3-4-1算术平均数与几何平均数
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第三章 3.4 第1课时
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(2)∵x，y 都是正数，∴x＋2 y≥ xy，当且仅当 x＝y 时等号 成立．又 xy＝p，∴x＋y≥2 p.
因此，若 xy＝p，则当 x＝y 时，和 x＋y 取得最小值 2 p.
第三章 3.4 第1课时
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③基本不等式的几何解释——半径不小于半弦． 以长为 a＋b 的线段 AB 为直径作圆，在线段 AB 上取点 C， 使 AC＝a，CB＝b.过点 C 作垂直于直线 AB 的弦 DD′，连结 AD、DB，如下图，易证 Rt△ACD∽Rt△DCB，那么 CD2＝CA·CB， 即 CD＝ ab.
第三章 3.4 第1课时
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基本不等式的证明： 证法一：∵a＋b－2 ab＝( a)2＋( b)2－2 ab＝( a－ b)2≥0. ∴a＋b－2 ab≥0，即 a＋b≥2 ab. ∴a＋2 b≥ ab.
第三章 3.4 第1课时
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证法二：分析法(参见教材 98 页)要理顺它的每一步骤，把 握分析法证题过程．
由此我们得到 重要不等式：对于任意实数 a，b，a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时，等号成立．你会证明吗？
第三章 3.4 第1课时
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证明如下： ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2，当 a≠b 时，(a－b)2＞0；当 a＝b 时，(a－b)2＝0，∴a2＋b2－2ab≥0，即 a2＋b2≥2ab，当且仅 当 a＝b 时，等号成立．
A．a4＝b4
B．a4<b4
C．a4>b4
D．a4 与 b4 的大小关系不确定
[答案] C
第三章 3.4 第1课时
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[分析] 观察已知条件与待比较大小的数列项的下标，可 以发现 1、4、7 成等差，从而问题即转化为比较两个正数的等 差中项与等比中项的大小．
第三章 3.4 第1课时
3．对于不满足基本不等式结构的函数，可以通过因式分 解、通分等手段转化成为和为定值或积为定值的结构，再使用 极值定理．
应用基本不等式解决实际问题时，要注意把要求最值的变 量表达为函数，列出函数解析式时，要注意所设变量的范围．
第三章 3.4 第1课时
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4．基本不等式的几种常用结论 ①ba＋ab≥2(a，b∈R＋)， ②a＋1a≥2(a∈R＋)， a＋1a≤－2(a∈R－)．
第三章 3.4 第1课时
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由22xx＋＝33yy＝，18， 解得xy＝＝43..5， 故每间虎笼长为 4.5m，宽为 3m 时，可使面积最大．
第三章 3.4 第1课时
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方法 2：由 2x＋3y＝18，得 x＝9－32y. ∵x＞0，∴9－32y>0，∴0＜y＜6， S＝xy＝9－32yy＝32(6－y)·y. ∵0＜y＜6，∴6－y＞0， ∴S≤32·6－2y＋y2＝227. 当且仅当 6－y＝y，即 y＝3 时，等号成立，此时 x＝4.5. 故每间虎笼长 4.5m，宽 3m 时，可使面积最大．
(1)现有可围 36m 长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为 多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为 24m2，则每间虎笼的长、宽各设 计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
第三章 3.4 第1课时
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[分析] 设每间虎笼长 xm，宽 ym，则问题(1)是在 4x＋ 6y＝36 的前提下求 xy 的最大值；而问题(2)则是在 xy＝24 的 前提下求 4x＋6y 的最小值．因此，使用极值定理解决．
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2．观察下图，ABCD 与 EFGH 均为正方形，考察大正方 形、小正方形面积和 4 个直角三角形面积的和，你发现了什么？
第三章 3.4 第1课时
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正方形 ABCD 的面积 a2＋b2 不小于四个直角三角形面积的 和 2ab 即 a2＋b2≥2ab.小正方形 EFGH 缩为一点时 a＝b，此时 a2＋b2＝2ab.
第三章 3.4 第1课时
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学习要点点拨
第三章 3.4 第1课时
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1．注意重要不等式 a2＋b2≥2ab 与基本不等式a＋2 b≥ ab 条件的区别，基本不等式中要求 a>0，b>0.
第三章 3.4 第1课时
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第三章 3.4 第1课时
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∵0＜x＜13，∴13－x＞0. ∴y＝x(1－3x)＝3·x13－x ≤3·x＋132－x2＝112，当且仅当 x＝13－x，即 x＝16时，等号 成立． ∴x＝16时，函数取最大值112.
