第十章 双线性函数与正交空间、辛空间

课程：高等代数 第10.1.1页第十章 双线性函数与正交空间、辛空间
引言
本章从线性函数入手，开拓上一章的度量性考察，阐述一般数域上向量空间的度量性方法，在阐述双线性函数的一般概念之后，介绍颇有应用价值的正交空间、辛空间的一些基本结论．
§1 对偶空间
教学目的 通过2学时讲授，使学生理解线性函数、对偶空间的概念，基本掌握对偶基的概念及其求解．
教学内容
本节从向量空间一类特殊的线性映射—线性函数入手，阐述对偶空间的概念．
1.1 线性函数
设V 是数域F 上的一个向量空间．
定义1 设f ∈Hom(V ，F )，即∀α，β∈V ，∀k ∈F ，都有
f (α+β)=f (α)+f (β)，f (k α)=kf (α)，
则称f 为V 上的一个线性函数，也称为余向量(covectors)．
由于f ∈Hom(V ，F )，因而第七章§1－§3中关于线性映射的基本结果对于线性函数也成立．
线性函数是十分重要的函数类，在数学的各个分支和许多实际问题中都将遇到它．下面举几个例子．
例1 定积分使每一个连续函数f (x )对应一个实数,并
⎰b
a dx x f )(且满足 ．
⎰⎰⎰⎰⎰=+=+b a b a b
a b a b a dx x f k dx x kf dx x g dx x f dx x g x f )())(()()())()((，所以定积分是C [a ，b ]上的一个线性函数．
例2 矩阵的迹把数域F 上每一个n 阶矩阵A =(a ij )nn 对应F 中的一个元素,并且有
∑=n i ii a 1Tr(A +B )= Tr A + Tr B ，Tr(kA )=k Tr A ．
所以矩阵的迹是M n (F )上的一个线性函数．
例3 在数域F 上的一元多项式环F [x ]中，未定元x 用F 中的一个元素t 代入，它把每一个多项式f (x )对应F 中的元素f (t )．由于未定
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第10.1.2页元x 用t 代入保持加法与乘法(从而也保持纯量乘法)，所以x 用t (t ∈F )代入是向量空间F [x ]上的一个线性函数．
例4 给定F 中的n 个元素a 1，a 2，…，a n ，∀()∈n x x x ，，， 21F n ，规定
， (1)
n n n x a x a x a x x x f +++= 221121),,,(容易验证f 保持加法与纯量乘法两种运算．因此形如(1)的函数f 是F n 上的一个线性函数．
请注意，在数学分析中，把形如
++= 1121),,,(x a x x x g n 的n 元函数g 叫做线性函数．
若b ≠0，则g 不保持加法运算，b x a n n +也不保持纯量乘法运算，从而g 不是定义1意义上的线性函数．所以，“线性函数”这一术语在分析和代数里有不同的含义．代数课程中讲的线性函数是分析课程中的齐次线性函数．
我们来讨论有限维向量空间V 上的线性函数f 的表达式．
设V 是数域F 上的n 维向量空间，f 是V 上的一个线性函数．在V 中取一个基．由于f 可以看成是向量空间V 到向量空间F n ααα,,,21 的一个线性映射，因此f 完全被它在V 的一个基上的作n ααα,,,21 用所决定．即只要知道，就可以知道V 中任一)(,),(),(21n f f f ααα 向量在f 作用下的象
∑==n
i i i x 1αβ． (2)
∑==n
i i i f x f 1)()(αβ(2)就是线性函数f 在基α1，…，αn 下的表达式．它表明，f 在β上的函数值f (β)是β的坐标x 1，…，x n 的一次齐次多项式．
进而考虑数域F 上n 维向量空间V 上的线性函数的构造，由命题
7.1.2易见
定理10.1.1 设V 是F 上一个n 维向量空间，α1，α2，…，αn 是V 的一个基，a 1，a 2，…，a n 是F 中任意取定的n 个数，则存在V 上唯一确定的线性函数f ，使得
f (αi )=a i ， i =1，2，…，n ． (3)
