湖南省常德市2023届高三二模数学试题(1)

一、单选题
二、多选题
1. 已知集合
，，则
（ ）.
A
．
B
．
C
．
D
．
2. 已知函数
，
，则
的最小值为（ ）
A
．
B ．1
C ．0
D
．
3.
已知向量
，
，
，
，则
（ ）.
A ．1B
．C ．4D
．
4. 米斗是古代官仓、米行等用来称量粮食的器具，鉴于其储物功能以及吉祥富足的寓意，现今多在超市、粮店等广泛使用.如图为一个正四
棱台形米斗（忽略其厚度），其上、下底面正方形边长分别为、
，侧棱长为
，若将该米斗盛满大米（沿着上底面刮平后
不溢出），设每立方分米的大米重
千克，则该米斗盛装大米约（
）
A
．
千克
B ．
千克
C ．
千克
D ．
千克
5. 已知
满足，
（其中
是自然对数的底数），则
（ ）
A
．
B
．
C
．D ．
6.
已知函数
，函数
的图象可以由函数
的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变
为原来的
倍得到，若函数
在
上没有零点，则的取值范围是（ ）
A
．B
．C
．D
．
7. 在
中，若，
，，则
（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
8.
已知等差数列
的前项和为
，且
,则
（ ）
A
．
B
．C
．
D ．4
9. 如图，在三棱锥
中，，，，
为的中点，点
是棱上一动点，则下列结论正确
的是（
）
A
．三棱锥
的表面积为B ．若
为棱
的中点，则异面直线
与
所成角的余弦值为
湖南省常德市2023届高三二模数学试题(1)
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三、填空题
C ．若与平面所成角的正弦值为
，则二面角
的正弦值为
D ．
的取值范围为
10. 已知实数a ，b ，c
满足
，且
，则下列结论正确的有（ ）
A
．B
．C
．
的最大值为
D ．当
时，
的最大值为7
，最小值为
11.
已知是圆心为，半径为2的圆上一动点，
是圆所在平面上一定点，设
（
）．若线段的垂直平分线与直线
交于点
，记动点
的轨迹为，则（ ）
A ．当时，为椭圆
B ．当时，为双曲线
C
．当
时，为双曲线一支
D ．当
且越大时，的离心率越大
12. 近年来，网络消费新业态､新应用不断涌现，消费场景也随之加速拓展，某报社开展了网络交易消费者满意度调查，某县人口约为
万
人，从该县随机选取
人进行问卷调查，根据满意度得分分成以下
组：
、、
、
，统计结果如图所示.由
频率分布直方图可认为满意度得分
（单位：分）近似地服从正态分布
，且
，
，
，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差
，并已求得
.则（
）
A
．由直方图可估计样本的平均数约为B
．由直方图可估计样本的中位数约为C ．由正态分布可估计全县的人数约为万人D ．由正态分布可估计全县的人数约为
万人
13. 已知向量（t ，2t ），＝（﹣t ，1），若（﹣）⊥（+），则t ＝_____．
14. 如图，将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间
挖去一个小三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基三角形.设
是第次挖去的小三角形面积之和（如
是第
1
次挖去的中间小三角形面积，是第2
次挖去的三个小三角形面积之和），则__________；若操作次后剩余部分面积不大于原图面积
的一半，则的最小值为
__________.
15.
已知双曲线
的一个焦点为，
为坐标原点，在双曲线的渐近线上取一点，使得
，且的
面积为1，则
______．
四、解答题
16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)证明：为等腰三角形；
(2)若，，求的面积．
17. “双十一”已经成为网民们的网购狂欢节，某电子商务平台对某市的网民在今年“双十一”的网购情况进行摸底调查，用随机抽样的方法抽
取了100人，其消费金额(百元)的频率分布直方图如图所示：
(1)求网民消费金额的中位数；
(2)把下表中空格里的数填上，能否有的把握认为网购消费与性别有关；
(3)将(2)中的频率当作概率，电子商务平台从该市网民中随机抽取10人赠送电子礼金，求这10人中女性的人数的数学期望.
男女合计
30
合计45
附表：
.
18. 如图，已知动直线，交圆于坐标原点和点，交直线于点；
（1）试用k表示点、点的坐标；
（2）设动点满足，其轨迹为曲线，求曲线的方程；
（3）请指出曲线的对称性、顶点和图形范围，并说明理由；
19. 函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，
求函数在上的值域.
20. 如图1所示，在矩形ABCD中，，，M为CD中点，将△DAM沿AM折起，使点D到点P处，且平面平面，
如图2所示．
(1)求证：；
(2)在棱PB上取点N，使平面平面，求直线AB与平面AMN所成角的正弦值.
21. 设是数列的前项和，．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，数列的前项和为，求的取值范围．。