高三+圆锥曲线基本量问题

x2 y2 1 ∴点 M 的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b =15 轨迹方程为 16 15
2
点评：得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即
2 2 列出 ( x 1) y
( x 1) 2 y 2 4 ，再移项，平方，相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较
繁琐！
一、专题精讲
例 1：△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且 sin C sin B
3 sin A 求点 A 的轨迹方程。 5
分析：由于 sin A 、 sin B 、 sin C 的关系为一次齐次式，两边乘以 2R（R 为外接圆半径） ，可转
化为边长的关系。 解： sin C sin B ∴ AB AC
辅导讲义
学员编号： 学员姓名： 授课 类型 授课日 期时段 教学内容 年 级： 辅导科目： 课 时 数： 学科教师：
(圆锥曲线的性质)
（圆锥曲线的例题）
一、同步知识梳理
见附件（可采用一问一答式或者学生总结教师补充的形式进行讲解）
二、同步题型分析
题型 1： (1) 抛 物 线 C:y =4x 上 一 点 P 到 点 A(3,4 ______________ (2)抛物线 C: y =4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标为
连 PF ， 当 A 、 P 、 F 三 点 共 线 时 ， AP PH AP PF 最 小 ， 此 时 AF 的 方 程 为
y
1 4 2 0 （注：另一交点为( , 2 )，它 ( x 1) 即 y=2 2 (x-1),代入 y2=4x 得 P(2,2 2 )， 2 3 1
2
2
2
2
分析：作图时，要注意相切时的“图形特征” ：两个圆心与切点这三点共线（如图中的 A、M、C 共线， B、D、M 共线） 。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径” （如图中的 MC MD ） 。 解：如图， MC MD ， ∴ AC MA MB DB即6 MA MB 2 ∴ MA MB 8 （*）
2 2
2 )与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为
。
分析： （1）A 在抛物线外，如图，连 PF，则 PH PF ，因而易发现，当 A、P、F 三点共线时，距 离和最小。
A Q H P F B
（2）B 在抛物线内，如图，作 QR⊥l 交于 R，则当 B、Q、R 三点共线时，距离和最小。 解： （1） （2， 2 ）
x2 y2 1 的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P 为椭圆上一动点。 4 3
（1） PA PF 的最小值为 （2） PA 2 PF 的最小值为 分析：PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径 PF 或准线作出来考虑问题。 解： （1）4- 5 设另一焦点为 F ，则 F (-1,0)连 A F ,P F
2 2 2
1 ， 2
1 PH ,即2 PF PH 2
∴ PA 2 PF PA PH
当 A、P、H 三点共线时，其和最小，最小值为 题型 3：
a2 xA 4 1 3 c
动圆 M 与圆 C1:(x+1) +y =36 内切,与圆 C2:(x-1) +y =4 外切,求圆心 M 的轨迹方程。
PA PF PA 2a PF 2a ( PF PA ) 2a AF 4 5
当 P 是 F A 的延长线与椭圆的交点时, PA PF 取得最小值为 4- 5 。 （2）作出右准线 l，作 PH⊥l 交于 H，因 a =4，b =3，c =1， a=2，c=1，e= ∴ PF
2 2 ( x1 x 2 ) 2 ( x12 x 2 ) 9 则 x1 x 2 2 x0 2 2 x1 x 2 2 y 0
2 2 2 2 2
① ② ③
由①得(x1-x2) [1+(x1+x2) ]=9 即[(x1+x2) -4x1x2]·[1+(x1+x2) ]=9 ④ 由②、③得 2x1x2=(2x0) -2y0=4x0 -2y0 代入④得 [(2x0) -(8x0 -4y0)]·[1+(2x0) ]=9
2 2 2 2 2 2 2

2
∴ 4 y 0 4 x0
2
9 ， 2 1 4 x0
2 4 y 0 4 x0
9 9 2 ( 4 x0 1) 2 1 2 4 x0 4 x0 1
点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支） 例 2：定长为 3 的线段 AB 的两个端点在 y=x 上移动，AB 中点为 M，求点 M 到 x 轴的最短距离。 分析： （1）可直接利用抛物线设点，如设 A(x1,x1 )，B(x2，X2 )，又设 AB 中点为 M(x0y0)用弦长 公式及中点公式得出 y0 关于 x0 的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。 （2）M 到 x 轴的距离是一种“点线距离” ，可先考虑 M 到准线的距离，想到用定义法。 解法一：设 A(x1，x1 )，B(x2，x2 )，AB 中点 M(x0，y0)
3 3 sin A ， 2 R sin C 2 R sin B 2 R sin A 5 5
3 BC 5
（*）
即 AB AC 6
∴点 A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4 所求轨迹方程为
x2 y2 1 （x>3） 9 16
为直线 AF 与抛物线的另一交点，舍去） （2） （
1 ,1 ） 4
过 Q 作 QR⊥l 交于 R，当 B、Q、R 三点共线时， BQ QF BQ QR 最小，此时 Q 点的纵坐标 为 1，代入 y =4x 得 x=
2
1 1 ，∴Q( ,1 ) 4 4
点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。 题型 2： F 是椭圆