三角函数中有关ω的取值范围与最值问题(原卷版)-2025数学一轮复习(含24年高考真题+回归教材)

重难点突破01三角函数中有关ω的取值范围与最值问题
目录
01方法技巧与总结 (2)
02题型归纳与总结 (3)
题型一：零点问题 (3)
题型二：单调问题 (4)
题型三：最值问题 (5)
题型四：极值问题 (6)
题型五：对称性问题 (7)
题型六：性质的综合问题 (8)
03过关测试 (9)
1、()sin()f x A x ωϕ=+在()sin()f x A x ωϕ=+区间()a b ，内没有零点⎪
⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≤+<+<+≤≤-⇒ππϕωπππϕωπk b k k a k T a b 2⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧
-+≤-≥
≤-⇒ωϕππωϕπk b k a T a b 2同理，()sin()f x A x ωϕ=+在区间[]a b ，内没有零点⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+<+<+<≤-⇒ππϕωπππϕωπk b k k a k T a b 2⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧
-+<->
<-⇒ωϕ
ππωϕπk b k a T a b 22、()sin()f x A x ωϕ=+在区间()a b ，内有3个零点
⎪⎩⎪⎨⎧+≤+<++<+≤≤-<⇒ππϕωππππϕωπk b k k a k T a b T 432(1)(3)(24)T b a k T
k a k k b πϕπϕω
ωπϕπϕ
ωω⎧
⎪⎪-+-⎪⇒≤<
⎨⎪⎪+<-≤-+-<≤⎪⎩
同理()sin()f x A x ωϕ=+在区间[]a b ，内有2个零点
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+≤++≤+<<-≤⇒ππϕωππππϕωπk b k k a k T a b T 32232(2))2(332k T T b k a k b a k πϕππϕω
ωπϕπϕ
ωω⎧⎪⎪
-+-⎪⇒<≤
⎨⎪⎪+≤-<-+-≤<⎪⎩
3、()sin()f x A x ωϕ=+在区间()a b ，内有n 个零点⇒(()(+1)1)(1)22
n T
n T b a k k a k n k n b πϕ
ππϕωωπϕπϕ
ωω-+≤-⎧⎪⎪
-+-⎪≤<
⎨⎪
⎪+-+-<≤⎩
<⎪
同理()sin()f x A x ωϕ=+在区间[]a b ，内有n 个零点
(1)(1()()22
+1)n T
n T b k k a k n k n b a πϕ
ππϕωωπϕπϕ
ωω-+≤-<⎧⎪⎪
-+-⎪⇒<≤
⎨⎪
⎪+-+-≤<⎪⎩
4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为
21
4
n T +，则21(21)42n n T b a π
ω
++==-．5、已知单调区间(,)a b ，则2
T
a b -≤
.题型一：零点问题
【典例1-1】已知函数()(
)sin (0,2f x x ωϕωϕπ
=+><，且(
)02
f =，则下列陈述不正确的是（）
A ．若函数()f x 的相邻对称轴之间的距离为2
π
，则函数()f x 的最小正周期为πB ．若函数()f x 的相邻对称轴之间的距离为
2π，则12
x π
=为()f x 的一条对称轴C ．若函数()f x 在区间()0,π上有三个零点，则ω的范围为811,33⎡⎫
⎪
⎢⎣⎭
D ．若函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
无零点，则ω的范围为410160,2,5,333⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⋃⋃ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭【典例1-2】（2024·陕西·模拟预测）已知函数(
)sin 1f x x x ωω=+()0ω>在()0,2π上有且只有5个零点，则实数ω的范围是（）
A ．1137,26⎛⎤
⎥
⎝⎦
B ．137,62⎛⎤ ⎥
⎝⎦C ．2511,124⎛⎤ ⎥
⎝⎦D ．25,12211⎛⎤ ⎥
⎝⎦
【变式1-1】已知函数π5π
()sin(3)sin(246
f x x x ωω=-+在区间(0,π)恰有6个零点，若0ω>，则ω的取值
范围为（）
A ．313(,)
412
B ．1317
(,)
1212
C ．1719(,]
1212
D ．197(,]
124
【变式1-2】已知π()2cos 3f x x ω⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
（其中0ω>），若方程|()|1f x =在区间(0,π)上恰有4个实根，则ω
的取值范围是（）
A ．8,33⎛⎤
⎥
⎝⎦
