数学必修五模块综合质量测试

模块综合质量测试
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.下列说法正确的是()
A. 若a＞b,则ac２>bc2
B。

若a〉－b,则－a>b
Ｃ。

若ac〉bｃ,则a〉ｂ
D. 若a〉b,则a-c＞b－ｃ
[解析]当c＝0时，ac２＝bｃ2，故A不正确;a〉-b⇒-ａ<b，故B错,当ｃ<0时,aｃ〉bc⇒a〈b，故Ｃ错.
[答案］D
２．以下通项公式中,不可能是数列3,5，9，…的通项公式的是()
A．aｎ=２n+1
B。

a n＝n2－n＋３
Ｃ。

ａn＝-错误!n3＋５n２－错误!n＋７
D。

a n＝2n+1
[解析］选项D中,a n＝2n＋1，∴ａ3=２×３＋1=7≠9，故a n=2n+1不是所给数列的通项公式.
[答案]Ｄ
3.在不等边三角形ABC中，ａ2〈b２+c２,则Ａ的取值范围是( ）
A．9０°<Ａ＜180°ﻩＢ．45°〈A<90°
Ｃ。

6０°〈Ａ<90°Ｄ. 0°〈A＜90°
[解析］∵a２＝b２＋c2-2ｂc cｏs A,
又∵ａ2〈ｂ2+c2,∴ｃos A〉0，
∴０°〈A〈90°,故选D.
［答案］ D
4。

设等差数列{a n｝中,a3＝8,a7=2０，则数列｛错误!｝的前ｎ项和为（)
Ａ。

错误!B。

错误!
C.
３n
6n+4ﻩD. 错误!
［解析］设等差数列的公差为ｄ，则a7=a3+(7-3）d,所以20=8+4d,d=3，又a3=a1＋2d＝8，所以a1=２．所以错误!＋错误!+…+错误!＝＼ｆ（1,3)（错误!－错误!+错误!-错误!＋…+错误!－错误!)＝错误!(错误!-１
ａn＋１
）=错误!［错误!－错误!]=错误!。

先求出a１与d，再利用拆项相消法化简，使问题简化．
［答案] B
5。

偶函数ｙ＝ｆ（x)和奇函数y＝ｇ(x)的定义域均为［-４，4]，f(x)在［-4,0]，g(ｘ)在[０，4]上的图像如图，则不等式错误!＜0的解集为（)
Ａ. ［2,4] B. (－２,0)∪(2，4)
C。

（－4，-2)∪(２,4) D. (-２,0)∪(0,２)
[解析］由已知得:当x∈(－4，－2)∪(２,４)时,ｆ(ｘ)〉0,当x ∈（-2,2）时,f（x）〈0,当x∈（-4,0)时，g（x)>0，x∈（0，4）时，g （x）＜0.所以当x∈(－２，０)∪(2，４)时,错误!〈0。

[答案] B
６。

若实数x，y满足不等式组错误!则3x＋4y的最小值是( ）Ａ。

13 ﻩB.15
C．２0 ﻩD。

２8
［解析］由题意得x,y所满足的区域如图所示:
令ｕ=3x+４y,则y＝-错误!x＋错误!u,
先作ｌ0：ｙ＝-错误!x，如图所示,将l0平行移动至过点Ｂ时,u取得最小值，
联立错误!解得错误!
∴u miｎ=3×3＋4×1＝1３.
[答案］Ａ
７．已知△ＡＢＣ中，ＡB＝＼ｒ(3),AC=1且B＝3０°，则△ABC 的面积等于（)
Ａ.错误! B. 错误!
C. 错误!或错误!ﻩD。

错误!或错误!
[解析]由余弦定理得
AＣ2＝AB2+BC2-2AＢ·BＣ·cos∠ABＣ，
∴1=3＋BC２－2×错误!×BC×错误!,
∴BC2-3BＣ＋２=0,
∴BＣ＝2或BC＝1，
∴Ｓ△ＡＢC＝错误!×错误!×2×错误!＝错误!或S△ABC=错误!×错误!×1×错误!=错误!。

