误差合成与分配
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解：量块组尺寸的系统误差为
使用该量块组做相对测量带来的测量误差为
故量块组结相对测量带来的测量误差不会超出±0.５１μm
故量块组按基本尺寸使用时的修正值为－0.4μm
二、函数随机误差计算
对于式(3—1)
随机误差是用表征其取值分散程度的标准差来评定的，对于函数的随机误差，也是用函数的标准差来进行评定。因此，函数随机误差计算，就是研究函数y的标准差与各测量值的标准差之间的关系。 若以各测量值的随机误差δ1，δ2，…．δn代替各微分量dx1，dx2，…，dxn只能得到函数的随机误差δy，而得不到函数的标准差σy。
按单项未定系统误差的标准差合成 按单项未定系统误差的极限误差合成
单击添加大标题
当各个单项未定系统误差均服从正态分布，且ρij＝0时，则有
当测量过程中存在各种不同性质的多项系统误差与随机误差，应将其进行综合，以求得最后测量结果的总误差。 常用极限误差来表示，也可用标准差来表示。
第四节 系统误差与随机误差的合成
第三节 系统误差的合成
由于两种系统误差的特征不同，其合成方法也不相同。
系统误差具有确定的变化规律，不论其变化规律如何，根据对系统误差的掌握程度，可分为已定系统误差和未定系统误差。
系统误差的大小是评定测量准确度高低的标志，系统误差越大，准确度越低；反之，准确度越高。
一、已定系统误差的合成
01
02
函数误差的概念
函数误差
间接测量
间接测得的被测量误差也应是直接测得量及其误差的函数，故称这种间接测量的误差为函数误差 通过直接测得的量与被测量之间的函数关系计算出被测量
间接测量的数学模型
与被测量有函数关系的各个直接测量值
y 间接测量值
求上述函数 y 的全微分，其表达式为：
函数随机误差公式为：
2） 余弦函数形式为:
函数随机误差公式为：
正切函数形式为: 函数随机误差公式为： 余弦函数形式为: 函数随机误差公式为：
解：由误差传递公式 因f1、f2的测量值的随机误差是相互独立的，所以相关系数ρf1f2＝0 则有
标准差
放大率Ｄ的计算值（不含随机误差）为
测量结果为
间接测量是通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其他量，按照已知的函数关系式计算出被测的量。因此间接测量的量是直接测量所得到的各个测量值的函数，而间接测量误差则是各个直接测得值误差的函数，故称这种误差为函数误差。研究函数误差的内容，实质上就是研究误差的传递问题，而对于这种具有确定关系的误差计算，也有称之为误差合成。
函数标准差计算
相关系数的讨论
若各测量值的随机误差是相互独立的，且当N适当大时，相关项 若定义 则有 ρ ij=0
令
若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项
或
（3-14）
则
（3-15）
由于各测量值随机误差间互不相关的情况较为常见，且当各相关系数很小时，也可近似地作不相关处理，因此式(3—14)或式(3—15)是较常用的函数随机误差公式。
随机误差的合成是采用方和根的方法，同时还要考虑到各个误差传递系数和误差间的相关性影响。
随机误差具有随机性，其取值是不可预知的，并用测量的标准差或极限误差来表征其取值的分散程度。
一、标准差的合成
在测量实践中，各个单项随机误差和测量结果的总误差也常以极限误差的形式来表示，因此极限误差的合成也较常见。 用极限误差来表示随机误差，有明确的概率意义。极限误差合成时，各单项权限误差应取同一置信概率。 按方和根法合成的总极限误差为
添加标题
一般的极限误差合成公式为
添加标题
（布时的情况
式(3—36)具有十分简单的形式。由于各单项误差大多服从正态分布或假设近似服从正态分布，而且它们之间常是线性无关或近似线性无关，因此式(3—36)是较为广泛使用的极限误差合成公式。
（3-36）
当各个单项随机误差均服从正态分布时，各个置信系数完全相同，且当各个误差互不相关，相关系数ρij＝0，则有
03
二、未定系统误差的合成
