江西省景德镇市2020年高二下数学期末检测试题含解析

江西省景德镇市2020年高二下数学期末检测试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是 A ．球 B ．三棱锥 C ．正方体 D ．圆柱
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：球的三视图都是圆，如果是同一点出发的三条侧棱两两垂直，并且长度相等的三棱锥（一条侧棱与底面垂直时）的三视图是全等的等腰直角三角形，正方体的三视图可以都是正方形，但圆柱的三视图中有两个视图是矩形，有一个是圆，所以圆柱不满足条件，故选D. 考点：三视图
2．已知函数()2cos x
x
f x e e
x -=++，其中e 为自然对数的底数，则对任意a R ∈，下列不等式一定成
立的是（ ） A ．()
()2
12f a f a +≥
B ．()
()2
12f a f a +≤
C ．()
()2
11f a f a +≥+
D ．()
()2
1f a f a +≤
【答案】A 【解析】 【分析】
()()f x f x -=，可得()f x 在R 上是偶函数.函数()2cos x x f x e e x -=++，利用导数研究函数的单调
性即可得出结果. 【详解】 解：
()()f x f x -=，∴()f x 在R 上是偶函数.
函数()2cos x
x
f x e e
x -=++，
()2sin x x f x e e x -'=--，
令()2sin x
x
g x e e
x -=--，
则()2cos 0x
x
g x e e
x -'=+-≥，
∴函数()g x 在R 上单调递增，
()00f '=，
∴函数()f x 在[)0,+∞上单调递增.
2120a a +≥≥，
∴()
()()2122f a f a f a +≥=， ∴()
()212f a f a +≥.
故选：A. 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性，不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
3．过抛物线22y px =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点，其中点()02,A y ，且4AF =，则p =（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8
【答案】C 【解析】 【分析】
由已知可得0p >，再由||22
p
AF =+，即可求出结论. 【详解】
因为抛物线2
2y px =的准线为2
p x =-
， 点()02,A y 在抛物线上，所以0p >，
||24,42
p
AF p ∴=+
=∴=. 故选：C 【点睛】
本题考查抛物线的标准方程，应用焦半径公式是解题的关键，属于基础题.
4．已知某产品的次品率为4%，其合格品中75%为一级品，则任选一件为一级品的概率为（） A ．75% B ．96%
C ．72%
D ．78.125%
【答案】C 【解析】 【分析】
不妨设出产品是100件，求出次品数，合格品中一级品数值，然后求解概率. 【详解】
解：设产品有100件，次品数为：4件，合格品数是96件，合格品中一级品率为75%.
则一级品数为：96×75%＝72，
现从这批产品中任取一件，恰好取到一级品的概率为：72
0.72100
=. 故选：C. 【点睛】
本题考查概率的应用，设出产品数是解题的关键，注意转化思想的应用.
5．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某时间段车流量与PM2.5浓度的数据如下表：
根据上表数据，用最小二乘法求出y 与x 的线性回归方程是（ ）
参考公式：1
2
1
()()
()
n
i
i
i n
i i x x y y b x x ==--=
-∑∑，a y b x =-⋅；参考数据：108x =，84y =；
A ．0.6274ˆ.2y
x =+ B ．0.7264ˆ.2y x =+ C ．0.7164ˆ.1y x =+ D ．0.6264ˆ.2y x =+ 【答案】B 【解析】 【分析】
利用最小二乘法做出线性回归直线的方程的系数，写出回归直线的方程，得到结果． 【详解】 由题意，b=
222222
1007810280108841148811690510884
1001021081141165108⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯++++-⨯=0.72，
a=84﹣0.72×108=6.24， ∴y =0.72x+6.24， 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个
变量具有线性相关关系；②计算21
1
,,,n
n
i i i i i x y x x y ==∑∑的值；③计算回归系数ˆˆ,a
b ；④写出回归直线方程为ˆˆˆy
bx a =+； 回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.