B ．8,33⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
C ．82,3⎡⎫⎪
⎢⎣⎭
D ．82,3⎛⎤ ⎥
⎝⎦
【变式1-3】函数()()2sin f x x ωϕ=+，（0ω>，π02ϕ<<）满足()01f =，且()y f x =在区间π,03⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上有且仅有3个零点，则实数ω的取值范围为（）
A ．()
5,7B ．11,82⎡⎫
⎪
⎢⎣⎭
C ．1319,22⎡⎫⎪
⎢⎣⎭
D ．[)
4,8【变式1-4】（2024·湖北武汉·模拟预测）设0ω>，已知函数()π5πsin 3sin 246f x x x ωω⎛
⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭在()0,π上
恰有6个零点，则ω取值范围为（）
A ．197,124⎛⎤
⎥
⎝⎦
B ．1719,1212⎛⎤ ⎥
⎝⎦C ．1317,1212⎛⎤ ⎥
⎝⎦D ．313,412⎛⎤ ⎥
⎝⎦
题型二：单调问题
【典例2-1】若函数()()πsin 06f x x ωω⎛
⎫=+> ⎪⎝⎭在区间ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上单调递增，则ω的取值范围是（
）
A ．(]0,2
B ．(]0,4
C ．(]0,6
D ．(]
0,8【典例2-2】（2024·四川成都·模拟预测）若函数()sin()(0)f x x ωω=>在π0,4⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，则ω的取值范
围为（
）
A ．10,2⎛⎫ ⎪
⎝⎭
B ．(0,2)
C ．10,2⎛⎤ ⎥
⎝⎦
D ．(0,2]
【变式2-1】已知函数()2
2cos 3f x x ω=-，若对任意的实数m ，()f x 在(),5m m +的值域均为[]3,1--，且
在,43ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，则ω的范围为.
【变式2-2】（2024·宁夏银川·三模）函数()y f x =的图像是由函数()cos y x ω=（ω大于零）的图像向左平移
6π
ω
个单位所得，若函数()y f x =在(),2ππ范围内单调，则ω的范围是.
【变式2-3】已知函数()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝
⎭，若函数()f x 在π,π2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的取值范围为
（）A ．[]
1,2B ．111,6⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦C ．5,23⎡⎤⎢⎥
⎣⎦D ．511,36⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
题型三：最值问题
【典例3-1】函数()2sin (0)3f x x πωω⎛
⎫=+> ⎪⎝
⎭在区间[0,20]上有50个最大值，则ω的范围
．
【典例3-2】若函数()sin 1(0)f x x x ωωω-+>在π0,2
⎛
⎫ ⎪⎝⎭
内存在最小值但无最大值，则ω的范围是
【变式3-1】（2024·江西鹰潭·三模）已知函数()()cos sin 0f x a x x ωωω=+>，若π3f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭()π6f x f ⎛⎫
≥ ⎪⎝⎭
，则ω的最小值为（
）
A ．11
B ．5
C ．9
D ．7
【变式3-2】函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在π7π,44⎛⎫
⎪⎝⎭内恰有两个最小值点，则ω的范围是（
）
A ．13,47⎛⎤
⎥
⎝⎦
B ．13,37⎛⎤ ⎥
⎝⎦
C ．4,43⎛⎤ ⎥
⎝⎦D ．4,33⎛⎤ ⎥
⎝⎦
题型四：极值问题
【典例4-1】记函数ππ()sin()0,22f x x ωϕωϕ⎛
⎫=+>-< ⎪⎝
⎭的最小正周期为T ．若
π22
8T f x ⎛⎫
== ⎪⎝⎭为()
f x 的极小值点，则ω的最小值为__________．
【典例4-2】已知函数()4sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛
⎫
=+><
⎪⎝
⎭
，(0)(4)2f f ==-，函数()f x 在(0,4)上有且仅有一个极小值但没有极大值，则ω的最小值为（）
A ．
6
πB ．
3
πC ．56
πD ．
43
π【变式4-1】（2024·山西运城·高三统考期中）已知函数()()cos 04f x x πωω⎛
⎫=+> ⎪⎝⎭在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
内有且仅有一
个极小值，且方程()12f x =
在区间0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