第三章 3.4 第1课时
成才之路·数学
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第三章
不等式
第三章 不等式
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第三章
3．4
基本不等式
a＋b ab≤ 2
第三章 不等式
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第三章
第 1 课时 算术平均数与几何平均数
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设 a，b∈R，且 a≠b，a＋b＝2，则必有( )
A．1≤ab≤a2＋2 b2
B．ab<1<a2＋2 b2
C．ab<a2＋2 b2<1
a2＋b2 D. 2 <ab<1
[答案] B
第三章 3.4 第1课时
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[解析] ∵a≠b，∴a2＋b2>2ab， ∴2(a2＋b2)>(a＋b)2＝4， ∴a2＋2 b2>1， 又由 a2＋b2>2ab，得(a＋b)2>4ab， ∴ab<1，∴ab<1<a2＋2 b2.
②利用极值定理求最大值或最小值时应注意： (1)x，y 必须都是正数； (2)求积 xy 的最大值时，应看和 x＋y 是否为定值；求和 x ＋y 的最小值时，看积 xy 是否为定值； (3)等号是否能够成立． 以上三点可简记为“一正、二定、三相等”． 三个条件缺一不可！
第三章 3.4 第1课时
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第三章 3.4 第1课时
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3．①如果在重要不等式 a2＋b2≥2ab 中，令 x＝a2，y＝b2， 可得 x＋y≥2 xy，由此我们可得
②基本不等式：如果 a，b 是正数，那么 ab≤a＋2 b，当且 仅当 a＝b 时，等号成立．你会证明吗？
第三章 3.4 第1课时
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这个圆的半径为a＋2 b，显然，它大于或等于 CD，即a＋2 b ≥ ab，当且仅当点 C 与圆心重合，即 a＝b 时，等号成立．
第三章 3.4 第1课时
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4．极值定理
已知 x，y 都为正数，则
(1)若 s2
x＋y＝s(和为定值)，则当
2．要弄清极值定理的条件和结论，准确地应用极值定理 求解最值．
①极值定理的证明如下： 证明：(1)∵x，y 都是正数，∴x＋2 y≥ xy，又 x＋y＝s，∴ xy≤x＋2 y2＝s42，当且仅当 x＝y 时取等号．因此，若 x＋y＝s， 则当 x＝y 时，积 xy 取得最大值s42.
第三章 3.4 第1课时
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[解析] ∵0＜x＜13，∴1－3x＞0. ∴y＝x(1－3x)＝13·3x(1－3x)≤133x＋12－3x2＝112，当且仅 当 3x＝1－3x，即 x＝16时，等号成立． ∴当 x＝16时，函数取最大值112.
第三章 不等式
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课前自主预习 思路方法技巧 名师辨误作答
课堂巩固训练 课后强化作业
第三章 3.4 第1课时
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课程目标解读
第三章 3.4 第1课时
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了解算术平均数与几何平均数的概念，了解基本不等式的 代数、几何背景和基本不等式的证明，培养数形结合的思想， 初步运用基本不等式求解简单的最值问题．
第三章 3.4 第1课时
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[点评] (1)本小题也可以将解析式展开，使用二次函数配 方法求解．(2)若使用基本不等式求积的最大值，关键是构造某 个和为定值，为使用基本不等式创造条件，同时要注意等号成 立的条件是否具备．只要将 x 的系数调整为互为相反数即可使 其和为定值．如
x＝y＝2s时，积
xy
取得最大
值4 ；
(2)若 xy＝p(积为定值)，则当 x＝y＝ p时，和 x＋y 取得最
小值 2 p .
第三章 3.4 第1课时
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重点难点展示
第三章 3.4 第1课时
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重点：基本不等式的背景及证明，极值定理的理解． 难点：用基本不等式求最值的理解及条件掌握．
第三章 3.4 第1课时
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(2)由条件知 S＝xy＝24. 设钢筋网总长为 l，则 l＝4x＋6y. 方法 1：∵2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy＝24， ∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48， 当且仅当 2x＝3y 时，等号成立． 由2xyx＝＝234y， ， 解得xy＝ ＝64， . 故每间虎笼长 6m，宽 4m 时，可使钢筋网总长最小．
第三章 3.4 第1课时
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[点评] 关于不等式恒成立的选择题常用特值检验法求 解．本题中令 a＝－1，b＝3，则 ab＝－3，a2＋2 b2＝5，∴
a2＋b2 ab<1< 2 .