6．甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6，0.7，两人考试相互独立，则甲、乙两人都未达到优秀的概率为（ ） A ．0.42 B ．0.12
C ．0.18
D ．0.28
【答案】B 【解析】 【分析】
由两人考试相互独立和达到优秀的概率可得。

【详解】
所求概率为()()10.610.70.12-⨯-=.故选B. 【点睛】
本题考查相互独立事件概率计算公式，属于基础题。

7．函数，若有8个不相等的实数根，则的取值范围是 A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
方程有8个不相等的实数根指存在8个不同的值；根据函数
的图象，可知方程
必存在2个大于1的不等实根.
【详解】
，函数
为偶函数，利用导数可画出其函数图象（如图所示），
若有8个不相等的实数根关于
的二次方程必有两个大于1的不等实根，
.
【点睛】
与复合函数有关的函数或方程问题，要会运用整体思想看问题；本题就是把所求方程看成是关于的一
元二次方程，再利用二次函数根的分布求的范围. 8．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为
'()f x ，满足()'()f x f x >，且(0)1f =，则不等式
()x e f x >（e 为自然对数的底数）的解集为（ ）
A ．(1,)-+∞
B ．(0,)+∞
C ．(1,)+∞
D ．(,0)-∞
【答案】B 【解析】 令()()()
()()0,(0)1x x
f x f x f x
g x g x g e e
-=
∴=<'=' 所以()x
e f x >()1(0)0g x g x ⇒=⇒ ,选B.
点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()x f x g x e
=
，()()0f x f x '+<构造()()x
g x e f x =，()()xf x f x '<构造()
()f x g x x
=
，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等 9．已知6()x x
-展开式的常数项为15，则a =（ ） A ．±1 B ．0
C ．1
D ．-1
【答案】A 【解析】 【分析】
先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项，再根据常数项为15，求得a 的值． 【详解】
解：二项式6
x x ⎫
⎪⎭
的展开式的通项公式为()3362161r r r r r T C a x --+⋅⋅-=⋅，
令3
302
r -=，求得2r ，可得展开式中的常数项为44615C a =，
由此求得1a =±， 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题． 10．已知(0,)x ∈+∞有下列各式：12x x +
≥，2244322x x x x x +=++≥，332727
4333x x x x x x
+=+++≥成
立，观察上面各式，按此规律若45a
x x
+≥，则正数a =（ ） A ．34 B ．45
C ．44
D ．55
【答案】C 【解析】 【分析】
观察上面各式,112x x +≥,22243222x x x x x
+=++≥,3
332734333x x x x x x +=+++≥,类比推理即可得到结果.
【详解】
由题,观察上面各式可得112x x +≥,22243222x x x x x
+=++≥,3
332734333x x x x x x +=+++≥,
则4
4464454444x x x x x x x
+=++++≥,
所以44a =, 故选:C 【点睛】
本题考查类比推理,考查理解分析能力.
11．设2{|430}A x x x =-+，{|(32)0}B x ln x =-<，则(A B = )
A ．3(1,)2
B ．(1，3]
C ．3(,)2
-∞
D ．3
(2
，3]
【答案】A 【解析】 【分析】
利用一元二次不等式的解法以及对数函数的单调性，求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可。

【详解】
{|13}A x x =，3
{|0321}{|1}2
B x x x x =<-<=<<；
∴3
(1,)2
A B ⋂=，故选A ．
【点睛】
本题主要考查区间表示集合的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域及单调性，以及交集的运算．
12．已知i 为虚数单位，z 41i
i
=+，则复数z 的虚部为（ ） A ．﹣2i B ．2i
C ．2
D ．﹣2
【答案】C
【解析】 【分析】
根据复数的运算法则，化简得22z i =+，即可得到复数的虚部，得到答案. 【详解】 由题意，复数()()()
41422111i i i i z i i i ⋅-==+++-=，所以复数z 的虚部为2，故选C. 【点睛】
本题主要考查了复数的概念，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题
13．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X ，则P(X≤6)＝________. 【答案】
1335
【解析】
根据题意可知取出的4只球中红球个数可能为4，3，2，1个，黑球相应个数为0，1，2，3个，其分值X 相应为4，6，8，1．
∴()()3140434344
7713
(6)4635
C C C C P X P X P X C C ≤==+==+=. 14．已知球O 的半径为1，A 、B
是球面上的两点，且AB =P 是球面上任意一点，则PA PB ⋅的取值范围是__________． 【答案】13,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
【解析】
分析：以球心为坐标原点建立空间直角坐标系，设点,,A B P 的坐标，用来表示PA PB ⋅，进而求出答案.