因此，∈V ，则β在f 下的象为．
∑==∀n i i i x 1αβ∑==n
i i i a x f 1)(β1.2 对偶空间
课程：高等代数第10.1.3页设V是F上的一个向量空间，Hom(V，F)是V的所有线性函数组
成的集合，我们来讨论Hom(V，F)的结构，以及它与V的关系．从第
七章§2知道，Hom(V，F)也是F上的一个向量空间，称它是V上的
线性函数空间，也记作T1(V)．
以下设V是n维向量空间．注意到F看成自身上的向量空间是1
维的，因而有
dimHom(V，F)=dim F n⨯1=n．
这表明Hom(V，F)与V的维数相同，故它们同构，即Hom(V，F)≌V．在V中取一个基α1，α2，…，αn，我们来找Hom(V，F)的一个
基．由于Hom(V，F)是n维的，因此只要找出V上的n个线性函数，
并且它们线性无关就可以了．
由定理10.1.1，给定F中n个元素1，0，…，0，则存在V上唯
一的线性函数f1，使得f1(α1)=1，f1(α2)= …=f1(αn)=0；给定F中n
个元素0，1，0，…，0，则存在V上唯一的线性函数f2，使得f2(α
)=1，f2(αj)=0，j≠2；……；给定F中n个元素0，…，0，1，则存
2
在V上唯一的线性函数f n，使得f n(αn)=1，f n(αj)=0，j≠n．
这样我们找到了V上的n个线性函数f1，f2，…，f n，其中f i(1≤i
≤n)在基向量上的函数值为
f i(αj)=δij，(4)
这里δij是Kronecker记号．
现在我们断言f1，f2，…，f n是线性无关的．设
k1 f1+k2 f2+…+k n f n=0，(5)
并作用αj，则得k1f1(αj)+k2 f2(αj)+…+k n f n(αj)=0．于是由(4)推得
k j=0，j=1，…，n．因此f1，f2，…，f n线性无关．
综上所述，f1，f2，…，f n是Hom(V，F)的一个基．因此，我们得
到
定理10.1.2设V是数域F上的n维向量空间，则V上所有线性
函数组成的集合Hom(V，F)也是数域F上的n维向量空间，称为V
的对偶空间(或共轭空间)，记作V*；并且V*≌V．
若在V中取一个基α1，α2，…，αn，则由(4)确定的线性函数
f1，f2，…，f n是V*的一个基，叫做α1，α2，…，αn的对偶基．
设α1，α2，…，αn是V的一个基，f1，f2，…，f n∈V*是α1，α
，…，αn的对偶基．我们分别来讨论V中任一向量β在基α1，α2，…，α
2
下的坐标，以及V*中任一向量f在基f1，f2，…，f n
n
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第10.1.4页下的坐标．设，由(4)得
∑==n j j j x 1αβ， (6)
i n
j j i j i x f x f ==∑=1)()(αβ即β在基α1，…，αn 下的坐标的第i 个分量等于f i (β)．因此
． (7)
∑==n
i i i f 1)(αββV *中任取一个向量，比较左右两边的函数在αj 上的函数值
∑==n
i i i f c f 1得
． (8)
j j n i i i j c f c f ==∑=)()(1αα这表明f 在基f 1，f 2，…，f n 下的坐标的第j 个分量等于f (αj )．因此
． (9)
∑==n j j j f f f 1)(α例5 设V =M 2(F )，在V 中取一个基E 11，E 12，E 21，E 22，求它的对偶基f 11，f 12，f 21，f 22，并求V 上任一线性函数f 的表达式． 解 从(4)得
f 11(E 11)=1，f 11(E 12)=f 11(E 21)=f 11(E 22)=0，
f 12(E 12)=1，f 12(E 11)=f 12(E 21)=f 12(E 22)=0，
f 21(E 21)=1，f 21(E 11)=f 21(E 12)=f 21(E 22)=0，
f 22(E 22)=1，f 22(E 11)=f 22(E 12)=f 22(E 21)=0．