[答案] D
8.若数列｛a n｝的通项公式是ａn=(-1)n（3n－2)，则a１＋a２+…+a10＝( ）
A.1５ﻩ
B. 12
Ｃ。

－１２D．-15
[解析]ａ1+a2＋…＋a10=-1+4－7＋10+…＋（－1）１0·(3×10－2）＝（－1+4）＋（-7+10）+…＋［(－１)９(3×9-2）+(－1)１0·(3×1０－2）]=3×5＝1５.
[答案］Ａ
9.若实数x、y满足错误!,则错误!的取值范围是（)
Ａ. (0，2) ﻩＢ.（0,2]
C。

(2,＋∞) D.[2,+∞)
[解析］作出可行域，如图中阴影部分所示,是以Ａ（0,1),B(1，２),C(0,2）为顶点围成的三角形（不包含边AC）,设P(x，y)为可行域
内任一点,则直线PO的斜率kＰＯ=错误!,由数形结合得，k PO=２是错误!的最小值,故＼f(y,x)的取值范围是[２,+∞）,故选Ｄ.
[答案] D
10.设f(ｘ)＝３aｘ-2ａ+1，若存在x0∈(－1,1），使ｆ（ｘ０）=0,则实数ａ的取值范围是()
Ａ．－１〈a〈错误!Ｂ．a〈－１
C. a〈-１或a〉错误!D。

a＞错误!
［解析]由于f(ｘ)＝3ax-2a+1,故f(x）一定是一条直线，又由题意,存在ｘ0∈(-１,1),使得f（x0）=０，故直线y＝3ax－２a+1在x＝－1和x=1时的函数值异号,
即f(－１)ｆ（1）〈0,得（１－５a）(a＋1)<０，解得a〈-1或ａ>＼f(１,５）,故选C.
[答案] C
1１. 若x，ｙ为正数，且x2+＼ｆ（ｙ２，2)＝1,则x＼r(1+y2）的最大值是（）
A. 错误!B．错误!
C. ＼f(２,4）
D. 错误!
[解析] 因为x ,y 为正数,所以x ＼r(1＋y 2）=＼ｒ（2x 2)·错误!≤
2·＼f(ｘ2＋1＋y 2，2）2
＝错误!。

当且仅当2x 2＝1+y 2,即x 2＝错误!，ｙ2=错误!时,等号成立．把x 错误!灵活变形后利用基本不等式求最大值．
[答案］ Ｂ
１２。

［2013·豫南四校调研考试]若AB ＝2，AC =错误!BC ,则Ｓ△AB Ｃ的最大值为（ )
A. 2＼r （２) ﻩB 。

错误!
C. 错误! Ｄ。

3错误!
[解析］ 设BC ＝ｘ,则ＡＣ=错误!ｘ,根据面积公式得S △ＡＢC ＝错误!×ＡB ×BC si ｎB =x 错误!
①，根据余弦定理得cos B =错误!=错误!=错误! ②,将②代入①得，Ｓ△ABC ＝
x 错误!＝错误!，由三角形的三边关系得错误!,解得2错误!-2〈x <2错误!＋2,故当ｘ=2错误!时,Ｓ△ABC 取得最大值2错误!，故选A.
［答案] A
二、填空题(本大题共４小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上．）
1３．数列{a ｎ｝的前ｎ项和S ｎ=n ２＋1，则ａn =_＿_____＿. ［解析] 当n =1时,a 1＝S 1＝2,
当ｎ≥２时，a n ＝S n -Ｓn －1＝2n -1.
∴a n ＝错误!.
［答案] 错误!
１4.对一切实数x,＼f（３x2+2x＋2，x２＋x＋１)>k恒成立，则正整数k的值为_＿_＿_＿＿_.
［解析]∵ｘ2＋x＋1＝(ｘ＋＼f(1,２)）2+错误!＞0,
∴原不等式可化为:
(3－k）x2＋(2-k)ｘ＋2-k>0恒成立,
∴错误!
∴错误!
∴k<2,
∴正整数k的值为1.
［答案] 1
15.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A 的仰角是4５°，在D点测得塔顶Ａ的仰角是3０°,并测得水平面上的∠BCD＝１２0°,ＣD＝４０ｍ,则电视塔的高度为_____＿＿_．
［解析]在Rt△ABＤ中,
∠D=3０°，∴ＢＤ＝错误!ＡB．
在Rt△ABＣ中,
∠C＝45°,∴BC=AB。