详解：由题可知1,OA OB AB ===
则1131cos 2112AOB +-∠=
=-⨯⨯，23
AOB π
∠=
以球心O 为坐标原点，以OA 为x 轴正方向，平面OAB 的垂线为z 轴建立空间坐标系，则()1,0,0A
，
12B ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
，设(),,P x y z ()1,,PA x y z =---
，1,2PB x y z ⎛⎫=---- ⎪ ⎪⎝⎭
()(
)()
222211211
22
PA PB x x y y z x y z x ⎫⎛⎫
∴⋅=---+--+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=++--+
(),,P x y z 在球面上，则222221,1x y z x y ++=+≤
()
11
22
PA PB x ∴⋅=
-
设m x =+
，当直线0x m -=与圆2
2
1x y +=相切时，m 取得最值.
1
=得2m =
22m ∴-≤≤ 13
22
PA PB -≤⋅≤
故答案为13,22⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦
点睛：本题考查了空间向量数量积的运算，使用坐标法可以简化计算，动点问题中变量的取值范围是解此类问题的关键.
15．设随机变量ξ的分布列为()
P ξk ,1,2,3,1c
k c k k ==
=+为常数，则()0.5ξ 2.5P <<=______
【答案】89
【解析】 【分析】 由已知得2612c c c ++=1，解得c=43，由此能求出P （0.5＜ξ＜2.5）=P （ξ=1）+P （ξ=2）=26c c +=89
． 【详解】
随机变量ξ的分布列为P （ξ=k）=()1c
k k +，k=1，2，3，
∴
2612c c c
++=1， 即
62112c c c ++=，解得c=4
3
， ∴P （0.5＜ξ＜2.5）=P （ξ=1）+P （ξ=2）
=26c c +=4463⨯=89
． 故答案为8
9
．
【点睛】
本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分布列的合理运用．
16．已知函数，其中为实数，为的导函数，若，则的值为
_________． 【答案】3 【解析】 试题分析：
，所以
．
考点：导数的运算．
【名师点睛】(1)在解答过程中常见的错误有： ①商的求导中，符号判定错误． ②不能正确运用求导公式和求导法则． (2)求函数的导数应注意：
①求导之前利用代数或三角变换先进行化简，减少运算量． ②根式形式，先化为分数指数幂，再求导．
③复合函数求导先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4cos (0)ρθρ=>.M 为曲线1C 上的动点，点P 在射线OM 上，且满足||||20OM OP ⋅=. （Ⅰ）求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设2C 与x 轴交于点D ，过点D 且倾斜角为56
π
的直线l 与1C 相交于,A B 两点，求||||DA DB ⋅的值.
【答案】（Ⅰ）5x =；（Ⅱ）5. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）首先依据动点,P M 的极坐标的关系找到点P 的极坐标方程，再化为直角坐标方程；（Ⅱ）首先根据条件确定直线l 的参数方程，依据参数t 的几何意义，结合解方程，利用韦达定理得到解. 【详解】
（Ⅰ）设P 的极坐标为(),(0)ρθρ>，M 的极坐标为()11,(0)ρθρ>， 由题设知1,4cos OP OM ρρθ===.所以4cos 20ρθ=， 即2C 的极坐标方程cos 5(0)ρθρ=>，所以2C 的直角坐标方程为5x =.
（Ⅱ）交点()5,0D ，所以直线l
的参数方程为5,12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）， 曲线1C 的直角坐标方程()2
2
400x y x x +-=≠，
代入得：250t -+=，70∆=>， 设方程两根为12,t t ，则12,t t 分别是,A B 对应的参数， 所以125DA DB t t ⋅==. 【点睛】
本题考查直线与圆的极坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的应用，突显了直观想象的考查.
