专题06 一元二次方程章末测试卷(提高)-2020-2021学年八年级数学下册学霸-解析版

专题06章末测试卷
一、单选题
1．（2021ꞏ全国八年级）将一元二次方程：2850x x --=化成2()x a b +=的形式正确的是（
）
A ．2(4)21x +=
B ．2(4)11
x -=C ．2()421
x -=D ．2(8)69
x -=【答案】C 【分析】
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可．【详解】
解：2850x x --= ，
285x x ∴-=，
则2816516x x +=+-，即2()421x -=，故选：C ．【点睛】
本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
2．
（2020ꞏ富顺县北湖实验学校九年级月考）方程++=2x 9x 90的两根为12,x x ，则1212x x x x ++=（
）A ．-18B ．18
C ．9
D ．0
【答案】D
根据根与系数的关系即可求出答案．【详解】
由题意可知：x 1＋x 2＝−9，x 1x 2＝9，∴原式＝−9+9＝0，故选：D ．【点睛】
本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．3．
（2020ꞏ宜昌市第二十二中学九年级期中）下列方程中，没有实数根的是（）
A ．2670
x x ++=B ．25260
x x --=C ．22270x x -=D ．2220
x x -+-=【答案】D 【分析】
根据判别式的意义对各选项进行判断．【详解】
A 、224641780b ac =-=-⨯⨯=> ，则方程有两个不相等的实数根，所以A 选项不符合题意；
B 、()()2
24541261290b ac =-=--⨯⨯-=> ，则方程有两个不相等的实数根，所以B 选项不符合题意；
C 、()224274207290b ac =-=--⨯⨯=> ，则方程有两个不相等的实数根，所以C 选项不符合题意；
D 、()()2
2
4241240b ac =-=-⨯-⨯-=-< ，则方程没有实数根，所以D 选项符合
题意．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的根与24b ac =- 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
4．
（2021ꞏ全国八年级）如图，要为一幅长为29cm ，宽为22cm 的照片配一个相框，要求相框的四条边宽度相等，且相框所占面积为照片面积的四分之一，相框边的宽度为xcm ，则可列方程为（
）
A ．
（29﹣2x ）（22﹣2x ）＝1
4×29×22B ．
（29﹣2x ）（22﹣2x ）＝3
4
×29×22C ．（29﹣x ）（22﹣x ）＝
1
4×29×22D ．（29﹣x ）（22﹣x ）＝3
4
×29×22【答案】B 【分析】
由相框所占面积为照片面积的四分之一，可得剩余部分占照片面积的四分之三，由此得到方程.【详解】
设相框边的宽度为xcm ，则可列方程为：
（29﹣2x ）（22﹣2x ）＝
3
4
×29×22.故选：B .
此题考查一元二次方程的实际应用—图形面积，正确理解题意找到题中的等量关系是解题的关键.
5．
（2020ꞏ莆田砺志学校九年级月考）定义：如果一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）满足a ﹣b +c ＝0，那么我们称这个方程为“蝴蝶”方程．已知关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）是“蝴蝶”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中正确的是（）
A ．b ＝c
B ．a ＝b
C ．a ＝c
D ．a ＝b ＝c
【答案】C 【分析】
根据方程有两个相等的实数根，得240b ac -=，再根据题目定义得a c b +=，可以证明a c =．【详解】
解：∵方程有两个相等的实数根，∴240b ac -=，∵方程是“蝴蝶”方程，∴0a b c -+=，即a c b +=，
∴()()2
2
22420a c ac a c ac a c +-=+-=-=，∴a c =．故选：C ．【点睛】
本题考查一元二次方程的根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式．6．
（2020ꞏ威远县凤翔中学九年级月考）已知α，β是一元二次方程2620x x -+=的两根，则αββα
+=（
）
A ．6-
B ．2
C ．16
D ．16或2
【答案】C 【分析】
