数学-七年级-第7讲-平行线的性质

学员姓名：学科教师：
年级：初一辅导科目：数学授课日期时间
主题平行线的性质
学习目标1．掌握平行线的性质，通过平行线性质的运用，体会文字语言、图形语言、符号语言之间的转换和一致，逐步提高分析能力与简单的逻辑推理能力；
2．理解两条通过平行线间的距离，体会两点的距离、点到直线的距离、两条平行线间的距离概念之间的联系．
教学内容
俗话说：橘树生长在“淮南”能结出个大橙子，生长在“淮北”就只能结出个小橘子.那我们在“三线八角”里认识同位角、内错角、同旁内角这三胞胎兄弟在平行线中会长出个怎样的骨肉相连呢？
请各位同学思考：
如上图所示，长的像不等号的家伙就是平行线了，那两个同位角有什么关系呢？
A、好像角度一样了
B、是失散多年的兄妹
C、喵还是看不出来
答案：A
根据补角和对顶角的性质，我们可以思考出来另外两兄弟在平行线中的关系
【知识梳理1】
平行线的性质：
性质1：两直线平行，同位角相等
性质2：两直线平行，内错角相等
性质3：两直线平行，同旁内角互补
【注意】① 若两直线平行，我们应联想到同位角相等，内错角相等，同旁内角互补等性质，为解决有关角的
问题提供依据；
② 平行线的性质与判定的区别和联系在于两者的条件和结论是互逆的，解题时要注意恰当运用．
【例题精讲】
例1. 如图，已知AB ∥DE ，∠ABC = x ︒，∠CDE =2 x ︒，∠BCD = 39︒，则∠ ABC 的度数是（ ）
A 、71︒
B 、73︒
C 、75︒
D 、77︒
答案：B
例2. 如图，已知CD ∥AB ，OE 平分AOD ∠，,50OF OE D ⊥∠=︒，求BOF ∠的度数．
解析：因为CD ∥AB （已知），
所以DOB D ∠=∠（两直线平行，内错角相等）．
180AOD D ∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补）．
又50D ∠=︒（已知），
所以50DOB ∠=︒
180130AOD D ∠=︒-∠=︒．
因为OE 平分AOD ∠（已知）．
所以11652
AOD ∠=∠=︒（角平分线的意义）． 又因为OF OE ⊥ (已知)．
所以2901906525∠=︒-∠=︒-︒=︒（垂直的定义）．
又2BOF DOB ∠=∠-∠
而50,225DOB ∠=︒∠=︒
所以502525BOF ∠=︒-︒=︒
教法说明：两直线平行时，应联想到它的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，由此
得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．
例3. 如图，已知,,,12AD BC EG BC E EFA ⊥⊥∠=∠∠=∠吗？为什么？
解析：因为,AD BC EG BC ⊥⊥ (已知)，
所以90ADC ∠=︒，90EGC ∠=︒（垂直的定义）
得ADC EGC ∠=∠（等量代换）．
所以AD ∥EG (同位角相等，两直线平行)．
得1AFE ∠=∠(两直线平行，内错角相等)
2E ∠=∠（两直线平行，同位角相等）
． 又E EFA ∠=∠ (已知)，
所以12∠=∠（等量代换）．
教法说明：平行线的性质是得到角相等的一个重要依据，本题既用到平行线的性质又用到平行线的判定，还有
垂直的意义，在解几何问题时．要学会根据已知条件和图形，综合运用图形的几何性质．
例4. 如图所示，已知130,2150,330∠=︒∠=︒∠=︒，那么三条直线,,AB CD EF 是什么位置关系？为什么？ 解析：因为130,330∠=︒∠=︒，所以AB ∥EF (内错角相等，两直线平行)，
又2150,330∠=︒∠=︒，所以23180∠+∠=︒，
所以CD ∥EF (同旁内角互补，两直线平行)．
因为AB ∥EF ，CD ∥EF ，
所以AB ∥CD ∥EF （平行线的传递性）
教法说明：本例既运用了平行线的两种判定方法，又运用了平行线的传递性．在解题过程中，每一步都有严密
的依据，同学们可利用此类说理题培养自己的逻辑推理能力．
【试一试】
1. 如图，某人从A 点出发，没前进10米，就向右转18︒，再前进10米，又向右转18︒，这样下去，他第一次回到出发地A 点时，一共走了_______米.
答案：200
2. 如图所示，已知C ，P ，D 在同一直线上，BAP ∠与APD ∠互补，12∠=∠，试说明E F ∠=∠． 解析：因为180BAP APD ∠+∠=︒（已知），
所以AB ∥CD (同旁内角互补，两直线平行)，
所以CPA PAB ∠=∠(两直线平行，内错角相等)，
又12∠=∠（已知），
所以12CPA PAB ∠-∠=∠-∠（等式的性质）．
即FPA PAE ∠=∠,
所以AE ∥PF (内错角相等，两直线平行)．
所以E F ∠=∠（两直线平行，内错角相等）．
教法说明：本题较为复杂，在分析时应从两方面着手．一方面从已知条件出发，香能得出什么结论；另一方
面，从最后要说明的结论出发，看需要什么条件．若能将两方面的分析联系起来，那么这道题也就
