高考数学复习素材：专题五知能演练轻松闯关

1．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1，直线l 的方程为x －2y ＝0，点P 在直线l 上，过点P 作圆M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B .
(1)若∠APB ＝60°，试求点P 的坐标；
(2)若P 点的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于C ，D 两点，当|CD |＝2时，求直线CD 的方程．
解：(1)设P (2m ，m )，由题可知|MP |＝2，
所以(2m )2＋(m －2)2＝4，解之得m ＝0或m ＝45
. 故所求点P 的坐标为P (0,0)或P ⎝⎛⎭⎫85，45.
(2)由题意易知k 存在，
设直线CD 的方程为y －1＝k (x －2)，
由题知圆心M 到直线CD 的距离为22， 所以22＝|－2k －1|1＋k 2
，解得，k ＝－1或k ＝－17， 故所求直线CD 的方程为x ＋y －3＝0或x ＋7y －9＝0.
2．(2013·韶关模拟)已知抛物线C 的方程为x 2＝4y ，M 为直线l ：y ＝－m (m ＞0)上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A 、B .
(1)当M 的坐标为(0，－1)时，求过M ，A ，B 三点的圆的方程，并判断直线l 与此圆的位置关系；
(2)求证：直线AB 恒过定点；
(3)当m 变化时，试探究直线l 上是否存在点M ，使△MAB 为直线三角形，若存在，有几个这样的点，若不存在，说明理由．
解：(1)当M 的坐标为(0，－1)时，设过M 点的切线方程为y ＝kx －1，代入x 2＝4y ，整理得x 2－4kx ＋4＝0，
令Δ＝(－4k )2－4×4＝0，解得k ＝±1，
代入方程得x ＝±2，故得A (2,1)，B (－2,1)，
因为M 到AB 的中点(0,1)的距离为2，
从而过M ，A ，B 三点的圆的方程为x 2＋(y －1)2＝4.
易知此圆与直线l ：y ＝－1相切．
(2)设切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，过抛物线上点A (x 1，y 1)的切线方程为(y －y 1)＝k (x －x 1)，代入x 2＝4y ，整理得x 2－4kx ＋4(kx 1－y 1)＝0.
Δ＝(4k )2－4×4(kx 1－y 1)＝0，
又因为x 21＝4y 1，所以k ＝x 12
. 从而过抛物线上点A (x 1，y 1)的切线方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 214
. 又切线过点M (x 0，y 0)，所以得y 0＝x 12x 0－x 214
，① 即y 0＝x 12
x 0－y 1.
同理可得过点B (x 2，y 2)的切线为y ＝x 22x －x 224
. 又切线过点M (x 0，y 0)，所以得y 0＝x 22x 0－x 224
，② 即y 0＝x 22
x 0－y 2， 即点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均满足y 0＝x 2
x 0－y ， 即x 0x ＝2(y 0＋y )，故直线AB 的方程为x 0x ＝2(y 0＋y )．
又M (x 0，y 0)为直线l ：y ＝－m (m ＞0)上任意一点，故x 0x ＝2y －m 对任意x 0成立，所以x ＝0，y ＝m ，从而直线AB 恒过定点(0，m )．
(3)由(2)知k MA ＝x 12，k MB ＝x 22
且x 1，x 2是方程x 2－2x 0x ＋4y 0＝0的两实根，即x ＝x 0±x 20－4y 0，
从而⎩
⎪⎨⎪⎧
x 1＋x 2＝2x 0x 1x 2＝4y 0， 所以k MA ·k MB ＝x 12×x 22
＝y 0. 当y 0＝－1时，即m ＝1时，直线l 上任意一点M 均有MA ⊥MB ，△MAB 为直角三角形． 当y 0≠－1时，即m ≠1时，MA 与MB 不垂直．
因为k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2
＝x 1＋x 24＝x 02， k MA ＝x 12＝x 0±x 20－4y 02
， 所以k AB ·k MA ＝x 02×x 0±x 20－4y 02 ＝x 0(x 0±x 20－4y 0)4
. 若k MA ·k AB ＝－1，则x 0(x 0±x 20－4y 0)4
＝－1， 整理得(y 0＋2)x 20＝－4，
又因为y 0＝－m ，所以(m －2)x 20＝4，
因为方程(m －2)x 20＝4有解的充要条件是m ＞2.
所以当m ＞2时，有MA ⊥AB 或MB ⊥AB ，△MAB 为直角三角形．
综上所述，当m ＝1时，直线l 上任意一点M ，使△MAB 为直角三角形；当m ＞2时，直线l 上存在两点M ，使△MAB 为直角三角形；当0＜m ＜1或1＜m ≤2时，△MAB 不是直角三角形．
3．(2012·高考课标全国卷)设抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．
(1)若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；
(2)若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．
解：(1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形，|BD |＝2p ，圆F 的半径|F A |＝2p .
由抛物线定义可知A 到l 的距离d ＝|F A |＝2p .