未定系统误差在测量实践中较为常见，对于某些影响较小的已定系统误差，为简化计算，也可不对其进行误差修正，而将其作未定系统误差处理，因此未定系统误差的处理是测量结果处理的重要内容之一。
若测量过程中存在若干项未定系统误差，应正确地将这些未定系统误差进行合成，以求得最后结果。
未定系统误差的特征
相互独立的函数标准差计算
函数的极限误差公式
（3-16）
第i个直接测得量 的极限误差
当各个测量值的随机误差都为正态分布时，标准差用极限误差代替，可得函数的极限误差公式
ai＝1情况下，函数的标准差和极限误差计算公式
01
03
05
02
04
三角函数的随机误差计算公式
01
02
1） 正弦函数形式为:
1．误差间的线性相关关系
2．相关系数
1
2
3
4
值得注意的是，相关系数只表示两误差的线性关系的密切程度，当ρ很小甚至等于0时，两误差间不存在线性关系，但并不表示它们之间不存在其他的函数关系。
当ρ＝+1时，称为完全正相关；P＝－1时，称为完全负相关。此时两误差ζ与η之间存在着确定的线性函数关系； 当ρ＝0时，两误差间无线性关系或称不相关，即一误差增大时，另一误差取值可能增大，也可能减小。
3.计算系统误差
因 根据式（３－６），有 式中各个误差传递函数为
代入角度的系统误差式，得
求角度的标准差
取置信系数t＝３，得
５.求极限误差
给出测量结果
三、误差间的相关关系和相关系数
（3-23）
式(3—23)表明，当ρij ＝1时，函数随机误差别具有线性的传递关系。 在函数误差及其他误差的合成计算时，各误差间的相关性对计算结果有直接影响。 当各误差间相关或相关性不能忽略时，必须先求出各个误差间的相关系数，然后才能进行误差合成计算。因此，正确处理误差间的相关问题，有其重要意义。 例如，当ρij=1时，函数随机误差别具有线性的传递关系：
置信概率？
例２ 用弓高弦长法间接测量大直径D
求解：
计算直径D0值
求直径的最后结果 若已知 建立函数关系式
3.计算直径D的系统误差
求直径的极限误差
给出测量结果
例３ 用双圆球法检定高精度内锥角 已知： 测得尺寸及系统误差为 求检定结果。 各测得值的标准差为
求解：
１.建立函数关系式 根据图所示的测量方法，可得函数关系为 式中 2.计算角度值 得
添加标题
04
添加标题
正弦函数的系统误差计算公式
函数 系统误差 因 则有 （3-5） （3-6） 同理可得其他三角函数的角度系统误差公式。
求测量结果。
例1 用弓高弦长法间接测量大直径D
如图所示，直接测得其弓高h和弦长s，然后通过函数关系计算出直径D。 若弓高与弦长的测得值及其系统误差为
函数系统误差计算公式
若已知各个直接测量值的系统误差⊿x1，⊿x2，…，⊿xn 由 y 的全微分，函数系统误差 ⊿y的计算公式
若已知各个直接测量值的系统误差⊿x1，⊿x2，…，⊿xn 由 y 的全微分，函数系统误差 ⊿y的计算公式
线性函数的系统误差计算
01
添加标题
02
添加标题
03
求解：
建立函数关系式
计算直径D的系统误差
直径D的系统误差公式为
计算各误差传递系数值
6.给出测量结果
通过修正可消除所求得的直径系统误差△D，则被测直径的实际尺寸为
5.计算系统误差值
将已知各误差值及误差传递系数代入直径的系统误差式，得
例２ 用量块组做标准件的测量 相对测量时需用54.255mm的量块组做标准件，量块组由四块量块研合而成，它们的基本尺寸如下： 已知各尺寸偏差及其测量极限误差分别为 试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量带来的测量误差？
（3-1）
一、函数系统误差计算
（3-2）
和 的量纲或单位不相同，则 起到误差单位换算的作用
和 的量纲或单位相同，则 起到误差放大或缩小的作用
为各个输入量在该测量点 处的误差传递系数
若测量过程中有s个单项未定系统误差，它们的标准差分别为ui，相应的误差传递系数为ai，则合成后未定系统误差的总标准差为 （3-38） 当ρij＝0时，则有 （3-39）
2．极限误差的合成
（3-41）
则有
（3-42）
