湖北省2016-2017学年高二数学学业分层测评：第三章 不等式 20 Word版含解析

学业分层测评(二十)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知点M (x 0，y 0)与点A (1,2)在直线l ：3x ＋2y －8＝0的两侧，则( ) A ．3x 0＋2y 0＞0 B ．3x 0＋2y 0＜0 C ．3x 0＋2y 0＞8 D ．3x 0＋2y 0＜8
【解析】 因为点M (x 0，y 0)与点A (1,2)在直线l 的两侧，把点A (1,2)代入得3×1＋2×2－8＝－1＜0，所以3x 0＋2y 0－8＞0，即3x 0＋2y 0＞8，故选C.
【答案】 C
2．如图所示，不等式x (y －x －1)≥0表示的平面区域是( )
【解析】 由x (y －x －1)≥0， ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y －x －1≥0或⎩⎪⎨⎪⎧
x ≤0，y －x －1≤0，
则表示y 轴与直线y －x －1＝0围成的对顶区域，故选B. 【答案】 B
3．不等式组⎩⎨⎧
x ≤0，
x ＋y ≥0，
y ≤x ＋a
围成的三角形的面积为1，则a 的值为( )
A ．2
B ．±2
C ．1
D ．±1
【解析】 由题意结合不等式组表示的平面区域，可得a ＞0，且12×a ×a
2＝1，所以a ＝2.
【答案】 A
4．若满足条件⎩⎨⎧
x －y ≥0，
x ＋y －2≤0，
y ≥a
的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、
纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为( )
A ．－3
B ．－2
C ．－1
D ．0
【解析】 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点，故选C.
【答案】 C
5．若不等式组⎩⎨⎧
x －y ＋5≥0，
y ≥a ，
0≤x ≤2，
表示的平面区域是一个三角形，则a 的取
值范围是( )
A ．a ＜5
B ．a ≥7
C ．5≤a ＜7
D ．a ＜5或a ≥7
【解析】 先画出x －y ＋5≥0和0≤x ≤2表示的区域，再确定y ≥a 表示的区域．
由图知5≤a ＜7. 【答案】 C 二、填空题
6．已知点P (1，－2)及其关于原点的对称点均在不等式2x ＋by ＋1＞0表示的平面区域内，则b 的取值范围是________．
【解析】 由题意得，点P (1，－2)关于原点的对称点为P ′(－1,2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
2×1－2b ＋1＞0，2×(－1)＋2b ＋1＞0， 解得：12＜b ＜32. 【答案】 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，32
7．观察如图3-4-2所示的平面区域，它对应的不等式组是________．
图3-4-2
【解析】 由图可求三边对应的直线方程 为x ＋y －3＝0，x －2y ＝0，x －y ＋1＝0， 由图知不等式组为⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，
x ＋y －3≤0.
【答案】
⎩⎨⎧
x －y ＋1≥0
x －2y ≤0x ＋y －3≤0
8．设不等式组⎩⎨⎧
x ＋y －11≥0，
3x －y ＋3≥0，
5x －3y ＋9≤0
表示的平面区域为D ，若指数函数y ＝a x
的图像上存在区域D 内的点，则a 的取值范围是________．
【解析】 画出可行域如图阴影部分，易知a ∈(0,1)时不合题意，故a ＞
1.
两直线⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y －11＝0，
3x －y ＋3＝0
的交点为A (2,9)．
由图像可知，当y ＝a x 通过该交点A 时，a 取最大值， ∴f (2)＝a 2＝9，a ＝3.故a ∈(1,3]． 【答案】 (1,3] 三、解答题
9．点P (a,4)在不等式3x ＋y －3＞0表示的平面区域内，且到直线x －2y ＋2＝0的距离等于25，求点P 的坐标. 【导学号：67940069】
【解】 ∵点P (a,4)在不等式3x ＋y －3＞0表示的区域内，
∴3a ＋4－3＞0，∴a ＞－1
3.
又P (a,4)到x －2y ＋2＝0的距离等于25， ∴|a －8＋2|
5
＝25，∴|a －6|＝10，
∴a ＝16或－4.
又a ＞－1
3，∴a ＝16，∴P (16,4)．
10．一个小型家具厂计划生产两种类型的桌子A 和B ，每类桌子都要经过打磨、着色、上漆三道工序．桌子A 需要10 min 打磨，6 min 着色，6 min 上漆；桌子B 需要5 min 打磨，12 min 着色，9 min 上漆，如果一个工人每天打磨和上漆分别至多工作450 min ，着色每天至多工作480 min ，请列出满足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中画出每天生产两类桌子数量的允许范围．
【解】 设家具厂每天生产A 类桌子x 张，B 类桌子y 张，对于A 类x 张桌子需要打磨10x min ，着色6x min ，上漆6x min ；对于B 类y 张桌子需要打磨5y min ，着色12y min ，上漆9y min.
所以题目中包含的限制条件为⎩⎪⎨⎪⎧
10x ＋5y ≤450，
6x ＋12y ≤480，
6x ＋9y ≤450，
x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .
上述条件表示的平面区域如下图的阴影部分所示，每天生产两类桌子数量的
允许范围为阴影内的整数点．
[能力提升]
1．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )
【解析】 (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧
x －2y ＋1≤0，
x ＋y －3≥0，
结合图形可知选C. 【答案】 C
2．设集合A ＝{(x ，y )|x ，y,1－x －y 是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )
【解析】 根据两边之和大于第三边的性质得
⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ＞1－x －y ，x ＋(1－x －y )＞y ，y ＋(1－x －y )＞x ，
化简得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＞12，
y ＜12，
x ＜12，
对照图形易知选A.
【答案】 A
3．若a ≥0，b ≥0，且当⎩⎨⎧
x ≥0
y ≥0
x ＋y ≤1
时，恒有ax ＋by ≤1，则以a ，b 为坐
标的点P (a ，b )所形成的平面区域的面积等于________．
【解析】 由ax ＋by ≤1恒成立，知x ＝0时，by ≤1恒成立， ∴0≤b ≤1， 同理0≤a ≤1，
∴以a 、b 为坐标的点P (a ，b )所形成的平面区域是一个正方形，所以面积为1.
【答案】 1
4．在坐标平面内，求由不等式组⎩
⎨⎧
y ≥－|x |－1，
y ≤－2|x |＋3所确定的平面区域的面积.
【导学号：67940070】
【解】
原不等式组可转化为⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥－x －1，y ≤－2x ＋3，
x ≥0
或⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥x －1，y ≤2x ＋3，x ＜0，
由不等式组所确定的区域如图所示，其中A (－4，－5)，
C (4，－5)，B (0，－1)，
D (0,3)．
S △ABD ＝1
2×4×4＝8，∴阴影部分面积为
16.。