高三数学下学期第四次月考试题理

卜人入州八九几市潮王学校第一2021届高
三数学下学期第四次月考试题理
一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给的四个选项里面，只有一项为哪
一项哪一项符合题目要求的．
{
}{lg ,|A x y x B y y ====，那么A
B =
A.[0,)+∞
B.()0,+∞
C.
()1,+∞ D.[1,)+∞
z 满足
i 11
=-z
，那么以下说法正确的选项是 A.z 为纯虚数B.z 的虚部为i C.在复平面内，z 对应的点位于第一象限D.2||=z
3.空气质量指数AQI 是一种反映和评价空气质量的方法，AQI 指数与空气质量对应如下表所示： 如图是某城2021年12月全月的AQI 指数变化统计图. 根据统计图判断，以下结论正确的选项是 A.整体上看，这个月的空气质量越来越差.
B.整体上看，前半月的空气质量优于后半个月的空气质量.
C.从AQI 数据上看，前半月的方差大于后半个月的方差.
D.从AQI 数据上看，前半月的平均值小于后半个月的平均值. A.假设
q p ∨q p ∧
B.在△ABC 中，“A<B〞是“sinA<sinB〞的充要条件.
C.0232
=+-x x ，那么1=x 或者2=x 1≠x 或者2≠x ，那么0232≠+-x x 〞.
D.
p ：R x ∈∃，使得012<-+x x ，那么p ⌝：R x ∈∀，使得012>-+x x .
5．某空间几何体的三视图如下列图，那么该几何体的体积为
A ．
356B ．5683π- C ．364D ．6483
π-
俯视图
正视图
侧视图
,x y 满足0
260
x y x
x y >⎧⎪
≥⎨⎪+-≤⎩
，那么2y x +的最小值为 A ．1B ．2 C ．3D ．5
a 与a
b +的夹角为60°，3||,1||==b a ，那么a b ⋅=
A.0B.2
3-
C.23-
或者0D.2
3- 8．定义在R 上的偶函数
()f x 满足(1)(1)0,(0)2f x f x f -++==，那么2019
1()k f k ==∑
A.－2021
B.－2 C 9.在空间直角坐标系O-xyz 中，点)1,0,0(),1,2,0(),1,2,2(),1,2,2(D C B A -都在同一个球面上，那么该
球的外表积是 A.π16 B.π12 C.π34
D.π6
R 的水车，一个水斗从点()
33,3A -t 秒后，水斗旋转到P 点，设P 的坐标为(),x y ，其纵坐标满足
()()sin y f t R t ωϕ==+0,0,2t πωϕ⎛
⎫≥>< ⎪⎝
⎭.那么以下表达错误的选项是．
A.6,,30
6
R
π
π
ωϕ==
=-
B ．当[]35,55t ∈时，点P 到x 轴的间隔的最大值为6
C ．当[]10,25t ∈时，函数()y f t =单调递减
D ．当20t
=时，63
PA =
11.双曲线()22
22:10,0a x y E a b
b >->=的左、右焦点分别为12,F F ，点,M N 在E 上，
12122
//,5
MN F F MN F F =，线段2F M 交E 于点Q ，且2F Q QM =，那么E 的离心率为
A 5
B 15．23102)(x e x f x +=和x kx x g ln )(+=的图像有两个不同的交点，那么实数k 的取值范围是
A.)1,0(
B.)1,(+e e
C.),(+∞e
D.),1(+∞+e
二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分．
13.在平面直角坐标系xOy 中，设角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点)1,2(-P ，那么)2sin(απ-的值是_______
14．在52)1(x x ++
的展开式中，3x 的系数为．
15.椭圆E:22
143
x y +=与圆C:22(1)4x y -+=相交于A ，B 两点，点P 为劣弧AB 上异于A,B 的动点，与x 轴平行的直线PQ 交E 于点Q(点Q 在第一象限)，那么||2||PQ QC +的取值范围是________ 16.假设ABC ∆的面积为3，且2AB AC =，那么BC 的最小值为_____
三、解答题：一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考
生都必须答题，第22、23题为选考题，考生根据要求答题． 17.〔本小题总分值是12分〕 设数列}{n a 满足1
221,2,4n n a a a a +===.
(1)证明：}{n a 是等比数列，并求}{n a 的通项公式；
(2)设1(1)(1)n n
n n a b a a +=
++，数列{}n b 的前n 项和n S ，证明：11
62
n S ≤<.
18.〔本小题总分值是12分〕
如图1，四边形PBCD 是等腰梯形，BC//PD ，PB=BC=CD=2，PD=4，A 为PD 的中点，将△ABP 沿AB 折起，如图
2，设M 为PD 的中点.