（3-43）
总的未定系统误差的极限误差为 因为各个单项未定系统误差的极限误差为
一、按极限误差合成
2
1
3
对多次重复测量时的处理
二、按标准差合成
3
对多次重复测量时的处理
（3-51）
与极限误差合成的理由相同，对单次测量，可直接按上式求得最后结果的总标准差，但对n次重复测量，测量结果平均值的总标准差公式则为
函数随机误差的数学模型
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
或
第i个直接测得量 的标准差
第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数
第i个直接测得量 对间接量 在该测量点 处的误差传递系数
第i个测量值和第j个测量值之间的协方差
误差间的线性相关关系是指它们具有线性依赖关系，这种依赖关系有强有弱。 联系最强时，在平均意义上，一个误差的取值完全决定了另一个误差的取值。此时两误差间具有确定的线性函数关系。 当两误差间的线性依赖关系最弱时，一个误差的取值与另一个误差的取值无关，这是互不相关的情况。 一般两误差间的关系是处于上述两种极端情况之间，既有联系而又不具有确定性关系。此时，线性依颜关系是指在平均意义上的线性关系，即一个误差值随另一个误差值的变化具有线性关系的倾向，但两者取值又不服从确定的线性关系，而具有一定的随机性。
确定两误差间的相关系数是比较困难的，通常可采用以下几种方法。 1．直接判断法 通过两误差之间关系的分析，直接确定相关系数ρ。如两误差不可能有联系或联系微弱时，则确定ρ＝0；如一个误差增大，另一个误差成比例地增大，则确定P＝1。 2．试验观察和简略计算法 在某些情况下可直接测量两误差的多组对应值(ζi，ηi)，用观察或简略计算法求得相关系数。 3．理论计算法 有些误差间的相关系数，可根据概率论和最小二乘法直接求出。
未定系统误差是指误差大小和方向未能确切掌握，或不必化费过多精力去掌握，而只能或只需估计出其不致超过某一极限范围±ei的系统误差。 也就是说，在一定条件下客现存在的某一系统误差，一定是落在所估计的误差区间(－ei，ei)内的一个取值,其相应的取值在误差区间(－ei，ei)内服从某一概率分布。
关于未定系统误差的概率分布
3.确定两误差间的相关系数的方法
(1)观察法
作图与标准图形比对，看它与哪一图形相近，从而确定相关系数的近似值。
(2)简单计算法
简单计算法是将点阵分为四部分(上下,左右均分)，计算 简单计算法的作图 （3-25）
(3)直接计算法
按相关系数的定义直接计算
（3-26）
第二节 随机误差的合成
第三章误差合成与分配
本章重点和难点
函数系统误差和函数随机误差的概念 随机误差的合成 未定系统误差和随机误差的合成 误差分配 微小误差取舍准则 最佳测量方案的确定
重点掌握：函数误差的计算方法； 掌握：误差和成方法及系统误差与随机误差的异同点； 了解：误差分配的基本步骤。
第一节 函数误差
前面讨论的主要是直接测量的误差计算问题，但在有些情况下，由于被测对象的特点，不能进行直接测量，或者直接测量难以保证测量精度，需要采用间接测量。
理论上此概率分布是可知的，但实际上常常较难求得。 目前对未定系统误差的概率分布，主要采用两种假设：一种是按正态分布处理；另一种是按均匀分布处理。
这两种假设，在理论上与实践上往往缺乏根据，因此对未定系统误差的概率分布尚属有待于作进一步研究的问题。
对未定系统误差的评定
未定系统误差的合成
1
2
1．标准差的合成
（3-30）
式中 ai——各极限误差传递系数； ρij——任意两误差间的相关系数
二、极限误差的合成
应用极限误差合成公式时，应注意：
置信概率不同时的处理
一般情况下，已知的各单项极限误差的置信概率可能不相同，不能按式(3—30)进行极限误差合成。应根据各单项误差的分布情况，引入置信系数，先将误差转换为标准差，再按极限误差合成。
使用该量块组做相对测量带来的测量误差为
故量块组结相对测量带来的测量误差不会超出±0.５１μm
故量块组按基本尺寸使用时的修正值为－0.4μm
二、函数随机误差计算
