2022届四川省泸州市高三第三次教学诊断性考试数学理试题(解析版)

四川省泸州市2022届高三第三次教学质量诊断性考试
理科数学试题
一、选择题∶本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}03B x x =≤≤，则A B = （ ）A ．{}1B ．{}2C ．{}
1,2D ．{}
0,1,2
2 ）
A ．1i +
B ．1i -
C ．
1i 2+D ．
1i 2
-3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7624S S -=，38a =，则数列{}n a 的公差d =（ ）A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
4．空气质量指数（简称AQI ）是能够对空气质量进行定量描述的数据，AQI 越小代表空气质量越好．甲，乙两地在9次空气质量监测中的AQI 数据如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A ．甲地的AQI 的平均值大于乙地
B ．甲地的AQI 的方差小于乙地
C ．甲地的AOI 的中位数大于乙地
D ．甲地的空气质量好于乙地
5．抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点P 是C 上一点，若5PF =，则点P 到y 轴的距离为（ ）A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
6．下列函数中，定义域为R 且周期为π的偶函数是（ ）A ．()sin cos f x x x
=B ．()tan f x x =C ．()22
cos sin f x x x
=-D ．()sin 2f x x
=7．双曲线2
213x y -=的渐近线与圆2240x y x a +-+=相切，则=a ( )
A ．3
B ．5
C ．－3
D ．－5
8．如图，点,M N 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱1111,A B A D 的中点，用过点,,A M N 和点1,,D N C 的两个
截面截去正方体的两个角后得到的几何体的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图依次为
A ．①③④
B ．②④③
C ．①②③
D ．②③④
9．牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为0T ，则经过一定时间t 分钟后
的温度T 满足()012t
h
a a T T T T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
，h 称为半衰期，其中a T 是环境温度．若25a T =℃，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至45℃，大约还需要（参考数据：lg 20.30≈，lg11 1.04≈）（ ）
A ．9分钟
B ．10分钟
C ．11分钟
D ．12分钟
10．已知函数()()32,0
log ,0x x f x x k x +<⎧=⎨+≥⎩，则“(],3k ∈-∞”是“函数()()1F x f x =-有两个零点”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
11．算盘是中国发明的一种手动操作计算辅助工具，迄今已有2600多年的历史．现有一种算盘（如图一）共两档，自右向左分别表示个位和十位．档中横以梁，梁上一珠，拨下记作数字5，梁下四珠，上拨每珠记作数字1．现拔动算盘中两枚算珠，如图二则表示51，如图三则表示20．如果拨动图一算盘中的三枚算珠，表示的整数超过24的概率为（ ）
A ．
35
B ．
25
C ．
712
D ．
512
12．已知三棱锥P ABC -的底面ABC V 为等腰直角三角形，其顶点P 到底面ABC 的距离为3，体积为24，若该三棱锥的外接球O 的半径为5，则满足上述条件的顶点P 的轨迹长度为（ ）A ．6π
B ．30π
C ．(9π+
D ．(6π
+二、填空题
13．已知向量()2,3a =- ，()6,b m =r
，且满足a b a b +=- ，则m =______．14．曲线ln x
y x x
=
+在点()1,1处的切线方程为______．15．记n S 为递增的等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，327
2
S a =，则4S =______．16．已知x 、y ∈R ，且224x y +=，给出下列四个结论：①2x y +≤；②1xy ≥；③23x y +≤；④448x y +≥．其中一定成立的结论是______(写出所有成立结论的编号)．三、解答题
