∥A 2B 2，从而说明△BB 1P ∽△BA 2 B 3，△BB 1Q ∽△BB 2A 2，再得到PB 1 和A 2B 3的关系以及QB 1和A 2B 2的关系，根据A 2B 3=A 2B 2，得到PB 1和QB 1的比值.
【详解】
解：∵△ABB 1，△A 1B 1B 2，△A 2B 2B 3是全等的等边三角形，
∴∠BB 1P=∠B 3，∠A 1B 1 B 2=∠A 2B 2B 3，
∴PB 1∥A 2B 3，A 1B 1∥A 2B 2，
∴△BB 1P ∽△BA 2 B 3，△BB 1Q ∽△BB 2A 2， ∴112331==3PB BB A B BB ,112221==2
QB BB A B BB , ∴1231=3PB A B ，1221=2
QB A B ， ∵2322=A B A B ， ∴PB 1∶QB 1=
13A 2B 3∶12A 2 B 2=2：3. 故答案为：
23
. 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的判定，正确的识别图形是解题的关键． 30．y=0.5(x-2)+5
【解析】
解：∵函数y=（x ﹣2）2+1的图象过点A （1，m ），B （4，n ），∴m=（1﹣2）2+1=1，n=（4﹣2）2+1=3，∴A（1，1），B （4，3），过A 作AC
解析：y=0.5(x-2)2+5
【解析】
解：∵函数y =12
（x ﹣2）2+1的图象过点A （1，m ），B （4，n ），∴m =
12（1﹣2）2+1=112，n =12（4﹣2）2+1=3，∴A （1，112），B （4，3），过A 作AC ∥x 轴，交B ′B 的延长线于点C ，则
C （4，112
），∴AC =4﹣1=3．∵曲线段AB 扫过的面积为12（图中的阴影部分），∴AC •AA ′=3AA ′=12，∴AA ′=4，即将函数y =12
（x ﹣2）2+1的图象沿y 轴向上平移4个单位长度得到一条新函数的图象，∴新图象的函数表达式是y =
12（x ﹣2）2+5．故答案为y =0.5（x ﹣2）2+5．
点睛：本题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，根据已知得出AA ′是解题的关键．
三、解答题
31．（1）
49；（2）13
【解析】
【分析】
此题可以采用列表法求解．可以得到一共有9种情况，两辆车中恰有一辆车向左转的有4种情况，两辆车行驶方向相同有3种情况，根据概率公式求解即可．
【详解】
解：列表得：
左 直 右 左 左左 左直 左右 直
左直 直直 直右 右 左右 直右 右右
相同有3种情况
（1）P （两辆车中恰有一辆车向左转）=
49； （2）P （两辆车行驶方向相同）=
3193=． 【点睛】
列表法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，列举法适合于两步完成的事件，树状图法适合于两步或两步以上完成的事件．解题时注意看清题目的要求，要按要求解题．概率=所求情况数与总情况数之比．
32．（1）3DC =；（2）
23EF DF =；（3）当1637DM =143435
DM <<时，满足条件的点P 只有一个.
【解析】。