(1)证明：PC⊥平面ABM ；(2)假设PC=2,求二面角B －CD －M 的余弦值. 19.〔本小题总分值是12分〕
某种规格的矩形瓷砖〔600 mm×600 mm〕根据长期检测结果，各厂消费的每片瓷砖质量
X 〔kg 〕都服从正态
分布2
,)N
μσ（，并把
质量在3,3)μσμσ-+（之外的瓷砖作为废品直接回炉处理，剩下的称为正品. 〔1〕从甲陶瓷厂消费的该规格瓷砖中抽取10片进展检查，求至少有1片是废品的概率；
〔2〕假设规定该规格的每片正品瓷砖的“尺寸误差〞计算方式为：设矩形瓷砖的长与宽分别为a (mm)、
b (mm)，
那么“尺寸误差〞(mm)为600600a b -+-，按行业消费HY ，其中“优等〞、“一级〞、“合格〞瓷砖的“尺寸误差〞范围分别是[00.2]，、(0.20.5]，、(0.51.0]，〔正品瓷砖中没有“尺寸误差〞大于1.0 mm 的瓷砖〕，每片价格分别为元、元、5.0元.现分别从甲、乙两厂消费的该规格的正品瓷砖中随机抽取100片瓷砖，相应的“尺寸误差〞组成的样本数据如图.用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率.
〔i 〕记甲厂该种规格的的2片正品瓷砖卖出的钱数为ξ〔元〕，求ξ的分布列. 〔ii 〕由图可知，乙厂消费的该规格的正品瓷砖只有“优等〞、“一级〞两种，
求5片该规格的正品瓷砖卖出的钱数不少于36元的概率. 附：假设随机变量Z 服从正态分布2
(,)N μσ，那么(33)0.997 4P Z μσμσ-+=＜＜;
100.99740.9743≈.40.80.4096=,50.80.32768=
20.〔本小题总分值是12分〕
点)1,0(),1,0(N M -，平面上的动点P 满足||||NP MN MP MN ⋅=⋅，
(1)设点P 的轨迹为曲线E ，求E 的方程； (2)过点N 的直线交E 于,A C 两点，E 在点C 处的切线为1l ,
经过点
A 的直线2l 交E 于点
B (B 与
C 不重合)，且1l //2l ，求ABC ∆面积的最小值.
21.〔本小题总分值是12分〕
函数
()e ln(1)cos ,R x f x x ax x a =++--∈.
(1)假设1a ≤，证明：()f x 是定义域上的增函数；
(2)是否存在a ，使得
()f x 在0x =处获得极小值？并说明理由.
22.〔本小题总分值是10分〕选修4-4：极坐标与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线2
21:14x C y +=，曲线222cos ,:()2sin ,
x C y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数. 以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求12,C C 的极坐标方程； (2)射线l 的极坐标方程为(0)θ
αρ=≥，假设l 分别与12,C C 交于异于极点的,A B 两点，
求
||
||
OB OA 的最大值. 23.〔本小题总分值是10分〕选修4-5：不等式选讲 函数
|3|)(-=x x f .
求不等式
的解集；|1|2)(++<x x f
(2)正数,m n 满足
11
2mn m n
+=，证明：()()6mf n nf m +-≥.
一中二零二零—二零二壹高三年级第四次月考试卷
理科数学参考答案
选择题ADCBDBABBCBD 填空题13.5
4-
17.解(1)证明：由得数列}{n a 的奇数项是以1为首项，4为公比的等比数列；
数列}{n a 的偶数项是以2为首项，4为公比的等比数列.………………………………………..1分
122121*2112242,42,k k k k k k a a a a k N -----=⋅==⋅=∈…………………………………………..3分 ∴对任意正整数n 都有12n n a -=，那么1
2n n
a a +∴
=…………………………………………………..5分 那么}{n a 是等比数列,}{n a 的通项公式为1*2,n n
a n N -=∈…………………………………………..6分
(2)1111211
(1)(1)(12)(12)1212n n n n n n n
n n a b a a ---+===-
++++++…………………………………..8分 那么
1201121111111
()()()121212121212n n n n
S b b b -=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-++++++ (9)
分
即11
212n
n
S =
-+……………………………………………………………………………………..10分 那么12n S <,又{}n S 是递增数列，那么11
6n S S ≥=,
…………………………………………………..11分
从而1162n S ≤<.
