【配套K12】高二数学上学期期中试题 文1

南城一中2017届高二上学期期中考试
数学（文）试 题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知A={y|y=log 2x ，x ＞1}，B={y|y=（
12
）x
，x ＞1}，则A ∩B=（ ） A.102⎛⎫ ⎪⎝⎭， B.（0，1） C ．112⎛⎫ ⎪⎝⎭
， D. ∅ 2.“1<m<3”是“方程
22
113x y m m
+=--表示椭圆”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.从一批产品中取出三件产品，设{A =三件产品全是正品}，{B =三件产品全是次品}，
{C =三件产品不全是次品}，则下列结论不正确的是（ ）
A ．A 与
B 互斥且为对立事件 B ．B 与
C 为对立事件 C ．A 与C 存在着包含关系
D ．A 与C 不是互斥事件 4. 执行如图所示的程序框图,输出2015
2016
s =
.那么判断框内应填( ) A ．2015?k ≤ B ．2016?k ≤ C ．2015?k ≥ D ．2016?k ≥
5.方程x 2
＋x ＋n ＝0(n ∈(0，1))有实根的概率为 ( )．
A ．
12 B ．13 C ．14 D ．3
4
6.已知x ，y 取值如下表：8
从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ，则a ＝(
)．
A ．1.30
B ．1.45 C
．1.65 D ．1.80 7.在等差数列{a n }
中，a 1+a 5=8，a 4=7，则a 5等于（
）
A. 3
B. 7
C. 10
D. 11
8.已知点(1,1).(1,2).(2,1).(3,4)A B C
D ---则向量AB uu u r 在CD uu
u r
方向上的投影为（ ）
A ．
2 B
．2 C ．2- D ．2
- 9.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积与体积分别为( )
A ．7 3
B ．73
2 C ．8
3 D ．83
2
10.已知O 是坐标原点，点()1,1A -，若点(),M x y 为平面区域2
12x y x y +≥⎧⎪
≤⎨⎪≤⎩
上的一个动点，则OA OM uu r uuu
r g 的
取值范围是（ ）．
A ．[]1,0-
B ．[]0,1
C ．[]0,2
D ．[]1,2-
11.设12,F F 是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点p ,使12120F PF ∠=︒,则椭圆离心率e 的取值范围是
( )
A ．⎛ ⎝⎭
B ．⎛ ⎝⎦
C ．⎫⎪⎪⎝⎭
D ．⎫⎪⎪⎣⎭
12．若直线y x b =+与曲线3y =-点，则b 的取值范围是（ ）
A ．[1,1-+
B ．[1-+
C ．[1-
D ．[3,1+
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.设函数f （x ）为偶函数，当x ∈（0，+∞）时，f （x ）=log 2x ，则f （= ___ _.
14.已知双曲线2
2
13
y x -=与抛物线22(0)y px p =>有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为M ，若||5MF =，则点M 的横坐标为___ _.
15.已知命题p ：∀x ∈[1，2]，x 2
﹣a≥0；命题q ：∃x ∈R ，x 2
+2ax+2﹣a =0，若命题“p 且q”是真命题，则实数a 的取值范围为___ _. 16.下列命题正确的序号是___ _.
①命题“若a b >，则22a b
>”的否命题是真命题；
②若命题1:
01p x >-“”，则；1
:01
p x ⌝≤-“”
； ③若p 是q 的充分不必要条件，则p ⌝是q ⌝的必要不充分条件；
④方程20ax x a ++=有唯一解的充要条件是12
a =±.
三、解答题：本大题共70分，其中17题为10分，18—22题每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17.已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =+ ⑴求数列{}n a 的通项公式；
⑵若12n
a
n b n ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

18.某校
⑴求图中a ⑵根据频率分布直方图，估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分；
⑶现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，
求其中恰有1人的分数不低于90分的概率？
19.已知椭圆与双曲线
22
1412
y x -=的焦点相同，且它们的离心率之和等于145. ⑴求椭圆方程；
⑵过椭圆内一点(1,1)M 作一条弦AB ，使该弦被点M 平分，求弦AB 所在直线方程.
20.已知向量1sin ,,3sin ,12222x x x a b ⎛⎫⎫
==- ⎪⎪⎝⎭⎭r r ，函数()f x a b =r r g ， △ABC 三个内角A 、B 、C 的
对边分别为a b c 、、.
⑴求()f x 的最小正周期和单调递增区间；
⑵若()1,3,1f B C a b +===，求△ABC 的面积S ．
21.如图，已知三棱锥A-BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ， M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形。

⑴求证： DM //平面APC ； ⑵求证：平面ABC ⊥平面APC ；
⑶若BC=4,AB=20,，求三棱锥D BCM -的体积.
22.如图所示，已知椭圆1C 和抛物线2C 有公共焦点)0,1(F ,1C 的中心和2C 的顶点都在坐标原 点，过点)0,4(M 的直线l 与抛物线2C 分别相交于B A ,两点（A 在下，B 在上） ⑴写出抛物线2C 的标准方程；
⑵若MB AM 2
1
=
，求直线l 的方程； ⑶若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线2C 上，直线l 与椭圆1C 有公共点，求椭圆1C 的
长轴长的最小值。