在△BCＤ中,∠BCD=120°,ＣD＝40 ｍ.
由余弦定理知
BD2＝ＣD2+BＣ2-2ＣD·ＢＣｃos∠BCＤ,
即(错误!ＡB）２=４02＋ＡB2-2×４０×ＡＢcos120°,
整理得AＢ２-20AB-80０=0,
解得ＡB＝４0或AB=-20（舍去)．
[答案]４0 m
１６.[2013·安徽江南十校联考]已知ｘ，y满足错误!则错误!的取值范围是_＿______．
［解析]错误!＝1＋2·错误!，设k＝错误!，k表示定点P（4，1）与动点N(x,ｙ)连线的斜率，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,点Ｎ在如图所示的三角形ＡＢC的边界上或内部,A(-３,-4),Ｃ(３,２),ｋCP=－1≤k≤k AＰ＝错误!,所以错误!∈[1-2，1+错误!]=[－1,错误!］.
［答案] [－1，错误!]
三、解答题(本大题共6小题，共70分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤)
１7.（本小题满分1０分）设｛a n}是公比为正数的等比数列,a1=2,ａ3=a2+4。

(１)求｛a n}的通项公式；
(２）设｛bｎ｝是首项为1,公差为２的等差数列，求数列｛a n+b n}的前n项和Sｎ．
[解］(１）设q为等比数列{ａｎ}的公比,则由a1=２,a３＝a２＋４得2q2＝2q＋４,即
ｑ2－ｑ-2＝0,解得q＝２或q＝-1（舍去），
因此q＝２，
所以｛a n}的通项公式为a n＝2×2ｎ－1=２n(n∈Ｎ＊).
(2）S n＝错误!＋n×１＋错误!×2＝２n+1＋n2－2．
18.（本小题满分12分)已知a,b，ｃ分别是△ABC三个内角A，B,Ｃ的对边，
(1)若△ABC的面积为错误!,c＝２,A=6０°,求a，b的值;
(2)若a cosＡ＝ｂｃos B,试判断△ABC的形状，并证明你的结论.
［解] (1)由已知得错误!＝错误!bc siｎA=bｓｉn６０，∴b=１.
由余弦定理a2=b2+c2-2bcｃos A=3,∴a＝错误!。

(2)由正弦定理得2R sｉn A＝a,2Ｒｓin B＝b，
∴２ＲsiｎA cos A=2Rｓin B coｓB，即siｎ2A=sin2B,
又Ａ，B为三角形内角，∴Ａ+B=90°或A＝B.
故△AＢC为直角三角形或等腰三角形.
19.(本小题满分12分)已知不等式log2(ax2-3x+6）＞2的解集为｛x｜x〈1或x>b}.
（1)求a,b的值；
(2）解不等式：(ax＋b）(c－ｘ）〉0.（ｃ为常数)
[解] (1)由题意知ａx2-3x+6〉４,即ax２-３x＋2〉0的解为x〈1或x〉ｂ,则１,ｂ是方程aｘ2－3x+2=０的两根,且a>0。