17．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知()πsin cos 6a A C b A ⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭．
(1)求A ；
(2)若D 为边AC 上一点，且AB AD =，8AC =，7BC =，求CD 的长．
18．劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值．某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽查了100名学生，其中有40名男生，并统计了这些学生在某个休息日做家务劳动的时间，将劳动时间分为5组：[)0.5,1，[)1,1.5，[)1.5,2，[)2,2.5，[]2.5,3，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)已知该校学生李华在该休息日做了1.6小时的家务劳动，根据绘制的频率分布直方图，试用统计的知识分析李华做家务劳动的时间处于什么水平（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）；(2)若做家务劳动的时间不低于2小时称为“喜欢做家务”，已知调查数据中喜欢做家务劳动的男生有5人，据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为“是否喜欢做家务劳动与性别有关”．
喜欢做家务
不喜欢做家务
男生女生
附：()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，
()
20P K k ≥0.100.050.010.0050.001
k 2.706 3.841 6.6357.87910.828
19．已知直三棱柱111ABC A B C -中，D 为11B C 的中点．
(1)从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立；
①11A B B C ⊥；②1BD B C ⊥；③1111A B A C =．
(2)若2AB AC ==，BC =1BD B C ⊥，求直线1B C 与平面ABD 所成角的正弦值．
20．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的离心率为12，过C 的右焦点且垂直于x 轴的直线被C 截得的线段长
为3．
(1)求C 的方程；
(2)过点()0,1P 的直线l 交C 于A ，B 两点，点B 关于y 轴的对称点为D ，直线AD 交y 轴于点E ，若△EAB 的面积为3，求l 的方程．
21．已知函数()()ln 1f x x ax =+-．
(1)若()f x 在[)0,∞+上是减函数，求实数a 的最小值；
(2)若()()2e 0x
f x a a ax a ≤-->恒成立，求a 的取值范围．
22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21x t
y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为
极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为π4ρθ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭．
(1)求曲线C 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，若点P 的直角坐标为()2,1，求AB
PM
的值．23．已知函数()2
a f x x =-
．(1)当2a =时，求不等式()2
1f x x ≥-+的解集；
(2)若()()g x f x x b c =+++(a ，b ，c 均为正实数)的最小值为3，求222a b c ++的最小值．
参考答案：
1．D 【解析】【分析】
依题意需要找到集合A 和集合B 中的公共元素，即是集合A 中在03x ≤≤范围内的元素．【详解】
由题意知，对于集合B ：03x ≤≤，
∴在集合A 中只有0、1、2满足条件，{}
012A B ∴= ，，故选：D ．2．A 【解析】【分析】
根据复数的模长公式化简分子，再运用复数的除法运算进行化简求值即可．【详解】
()()()()21i 21i 2
1i 1i 1i 1i 2
++=
===+--+故选：A ．3．B 【解析】【分析】
利用等差数列的通项公式与前n 项和的关系式，以及等差数列的性质即可得出．【详解】
设等差数列{}n a 的首相为1a ，公差为d ，则()11n a a n d +-=，由等差数列的性质可得，
77624a S S =-=，又 38
a =()731162416