高二上学期期中考试数学答案(文)
1-12 ABAAC BCABC DC 13-15
3 a≤﹣2或a=1 (1).(3)
17.解：（1）当1=n 时，,21=a
当2≥n 时，
,2)1()1(2
21n n n n n S S a n n n =----+=-=-也适合1=n 时， ∴
n a n 2=
（2）n
n b n a n n +=+=)41
()21(，
∴2)1(411)
)41(1(41)21()41()41(412++
--=+++++++=n n n T n n n
2)
1())41(1(31++-=n n n
18.（Ⅰ）由题意得100.01100.02100.03100.035101a +⨯+⨯+⨯+⨯=，
所以005.0=a ．………………3分
（Ⅱ）由直方图分数在[50,60]的频率为0.05，[60,70]为0.35, [70,80]为0.30,[80,90]为0.20, [90,100]为0.10, 所以这100名学生期中考试数学成绩的平均分的估计值为：
550.05650.35750.30850.20950.1074.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ………………6分
（Ⅲ）由直方图，得：第3组人数为301003.0=⨯，
第4组人数为201002.0=⨯人， 第5组人数为101001.0=⨯人． 所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，
所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人． …………………9分
设第3组的3位同学为123,,A A A ，第4组的2位同学为12,B B ，第5组的1位同学为1C ，则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下:
12(,),A A 13(,),A A 11(,),A B 12(,),A B 11(,),A C 23(,),A A 21(,),A B 22(,),A B 21(,),A C 31(,),A B 32(,),A B 31(,),A C 12(,),B B 11(,),B C 21(,),B C
恰有1人的分不低于90分有11(,)A C ，21(,)A C ，31(,)A C ，11(,)B C ，21(,)B C ，共5种． 所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为
51
153
= ………………12分 19（Ⅰ）由题意知，双曲线的焦点坐标为)4,0(),4,0(-，离心率为4
22
e =
=， 设椭圆方程：)0(122
22>>=+b a b
x a y ，则4=c
5
425144=-===
∴a a c e ，5=∴a ， 91625222=-=-=∴c a b ， ∴椭圆方程为：19
252
2=+x y .
（Ⅱ）设),(),,(2211y x B y x A ，
M 为弦AB 的中点，2,22121=+=+∴y y x x ，
由题意：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(19
25)1(1925
22
2
22
12
1x y x y ，)2()1(-得 9)
)((25))((21212121x x x x y y y y -+-=-+，
9
25
)(9)(2521212121-=++-=--=
∴y y x x x x y y k AB ，
此时直线方程为：)1(9
25
1--
=-x y ，即034925=-+y x ， 故所求弦AB 所在的直线方程为034925=-+y x . 20.解：（Ⅰ）由题意得
1()sin sin )2222x x x f x a b =⋅=-+
21
cos sin 2222x x x =-+
=212cos 1sin 2
3+--x x =x x cos 21sin 23+πsin()
6x =+ ， 令
πππ2π2π262k x k -
≤+≤+ ()Z k ∈ 解得
2ππ
2π2π 33k x k -
≤≤+ ()Z k ∈
所以函数()f x 的单调增区间为2ππ2π,2π33k k ⎡
⎤-+⎢⎥⎣⎦()Z k ∈ . （Ⅱ） 解法一：因为()1,f B C +=所以π
sin()16B C ++=， 又(0,π)B C +∈，
ππ7π
(,)666B C ++∈, 所以
πππ,623B C B C ++
=+=
，所以
2π
3A =, 由正弦定理B b A a sin sin =
把1a b ==代入，得到
1sin 2B =
得
6B π
=
或者
56B π=
，因为23A π= 为钝角，所以56B π
=
舍去
所以
π6B =
，得π6C =.
所以，ABC ∆
的面积
111sin 1222S ab C =
=⋅= .
21.．（Ⅰ）∵M 为AB 中点，D 为PB 中点， ∴MD//AP ， 又∴MD ⊄平面ABC
∴DM//平面APC ． 3分 （Ⅱ）∵△PMB 为正三角形，且D 为PB 中点．∴MD ⊥PB ． 又由（1）∴知MD//AP ， ∴AP ⊥PB ． 又已知AP ⊥PC ∴AP ⊥平面PBC ，
∴AP ⊥BC ， 又∵AC ⊥BC ． 7分 ∴BC ⊥平面APC ， ∴平面AB C ⊥平面PAC ， （Ⅲ）∵ AB=20 ∴ MB=10 ∴PB=10 又 BC=4
，PC ==
∴111
4244ABC PBC S S PC BC ∆∆==⋅=⨯⨯=又
MD 12AP ==
∴V D-BCM = V M-BCD
=11
33
ABC S DM ∆⋅=⨯分
22.解：（1）
(2)设
（3）
椭圆设为
消元整理。