……………………………………………………………………………………..12分
18. 解：取AB 的中点E ，连结PE ，由PA=PB=2，那么PE⊥AB………………………………..1分
连结AC ，由△PAB 是等边三角形，那么∠ABC=∠PAB=60°，
所以△ABC 是边长为2的正三角形，连结CE ，那么CE⊥AB.………………………………………..2分 又CE∩PE=E，那么AB⊥平面PCE ，所以AB⊥PC……………………………………………………..3分
取PC 中点N ，连结MN,BN.那么2MN//CD//AB ，
从而A,B,N,M 四点一共面.…………………………………………………………………………………..4分 又PB=BC=2，那么BN⊥PC.………………………………………………………………………………..5分 又AB∩BN=B，AB,BN ⊂平面ABM ，那么PC⊥平面ABM……………………………………………..6分 (2)连结AC ，BD ，设其交点为O ，由，四边形ABCD 是菱形，那么AC ⊥BD, 设BO ∩CE=M ，那么M 为△ABC 的中心.因为PA=PB=PC=2,那么PM ⊥平面ABC ，
以O 为原点，以,,OB OC MP 为x 轴，y 轴，z 轴正方向如图建立空间直角坐标系………7分
又因为222232623BM
OB OM PM PB BM ====-= 那么326P ，且(0,1,0),(3,0,0)C D -……………………………..8分 326(
,1,),(3,1,0)33
CP CD =-=--………………………………………………………….9分 设(,,)n x y z =为平面PCD 的法向量，那么0
n CD n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
即326
03330x y z x y -+=⎨⎪-=⎩
令1x =，得(1,3,2)n =--……………………………………..10分 设(0,0,1)m
=为平面ABCD 的法向量……………………………………………………………11分
那么23
cos ,||6
m n m n m n ⋅--=
==⋅ 由图知二面角B －CD －M 为锐角，那么二面角B －CD －M 3
12分
19.解：〔1〕由正态分布可知，抽取的一片瓷砖的质量在3,3)μσμσ-+（之内的概率为 0.9974，那么这10片质量全都在3,3)μσμσ-+（之内(即没有废品)的概率为
100.99740.9743≈；那么这10片中至少有1片是废品的概率为10.97430.0257-=.……3分
〔2〕(ⅰ)由数据，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，
得该厂消费的一片正品瓷砖为“优等〞、“一级〞、“合格〞的概率分别为0.7、0.2、 0.1.ξ 49.07.07.0)15(=⨯==ξP ；
28.022.07.0)14(=⨯⨯==ξP
04.021.02.0)5.11(=⨯⨯==ξP
01.01.01.0)10(=⨯==ξP ………7分
得到分布列如下：
…………8分
〔ⅱ〕设乙陶瓷厂5片该规格的正品瓷砖中有n 片“优等〞品，那么有n -5片“一级〞品，由
36)5(5.65.7≥-+n n ，解得5.3≥n ，n 取4或者5.
故所求的概率为=+⨯⨯=54458.02.08.0C P
+4096.032768.073728.0=.………12分
20.解：〔1〕设(,)P x y 那么222(0)(1)(0)0(1)2x y x y -+-=-⋅++⋅………………………2分
化为2
4x
y =………………………………………………………………4分
〔2〕2
1122(2,),(,)(,)C m m
A x y
B x y ，，
242
x x
y y '=∴=，，∴点C 处的切线斜率为m .……………………5分
设直线AB ：y=kx+1，代入E:2
4x
y =，得2440x kx --=，
112
24x m x m
∴⋅=-⇒=-，……………………………………………6分 2112
14x y m
==，所以
221
(,)A m m
-
.……………………………………7分 又12//l l ，所以直线2l 的斜率k m =，∴直线2l 的方程为2
12y mx m =++
，
代入2
4x
y =得：224480x mx m ---
=，2
21616320m m ∆=++>显然成立， 121224
4,(8)x x m x x m
∴+=⋅=-+，…………………………………8分
121
4AB x x m m
∴=-==+
又点C 到直线2l
的间隔21()m d
+=
=
10分
3
2311112()222162S AB d m m m m m m
∴=⋅⋅=+⋅+=+≥⋅=，
当且仅当1
m
m
=
，即1m =±时，取等. 综上，三角形ABC 面积的最小值为16.……………………………………12分
22.(1)2
21:44,cos ,sin C x
y x y ρθρθ+===
故1C 的极坐标方程为2
2(3sin 1)4ρ
θ+=…………………2分
故2C 的直角坐标方程为2
2(2)
4x y -+=…………………3分
2C 的极坐标方程为4cos ρθ=…………………5分
(2)直线l 分别与12,C C 联立得
22(3sin 1)4ρθθα⎧+=⎨=⎩
，那么2
2
4||3sin 1OA α=+ 4cos ρθθα
=⎧⎨
=⎩，那么22
||16cos OB α=………………6分 2222
||4cos (3sin 1)||OB OA αα∴=+………………7分 224(1sin )(3sin 1)αα=-+………………8分
那么当2
1
sin
3
α=
时，||||OB OA
有最大值
3………………10分
23. 解：
(Ⅰ)依题意得
213<+--x x ， ························ 1分
当3>x
时，2)1(3<+--x x ，∴24<-，满足题意，
········· 2分
当31≤≤-x 时，2)1(3<+--x x ，即0>x ∴30≤<x ， ······ 3分
当1-<x 时，2)1(3<++-x x ，∴24<，无解， ··········· 4分
综上所述，不等式的解集为
{}0x x >. ··················· 5分
〔2〕因为(),0,m n ∈
+∞，所以
11
m n +≥=， ············· 6分
那么2mn
≥1mn ≥， ····················· 7分
所以()()3333mf
n nf m m n n m mn n mn m +-=-+--=-++
(3)(3)mn n mn m ≥--+
············ 9分
36
m n ≥+≥................................
..............
10分。