∴错误!解得错误!
当a＝１时,ｘ２－3x+6〉0恒成立,
∴a=1,b＝２。

(２）将a＝1,b=2代入不等式整理得(x＋2）(ｘ-ｃ)<0。

当c〉-2时，不等式解集为｛x|-2〈x〈ｃ｝;
当c＝－２时，不等式解集为∅；
当ｃ<-2时，不等式解集为{x|c＜x<-2}.
20.(本小题满分１2分)某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱,已知生产甲种棉纱1 t需耗一级籽棉2 t、二级籽棉1 t；生产乙种棉纱需１ｔ耗一级籽棉１t、二级籽棉２t,每1吨甲种棉纱的利润是６00元,每1吨乙种棉纱的利润是900元,工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级籽棉不超过300t、二级籽棉不超过250 t,甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到t），能使利润总额最大?
[解]将已知数据列成下表:
设生产甲、乙两种棉纱分别为x t、y t，利润总额为z元，那么错误!,
z=6０0x+９０0y。

作出以上不等式组所表示的平面区域（如图),即可行域．
作直线ｌ：６００x＋90０y=０,即直线l:2x+3ｙ=0，把直线ｌ向右上方平移至l1的位置时,直线经过可行域上的点M,且与原点距离最大，此时z=６00x＋9０0y取最大值,解方程组
错误!，解得x＝错误!≈11７,
ｙ=＼f(200，３)≈６7.即M的坐标为(117，６7)．
答：应生产甲种棉纱11７ｔ，乙种棉纱６7 t,能使利润总额达到最大．
21.(本小题满分12分）某水产养殖场拟造一个平面图为矩形且面积为１６0 m2的水产养殖网箱,为了避免混养,箱中要安装一些筛网，如图所示．如果网箱四周网衣(图中实线部分)建造单价为每米１１2元,筛网(图中虚线部分）的建造单价为每米96元,网箱底面建造单价为每平方米100元,网衣及筛网的厚度忽略不计．
(1)把建筑网箱的总造价y(元)表示为网箱的长x（如图所示,单
位:m)的函数,并求出最低造价；
(2）若要求网箱的长与宽都不能超过１5 m,则当网箱的长与宽各为多少米时，可使总造价最低(精确到０.01 m)．
[解] (1)y =112(２x +错误!×2）＋9６(ｘ＋错误!×3)+100×160=320×（x ＋错误!）＋1600０≥26２40。

当x ＝错误!，即x =1６时,取得最小值．即最低造价为26240元．
(2)∵错误!∴１0错误!≤x ≤1５．
设g （x )=x ＋＼ｆ（256,ｘ）(x ∈[10错误!,1５])，
任取x 1,ｘ2∈[10错误!,15］,且x 1〈x 2，则
g （x 1)-g （x 2)＝(x １－x 2)(１-２56x 1x 2
）, ∵10＼ｆ（2,3）≤x １<x 2≤15，
∴x 1－x 2<0，1-＼f(2５6,x １x ２)〈０，
∴ｇ(x 1)〉ｇ(x 2)，
∴g (x )在［1０错误!，１5］上是减函数.
∴当ｘ=1５时,g (ｘ）有最小值．故当网箱长15 m,宽约为10.67 m 时，可使总造价最低.
22．(本小题满分12分）某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在20１2年伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足关系式:ｘ＝3-错误!．已知20１２年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1万件化妆品需要投入3２万元的生产费用,若化妆品的年销售收入额为其年生产成本的15０%与年促销费的一半之和．问:该企业２012年的促销费投入多少万元时,企业的年利润y(万元)最大?
(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费,生产成本＝固定费用+生产费用)
［解]当年生产ｘ(万件）时，
年生产成本=年生产费用+年固定费用=32x＋3=３2(３－错误!)＋3,
年销售收入为１５0％[32（3-错误!)＋3]＋错误!。

∵年利润=销售收入－生产成本-促销费，
∴y=１50%[32(3-错误!）+3］＋错误!－［32（3-错误!）＋3]－t
=＼ｆ(1，2）[3２(3－错误!）+3]-错误!＝50－错误![错误!+（t＋1)] ≤５0－＼f(１,2)·2错误!=42(万元)，
当且仅当＼ｆ(64,t+１)=t+１，即t=7时y maｘ=4２.
∴当促销费定在7万元时,利润最大.。