矩形截面单向偏心受压构件

大偏心受压
⑴As和A's均未知时
两个基本方程中有三个未知数，As、A's和 x，故无唯一解。
为使总配筋面积（As+ A's ）最小，可取x=xbh0 ,得:
As N e1ffcyb(h0 02hba (1)0.5b)
★若A's <0.002bh，则取
A's=0.002bh
在A's已知后，只有两个未知数，方程得以求解：
以上求得的A's <0.002bh时，应取A's
由基本公式求解x 和A's
的具体运算是很麻烦的。下面
介绍一种简单的近似计算方法：
迭代计算方法。
N
1
fcbx
fyAs
fy
b
As
Ne=1
fcbx(h0
x) 2
fyAs(h0
a)
用相对受压区
高度x 表示第二式： N e = 1 fc b h 0 2( 1 0 .5 ) fy A s ( h 0 a )
f'yA's
平面内的长细比 l0/b 较大时，尚应根据 l0/b 确定的稳定系数j，按轴心受压情况验
算垂直于弯矩作用平面的受压承载力。
上面求得的N 比较后，取较小值。
对称配筋截面设计
实际工程中，当构件承受变号弯矩作用，或为了构造简单 便于施工以及避免在施工中出现差错，常采用对称配筋截面；
对称配筋截面，即As=As'，fy = fy'，a = a'，其界限破 坏状态时的轴力为Nb=a1 fcbxbh0。
另一方面，当偏心距很小，N>fcbh时， 附加偏心距ea与荷载偏心距e0方向相反，则 可能发生As一侧混凝土首先达到受压破坏的
情况。
此时通常为全截面受压，由图示截面应
力分布，对A's取a N
As Neffycb(h0(hh0a)0.5h)
e'=0.5h-a'-(e0-ea) h'0=h-a'
为避免上式代入小偏心受压基本公式出
现 x 的三次方程，考虑到当ξ=ξb，σs=fy； ξ = β ，σs=0的两个边界条件，可采用以
ey
下σs与x的近似线性关系：
s
fy
b
xn
xn ecu
h0
ecu
h0
xnb
ecu
h0
s
fy
b
➢ 按上式算得的钢筋应力σs满足：- fy' s fy
➢ 当ξ ≥2β1- ξ时，取 σs=-f'y
e
ei N
N 1 f c b x f y A s s A s
N e= 1fcbx(h02 x)fy A s (h0a)
sAs
f'yA's
两个基本方程中有三个未知数，As、A's和x，故无唯一解。
s
fy
b
fys fy
当xb < x < (2b -xb)，As 无论怎样配筋，都不能达到屈服，为 使用钢量最小，故可取As =max(0.45ft/fy， 0.002bh)。
非对称截面配筋计算
两种偏心受压情况的判定：
如前所述，ξ≤ξb 为大偏心受压， ξ>ξb 为小偏
心受压;但在开始截面配筋计算时，As、A's和x未
知，由基本公式两个方程无法计算ξ，因此无法利 用ξ来判别。
可以近似按下面方法进行判别：
①hei ＞0.3h0，则按大偏心受压计算 ②hei ≤ 0.3h0，则按小偏心受压计算
As 1fcb0hbfy fyAsN
★若As<rminbh ，应取
As=rminbh。
⑵A's为已知时
N N u 1 f c bx f y A s f y A s
N e= 1fcbx(h02 x)fy A s (h0a)
当A's已知时，两个基本方程有二个未知数As 和 x，有唯一解。 先由第二式求解x，若x < xbh0，且x>2a' ，则可将x代入第一式得：
As
1fcbxfyAs
fy
N
★若As若小于rminbh
应取As=rminbh。
若x > xbh0
说明已知的A's尚不足，则应按A's为未知情况重 新计算确定A's
若x<2a'
则偏安全的近似取x=2a' ，按下式确定As：
As N(feyi(h00.5ah)a)
小偏心受压
若hei < 0.3h0，则按小偏心受压计算
1、给定轴力设计值N，求弯矩作用平面的弯矩设计值 M
由于给定截面尺寸、配筋和材料强度均已知，未知数只有x 和M➢ 两若个N。≤Nb，为大偏心受
N 压1fcbxfyAsfyAs
Ne1fcb(xh02 x)fyAs(h0a)
➢ 若N >Nb，为小偏心受