根据根与系数的关系，得到α+β=6，αβ=2，把α+β和αβ的值代入化简后的代数式，求出代数式的值．【详解】
解：∵α，β是一元二次方程2620x x -+=的两根，∴α+β=6，αβ=2，
∴2222+(+)2622
=162
αβαβαβαββααβαβ--⨯+=
==．故选：C ．【点睛】
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求出代数式的值．7．
（2020ꞏ威远县凤翔中学九年级月考）下列方程中，属于一元二次方程的是（）
A ．2
1
x y -=B 0
=C ．21
10
x -=D ．210
23
x x --=【答案】D 【分析】
含有一个未知数，未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据定义解答.【详解】
符合一元二次方程定义的是21
023
x x --=，
故选：D .【点睛】
此题考查一元二次方程的定义，熟记定义，掌握一元二次方程的构成特点是解题的关键.8．
（2020ꞏ平阳县万全镇郑楼中心学校九年级期中）某超市今年1月份的营业额为50万元，已知2月至3月营业额的月增长率是1月至2月营业额的月增长率的2倍，3月份的营业额是66万元，设该超市1月至2月营业额的月增长率为x ，根据题意，可列出方程（
）
A ．()50166
x +=B ．()2
50166
x +=C ．()2
501266
x +=D ．()()5011266
x x ++=【答案】D 【分析】
根据2月份的营业额=1月份的营业额×（1+x ），3月份的营业额=2月份的营业额×（1+2x ），把相关数值代入即可得到相应方程．【详解】
解：∵1月份的营业额为50万元，2月份的营业额比1月份增加x ，∴2月份的营业额=50×（1+x ），
∴3月份的营业额=50×（1+x ）×（1+2x ），∴可列方程为：50（1+x ）（1+2x ）=66．故选：D ．【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2=b ．注意先求得2月份的营业额．
9．
（2020ꞏ永州柳子中学九年级月考）等腰三角形的一边长是4，方程2610x x m -++=的两个根是三角形的两边长，则m 为（）A ．7B ．8
C ．4
D ．7或8
【答案】B
【分析】
两种情况，4为腰和4为底边，而一元二次方程的两根也分为两种情况：①一边为腰一边为底，此时代入4即可求解，②两边都为腰，此时判别式为0，代入数值即可求解．【详解】
①一边为腰一边为底，当4为底时，有
246410m -⨯++=，解得7m =，此时2680
x x -+=解得另一个根为2，而此时2+2=4，不合题意舍去；②方程两根都为腰，此时=0∆即()()2
6410m ∆=--+=，解得m=8综上所述，m=8故选B ．【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的判别式，关键是分情况讨论一元二次方程解的情况．
10．（2020ꞏ全国九年级期末）若实数a ，b 满足21
202
a a
b b -++=，则a 的取值范围是（）．A ．a ≤2-B ．a ≥4
C ．a ≤2-或a ≥4
D ．2-≤a ≤4
【答案】C 【分析】
把
1
2
a−ab+b 2+2＝0看作是关于b 的一元二次方程，由△≥0，得关于a 的不等式，解不等式即可．【详解】
把1
2
a−ab+b2+2＝0看作是关于b的一元二次方程，
因为b是实数，所以关于b的一元二次方程b2−ab+1
2
a+2＝0
的判别式△≥0，即a2-4（1
2
a+2）≥0，a2-2a-8≥0，
（a-4）（a+2）≥0，
解得a≤-2或a≥4．
故选C．
二、填空题
11．（2021ꞏ全国八年级）若一元二次方程x2+2x﹣m＝0无实数根，则一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经过第_____象限．
【答案】一
【分析】
根据方程无实数根得出b2﹣4ac＜0，代入数据即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出m的取值范围，再根据m的取值范围来确定一次函数系数k、b的符号，由此即可得出一次函数经过的象限，此题得解．
【详解】
解：由已知得：△＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣m）＝4+4m＜0，
解得：m＜﹣1．
∵一次函数y＝（m+1）x+m﹣1中，k＝m+1＜0，b＝m﹣1＜0，
∴该一次函数图象在第二、三、四象限，不经过第一象限．
故答案为一．
本题考查了一元二次方程根的判别式和一次函数的图象与性质，解答关键是应用数形结合思想解决问题．
12．