内有3个不同的实数根，则ω的取值范围是（）
A ．2511,62⎛⎫ ⎪
⎝⎭B ．2511,62⎡⎤⎢⎥
⎣⎦C ．2511,62⎛⎤
⎥
⎝⎦
D ．2511,62⎡⎫⎪
⎢⎣⎭
【变式4-2】（2024·全国·校联考三模）已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，,32x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
.若函数()f x 只
有一个极大值和一个极小值，则ω的取值范围为（）
A ．(]
2,5B ．()
2,5C ．82,3⎛⎤ ⎥
⎝⎦
D ．82,3⎛⎫ ⎪
⎝⎭
【变式4-3】函数()()πsin 03f x x ωω⎛
⎫=+> ⎪⎝
⎭在[]0,1上有唯一的极大值，则ω∈（
）
A ．13ππ,
6⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
B ．13ππ,6⎡⎫
⎪
⎢⎣
⎭C ．π13π,
66⎛⎤
⎥⎝⎦
D ．13π25π,6
6⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
题型五：对称性问题
【典例5-1】已知函数1
()2sin()(32
f x x x π=ω-ω>∈，R)，若()f x 的图象的任意一条对称轴与x 轴交点的横
坐标均不属于区间(3π,4π)，则ω的取值范围是（
）
A ．1287(,][,]23
96
B ．1171729
(,][,]2241824
C ．52
811
[,[,
]93
912
D ．11171723[
,][,18241824
【典例5-2】已知()2
cos 2cos f x wx wx wx =+，（0w >），若函数在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
内不存在对称轴，则
w 的范围为（
）
A ．1130,,634⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥
⎝⎦⎣⎦ B ．1230,334⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥
⎝⎦⎣⎦ C ．1120,,633⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥
⎝⎦⎣⎦
D ．1250,,336⎛⎤⎡⎤ ⎢⎥
⎝⎦⎣⎦
【变式5-1】已知函数()cos (0)4f x x πωω⎛
⎫=-> ⎪⎝
⎭在区间[0，π]上有且仅有3条对称轴，则ω的取值范围是
（
）
A ．
（134，17
4
]B ．
（94，13
4
]C ．[
94，13
4
）D ．[
134，17
4
）【变式5-2】函数()()πsin 04f x x ωω⎛
⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[]0,π上恰有两条对称轴，则ω的取值范围为（
）
A ．713,44⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
B ．911,44⎛⎤ ⎥
⎝⎦
C ．711,44⎡⎫⎪
⎢⎣⎭
D ．59,44⎡⎫⎪
⎢⎣⎭
【变式5-3】已知函数()2
1cos cos (0,)2
f x x x x x R ωωωω=+->∈在[]0,π内有且仅有三条对称轴，则ω
的取值范围是（
）
A ．2736,⎡⎫⎪
⎢⎣⎭B ．75,63⎡⎫⎪
⎢⎣⎭C ．513,36⎫⎡⎪
⎢⎣⎭D ．138,63⎡⎫⎪
⎢⎣⎭
题型六：性质的综合问题
【典例6-1】已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>），2
π
ϕ≤，下述五个结论：①若5π
ϕ=，且()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，则()f x 在()0,2π有且仅有3个极大值点；②若4
π
ϕ=
，且()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在[]0,2π有且仅有3个极小值点；
③若5πϕ=，且()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，则()f x 在0,10π⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递增；④若4π
ϕ=
，且()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则ω的范围是1519,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭
；⑤若()f x 的图象关于4x π=对称，4x π=-为它的一个零点，且在5,1836ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调，则ω的最大值为11.