18．为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x 、物理成绩y 进行分析．下面是该生7次考试的成绩．
（1）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；
（2）已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议．
参考公式：方差公式：()()()
22
2
2
121n S x x x x x x n ⎡⎤=
-+-+-⎣
⎦
，其中x 为样本平均数.()()()
1
1
2
2
2
1
1
ˆn
n
i
i
i i
i i n
n
i i
i i x x y y x y nx y
b
x x x
nx ====---⋅==
--∑∑∑∑，ˆˆa
y bx =-。

【答案】（1）物理成绩更稳定.证明见解析；（2）130分，建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高 【解析】 【分析】
（1）分别算出物理成绩和数学成绩的方差；
（2）利用最小二乘法，求出y 关于x 的回归方程，再用115y =代入回归方程，求得130x =. 【详解】
（1）12171788121001007x --+-++=+
=，69844161001007y --+-+++=+=， ∴29941427S ==数学，∴22507
S =物理，从而22S S >数学物理， ∴物理成绩更稳定.
（2）由于x 与y 之间具有线性相关关系， 根据回归系数公式得到497ˆ0.5994
b ==，ˆ1000.510050a =-⨯=， ∴线性回归方程为ˆ0.550y
x =+， 当115y =时，130x =.
建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高
【点睛】
本题考查统计中的方差、回归直线方程等知识，考查基本的数据处理能力，要求计算要细心，防止计算出错.
19．在平面直角坐标系xOy 中，已知()()3,0,3,0A B -，动点M 满足1MA MB ⋅=，记动点M 的轨迹为C .
（1）求C 的方程；
（2）若直线:4l y kx =+与C 交于,P Q 两点，且6PQ =，求k 的值.
【答案】（1）2210x y +=（2）k =
【解析】
分析：（1）设点M 的坐标为(),x y ，由平面向量数量积的坐标运算法则结合题意可得C 的方程为2210x y +=.
（2）由（1）知C 为圆心是()0,0的圆，利用点到直线距离公式结合圆的弦长公式可得
1=，解得k =.
详解：（1）设点M 的坐标为(),x y ，
则()()3,,3,MA x y MB x y =---=--，
所以2291MA MB x y ⋅=-+=，即22
10x y +=，
所以C 的方程为2210x y +=.
（2）由（1）知C 为圆心是()0,0的圆，
设()0,0到直线l 的距离为d ，则
d =
因为6PQ ==，
所以1d =，
1=，
解得k =点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
20．已知函数()22(,)x f x e ax x R a R =--∈∈.
（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；
（Ⅱ）当0x ≥时，若不等式()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】（I ）(21)2y e x =--；（II ）(,2]-∞.
【解析】
分析：(1)先求切线的斜率和切点的坐标，再求切线的方程.(2)分类讨论求()min f x ⎡⎤⎣⎦，再解
()min f x ⎡⎤⎣⎦≥0，求出实数a 的取值范围.
详解：（Ⅰ）当1a =时，()22x f x e ax =--，()'21x
f x e =-，()'121f e =-， 即曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为21k e =-，又()123f e =-，
所以所求切线方程为()212y e x =--.
（Ⅱ）当0x ≥时，若不等式()0f x ≥恒成立()min 0f x ⎡⎤⇔≥⎣⎦，
易知()'2x
f x e a =-， ①若0a ≤，则()'0f x >恒成立，()f x 在R 上单调递增；
又()00f =，所以当[)0,x ∈+∞时，()()00f x f ≥=，符合题意.
②若0a >，由()'0f x =，解得ln
2a x =， 则当,ln 2a x ⎛
⎫∈-∞ ⎪⎝⎭
时，()'0f x <，()f x 单调递减； 当ln ,2a x ⎛
⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()'0f x >，()f x 单调递增.