容易解了．
3. 如图所示，已知AB ∥CD ，FG ∥HD ，100B ∠=︒，FE 为EBC ∠的平分线，求EDH ∠的度数． 解析：因为AB ∥CD ,100B ∠=︒，
所以18010080BEC ∠=︒-︒=︒（两直线平行，同旁内角互补）．
因为EF 平分BEC ∠，
得1402
CEF FEB BEC ∠=∠=
∠=︒． 再因为FG ∥HD ．
所以40EDH CEF ∠=∠=︒（两直线平行，同位角相等）
教法说明：此题考查我们对平行线性质的掌握．
4. 如图，BED B D ∠=∠+∠，并且AB ∥EF ．你能判断AB 与CD 平行吗？为什么？
解析：因为AB ∥EF (已知)，
所以B BEF ∠=∠(两直线平行，内错角相等)，
因为BED BEF FED ∠=∠+∠．
BED B D ∠=∠+∠（已知），
所以BEF FED B D ∠+∠=∠+∠（等量代换）．
又因为BEF B ∠=∠（已得）．
所以FED D ∠=∠（等式性质），
得：EF ∥CD(内错角相等，两直线平行)．
又因为AB ∥EF （已知）．
所以AB ∥CD (如果两直线郁与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)
【知识梳理2】
两条平行线间的距离
两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离．
如图，直线a ∥b ，过直线a 上的一点P 作直线b 的垂线，垂足为Q ，则垂线段PQ 的长就是平行线a 、b 间的距离．
【注意】在此定义中，因为任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都是一个定值，所以又可看作：平行
线间的距离处处相等，即：
① 一条直线如果垂直于两条平行线中的一条，必定垂直于另一条；
② 夹在两条平行线间的平行线段相等；
③ 平行线间的距离处处相等；
④ 同底（或等底）同高（或等高）的三角形面积相等．
【例题精讲】
例5. 如图(1)，如果直线a ∥b ，问：
（1）△ABC 的面积和△ABD 的面积是相等的吗？为什么？
（2）怎样简单地在这两条平行线间作出一个三角形，使它的面积是△ABC 面积的2倍？
解析：（1）作,CM b DN b ⊥⊥，垂足分别为M 、N ，则CM CN =（平行线问的距离的定义）．
而11,22
ABC ABD S AB CM S AB DN ∆∆=⋅=⋅（三角形面积公式）．所以△ABC 的面积和△ABD 的面积是相等．
（2）如图(2)在直线b 上截取BE AB =，连接CE ，则CAE ∆即为所求．
教法总结：利用平行线间的距离处处相等，在两条平行线间的三角形高都相等，而等高三角形面积关系取决于
它们的威的数量关系，所以要作面积是△ABC 面积2倍的三角形，只要使所求三角形的底边是AB
的2倍即可，这样的三角形能作出无数个．
【试一试】
1. 如图所示，已知梯形ABCD 中．AD ∥BC .现在联结AC 、BD 相交于点O ．那么图中有几对面积相等的三角形？
解析：图中有3对面积相等的三角形
（1）以AD 为公共底，以AD 与BC 之间距离为高的BAD ∆与CAD ∆面积相等；
（2）以BC 为公共底．以AD 与BC 之间距离为高的ABC ∆与DBC ∆面积相等；
（3）在ABC ∆与DBC ∆中都减去公共部分BOC ∆，则可得ABO ∆与CDO ∆面
积相等.
1．如图1所示，170∠=︒，若m ∥n ．则2∠= ．
答案：70︒
2．如图2所示，已知a ∥b ，170∠=︒，240∠=︒，则3∠= ．
答案：70︒
3．如图3所示，已知a ∥b ，140∠=︒，那么2∠的度数等于 ．
答案：40︒
图1 图2 图3
4．如图所示，在四边形ABCD 中，1∠与2∠是内错角．1∠与2∠相等吗？
解析：同学们容易错解为：因为1∠和2∠是内错角，所以12∠=∠．
要注意：只有先找到两条平行线，才有12∠=∠．要准确利用性质进行分析．
1∠与2∠不一定相等，因为AB 和CD 不一定平行．
5．如图所示，已知180,280,3120∠=︒∠=︒∠=︒．求4∠与5∠的度数．
解析：因为62,1280∠=∠∠=∠=︒，所以16∠=∠（等量代换）．
所以CD ∥AB (同位角相等，两直线平行)．
所以53∠=∠（两直线平行，内错角相等）．
43180∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补）
又因为3120∠=︒，
所以5120∠=︒，4180360∠=︒-∠=︒．
6．如图，直线a ∥b ，点A 、D 、E 、F 在a 上，点B 、C 在b 上，且AD EF =，那么，梯形ABCD 与梯形EBCF 面积相等吗？为什么？
解析：相等
作1AH b ⊥，垂足为1H ,作2EH b ⊥，垂足为2H ，则12AH EH =（平行线间距离的意义）．因为
()()121,212