因为△ABD 的面积为42，所以12
|BD |·d ＝42， 即12
·2p ·2p ＝42， 解得p ＝－2(舍去)或p ＝2.
所以F (0,1)，圆F 的方程为x 2＋(y －1)2＝8.
(2)因为A ，B ，F 三点在同一直线m 上，
所以AB 为圆F 的直径，∠ADB ＝90°.
由抛物线定义知|AD |＝|F A |＝12
|AB |， 所以∠ABD ＝30°，m 的斜率为33或－33
. 当m 的斜率为33
时， 由已知可设n ：y ＝33
x ＋b ，代入x 2＝2py 得， x 2－233
px －2pb ＝0. 由于n 与C 只有一个公共点，故Δ＝43
p 2＋8pb ＝0. 解得b ＝－p 6
. 因为m 的截距b 1＝p 2，|b 1||b |
＝3， 所以坐标原点到m ，n 距离的比值为3.
当m 的斜率为－33
时，由图形对称性可知，坐标原点到m ，n 距离的比值也为3. 综上，坐标原点到m ，n 距离的比值为3.
4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)，直线l 为圆O ：x 2＋y 2＝b 2的一条切线，且经过椭圆的右焦点，记椭圆离心率为e . (1)若直线l 的倾斜角为π6
，求e 的值； (2)是否存在这样的e ，使得原点O 关于直线l 的对称点恰好在椭圆C 上？若存在，请求出e 的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)设椭圆的右焦点为(c,0)，c ＝a 2－b 2.
则直线l 的方程为y ＝(x －c )×tan π6
，即x －3y －c ＝0. 因为直线l 与圆O 相切，所以圆心O 到直线l 的距离|－c |2＝b ，即b ＝12
c . 所以a 2＝b 2＋c 2＝54c 2，从而离心率e ＝c a ＝25
5. (2)假设存在e 满足条件，显然直线l 的斜率不为0，不妨设直线l 的方程为x ＝my ＋c ， 即x －my －c ＝0.
因为直线l 与圆O 相切，所以圆心O 到直线l 的距离|－c |
1＋m 2＝b ，即m 2＝c 2b 2
－1.①
设原点O 关于直线l 的对称点为O ′(x 0，y 0)，
则⎩⎨⎧ y 0x 0＝－m ，x 02＝m y 0
2＋c ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2c m 2＋1，
y 0＝－2mc m 2＋1.
因为O 在椭圆C 上，所以x 20a 2＋y 20b
2＝1， 即4c 2a 2(m 2＋1)2＋4m 2c 2b 2(m 2＋1)2
＝1.② 将①代入②，化简，得b 2＝3c 2. 由①可得，此时m 2＝c 2b 2－1＝－23
，不成立． 故不存在符合条件的e .
5．(2013·深圳调研)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32
，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2(r >0)，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N .
(1)求椭圆C 的方程；
(2)求TM →·TN →的最小值，并求此时圆T 的方程；
(3)设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R ，S ，O 为坐标原点，求证：|OR |·|OS |为定值．
解：(1)∵椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32
，a ＝2 ∴c ＝3，b ＝a 2－c 2＝1.
故椭圆C 的方程为x 24
＋y 2＝1. (2)易知点M 与点N 关于x 轴对称，
设M (x 1，y 1)，N (x 1，－y 1)，不妨设y 1>0.
由于点M 在椭圆C 上，∴y 21＝1－x 214
.(*) 由已知T (－2,0)，
则TM →＝(x 1＋2，y 1)，TN →(x 1＋2，－y 1)，
∴TM →·TN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 1＋2，－y 1)
＝(x 1＋2)2－y 21
＝(x 1＋2)2－⎝⎛⎭⎫1－x 2
14＝54x 21＋4x 1＋3
＝54⎝
⎛⎭⎫x 1＋852－15. 由于－2<x 1<2，故当x 1＝－85时，TM →·TN →取得最小值－15
. 把x 1＝－85代入(*)式，得y 1＝35，故M (－85，35
)． 又点M 在圆T 上，代入圆的方程得r 2＝1325
. 故圆T 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝1325
. (3)证明：设P (x 0，y 0)，
则直线MP 的方程为y －y 0＝y 0－y 1
x 0－x 1(x －x 0)．
令y ＝0，得x R ＝x 1y 0－x 0y 1y 0－y 1
， 同理，x S ＝x 1y 0＋x 0y 1y 0＋y 1
， 故x R ·x S ＝x 21y 20－x 20y 21y 20－y 21
.(**) 又点M 与点P 在椭圆上，
故x 20＝4(1－y 20)，x 21＝4(1－y 21)，
代入(**)式，得，
x R ·x S ＝4(1－y 21)y 20－4(1－y 20)y 21y 20－y 21
＝4(y 20－y 21)y 20－y 21＝4. 所以|OR |·|OS |＝|x R |·|x S |＝|x R ·x S |＝4为定值．。