a a a d a d d ∴-=+-+==解得4d =故选：B ．
4．D 【解析】【分析】
利用给定的AQI 数据图，结合平均数、方差、中位数的意义分别判断各项即可.【详解】
由AQI 数据图知，甲地9次监测数据有7次均在50以上，只有两次在50以下，并且与50相差较小，乙地9次监测数据有7次均在50以下，有两次在50附近，并且与50相差很小，
甲地的AQI 的平均值大于50，乙地的AQI 的平均值小于50，甲地的AQI 的平均值大于乙地，A 正确；甲地9次监测数据的折线图比较平滑，波动较小，乙地9次监测数据波动较大，即甲地的AQI 的方差小于乙地，B 正确；
甲地9次监测数据的中位数大于50，乙地9次监测数据的中位数小于50，甲地的AOI 的中位数大于乙地，C 正确；
甲地9次监测数据中有8个都高于乙地对应监测数据，再结合平均值、中位数看，乙地的空气质量要好于甲地，D 不正确.故选：D 5．A 【解析】【分析】
根据抛物线焦半径公式，求得点P 的横坐标，即可求得结果.【详解】
根据题意，点F 的坐标为()1,0，故15P PF x =+=，即4P x =，即点P 到y 轴的距离为4.故选：A .6．C 【解析】【分析】
根据函数定义域的求法，首先确定定义域是否为R ，通过观察法即可得到；其次根据周期函数定义对各个函数进行运算确定周期性，再根据函数奇偶性的定义确定奇偶性进而得出答案．【详解】
对于A 、C 、D 三个选项观察得函数定义域都为R ，即定义域关于原点对称；
对于B 选项定义域为2x x k k Z π
π⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭， ，所以排除B ；
对于A ：()()()sin cos f x x x πππ+=++()
sin cos x x f x ==()f x ∴的周期为π
又()()()()sin cos sin cos f x x x x x f x -=--=-=-
()f x ∴是奇函数，所以排除A ；
对于C ：()()()()
2222
cos sin cos sin f x x x x x f x πππ+=+-+=-=()f x ∴的周期为π
又()()()()
2222
cos sin cos sin f x x x x x f x -=---=-= ()f x ∴是偶函数，所以C 正确；
对于D ：()sin 2sin 222f x x x f x ππ⎛⎫⎛
⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭()f x ∴的周期为2π
所以排除D ；故选：C ．7．A 【解析】【分析】
根据双曲线标准方程求出其渐近线方程，根据圆心到直线的距离等于半径即可求出a 的值．【详解】
双曲线2
213x y -=的渐近线为y ＝，即x ＝0，圆2240x y x a +-+=化为22(2)4x y a -+=-，则4－a ＞0，a ＜4，
圆心为(2，0)，半径r
=3a =．
故选：A ．8．D 【解析】
由正视图的定义可知：
点A. B . 1B 在后面的投影点分别是点D. C . 1C ，
线段AN 在后面的投影面上的投影是以D 为端点且与线段C 1C 平行且相等的线段，即正视图为正方形，另外线段AM 在后面的投影线要画成实线,被遮挡的线段D 1C 要画成虚线，故几何体的正视图为②，左视图为③，俯视图为④；故答案为②、③、④选D
点睛：直接利用三视图的定义，正视图是光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图，据此可以判断出其正视图．左视图是光线从几何体的左侧向右侧正投影得到的投影图，据此可以判断出其左视图．类似判断俯视图即可9．B 【解析】【分析】
根据已知条件代入公式计算可得1110211h
⎛⎫= ⎪
⎝⎭，再把该值代入，利用对数的运算性质及换底公式即可求解.【详解】
解：由题意，25a T =℃，由一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，可得()11752580252h
⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，
所以11501025511h
⎛⎫== ⎪
⎝⎭
，又水温从75℃降至45℃，所以()1452575252t h
⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
，即12022505t
h
⎛⎫=
=
⎪⎝⎭
，
所以1
1110222115t
t t h
h ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎢⎥=== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，
所以10112lg
22lg 2120.315log 101051lg111 1.04lg 11