压
N1fcb
x
fyAs
fy
b
As
由第一式求x ，代入第 二式求e,进而求e0，则 弯矩设计值为M=Ne0。
大偏心受压（ ξ≤ξb ）
大偏心受压时受拉钢筋应力σs=fy,根据轴力和受 拉钢筋合力中心取矩的平衡建立基本计算公式：
N1fcbxfy'As' fyAs Ne1fcbx(h02x)fy'As' (h0as' )
e
ei N
为了保证受压钢筋 （A's）应力到达
f'y及受拉钢筋应力到达fy,则上式需符合下
在小偏压范围x =xb~1.1，as=x(1-0.5x) 变化很小。
0.5 0.6
对于Ⅱ级钢筋和
0.4 a( x)
<C50混凝土，as在
0.4~0.5之间，近似
0.2
取0.45。
00
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
x
1.1
取as =0.45
N
1
fcbx
fyAs
fy
b
As
As(1)
Ne0.451fcbh02
fy(h0a)
不对称配筋截面复核
在截面尺寸(b×h)、截面配筋As和A's 、材料强度(fc、fy， f'y)、以及构件长细比(l0/h)均为已知时，根据构件轴力和弯矩
作用方式，截面承载力复核分为两种情况：
➢ 给定轴力设计值N，求弯矩作用平面的弯矩设计值M
➢ 给定轴力作用的偏心距e0，求轴力设计值N
若x=N /a1 fcb<2a'，可近似取x=2a'，对受压钢筋合力点取矩可得：
As
As
Ne fy(h0a)
ei N
e' = hei -0.5h + a'
fyAs
'sA's
N
1
fcbx
fyAs
fy
b
As
2、当hei < 0.3h0，为小偏心受压
Ne=1
fcbx(h0
x) 2
fyAs(h0
a)
B(Nb，Mb)
➢ 如（N，M）在曲线外侧， 则表明截面承载力不足。
C(0，M0) Mu
初始偏心距ei
由于荷载不可避免地偏心、混凝土的非均匀性 及施工偏差等原因，都可能产生附加偏心距ea。
ea取20mm和偏心方向截面尺寸的1/30两者中 的较大者。
在正截面压弯承载力计算中，偏心距取计算偏
心距e0=M/N与附加偏心距ea 之和，称为初始偏心
矩形截面单向偏心受压构件
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大偏心受压：轴向力N的偏心距较大，且 纵筋的配筋率不高时，构件的破坏是由于受拉 钢筋首先到达屈服，而导致的压区混凝土压坏， 其承载力主要取决于受拉钢筋。
小偏心构件：轴向力N的偏心距较小，或轴 向力N的偏心距较大但纵筋的配筋率很高时，构 件的破坏是由于受压区混凝土到达其抗压强度， 距轴力较远一侧的钢筋，无论受拉或受压，一 般均未达到屈服，其承载力主要取决于受压区 混凝土及受压钢筋。
对称配筋情况下，除要考虑偏心距大小外，还要根据轴力
大小（N< Nb或N> Nb）的情况判别属于哪一种偏心受力情况。
1、当hei ≥ 0.3h0，且N< Nb时，为大偏心受压
N1fcbxfyAsfyAs Ne1fcb(xh02 x)fyAs(h0a)
x=N /a1 fcb
A sA sN ef1yf(ch b0( x ha 0 )0.5x)
距轴力较远的一侧纵筋（As）中应力σs<fy,
这时基本公式为：
e
N1fcbxfy'As' sAs
ei N
Ne1fcbx(h02x)fy'As' (h0as' )
sAs
f'yA's
“受拉侧”钢筋应力 ss
由平截面假定可得：
es
es ecu x= xn
es
h0 xn xn s=Eses
sE sec(ux/h01 )E sec(u 1 )
l0/i≤17.5),侧向挠度f与初始偏心距ei相距很小， 可略去不计；
➢ 长柱：柱的长细比较大，侧向挠度f与初始偏 心距ei相比已不能忽略；
➢ 细长柱：柱的长细比很大，侧向挠度出现不收 敛的增长，构件破坏时为失稳破环。
实际结构中最常见的 是长柱，计算中应考虑由 于构件侧向挠度而引起的 二阶弯矩的影响，为此引 用偏心增大系数η：
➢ 若hei≥e0b，为大偏心受
压