对于式(3—1)
随机误差是用表征其取值分散程度的标准差来评定的，对于函数的随机误差，也是用函数的标准差来进行评定。因此，函数随机误差计算，就是研究函数y的标准差与各测量值的标准差之间的关系。 若以各测量值的随机误差δ1，δ2，…．δn代替各微分量dx1，dx2，…，dxn只能得到函数的随机误差δy，而得不到函数的标准差σy。
按单项未定系统误差的标准差合成 按单项未定系统误差的极限误差合成
单击添加大标题
当各个单项未定系统误差均服从正态分布，且ρij＝0时，则有
当测量过程中存在各种不同性质的多项系统误差与随机误差，应将其进行综合，以求得最后测量结果的总误差。 常用极限误差来表示，也可用标准差来表示。
第四节 系统误差与随机误差的合成
第三节 系统误差的合成
由于两种系统误差的特征不同，其合成方法也不相同。
系统误差具有确定的变化规律，不论其变化规律如何，根据对系统误差的掌握程度，可分为已定系统误差和未定系统误差。
系统误差的大小是评定测量准确度高低的标志，系统误差越大，准确度越低；反之，准确度越高。
一、已定系统误差的合成
01
02
函数误差的概念
函数误差
间接测量
间接测得的被测量误差也应是直接测得量及其误差的函数，故称这种间接测量的误差为函数误差 通过直接测得的量与被测量之间的函数关系计算出被测量
间接测量的数学模型
与被测量有函数关系的各个直接测量值
y 间接测量值
求上述函数 y 的全微分，其表达式为：
函数随机误差公式为：
2） 余弦函数形式为:
函数随机误差公式为：
正切函数形式为: 函数随机误差公式为： 余弦函数形式为: 函数随机误差公式为：
解：由误差传递公式 因f1、f2的测量值的随机误差是相互独立的，所以相关系数ρf1f2＝0 则有
标准差
放大率Ｄ的计算值（不含随机误差）为
测量结果为
间接测量是通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其他量，按照已知的函数关系式计算出被测的量。因此间接测量的量是直接测量所得到的各个测量值的函数，而间接测量误差则是各个直接测得值误差的函数，故称这种误差为函数误差。研究函数误差的内容，实质上就是研究误差的传递问题，而对于这种具有确定关系的误差计算，也有称之为误差合成。
函数标准差计算
相关系数的讨论
若各测量值的随机误差是相互独立的，且当N适当大时，相关项 若定义 则有 ρ ij=0
令
若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项
或
（3-14）
则
（3-15）
由于各测量值随机误差间互不相关的情况较为常见，且当各相关系数很小时，也可近似地作不相关处理，因此式(3—14)或式(3—15)是较常用的函数随机误差公式。
随机误差的合成是采用方和根的方法，同时还要考虑到各个误差传递系数和误差间的相关性影响。
随机误差具有随机性，其取值是不可预知的，并用测量的标准差或极限误差来表征其取值的分散程度。
一、标准差的合成
在测量实践中，各个单项随机误差和测量结果的总误差也常以极限误差的形式来表示，因此极限误差的合成也较常见。 用极限误差来表示随机误差，有明确的概率意义。极限误差合成时，各单项权限误差应取同一置信概率。 按方和根法合成的总极限误差为
添加标题
一般的极限误差合成公式为
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（布时的情况
式(3—36)具有十分简单的形式。由于各单项误差大多服从正态分布或假设近似服从正态分布，而且它们之间常是线性无关或近似线性无关，因此式(3—36)是较为广泛使用的极限误差合成公式。
（3-36）
当各个单项随机误差均服从正态分布时，各个置信系数完全相同，且当各个误差互不相关，相关系数ρij＝0，则有
03
二、未定系统误差的合成
未定系统误差在测量实践中较为常见，对于某些影响较小的已定系统误差，为简化计算，也可不对其进行误差修正，而将其作未定系统误差处理，因此未定系统误差的处理是测量结果处理的重要内容之一。