任取A =(a ij )22∈M 2(F )，由于，所以f 11(A )=a 11，f 12(A )=a 12，
∑∑===212
1i j ij ij E a A f 21(A )=a 21，f 22(A )=a 22．于是，对于V 上的任意一个线性函数f ,设f (E ij )=c ij ，i ，j =1，2，则由(9)得
)()()()()(2222212112121111A f c A f c A f c A f c A f +++=． (10)
2222212112121111a c a c a c a c +++=例6 考察实数域R 上的n 维向量空间V =R [x ]n ．对任意取定的n 个不同实数a 1，a 2，…，a n ，根据Lagrange 插值公式，得到n 个多项式
，i =1,2,…,n ． )
())(()()())(()()(111111n i i i i i i n i i i a a a a a a a a a x a x a x a x x p --------=+-+- 它们满足p i (a j )=δij ，因此p 1(x )，p 2(x )，…，p n (x )线性无关．因为由
c 1 p 1(x )+x 2 p 2(x )+…+c n p n (x )=0，
用a i 代入，即得
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第10.1.5页 ，i =1，2，…，n ． 0)()(1===∑=i n
k i i i i k k c a p c a p c 又V 是n 维的，所以p 1(x )，p 2(x )，…，p n (x )是V 的一组基． 设L i ∈V *(i =1，2，…，n )是在a i 点的取值函数：
L i (p (x ))=p (a i ) p (x )∈V ，i =1，2，…，n ，
则线性函数L i 满足
L i ( p j (x ))=p j (a i )=δij ．
因此，L 1，L 2，…，L n 是的对偶基． )()()(21x p x p x p n ，，
， V 中不同基的对偶基之间有什么关系？这就是
定理10.1.3 设V 是数域F 上n 维向量空间，α1，…，αn 与β1，…，βn 是V 的两个基．设它们的对偶基分别是f 1，…，f n 与g 1，…，g n ．若V 中基α1，…，αn 到基β1，…，βn 的过渡矩阵是A =(a ij )nn ，则V *中基f 1，…，f n 到基g 1，…，g n 的过渡矩阵为．
)(1'-A 证 由已知条件，有
(β1，…，βn )=(α1，…，αn )A (11)
于是 ． (12) ∑==
n
k k ki i a 1αβ设f 1，…，f n 到g 1，…，g n 的过渡矩阵为B =(b ij )nn ，则
(g 1，…，g n )=( f 1，…，f n )B (13)
于是．将此式的两边作用于βi ，并注意到，
∑==
n k k kj j f b g 1ki i k a f =)(β则得 ． (14)
∑∑=====n k n k ki kj i k kj i j ij a b f b g 11
)()(ββδ因此，A 'B =I n ．故B =( A ')－1=( A －1)'．
1.3 双重对偶空间
考察V 到V *的一个同构映射．因为V 和V *都是n 维的，所以它们都与F n 同构．我们知道，在数域F 上一个n 维向量空间取定一个基后，让每个向量对应到它在这个基下的坐标就是所给n 维向量空间到F n 的一个同构映射．于是，在V 中取一个基α1，α2，…，αn ，而f 1，f 2，…，f n ∈V *是α1，α2，…，αn 的对偶基，则有V 到F n 的一个同构映射σ1：
．
),,,()(2111n n
i i i a a a a =∑=ασ又有F n 到V *的一个同构映射σ2：
课程：高等代数 第10.1.6页．
∑==n
i i i n f a a a a 1212),,,( σ从而有V 到V *的一个同构映射σ=σ2σ1：
． (15)
∑∑===n