（2021ꞏ全国八年级）已知222(3)4(3)30x x x x ++++=，则23x x +的值为__．【答案】1-．【分析】
设y ＝x 2＋3x ，则原方程转化为关于y 的一元二次方程y 2＋4y ＋3＝0，利用因式分解法解该方程，然后再解关于y 的一元二次方程即可．【详解】
设23y x x =+，则2430y y ++=，即(1)(3)0y y ++=．
解得1y =-或3y =-．
则23x x +的值为1-或3-，
2299399
3(44244
x x x ++
-=--- …，231x x ∴+=-，
故答案为：1-．【点睛】
本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
13．
（2021ꞏ全国八年级）已知二次方程x 2+（2m +1）x +m 2﹣2m +3
2
＝0的两个实数根为α和β，若|α|+|β|＝4，求m 的值__．
【答案】
32
先由根与系数的关系得到2m+1=-（α+β），α•β=m2-2m+3
2
=（m-1）2+
1
2
＞0，那么α和β
同号，再由|α|+|β|=4，分α+β=-4或α+β=4进行讨论即可．【详解】
解：∵二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2m+3
2
＝0的两个实数根为α和β，
∴α+β＝﹣（2m+1），α•β＝m2﹣2m+3
2
，
∴2m+1＝﹣（α+β），α•β＝m2﹣2m+3
2
＝（m﹣1）2+
1
2
＞0，
∴α•β＞0，即α和β同号，
∴由|α|+|β|＝4得：α+β＝﹣4或α+β＝4．
当α+β＝﹣4时，2m+1＝4，解得m＝3
2
；
当α+β＝4时，2m+1＝﹣4，解得m＝﹣5
2
．
∵△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2m+3
2
）
＝4m2+4m+1﹣4m2+8m﹣6＝12m﹣5≥0，
∴m≥
5 12
；
∴m＝﹣5
2
不合题意，舍去，
则m＝3
2
．
故答案为：3
2
．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得出的结果必须满足△≥0的条件．
14．（2020ꞏ福建省泉州实验中学八年级期中）已知a 、b 、c 满足227a b +=，221b c -=-，2617c a -=-，则a b c ++=_______．
【答案】3
【分析】
题中三个等式左右两边分别相加后再移项，可以通过配方法得到三个平方数的和为0.然后根据非负数的性质可以得到a 、b 、c 的值，从而求得a+b+c 的值．
【详解】
解：题中三个等式左右两边分别相加可得：
2222267117a b b c c a ++-+-=--，
即222226110a b b c c a ++-+-+=，
∴()()()222
3110a b c -+++-=，
∴a=3,b=-1,c=1，
∴a+b+c=3-1+1=3，
故答案为3．
【点睛】
本题考查配方法的应用，熟练掌握配方法的方法和步骤并灵活运用是解题关键．
三、解答题
15．（2021ꞏ全国九年级）解方程：（1）x 2-6x-5=0（2）（x+1）（x-2）=4
【答案】（1）13x =，23x =；
（2）12x =-，23x =．【分析】
（1）原方程运用配方法求解即可；
（2）原方程整理后运用因式分解法求解即可．
【详解】
解：（1）x 2-6x-5=0
x 2-6x =5
x 2-6x +9=14
(x-3)2=14
∴3=x -±
解得，13x =，23x =（2）（x+1）（x-2）=4
260
x x --=(2)(3)0
x x +-=20x +=，30
x -=解得，12x =-，23x =．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．16．
（2020ꞏ深圳南山外国语学校九年级月考）解关于x 的方程．（1）(5)24x x +=．
（2）22(1)4(2)x x +=-．
【答案】(1)12 83x x =-=，；(2)12 15x x ==，．
（1）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程；
（2）两边开方得到12(2)x x +=±-，然后解两个一次方程即可．
【详解】
解：（1）25240x x +-=，
(8)(3)0x x +-=，
80+=x 或30x -=，
解得：1283x x =-=，；
（2）22
(1)4(2)x x +=-两边开方得12(2)x x +=±-，
∴12(2)x x +=--或12(2)x x +=-，
解得：121
5x x ==，．【点睛】
本题考查了解一元二次方程的解法，正确计算是解题的关键.