若测量过程中存在若干项未定系统误差，应正确地将这些未定系统误差进行合成，以求得最后结果。
未定系统误差的特征
相互独立的函数标准差计算
函数的极限误差公式
（3-16）
第i个直接测得量 的极限误差
当各个测量值的随机误差都为正态分布时，标准差用极限误差代替，可得函数的极限误差公式
ai＝1情况下，函数的标准差和极限误差计算公式
01
03
05
02
04
三角函数的随机误差计算公式
01
02
1） 正弦函数形式为:
1．误差间的线性相关关系
2．相关系数
1
2
3
4
值得注意的是，相关系数只表示两误差的线性关系的密切程度，当ρ很小甚至等于0时，两误差间不存在线性关系，但并不表示它们之间不存在其他的函数关系。
当ρ＝+1时，称为完全正相关；P＝－1时，称为完全负相关。此时两误差ζ与η之间存在着确定的线性函数关系； 当ρ＝0时，两误差间无线性关系或称不相关，即一误差增大时，另一误差取值可能增大，也可能减小。
3.计算系统误差
因 根据式（３－６），有 式中各个误差传递函数为
代入角度的系统误差式，得
求角度的标准差
取置信系数t＝３，得
５.求极限误差
给出测量结果
三、误差间的相关关系和相关系数
（3-23）
式(3—23)表明，当ρij ＝1时，函数随机误差别具有线性的传递关系。 在函数误差及其他误差的合成计算时，各误差间的相关性对计算结果有直接影响。 当各误差间相关或相关性不能忽略时，必须先求出各个误差间的相关系数，然后才能进行误差合成计算。因此，正确处理误差间的相关问题，有其重要意义。 例如，当ρij=1时，函数随机误差别具有线性的传递关系：
置信概率？
例２ 用弓高弦长法间接测量大直径D
求解：
计算直径D0值
求直径的最后结果 若已知 建立函数关系式
3.计算直径D的系统误差
求直径的极限误差
给出测量结果
例３ 用双圆球法检定高精度内锥角 已知： 测得尺寸及系统误差为 求检定结果。 各测得值的标准差为
求解：
１.建立函数关系式 根据图所示的测量方法，可得函数关系为 式中 2.计算角度值 得
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04
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正弦函数的系统误差计算公式
函数 系统误差 因 则有 （3-5） （3-6） 同理可得其他三角函数的角度系统误差公式。
求测量结果。
例1 用弓高弦长法间接测量大直径D
如图所示，直接测得其弓高h和弦长s，然后通过函数关系计算出直径D。 若弓高与弦长的测得值及其系统误差为
函数系统误差计算公式
若已知各个直接测量值的系统误差⊿x1，⊿x2，…，⊿xn 由 y 的全微分，函数系统误差 ⊿y的计算公式
若已知各个直接测量值的系统误差⊿x1，⊿x2，…，⊿xn 由 y 的全微分，函数系统误差 ⊿y的计算公式
线性函数的系统误差计算
01
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02
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03
求解：
建立函数关系式
计算直径D的系统误差
直径D的系统误差公式为
计算各误差传递系数值
6.给出测量结果
通过修正可消除所求得的直径系统误差△D，则被测直径的实际尺寸为
5.计算系统误差值
将已知各误差值及误差传递系数代入直径的系统误差式，得
例２ 用量块组做标准件的测量 相对测量时需用54.255mm的量块组做标准件，量块组由四块量块研合而成，它们的基本尺寸如下： 已知各尺寸偏差及其测量极限误差分别为 试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量带来的测量误差？
（3-1）
一、函数系统误差计算
（3-2）
和 的量纲或单位不相同，则 起到误差单位换算的作用
和 的量纲或单位相同，则 起到误差放大或缩小的作用
为各个输入量在该测量点 处的误差传递系数