其中所有正确结论的编号是（
）
A ．②③④
B ．①③⑤
C ．②④⑤
D ．①③④
【典例6-2】已知()2π12cos (0)3f x x ωω⎛
⎫=-+> ⎪⎝
⎭，下列结论错误的个数是（
）
①若()()121,1f x f x ==-，且12x x -的最小值为π，则2ω=；②存在()0,2ω∈，使得()f x 的图像向右平移
π
6
个单位长度后得到的图像关于y 轴对称；③若()f x 在[]0,2π上恰有7个零点，则ω的取值范围是4147,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦
；④若()f x 在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围是20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【变式6-1】（2024·天津·二模）已知函数()2ππsin 2sin 22cos 1(0)66f x x x x ωωωω⎛⎫⎛⎫=++-+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，则下列
结论正确的是（
）
A ．若()f x 相邻两条对称轴的距离为
π
2
，则2ω=；B ．若1ω=，则π0,2x ⎡⎤
∈⎢⎣⎦
时，()f x 的值域为[]1,1-；
C ．若()f x 在π0,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递增，则203
ω<≤；
D ．若()f x 在[]0,π上恰有2个零点，则
1117
1212
ω≤<.
【变式6-2】已知奇函数()()()πsin cos 0,2f x x x ωϕωϕωϕ⎛
⎫=+-+>< ⎝
⎭在()0,2π上有2个最值点和1个零
点，则ω的范围是
.
【变式6-3】（2024·安徽合肥·三模）已知函数()2
1cos cos (0)2
f x x x x ωωωω=++>在区间[)0,π上只有
一个零点和两个最大值点，则ω的取值范围是
．
【变式6-4】已知函数ππ()sin()1,0,22f x x ωϕωϕ⎛
⎫=++>-<< ⎪⎝
⎭，且1(0)2f =，()f x 在区间(0,2π)上恰有4
个不同的实数(1,2,3,4)i x i =，使得对任意x 都满()()22i f x f x x +-=，且对任意角α，()f x 在区间
π,2αα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭上均不是单调函数，则ω的取值范围是
.
1．已知函数()πcos (0)6f x x ωω⎛
⎫=+> ⎪⎝
⎭，若()f x 在区间[]0,1有三个零点，则ω的取值范围是（
）
A ．17π23π,66⎛⎤
⎥⎝⎦
B ．17π23,π66⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
C ．7π10π,
33⎛⎤ ⎥⎝⎦
D ．7π10π,33⎡⎫
⎪
⎢⎣⎭
2．
（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数()2π12sin (0)6f x x ωω⎛
⎫=-+> ⎪⎝
⎭在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有两个零点，则ω的取值范围是（
）
A ．713,66⎛⎫
⎪
⎝⎭
B ．713,66⎛⎤ ⎥
⎝⎦
C ．713,66⎡⎫⎪
⎢⎣⎭D ．713,66⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
3．若函数()π3sin (0)4f x x ωω⎛
⎫=-> ⎪⎝⎭在ππ,44ω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上恰好存在2个不同的0x 满足()03f x =-，则ω的取值范围是（）
A ．(]
9,17B ．[)
9,17C ．(]
10,19D ．[)
10,19
4．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数()2
cos 2cos f x x x x ωωω=+的定义域为[0,]2
π，在定义域内
存在唯一0x ，使得0()3f x =，则ω的取值范围为（
）
A ．113[,66
B ．113,66⎡⎫⎪
⎢⎣⎭C ．17[,]
33D ．17[,)
33
5．
（多选题）（2024·河北·模拟预测）已知函数()πsin (0)3f x x ωω⎛
⎫=+> ⎪⎝
⎭在[]0,π上有且仅有两个对称中心，则下列结论正确的是（）
A ．ω的范围是58,33⎡⎫
⎪
⎢⎣⎭
B ．函数()f x 在π0,12⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增C ．π
4
x =
不可能是函数()y f x =的图像的一条对称轴D ．()f x 的最小正周期可能为
π2
6．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知“[]x ”表示小于x 的最大整数，例如[][]54, 2.13=-=-.若[]sin x x ω=恰好有四个解,那么ω的范围是
.