t -⨯-==
=≈=--，所以水温从75℃降至45℃，大约还需要10分钟.故选：B.10．B
【分析】
作出f (x )的图像，函数()()1F x f x =-有两个零点，即y ＝f (x )图像与y ＝1图像有两个交点，数形结合即可求出k 的范围，根据充分条件和必要条件的概念即可判断正确选项．【详解】
f (x )的图像如图所示，
函数()()1F x f x =-有两个零点，即y ＝f (x )j 图像与y ＝1图像有两个交点，由图可知，3log 1k ≤，即0<k ≤3﹒
∴“(],3k ∈-∞”是“函数()()1F x f x =-有两个零点”的必要不充分条件．故选：B ．11．C 【解析】【分析】
根据题意，求得拨动算盘中的三枚算珠所有产生的整数个数，再求满足题意的整数个数，利用古典概型的概率计算公式即可求得结果.【详解】
拨动三枚算珠，有如下12种可能：
若3枚算珠都在个位，则共有2种情况，分别是3和7；
当十位选梁下1枚算珠，个位2枚算珠时，共有2种情况，分别是12和16；当十位选梁下2枚算珠，个位1枚算珠时，共有2种情况，分别是21和25；当十位选梁上1枚算珠，个位2枚算珠时，共有2个整数，分别是52和56；
当十位选梁上1枚，梁下1枚算珠，个位1枚算珠时，共有2种情况，分别是61和65；当十位选3枚算珠时，共有2种情况，分别是30和70；综上所述，拨动三枚算珠，可能产生12种情况；
其中满足整数超过24的，有7种情况：25,52,56,61,65,30,70，故整数超过24的概率为712
.故选：C .12．D 【解析】【分析】
利用三棱锥P ABC -的体积，求解底边边长，求出ABC V 的外接圆半径，以及球心O 到底面ABC 的距离，判断顶点P 的轨迹是两个不同截面圆的圆周，进而求解周长即可．【详解】
依题意得，设底面等腰直角三角形ABC V 的边长为()0x x >，∴三棱锥P ABC -的体积211
324
32
V x =⋅⋅⋅=
解得：x =
ABC ∴V 的外接圆半径为11
2
r ==∴球心O 到底面ABC 的距离为
11d ===，又 顶点P 到底面ABC 的距离为3，
∴顶点P 的轨迹是一个截面圆的圆周
当球心在底面ABC 和截面圆之间时，球心O 到该截面圆的距离为2312d =-=，
截面圆的半径为2r ===，
∴顶点P 的轨迹长度为22r π=；
当球心在底面ABC 和截面圆同一侧时，球心O 到该截面圆的距离为3314d =+=，
截面圆的半径为33r ===，
∴顶点P 的轨迹长度为326r ππ=；
综上所述，顶点P 的轨迹的总长度为(6π
+
故选：D ．【点睛】
本题考查空间几何体外接球的问题以及轨迹周长的求法，考查空间想象能力、转化思想以及计算能力，题目具有一定的难度．13．4【解析】【分析】
根据题意可得0a b ⋅=
，结合向量垂直的坐标表示，即可求得关于m 的等式，求解即可.【详解】
因为a b a b +=- ，两边平方则：222222a b a b a b a b ++⋅=+-⋅ ，
故可得0a b ⋅=
，
又()2,3a =- ，()6,b m =r ，则1230m -=，解得4m =.故答案为：4.14．21y x =-【解析】【分析】
利用导数几何意义求解即可.【详解】
221
ln 1ln 11
x x
x x y x x ⋅--'=+=+，112k =+=，
则切线方程为：()121y x -=-，即21y x =-.故答案为：21y x =-15．15【解析】【分析】
设等比数列公比为q ，根据327
2
S a =和数列为递增数列求出q 的值，根据等比数列求和公式解求4S 的值．【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，
由3272S a =
得，123272
a a a a ++=，即2512q q +=，解得q ＝2或q ＝1
2，
∵{}n a 是递增数列，∴q ＝2，∴4
4412211512
S -==-=-．故答案为：15．16．①④【解析】【分析】
利用基本不等式可判断①和④，取特殊值x ＝0、y ＝2log 3可判断②，取特殊值y ＝1
2可判断③．【详解】
对于①，∵20,20x y >>，
∴由224x y +=得，422x y =+≥=
即4≥，解得2x y +≤(当且仅当1x y ==时取等号)，故①一定成立；
对于②，当20,log x y ==3时，224x y +=成立，但1xy ≥不成立，故②不一定成立；
对于③，当1
2
y =
时，由224x y +=得24x =，
则13
2343022
x
y +-=+
-=>，即23x y +>，故③不一定成立；④将224x y +=两边平方得144216x y x y ++++=，∴144162x y x y +++=-，
由①可知：131********
x y x y x y x y +++++≤⇒++≤⇒≤=⇒-≥-11621688x y ++⇒-≥-=，