ABCD EBCF S AD BC AH S EF BC EH =⨯+⨯=⨯+⨯． 又因为AD =EF ．所以ABCD EBCF S S =．
7．如图，已知AC ∥DE ，12,3B ∠=∠∠=∠．试说明AD ∥BC 的理由．
解析：因为AC ∥DE (已知)，
所以2ACD ∠=∠(两直线平行，内错角相等)．
又因为12∠=∠（已知）
所以1ACD ∠=∠(等情代换),
得AB ∥CD （内错角相等，两直线平行），
所以B DCE ∠=∠(两直线平行，同位角相等)．
又因为3B ∠=∠（已知）．
所以3DCE ∠=∠(等量代换)，
得AD ∥BE (内错角相等，两直线平行)．
一、完成下列各题的说理过程
1．如图，因为12∠=∠（已知），所以a ∥b ( )
所以么34180∠+∠=︒( )
2．如图，因为AD ∥BC (已知)，所以A ∠+ ＝180°( )
因为B D ∠=∠（已知），所以180A D ∠+∠=︒( )
所以 ∥____( )
3．如图，因为AE ∥BC (已知)，所以1∠=∠ ( )
2∠=∠ ( )．
因为12∠=∠（已知），所以B C ∠=∠( )
4．如图，因为1E ∠=∠（已知），所以____∥____( )
所以B ∠＝∠____( )，因为AB ∥CD （已知）
所以D ∠=∠____( )，所以B D ∠=∠( )
二、解答题
1．如图，已知DH ∥EG ∥BC ，DC ∥EF ，图中有哪些角与DAE ∠相等？
2．如图，已知1126,254,372∠=︒∠=︒∠=︒，求4∠的度数．
3．如图13-85，在三角形ABC 中，已知80A ∠=︒， 40C ∠=︒点，D 、E 、F 分别在BC 、AC 、AB 上，且DE ∥AB ，EF ∥BC ，求1∠、2∠和3∠的度数的比．
4．如图，AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，EG 平分AEF ∠，∠1＝50°．求∠2的度数
5．ABC ∆中，BD AC ⊥，GF AC ⊥，E 是AB 上一点，且12∠=∠，试说明DE ∥BC 的理由．
6．如图，已知a ∥b ，点P 在直线b 上．
(1)过点P 画直线a 的垂线，垂足为Q ；
(2)在直线a 上，除点Q 外另取一点E ．过点E 画PQ 的平行线交直线b 于点F ；
(3)直线EF 与直线a 垂直吗？
(4)直线a ，b 间的距离可用哪条线段的长度表示？
(5)直线PQ ，EF 间的距离可分别用哪条线段的长度表示？
7．如图，ABC ∆中，点D 为AB 的中点，那么，ACD ∆和BCD ∆面积相等吗？为什么？
【答案】
一、1．同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
2．B ，两直线平行，同旁内角互补；等量代换；AB ，CD ，同旁内角互补，两直线平行
3．B ，两直线平行，同位角相等；C ，两直线平行，内错角相等；等量代换
4．DE ，BC ，内错角相等，两直线平行；2，两直线平行，同位角相等；等量代换
二、1．,,,,.GAC AEF EFB DCB HDC ∠∠∠∠∠
2．先由1126,254∠=︒∠=︒得出a ∥b ，则就可以得到4∠＝372∠=︒
3．先由平行线的性质得到1∠＝40°，3∠＝80°再由平交的性质求得2∠＝60°，所以1∠：2∠：3∠＝2：
3：4
4．由AB ∥CD ，得∠1＝∠AEG ＝50°（两直线平行，内错角相等）
又∵EG 平分AEF ∠，所以∠FEG ＝∠AEG ＝50°
∴∠2＝180°－50°－50°＝80°
5．先由BD AC ⊥，GF AC ⊥得出BD ∥GF ，从而得∠2＝∠DBC ，又12∠=∠，所以得出∠1＝∠DBC ，
即证DE ∥BC
6．(1)(2)略，(3)垂直，(4)QP 或EF ，(5)EQ 或PF
7．相等，因为同底等高
回顾相交线和平行线的有关知识点：
1．平行线：在同一平面内，__________的两条直线叫做平行线。

2．在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：__________。

相交时，对顶角相等。

3．平行线的判定：
（1）同位角__________，两直线平行。

（2）内错角相等，两直线__________。

（3）同旁内角__________，两直线平行。

（4）平行（或垂直）于同一直线的两直线__________。

4．平行线的性质：（1）经过直线外一点，有且只有________条直线与这条直线平行。

（2）两直线平行，同位角__________。

（3）两直线平行，内错角__________。

（4）两直线平行，同旁内角__________．
（5）一条直线和两条平行线中的一条垂直（或平行），这条直线也和__________垂直（或平行）．（6）平行线间的距离处处__________。

（7）经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分__________。