N1fcbxfyAsfyAs Ne1fcb(xh02 x)fyAs(h0a)
未知数为x和N两个，联立求解得x和N。
➢ 若hei<e0b，为小偏心受压
N
1
fcbx
fyAs
fy
b
As
Ne=1
fcbx(h0
x) 2
fyAs(h0
a)
联立求解得x和N
如ξ ＞2β- ξb,此时σs = - fy',则重新按下式求解x和N：
Nu-Mu相关曲线
对于给定的截面、材料强度和配筋，达到正截面承载
力极限状态时，其压力和弯矩是相互关联的，可用一条
Nu-Mu相关曲线表示。
Nu
相关曲线上的任一点代表截 面处于正截面承载力极限状态时 N0
A(N0，0)
的一种内力组合。
➢ 如一组内力（N，M）在曲 线内侧说明截面未达到极限状态， 是安全的；
a)
⑴若x <(2b -xb)，则将x 代入求得A's。
⑵若x >(2b -xb)，ss= -fy’，基本公式转化为下式：
NNu1fcbxfyAsfyAs
Ne1fcb(xh02 x)fyAs(h0a) 重新求解x 和A's
⑶若x h0>h，应取x=h，同时应取a1 =1，代入基本公式直接解得A's
As Neffycb(h0(hh0a)0.5h)
N1fcbxfyAs+fyAs Ne=1fcbx(h02x)fyAs(h0a)
尚应考虑As一侧混凝土可能先压坏的情况
Nfcb(h h 0 0.5h)A sfy (h0 a) e
e'=0.5h-a'-(e0-ea)，h'0=ha'
e'
e0 - ea N
另一方面，当构件在垂直于弯矩作用 f'yAs
距ei ：
ei e0ea
二阶效应
钢筋混凝土偏心受压构件中的轴向力在结构发 生侧向位移和挠曲变形时会引起附加内力，即二阶 效应。
下面介绍一种考虑二阶效应的方法——η—l0 法。
按长细比的不同，钢筋混凝土偏心受压 柱可分为短柱、长柱和细长柱。
➢ 短柱:长细比较小（l0/h≤5或l0/d≤5或
f'yAs
f'yA's
As max 00..04052ffbyth
Ne
f c bh ( h0
0.5h)
f y(h0 a)
确定As后，就只有x 和A's两
个未知数，故可得唯一解。根据
求得的x ，可分为三种情况:
NNu
1
fcbx
fyAs
fy
b
As
Ne=1fcbx(h0
x) 2
fyAs(h0
Ne1fcb
x(h0
x) 2
fyAs(h0
a)
2、给定轴力作用的偏心距e0，求轴力设计值N
e 0 b M b 0 .5 [1 fc b b h 0 ( h b h 0 ) (fy A s fy A s)h 0 ( a )
h 0 N b h 0
(1 fc b b h 0 fy A s fy A s) h 0
列条件：
x
2
a
' s
fyAs
f'yA's
x bh0
当x=ξbh0为大偏心受压的界限情况，由 基本公式可以得到界限情况下的轴向力Nb:
N b1fcbbh 0fy 'A s ' fyA s
➢当轴向设计力N ≤ Nb，为大偏心受压情况； ➢当轴向设计力N > Nb ，为小偏心受压情况。
小偏心受压（ ξ>ξb ）
fy(h0 a)
Ne=1
fcbx(h0
x) 2
fyAs(h0
a)
A's(1)的误差最大约为12%。
如需进一步求较为精确的解，
(1)
N
fyAs(1)
fy
b
As
1
fcbh0
fy
As
b
1
可将A's(1)代入基本公式求得x。
上述迭代是收敛的，且 收敛速度很快。
As(2)
N e1fcb0 2 h (1)(10.5(1))
或hei> 0.3h0，但N > Nb时，为小偏心受压
由第一式解得
fyA sfyA s(N1fcbh0)b b
代入第二式得
N b b e 1 fc b 0 2( 1 h 0 .5 )b b ( N 1 fc b h 0 )h 0 ( a )
ei f
ei
根据大量的理论分析及实验研究，《规 范》给出偏心距增大系数η的计算公式为：
1
1
1400
ei
l0 h
2
1 2
h0
1
0 .5 fc A N
2
1 .1 5
0 .0 1 l0 h
将短柱（η=1）承载力计算公式中的ei 代换为ηei，即可用来进行长柱的承载力计算。
基本公式的建立