∴448x y +≥，当且仅当1x y ==时取等号，因此④一定成立﹒故答案为：①④﹒【点睛】
本题①和④利用基本不等式即可求解，需要熟练运用基本不等式求范围.对于②和③，取特殊值验算即可快速求解﹒17．(1)
3
π
(2)3或5【解析】
【分析】
（1）由正弦定理及和差角公式化简已知条件，即可求A ；
（2）设()08CD x x =<<，则8AB AD x ==-，在ABC V 中，利用余弦定理即可求解.(1)
解：在ABC V 中，由sin()cos 6a A C b A π⎛
⎫+=- ⎪⎝⎭，可得sin cos 6a B b A π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭，
所以由正弦定理可得sin sin sin cos 6A B B A π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，
因为0B π<<，所以sin 0B >，
所以1sin cos sin 62A A A A π⎛⎫=-=+ ⎪⎝
⎭1
sin 02A A -=，
所以cos 06A π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，
因为0A π<<，所以76
6
6
A π
π
π
<+
<
，所以6
2
A π
π
+=
，即3
A π
=
；
(2)
解：由题意，设()08CD x x =<<，则8AB AD x ==-，
因为8AC =，7BC =，
所以由余弦定理可得()()2
22
788288cos
3
x x π
=-+-⨯⨯-，即28150x x -+=，解得3x =或5x =，
所以CD 的长为3或5.18．(1)47%的水平
(2)列联表见解析，2 5.556 3.841K ≈>，有95%的把握认为“是否喜欢做家务劳动与性别有关．【解析】【分析】
（1）首先根据题意得到0.7m =，再根据频率直方图求解即可.（2）首先计算2 5.556 3.841K ≈>，即可得到答案.(1)
由题知：()0.30.50.40.10.51m ++++⨯=，解得0.7m =.劳动的时间在[)0.5,1.5的频率为()0.30.50.50.4+⨯=，劳动的时间在[)1.5,2的频率为0.70.50.35⨯=，
0.35
0.40.475
+
=，所以1.6小时的家务劳动处于47%的水平.(2)
22⨯列联表
喜欢做家务
不喜欢做家务
合计男生53540女生204060合计
25
75
100
()2
2
100540352050 5.556 3.841406025759
K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，
所以有95%的把握认为“是否喜欢做家务劳动与性别有关．19．(1)证明见解析；
【解析】【分析】
（1）根据线面垂直的判定和性质，根据不同的选择，即可证明；
（2）以1A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设出1AA 长度，利用1BD B C ⊥，求得1AA ，再求得直线1B C 的方向向量和平面ABD 的法向量，利用向量法即可求得结果.(1)
连接1A D ，如下所示：
选择①11A B B C ⊥，②1BD B C ⊥，证明③1111A B A C =如下：因为11A B B C ⊥，1BD B C ⊥，11,,A B BD B A B BD ⋂=⊂面1A BD ，故1B C ⊥面1A BD ，又1A D ⊂面1A BD ，故可得11B C A D ⊥.又111ABC A B C -为直三棱柱，故1CC ⊥面111A B C ，因为1A D ⊂面111A B C ，故11A D CC ⊥；
又1111,,CC B C C CC B C ⋂=⊂面11CC B B ，故1A D ⊥面11CC B B ，又11B C ⊂面11CC B B ，故可得111A D B C ⊥，
因为D 为11B C 的中点，故可得在平面111A B C 中，1A D 垂直平分11B C ，则1111A C A B =.
选择①11A B B C ⊥，③1111A B A C =，证明②1BD B C ⊥如下：因为D 为11B C 的中点，且1111A B A C =，在△111A B C 中，由三线合一可知111A D B C ⊥；又111ABC A B C -为直三棱柱，故1CC ⊥面111A B C ，因为1A D ⊂面111A B C ，故11A D CC ⊥；
又1111111,,CC B C C CC B C ⋂=⊂面11CC B B ，故1A D ⊥面11CC B B ，又1B C ⊂面11CC B B ，故11B C A D ⊥；
又11B C A B ⊥，11111,,A D A B A A D A B ⋂=⊂面1A BD ，故1B C ⊥面1,A BD BD ⊂面1A BD ，故1BD B C ⊥.