17．
（2020ꞏ陕西宝鸡市ꞏ九年级期中）新冠疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必须品．某商店销售一款口罩，每袋进价为12元，计划每袋售价大于12元但不超过20元，通过市场调查发现，这种口罩每袋售价为18元时，日均销售量为50袋，而当每袋售价提高1元时，日均销售量就减少5袋．
（1）在每袋售价为18元的基础上，将这种口罩的售价每袋提高x 元，则日均销售量是
_________袋；
（用含x 的代数式表示）（2）经综合考察，要想使这种口罩每天赢利315元，该商场每袋口罩的销售价应定为多少元？
【答案】（1）505x -；
（2）19元．
（1）销售量=原来销售量－下降销售量，据此列式即可；
（2）设这种口罩的售价每袋提高x 元，根据销售量×每袋利润=总利润列出方程求解即可．
【详解】
（1）∵每袋售价提高1元时，日均销售量就减少5袋，
∴每天销量减少5x 袋，
∵售价为18元时，日均销售量为50袋，
∴将这种口罩的售价每袋提高x 元，则日均销售量是：505x -．
故答案为：505x
-（2）设这种口罩的售价每袋提高x 元，
根据题意得：(1812)(505)315x x +--=，
化简得：2430x x -+=，
解得：121,3x x ==，
当11x =时，每袋售价是：18119+=（元）；
当23x =时，每袋售价是：18321+=（元）；
∵计划每袋售价大于12元但不超过20元，
∴23x =舍去．
∴当1x =时，每袋售价是19元．
答：该商场每袋口罩的售价应定为19元．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，关键是根据售价和销售量的关系，以利润做为等量关系列方程求解．
18．（2021ꞏ全国九年级）关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0．
（1）若﹣2是该方程的一个根，求该方程的另一个根；
（2）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
（3）设该方程的两个实数根为x1，x2，若x12+x22+m（x1+x2）＝m2+1，求m的值．【答案】（1）方程的另一个根为0；（2）证明见解析；（3）m＝﹣3或1
【分析】
（1）利用待定系数法解决问题即可；
（2）证明判别式大于0即可；
（3）利用根与系数的关系，把问题转化为一元二次方程解决问题．
【详解】
（1）解：由题意，得：4﹣2m+m﹣2＝0，
解得：m＝2，
∴方程为x2+2x＝0，
解得：x1＝﹣2，x2=0，
∴方程的另一个根为0．
（2）证明：∵△＝m2﹣4（m﹣2）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4＞0，
∴无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．
（3）由根与系数的关系得：x1+x2＝﹣m，x1x2＝m﹣2，
由x12+x22+m（x1+x2）＝m2+1，
得：（x1+x2）2﹣2x1x2+m（x1+x2）＝m2+1，
∴m2﹣2（m﹣2）﹣m2＝m2+1，
整理得：m2+2m﹣3＝0，
解得：m＝﹣3或1．
【点睛】
本题考查根与系数的关系、根的判别式、解一元二次方程、解一元一次方程等知识，解答的关键是熟练掌握基本知识的联系和运用，属于中考常考题型．
19．（2021ꞏ全国九年级）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品的售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．
（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？
（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
（3）商场每月销售这种商品的利润能达到8000元吗？
【答案】（1）4800元；（2）每件商品应降价60元；（3）能
【分析】
（1）先求出每件的利润，再乘以每月销售的数量就可以得出每月的总利润；
（2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．
（3）列出方程判断其根的判别式即可得到其利润能否达到8000元．
【详解】
解：（1）由题意，得60（360-280）=4800元．
答：降价前商场每月销售该商品的利润是4800元；
（2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x元，由题意，得
（360-x-280）（5x+60）=7200，
解得：x1=8，x2=60
∵有利于减少库存，
∴x=60．
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元．
（3）设要使商场每月销售这种商品的利润达到8000元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x 元，
由题意，得（360-x-280）（5x+60）=8000，
整理得，2686400
x x -+=∵b 2-4ac=2064＞0，
∴方程有解，
∴利润能达到8000元．
【点睛】
本题考查了销售问题的数量关系利润=售价-进价的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键．
20．
（2020ꞏ江苏扬州市ꞏ九年级月考）已知关于x 的一元二次方程2(21)(1)0x m x m m -+++=．
（1）求证：无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）该方程有一个根为8，求m 的值．
【答案】（1）见解析；（2）7m =或8
【分析】
（1）先根据题意求出24b ac -的值，
再根据一元二次方程根的情况与判别式24b ac -的关系即可得出答案；
（2）将x ＝8代回原方程即可得到关于m 的一元二次方程，解该方程即可求出m 的值．
【详解】