所以ln 2a x =时，函数()f x 取得最小值. 则当ln
02a ≤，即02a <≤时，则当[)0,x ∈+∞时，()()00f x f ≥=，符合题意. 当ln 02
a >，即2a >时， 则当0,ln
2a x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递增，()()00f x f <=，不符合题意. 综上，实数a 的取值范围是(],2-∞.
点睛：（1）本题主要考查导数的几何题意和切线方程的求法，考查利用导数求函数的最小值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.(2)解答第2问由两次分类讨论，第一次是分类的起因是解不等式2
x a e >时，右边要化成ln 2a e ，由于对数函数定义域的限制所以要分类讨论，第二次分类的起因是ln 2
a x =是否在函数的定义域{|0}x x ≥内,大家要理解掌握. 21．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，PD ⊥底面ABCD ，1PD =.
（1）求直线PB 与平面PCD 所成的角的大小；
（2）求四棱锥P ABCD -的侧面积.
【答案】（1）25；（2）225+【解析】
【分析】
（1）先得到平面PCD 的垂线BC ,可得BPC ∠即为所求角；
（2）容易证明侧面的各个面均为直角三角形,有勾股定理求出各棱长后,将面积求和即可
【详解】
解：（1）底面ABCD 是正方形, BC CD ∴⊥,
PD ⊥底面ABCD ,CB ⊂底面ABCD ,
PD CB ∴⊥,
PD DC D ⋂=
BC ∴⊥平面PCD
2PCB π
∴∠=
2,1
CD CB PD
===
,PC
∴=
∴直线PB与平面PCD所成的角为BPC
∠
,
tan
5
BC
BPC
PC
∴∠===
arctan
5
BPC
∴∠=
（2）由题可知,侧面由Rt PDC
∆,Rt PCB
∆,Rt PDA
∆,PAB
∆四个三角形构成
由（1）知
,PA==
3
PB==
222
AB PA PB
∴+=,即PAB
∆是直角三角形
(
))(
)
)
1111
1221222
2222
PDC PCB PDA PAB
S S S S S
∆∆∆∆
∴=+++=⨯++⨯+=+
【点睛】
本题考查线面角,考查侧面积,考查线面垂直,考查运算能力
22．已知椭圆()
22
22
:10
x y
C a b
a b
+=>>
C
过点
⎛
⎝⎭
.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l与椭圆C交于,P Q两点（点,P Q均在第一象限），且直线,,
OP l OQ的斜率成等比数列，证明：直线l的斜率为定值.
【答案】 (1)
2
21
4
x
y
+=;(2)见解析.
【解析】
试题分析：
（1）根据椭圆的离心率和所过的点得到关于,,
a b c的方程组，解得,,
a b c后可得椭圆的方程．（2）由题意设直线l的方程为()0
y kx m m
=+≠，与椭圆方程联立后消元可得二次方程，根据二次方程根与系数的关系可得直线,
OP OQ的斜率，再根据题意可得221
21
·
y y
k
x x
=，根据此式可求得1
2
k=-，为定值．
试题解析：
（1
）由题意可得
22
222
13
1
4
c
a
a b
a b c
⎧
=
⎪
⎪⎪
⎨
+=
⎪
⎪
=+
⎪⎩
，解得
2
1
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
．
故椭圆C 的方程为2
214
x y +=． （2）由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠， 由2214
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()()222148410k x kmx m +++-=， ∵直线l 与椭圆交于两点，
∴()()()
222222641614116410k m k m k m ∆=-+-=-+>． 设点,P Q 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ， 则()
2121222418,1414m km x x x x k k
--+==++， ∴()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++． ∵直线,,OP l OQ 的斜率成等比数列， ∴()2212122
212112·k x x km x x m y y k x x x x +++==， 整理得()2
120km x x m ++=， ∴22
228014k m m k
-+=+， 又0m ≠，所以2
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k =， 结合图象可知12k =-，故直线l 的斜率为定值． 点睛：
（1）圆锥曲线中的定点、定值问题是常考题型，难度一般较大，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、数形结合思想、分类讨论思想的考查．
（2）解决定值问题时，可直接根据题意进行推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．。