选择②1BD B C ⊥，③1111A B A C =，证明①11A B B C ⊥如下：
因为D 为11B C 的中点，且1111A B A C =，在△111A B C 中，由三线合一可知111A D B C ⊥；又111ABC A B C -为直三棱柱，故1CC ⊥面111A B C ，因为1A D ⊂面111A B C ，故11A D CC ⊥；
又1111111,,CC B C C CC B C ⋂=⊂面11CC B B ，故1A D ⊥面11CC B B ，又1B C ⊂面11CC B B ，故11B C A D ⊥；
又111,,,B C BD A D BD D A D BD ⊥⋂=⊂面1A BD ，故1B C ⊥面1A BD ，因为1A B ⊂面1A BD ，故11B C A B ⊥.(2)
因为2,AB AC BC ===，则222AB AC BC +=，故AB AC ⊥，则1111A B A C ⊥，
又111ABC A B C -为直棱柱，故1AA ⊥面1111111,,A B C A B A C ⊂面111A B C ，故111111,AA A B AA A B ⊥⊥，
故11111,,AA A B A C 两两垂直，则以1A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如下所示：
设1AA a =，则()()()()()()()1110,0,0,0,0,,2,0,0,2,0,,0,2,0,0,2,,1,1,0A A a B B a C C a D ，
故()()11,1,,2,2,BD a B C a =--=-
，
因为1BD B C ⊥，故21220BD B C a ⋅=+-=
，解得2a =，
故()()()()()10,0,2,2,0,2,1,1,0,2,0,0,0,2,2A B D B C ，
()()2,0,0,1,1,2AB AD ==-
，
设平面ABD 的法向量(),,m x y z =
，
则00m AB m AD ⎧⋅=⎪
⎨⋅=⎪⎩ ，即2020x x y z =⎧⎨+-=⎩，取1z =，解得0,2x y ==，
则()0,2,1m =
，又()12,2,2B C =- ，设直线1B C 与平面ABD 所成角为θ，
则11sin m B C m B C θ⋅=== 即直线1B C 与平面ABD
20．(1)22
143
x y +=；
(2)220x y -+=或220x y +-=.【解析】【分析】
（1）根据题意，列出,,a b c 等量关系，求解即可；
（2）设出直线l 的方程，联立椭圆方程求得根与系数的关系，写出直线AD 方程，求得点E 的纵坐标，利用韦达定理以及三角形的面积公式，即可求得直线斜率以及直线方程.(1)
设椭圆的右焦点为(),0F c ，对22221x y a b
+=，令x c =，解得2
b y a =±，
由题可知：2
23b a =，即232a b =；
由离心率为12可得：1
2c a =，结合222a b c =+
，解得2,1a b c ===；
故C 的方程为：22
143x y +=.
(2)
由题可知，直线l 的斜率存在，又其过点()0,1P ，设其方程为：1y kx =+，
联立C 方程：22143x y +=可得：()22
34880k x kx ++-=，
设,A B 坐标为()()1122,,,x y x y ，则()22,D x y -，1212
22
88,3434k x x x x k k -+=-
=++，又AD 直线方程为：()12
2212y y y y x x x x --=
++，令0x =，
故可得()()()()()
2122122121122212
12
12
12
11E kx x x kx x x kx x x kx x x y y kx x x x x x x x x ---++=
+=
++=
+
++++12
12
213x x k
x x =+=+，则2E P EP y y =-=，又
12x x -===
故12132EAB
S EP x x =⨯-==V ，整理得：4248850k k +-=，即()()22
125410k k +-=，
解得2
1
4k =
，即12
k =±，故l 的方程为：1
12y x =±+，即220x y -+=或220x y +-=.
【点睛】
本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中三角形面积的求解，解决问题的关键是，合理转化三角形面积为121
2
EAB S EP x x =
⨯-V ，再利用韦达定理求解；属综合中档题.21．(1)1；(2)[)1,+∞．【解析】【分析】
(1)根据题意可知()0f x '…在[)0,∞+恒成立，参变分离可求a 的最小值；
(2)()()2e 0x f x a a ax a -->…等价于()2ln 1e x
x a a ++…，∵不等式在x ≥－1时恒成立，故当x ＝0时也恒成立，
据此即可求得a ≥1﹒然后在证明当1a …时，不等式()2ln 1e x
x a a ++…恒成立即可．证明不等式恒成立时，可利
用当1x >-时，()ln 1x x +…对不等式进行放缩化简．(1)∵()1
1
f x a x '=
-+，若()f x 在[)0,∞+上是减函数，则()0f x '…在[)0,∞+恒成立，即
101a x -+…，即11
a x +…对0x …恒成立，∵0x …，∴1
011
x <+…，因此实数a 的最小值为1；(2)
∵1x >-，∴()()2e 0x f x a a ax a -->…等价于()2ln 1e ,