若测量过程中有s个单项未定系统误差，它们的标准差分别为ui，相应的误差传递系数为ai，则合成后未定系统误差的总标准差为 （3-38） 当ρij＝0时，则有 （3-39）
2．极限误差的合成
（3-41）
则有
（3-42）
（3-43）
总的未定系统误差的极限误差为 因为各个单项未定系统误差的极限误差为
一、按极限误差合成
2
1
3
对多次重复测量时的处理
二、按标准差合成
3
对多次重复测量时的处理
（3-51）
与极限误差合成的理由相同，对单次测量，可直接按上式求得最后结果的总标准差，但对n次重复测量，测量结果平均值的总标准差公式则为
函数随机误差的数学模型
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或
第i个直接测得量 的标准差
第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数
第i个直接测得量 对间接量 在该测量点 处的误差传递系数
第i个测量值和第j个测量值之间的协方差
误差间的线性相关关系是指它们具有线性依赖关系，这种依赖关系有强有弱。 联系最强时，在平均意义上，一个误差的取值完全决定了另一个误差的取值。此时两误差间具有确定的线性函数关系。 当两误差间的线性依赖关系最弱时，一个误差的取值与另一个误差的取值无关，这是互不相关的情况。 一般两误差间的关系是处于上述两种极端情况之间，既有联系而又不具有确定性关系。此时，线性依颜关系是指在平均意义上的线性关系，即一个误差值随另一个误差值的变化具有线性关系的倾向，但两者取值又不服从确定的线性关系，而具有一定的随机性。
确定两误差间的相关系数是比较困难的，通常可采用以下几种方法。 1．直接判断法 通过两误差之间关系的分析，直接确定相关系数ρ。如两误差不可能有联系或联系微弱时，则确定ρ＝0；如一个误差增大，另一个误差成比例地增大，则确定P＝1。 2．试验观察和简略计算法 在某些情况下可直接测量两误差的多组对应值(ζi，ηi)，用观察或简略计算法求得相关系数。 3．理论计算法 有些误差间的相关系数，可根据概率论和最小二乘法直接求出。
未定系统误差是指误差大小和方向未能确切掌握，或不必化费过多精力去掌握，而只能或只需估计出其不致超过某一极限范围±ei的系统误差。 也就是说，在一定条件下客现存在的某一系统误差，一定是落在所估计的误差区间(－ei，ei)内的一个取值,其相应的取值在误差区间(－ei，ei)内服从某一概率分布。
关于未定系统误差的概率分布
3.确定两误差间的相关系数的方法
(1)观察法
作图与标准图形比对，看它与哪一图形相近，从而确定相关系数的近似值。
(2)简单计算法
简单计算法是将点阵分为四部分(上下,左右均分)，计算 简单计算法的作图 （3-25）
(3)直接计算法
按相关系数的定义直接计算
（3-26）
第二节 随机误差的合成
第三章误差合成与分配
本章重点和难点
函数系统误差和函数随机误差的概念 随机误差的合成 未定系统误差和随机误差的合成 误差分配 微小误差取舍准则 最佳测量方案的确定
重点掌握：函数误差的计算方法； 掌握：误差和成方法及系统误差与随机误差的异同点； 了解：误差分配的基本步骤。
第一节 函数误差
前面讨论的主要是直接测量的误差计算问题，但在有些情况下，由于被测对象的特点，不能进行直接测量，或者直接测量难以保证测量精度，需要采用间接测量。
理论上此概率分布是可知的，但实际上常常较难求得。 目前对未定系统误差的概率分布，主要采用两种假设：一种是按正态分布处理；另一种是按均匀分布处理。
这两种假设，在理论上与实践上往往缺乏根据，因此对未定系统误差的概率分布尚属有待于作进一步研究的问题。
对未定系统误差的评定
未定系统误差的合成
1
2
1．标准差的合成
（3-30）
式中 ai——各极限误差传递系数； ρij——任意两误差间的相关系数
二、极限误差的合成
应用极限误差合成公式时，应注意：
置信概率不同时的处理
一般情况下，已知的各单项极限误差的置信概率可能不相同，不能按式(3—30)进行极限误差合成。应根据各单项误差的分布情况，引入置信系数，先将误差转换为标准差，再按极限误差合成。