（1）证明：∵a ＝1，b ＝﹣（2m +1），c ＝m （m +1），
∴24b ac -＝[﹣（2m +1）]2﹣4m （m +1）＝1＞0，
∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：将x ＝8代回原方程，得
648(21)(1)0
m m m -+++=整理，得215560m m -+=，
解得7m =或8，
故m 的值为7或8．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的判别式，以及解一元二次方程的方法，一元二次方程根
的情况与判别式24b ac -的关系：
（1）24b ac -＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）24b ac -＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）24b ac -＜0⇔方程没有实数根．21．（2021ꞏ全国八年级）某种品牌的手机经过7、8月份连续两次降价，每部售价由2500元降到了1600元．若每次下降的百分率相同，请解答：
（1）求每次下降的百分率；
（2）若9月份继续保持相同的百分率降价，则这种品牌的手机售价为多少元？
【答案】（1）20%；（2）1280元
【分析】
（1）设每次下降的百分率为x ，根据该品牌手机的原价及经过两次降价后的价格即可得出关于x 的一元二次方程，继而即可求解；
（2）根据该品牌手机9月份售价＝该品牌手机8月份售价×（1－下降率）即可求解
【详解】
解：（1）设每次下降的百分率为x ，
依题意，得：2500（1﹣x）2＝1600，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去）．
答：每次下降的百分率为20%．
（2）1600×（1﹣20%）＝1280（元）．
答：若9月份继续保持相同的百分率降价，则这种品牌的手机售价为1280元．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．22．（2020ꞏ西安市铁一中学九年级期中）环保，现在是目前世界上最热门的话题之一，我国的环境问题主要表现在：污染物排放量相当大，远远高于环境的自净力．某厂工业的废气年排放量为450万立方米，为改善我市的大气环境质量，决定分两期投入治理，使废气的年排放量减少到288万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同．（1）求每期治理中废气减少的百分率是多少？
（2）预计第一期治理中每减少1万立方米废气需投入3万元，第二期治理中每减少1万立方米废气需投入4.5万元，问两期治理完后共需投入多少万元？
【答案】（1）20%；（2）594．
【分析】
（1）先设每期治理中废气减少的百分率是x，再据题意用x表示出经过两期治理后废气的年排放量，让它等于288列出方程求解即可．
（2）用（1）的结果计算出第一期治理后的废气年排放量，进而可求出两期治理中废气年排放量的减少量，用之乘以对应的每减少1万立方米废气需投入的资金，再相加即可．【详解】
（1）设每期治理中废气减少的百分率是x，据题意得
2
-=
x
450(1)288
x=（舍去）
解之得1x=0.2=20%，2 1.8
答：每期治理中废气减少的百分率是20%．
（2）450×（1-20%）=360，
∵第一期治理中每减少1万立方米废气需投入3万元
∴第一期治理费用为：(450-360)×3=270(万元)；
∵第二期治理中每减少1万立方米废气需投入4.5万元
∴第二期治理费用为：(360-288)×4.5=324(万元)
所以两期治理完后共需投入270+324=594万元．
【点睛】
此题考查列一元二次方程求平均增长率．此题关键是要弄清开始的基准量和经过两期后的最终量，再利用增长率的含义列方程和利用增长率求出一期后的中间量．
23．（2020ꞏ河南驻马店市ꞏ九年级期中）阅读下列材料：已知实数m ，n 满足
()()2222212180m n m n +++-=，试求222m n +的值．
解：设222m n t +=，
则原方程变为()1)0(18t t +-=，整理得2180t -=，即281t =，∴9t =±．
∵2220m n +≥，∴2229m n +=．
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
（1）已知实数x ，y 满足()()
222222322327x y x y +++-=，求22x y +的值．（2）若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数．
【答案】（1）223x y +=；
（2）这四个整数为2，3，4，5【分析】
试卷第21页，总21页（1）设2x 2+2y 2=m ，则原方程变为（m+3）（m-3）=27，解方程求得m=±6，根据非负数的性质即可求得x 2+y 2=3；
（2）设最小的正整数为x ，则另三个分别为x+1、x+2、x+3，根据题意可得方程x （x+1）
（x+2）（x+3）=120，整理为（x 2+3x ）
（x 2+3x+2）=120，设x 2+3x=y ，则原方程变为y （y+2）=120，解方程求得y=-12或10，由于y 是正整数，可得y=10，所以x 2+3x=10，再解方程求得x 的值即可.
【详解】
解：（1）设2222x y m +=，则(3)(3)27m m +-=，
∴2927m -=，即236m =，∴6m =±，
∵22220x y +≥，∴22226x y +=，
∴223x y +=．
（2）设最小数为x ，则()()()123120x x x x +++=，
即：()()22332120x x x x +++=，
设23x x y +=，则221200y y +-=，
∴112y =-，210y =，
∵0x >，∴2310y x x =+=，
∴12x =，250x =-<（舍去），
∴这四个整数为2，3，4，5．
【点睛】
本题考查了换元法，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化．。