x
x a a ++…∵0x =时，2a a …，∴1a …，
下面证明当1a …时，不等式()2ln 1e x
x a a ++…恒成立，
先证明当1x >-时，()ln 1x x +…，
由(1)知，当1a =时，()f x 在()1,0-上单增，在[]0+∞,上单减，∴()()00f x f =…，∴当1x >-时，()ln 1x x +…，
要证明()2ln 1e x
x a a ++…，只需证明对任意的()1,x ∈-+∞，2e 0x a x a --…恒成立，
令()2e x g x a x a =--，则()2e 1x
g x a =-'，
令()2e 10x
g x a =-='，得2ln 0x a =-…，
当2ln 1a --…，即a …时，()0g x '…，∴()g x 单调递增，
于是()()2
21e e e
11110e e 244
a g x g a a ⎛⎫>-=+-=--+>-+> ⎪⎝⎭，
当2ln 1a ->-，即1a <…时，()g x 在()1,2ln a --上单减，在()2ln ,a ∞-+单调递增，
∴()()2
2
1
2ln 2ln 2ln 1g x g a a a a a a a -=⋅
+-=-+…，
令()2ln 1h a a a =-+，则()2110h a a =->
>'，
∴()h a 在在⎡⎣单调递增，于是()()10h a h =…，即()0h a …，∴()0g x …恒成立，
∴1a …，不等式2e 0x a x a --…恒成立，
因此当1a …时，不等式()2ln 1e x
x a a ++…恒成立，
即a 取的值范围是[)1,+∞．【点睛】
本题第二问的关键点是注意到x ＝0时可直接求出a 的范围，再去证明这个范围是成立的即可﹒证明不等式恒成立时，需用当1x >-时，()ln 1x x +…对不等式进行放缩．
22．(1)22220x y x y +-+=，表示以()1,1-
【解析】
【分析】
(1)π4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭两边同时乘以ρ，利用余弦和角公式展开，代入x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ化简即可得曲线C 的直角坐标方程，根据方程的特征可判断该曲线为圆，取出圆心和半径即可；
(2)将直线l 的参数方程化为标准形式，代入(1)中C 的直角坐标方程得到关于参数t 的二次方程，设方程的两个实数根为12,t t ，则,A B 两点所对应的参数为12,t t ，根据韦达定理和直线参数方程参数的几何意义即可表示出12122
AB
t t t t PM
-=+，代值计算即可．(1)
曲线:4C πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，可化为2cos 4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，即22cos 2sin ρρθρθ=-，
因此曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +-+=，即22(1)(1)2x y -++=，
它表示以()1,1-
(2)
∵直线l 的参数方程为21x t y t =+⎧⎨=+⎩
(t 为参数)，∴直线l
的参数方程可变为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，∵点()2,1P 在直线上，且在圆C 外，
把21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22220x y x y +-+=
中，得230t ++=，设方程的两个实数根为12,t t ，则,A B 两点所对应的参数为12,t t ，
又12123t t t t +=-=，则点M
对应的参数为122t t +=
∴
12122AB
t t t t PM -====+23．(1){0x
x ∣…或1}x …；(2)4．
【解析】
【分析】
(1)代入a ＝2，根据x 的范围去绝对值，分类讨论解二次不等式即可；
(2)根据绝对值三角不等式可得32a b c ++=，根据柯西不等式()2
22211142a a b c b c ⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭即可得222a b c ++的最小值．
(1)
当2a =时，不等式()21f x x -+…即211x x --+…，
∴：2111x x x ⎧⎨--+⎩……，或2111x x x <⎧⎨--+⎩
…，∴112
x x x ⎧⎨-⎩或………，或101x x x <⎧⎨⎩或……，故不等式的解集为{0x
x ∣…或1}x …；(2)由绝对值三角不等式可得：
()()3222a a a g x x x b c x x b c b c ⎛⎫=-+++--++=++= ⎪⎝⎭…，当且仅当()02a x x b c ⎛⎫-++ ⎪⎝
⎭…时取等号，∵,,a b c 均为正实数，∴
32a b c ++=，∴根据柯西不等式可得，()2
222111942a a b c b c ⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…，∴2224a b c ++…，当且仅当2a b c ==，即24,33
a b c ===时等号成立，∴222a b c ++的最小值是4．。