7．已知函数()πsin (0)4f x x ωω⎛
⎫=-> ⎪⎝
⎭在区间()0,π上有且仅有2个不同的零点，则ω的范围为
.
8．若函数()ππsin ,,33f x x x ω⎡⎤
=∈-⎢⎥⎣⎦，且()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则ω的范围是
.
9．已知()()πsin 03f x x ωω⎛
⎫=-> ⎪⎝
⎭，()sin g x x x =-同时满足：
（1）(],πx ∀∈-∞，()0f x <或()0g x <﹔（2）()4π,0x ∃∈-﹐()()0f x g x <，则ω的范围为
．
10．（2024·高三·四川成都·开学考试）函数2()2cos (0)
2x
f x x ωωω->，已知()f x 在区间2(,)33
ππ-恰有三个零点，则ω的范围为
.
11．
（2024·天津河北·二模）已知函数()()πsin 0,02f x x ωϕωϕ⎛
⎫=+><< ⎪⎝
⎭的最小正周期为T ，若
()f T =
，π9x =时函数()f x 取得最大值，则ϕ=
，ω的最小值为
.
12．（2024·四川·三模）已知函数()()3sin cos 022
f x x x ωωω=>对任意的x ∈R ，都有()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，
则ω的最小值为
.
13．已知函数()()πsin cos 06f x x x ωωω⎛
⎫=+-> ⎪⎝
⎭在区间[]0,2π内恰有3个零点，则ω的取值范围是
．
11/1114．设0ω>，已知函数()π5πsin 3sin 246f x x x ωω⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭在区间()0,π恰有6个零点，则ω的取值范围为15．若函数()sin 0y x ωω>=在3π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上严格减，则正实数ω的取值范围是．
16．若函数()πcos (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝
⎭在ππ,128⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增则ω的取值范围为.17．（2024·陕西·模拟预测）已知函数()πsin 23f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭（0ω>）在区间()0,π上有且仅有3个极值点，则ω的取值范围是.
18．（2024·江西九江·三模）已知函数()πsin (0)4f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝
⎭在区间()0,π上有且仅有三个零点，则ω的取值范围是.
19．已知函数()()sin πf x x ω=（其中0)ω>在区间()0,1上单调递增，且在区间()0,7上有3个零点，则ω的取值范围为.
20．
（2024·湖北·二模）已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的最小正周期为T ，63T T f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()f x 在[]0,1内恰有10个零点则ω的取值范围是．
21．已知函数()(
)()sin f x x x ωω=，若沿x 轴方向平移()f x 的图象，总能保证平移后的曲线与直线1y =在区间[]0,π上至少有2个交点，至多有3个交点，则正实数ω的取值范围为（建议：作答写成区间．）
22．设常数0ω>，(
)2sin cos x x x f x ωωω=+()y f x =在区间π0,3⎡⎤⎢⎣⎦
上的最小值为0，则ω的最大值为
23．（2024·福建南平·二模）函数()()sin 0f x x ωω=>在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上单调递增，且在区间()0,2π上恰有两个极值点，则ω的取值范围是.。