i i i n i i i f a a 11)(ασ设，记σ(α)=，则由(15)得
∑==n
i i i a 1αααf ． (16)
∑==n
i i i f a f 1α对于V 中任一向量，由(16)、(15)得
∑==n
i i i b 1αβ． (17)
∑∑====n
i i i n i i i b a f a f 11)()(ββα因此，α在上述同构映射下的象在β上的函数值(β)等于α与βαf αf 的坐标的对应分量乘积之和．
以上的讨论是在F 上任一n 维向量空间进行的．因此对于F 上n 维向量空间V ，我们也可以考虑V *上的所有线性函数组成的向量空间Hom(V *，F )(也记成T 1(V *))，它是V *的对偶空间，简记成V **．据定理10.1.2得，dim V **=dim V *=dim V ．因此
V ≌V **． (18)
V **叫做V 的双重对偶空间．
进而求V 到V **的一个同构映射，在V 中取一个基α1，…，αn ，设它的对偶基是f 1，…，f n ．任取V 中一个向量，则由上讨
∑==n
i i i a 1αα论有V 到V *的一个同构映射σ1，它把α映成f α．对V *，有V *到V **的一个同构映射σ2，它把f α映成α**，其中α**( f )等于f α与f 在基f 1，…，f n 下的坐标的对应分量乘积之和．由(16)、(9)两式，有．因此
∑∑====n
i i i n i i i f f f f a f 11)(αα，． (19)
∑∑==**===n i n
i i i i i f a f f a f 11)()()()(αααα这样，我们找到了V 到V **的一个同构映射σ=σ2σ1，它把V 中向量α映成V **中元素α**，其中
α**( f )=f (α)，f ∈V * ． (20)
∀因此证得
定理10.1.4 设V 是F 上的n 维向量空间，V **是V 的双重对偶空
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第10.1.7页间，则
V ≌V **；
并且V 到V **的一个同构映射是σ：αα**，其中α**( f )如(20)所 示．
必须指出，V 到V **的上述同构映射不依赖于V 中基的选择．因为上面在V 中取定一个基α1，…，αn ，我们找到了V 至V **的一个同构映射σ：αα**，其中α**( f )=f (α)，∀f ∈V *，即σ(α) f =f (α)，∀f ∈V *．
又在V 中另取一个基β1,…,βn ，设它的对偶基是g 1,…,g n ．则类似地有V 到V *的一个同构映射τ1,它把V 中向量映成g α；
∑==n i i i b 1βα且有V *到V **的同构映射τ2，它把g α映成τ2(g α)，其中τ2(g α) f 等于g α与f 在基g 1，…，g n 下的坐标的对应分量乘积之和．因为，并且f =，所以
∑==n i i i g b g 1α∑=n i i i g f 1
)(β (21) ∑∑=*=∈∀===n i n
i i i i i V f f b f f b f g 112),()()()(αββτα于是得到V 到V **的又一个同构映射τ=τ2τ1，它把V 中向量α映成τ(α)，其中
τ(α) f =(τ2τ1(α)) f =τ2 (g α) f =f (α)，∀f ∈V *． 因此σ(α) f =τ(α) f ，∀f ∈V *．由此得出
σ(α)=τ(α)，∀α∈V ．
故σ=τ．这就证明了
V 到V **的同构映射：αα**，其中α**( f )=f (α)不依赖于V 中 基的选择．这样的同构映射叫做标准同构或自然同构．
由于V 到V **存在自然同构，因此我们可以把V **与V 等同，从而可以把V 看成V *的对偶空间，这样V 与V *就互为对偶空间．这就是为什么把V *称为V 的对偶空间的原因．
由于V 可以看成是V *的对偶空间V **，而V **是V *上所有线性函数组成的空间，因此任一n 维向量空间可以看成是某个n 维向量空间上所有线性函数组成的空间．
课外作业：
P513：2、1)；3；4；5。