2021考研数学三真题试卷(Word版)

2021年全国硕士研究生招生考试
数学（三）试题
一、选择题（1-10小题，每小题5分，共50分） (1)当0x →，2
3
(e 1)d x t t -⎰
是7x 的（ ）
(A)低阶无穷小 (B)等价无穷小 (C)高阶无穷小 (D)同阶但非等价无穷小
(2)函数e 1
0()10x x f x x x ⎧-≠⎪
=⎨⎪=⎩
，，，在0x =处（ ）
(A)连续且取得极大值 (B)连续且取得极小值
(C)可导且导数等于零 (D)可导且导数不为零
(3)设函数()ln (0)f x ax b x a =->有2个零点，则
b
a
的取值范围（ ） (A)(e )+∞，
(B)(0,e) (C)1
(0)e ， (D)1()e
+∞，
(4)设函数(,)f x y 可微，且2(1,e )(1)x f x x x +=+，22
(,)2ln f x x x x =，则d (11)
f ，=( ) (A)d d x y + (B)d d x y - (C)d y (D)d y -
(5)二次型222
123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =+++--的正惯性指数与负惯性指数依次
为( )
(A)2,0 (B)1,1 (C)2,1 (D)1,2
(6)设1234(,,,)=A αααα的4阶正交矩阵，若矩阵123T T T ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪
⎝⎭
αB αα，111⎛⎫ ⎪
= ⎪
⎪⎝⎭β，k 表示任意常数，
则线性方程组=Bx β的通解=x ( )
(A)2341k +++αααα (B)1342k +++αααα (C)1243k +++αααα (D)1234k +++αααα
(7)已知矩阵101211125⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪--⎝⎭
A ，若下三角可逆矩阵P 和上三角可逆矩阵Q ，使得PAQ 为
对角矩阵，则P ，Q 分别取( )
(A)100101010013001001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， (B)100100210010321001⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，
(C)100101210013321001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， (D)100123010012131001-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
(8)设,A B 为随机事件，且0()1P B <<，下列为假命题的是( ) (A)若(|)()P A B P A =，则(|)()P A B P A = (B)若(|)()P A B P A >，则(|)()P A B P A > (C)若(|)(|)P A B P A B >，则(|)()P A B P A > (D)若(|)(|)P A A
B P A A B >，则()()P A P B >
(9)设1122(,)(,)(,)n n X Y X Y X Y ，
，，为来自总体22
1212(,;,;)N μμσσρ的简单随机样本，令12θμμ=-，11n i i X X n ==∑，1
1n
i i Y Y n ==∑，ˆX Y θ
=-，则( ) (A)ˆθ是θ的无偏估计，22
12ˆ()D n
σσθ+=
(B)ˆθ
不是θ的无偏估计，22
12
ˆ()D n
σσθ+=
(C)ˆθ是θ的无偏估计，2212122ˆ()D n
σσρσσθ+-=
(D)ˆθ
不是θ的无偏估计，22
1212
2ˆ()D n
σσρσσθ+-=
(10)设总体X 的概率分布11{1}{2}{3}24
P X P X P X θθ
-+==
====，，利用来自总体X 的样本值1,3,2,2,1,3,1,2可得θ的最大似然估计值为( )
(A)
14 (B)38 (C)12 (D)5
8
二、填空题（11-16小题，每小题5分，共30分）
(11)
若cose y =1
d ______.d x y x
==
(12)5________.x =
(13)设平面区域D
由曲线(01)y x x π=≤≤与轴x 围成，则D 绕x 轴旋转所成旋转
体的体积______.
(14)差分方程t y t ∆=的通解_______.t y =
(15)多项式12121()2
1
1211
x
x x x f x x
x
-=
-中3
x 项的系数为_______.
(16)甲、乙两个盒子中有2个红球和2个白球，先从甲盒中任一球，观察颜色后放入乙盒，再从乙盒中任取一球，令,X Y 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球的个数，则X 与Y 的相关系数为____.
三、解答题（70分）
17.（本题满分10分）已知1
01
lim[arctan (1||)]x x a x x
→++存在，求a 的值.
18.（本题满分12分）求函数22
2
(1)(,)2ln ||2x y f x y x x -+=+的极值.
19.（本题满分12分）设有界区域D 是圆22
1x y +=和直线y x =以及x 轴在第一象限围成的部分，计算二重积分2
()22e ()d d x y D
x y x y +-⎰⎰.
20.（本题满分12分）设n 为正整数，()n y y x =是微分方程(1)0xy n y '-+=满足条件
1
(1)(1)
n y n n =
+的解.
(1)求()n y x ; (2)求级数1
()n n y x ∞
=∑的收敛域及和函数
21.（本题满分12分）设矩阵2101201a b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
A 仅有两个不同的特征值，若A 相似于对角矩阵，求,a b 的值，并求可逆矩阵P ，使1
-P AP 为对角矩阵.
22.（本题满分12分）在区间(02)，上随机取一点，将该区间分成两段，较短一段长度记为X ，
较长一段的长度记为Y ，令Y
Z X
=
(1)求X 的概率密度；(2)求Z 的概率密度；(3)求(
)X E Y
.。