高考数学一轮总复习 第8讲 二次函数和二次方程考点集训 理 新人教A版

考点集训(八) 第8讲 二次函数和二次方程
1．已知函数y ＝ax 2
＋bx ＋c ，如果a>b>c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象是
2．定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0，1]时，f (x )＝x 2
－x ，则当x ∈[－2，－1]时，f (x )的最小值为
A ．－116
B ．－18
C ．－1
4
D ．0
3．若关于x 的不等式x 2
－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是 A ．a <－2 B ．a >－2 C ．a >－6 D ．a <－6
4．对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩
⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.设f (x )＝(x 2
－1)⊗(4＋x )，若
函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是
A ．(－2，1)
B ．[0，1]
C ．[－2，0)
D ．[－2，1)
5．若函数f (x )＝ax 2
＋20x ＋14(a >0)对任意实数t ，在闭区间[t －1，t ＋1]上总存在两实数x 1、x 2，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥8成立，则实数a 的最小值为________．
6．已知函数f (x )＝x 2
－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，对任意的x 1∈[－1，2]都存在x 0∈[－1，2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是____________．
7．已知函数f (x )＝x 2
＋(2a －1)x －3.
(1)当a ＝2，x ∈[－2，3]时，求函数f (x )的值域；
(2)若函数f (x )在[－1，3]上的最大值为1，求实数a 的值．
8．已知函数f (x )＝x 2
－2ax ＋5(a >1)．
(1)若f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，求实数a 的值；
(2)若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)
－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．
9．已知函数f (x )＝ax 2
＋ax 和g (x )＝x －a .其中a ∈R 且a ≠0.
(1)若函数f (x )与g (x )的图象的一个公共点恰好在x 轴上，求a 的值；
(2)若p 和q 是方程f (x )－g (x )＝0的两根，且满足0<p <q <1
a
，证明：当x ∈(0，p )时，
g (x )<f (x )<p －a .
第8讲 二次函数和二次方程
【考点集训】
1．D 2.A 3.A 4.D 5.8 6.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 7．【解析】(1)当a ＝2时，f(x)＝x 2
＋3x －3，x ∈[－2，3]，
对称轴x ＝－3
2
∈[－2，3]，
∴f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－9
2
－3＝－214，f(x)max ＝f(3)＝15，
∴函数f(x)的值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－214，15. (2)函数f(x)的对称轴为x ＝－2a －1
2
.
①当－2a －12≤1，即a ≥－12
时，f(x)max ＝f(3)＝6a ＋3，
∴6a ＋3＝1，即a ＝－1
3
满足题意；
②当－2a －12>1，即a<－12
时，
f(x)max ＝f(－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．综上可知a ＝－1
3或－
1.
8．【解析】(1)∵f(x)＝(x －a)2
＋5－a 2
(a>1)， ∴f(x)在[1，a]上是减函数． 又定义域和值域均为[1，a]． ∴⎩
⎪⎨⎪⎧f （1）＝a ，f （a ）＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＋5＝a ，a 2－2a 2＋5＝1，解得a ＝2. (2)∵f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，∴a ≥2. 又x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1，
∴f(x)max ＝f(1)＝6－2a ，f(x)min ＝f(a)＝5－a 2
.
∵对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f(x 1)－f(x 2)|≤4， ∴f(x)max －f(x)min ≤4，得－1≤a ≤3.
又a ≥2，∴2≤a ≤3.故实数a 的取值范围是[2，3]． 9．【解析】(1)设函数g(x)图象与x 轴的交点坐标为(a ，0)，
又∵点(a ，0)也在函数f(x)的图象上，∴a 3＋a 2
＝0. 而a ≠0，∴a ＝－1.
(2)由题意可知f(x)－g(x)＝a(x －p)(x －q)．
∵0<x<p<q<1
a
，∴a(x －p)(x －q)>0，
∴当x ∈(0，p)时，f(x)－g(x)>0，即f(x)>g(x)．
又f(x)－(p －a)＝a(x －p)(x －q)＋x －a －(p －a)＝(x －p)(ax －aq ＋1)，x －p<0，且ax －aq ＋1>1－aq>0，
∴f(x)－(p －a)<0，∴f(x)<p －a ， 综上可知，g(x)<f(x)<p －a.。