第三章 3.4 第1课时
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命题方向 求最值和函数值域 [例 2] 已知 0＜x＜13，求函数 y＝x(1－3x)的最大值． [分析] 求函数的最大值，由极值定理可知条件式为积 式，需构造某个和为定值，可考虑把括号内外 x 的系数变成 互为相反数即可．
第三章 3.4 第1课时
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[解析] 设每间虎笼长 xm，宽 ym，则由条件知：4x＋6y ＝36，即 2x＋3y＝18.
设每间虎笼面积为 S，则 S＝xy. 方法 1：由于 2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy， ∴2 6xy≤18，得 xy≤227， 即 S≤227，当且仅当 2x＝3y 时，等号成立．
第三章 3.4 第1课时
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思路方法技巧
第三章 3.4 第1课时
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命题方向 比较大小
[例 1] 在公差不为 0 的等差数列{an}与等比a1＝b1，a7＝b7，则 a4 与 b4 的大小关系为( )
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课前自主预习
第三章 3.4 第1课时
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1．算术平均数与几何平均数：a＋b 设 a、b 是任意两个正数，把 2 叫做正数 a，b 的算术 平均数；把 ab 叫做正数 a，b 的几何平均数．
第三章 3.4 第1课时
第三章 3.4 第1课时
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建模应用引路
第三章 3.4 第1课时
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命题方向 实际应用问题 [例 3] 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四 间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
第三章 3.4 第1课时
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设 a，b∈R＋，若 a＋b＝2，则1a＋1b的最小值等于(
)
A．1
B．3
C．2
D．4
[答案] C
第三章 3.4 第1课时
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[解析] 1a＋1b＝121a＋1b(a＋b) ＝1＋12ba＋ab≥2，等号在 a＝b＝1 时成立．
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(2)∵x，y 都是正数，∴x＋2 y≥ xy，当且仅当 x＝y 时等号 成立．又 xy＝p，∴x＋y≥2 p.
因此，若 xy＝p，则当 x＝y 时，和 x＋y 取得最小值 2 p.
第三章 3.4 第1课时
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③基本不等式的几何解释——半径不小于半弦． 以长为 a＋b 的线段 AB 为直径作圆，在线段 AB 上取点 C， 使 AC＝a，CB＝b.过点 C 作垂直于直线 AB 的弦 DD′，连结 AD、DB，如下图，易证 Rt△ACD∽Rt△DCB，那么 CD2＝CA·CB， 即 CD＝ ab.
第三章 3.4 第1课时
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基本不等式的证明： 证法一：∵a＋b－2 ab＝( a)2＋( b)2－2 ab＝( a－ b)2≥0. ∴a＋b－2 ab≥0，即 a＋b≥2 ab. ∴a＋2 b≥ ab.
第三章 3.4 第1课时
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证法二：分析法(参见教材 98 页)要理顺它的每一步骤，把 握分析法证题过程．
由此我们得到 重要不等式：对于任意实数 a，b，a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时，等号成立．你会证明吗？
第三章 3.4 第1课时
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证明如下： ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2，当 a≠b 时，(a－b)2＞0；当 a＝b 时，(a－b)2＝0，∴a2＋b2－2ab≥0，即 a2＋b2≥2ab，当且仅 当 a＝b 时，等号成立．
A．a4＝b4
B．a4<b4
C．a4>b4
D．a4 与 b4 的大小关系不确定
[答案] C
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[分析] 观察已知条件与待比较大小的数列项的下标，可 以发现 1、4、7 成等差，从而问题即转化为比较两个正数的等 差中项与等比中项的大小．
第三章 3.4 第1课时
3．对于不满足基本不等式结构的函数，可以通过因式分 解、通分等手段转化成为和为定值或积为定值的结构，再使用 极值定理．
应用基本不等式解决实际问题时，要注意把要求最值的变 量表达为函数，列出函数解析式时，要注意所设变量的范围．
第三章 3.4 第1课时
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4．基本不等式的几种常用结论 ①ba＋ab≥2(a，b∈R＋)， ②a＋1a≥2(a∈R＋)， a＋1a≤－2(a∈R－)．
第三章 3.4 第1课时
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由22xx＋＝33yy＝，18， 解得xy＝＝43..5， 故每间虎笼长为 4.5m，宽为 3m 时，可使面积最大．
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方法 2：由 2x＋3y＝18，得 x＝9－32y. ∵x＞0，∴9－32y>0，∴0＜y＜6， S＝xy＝9－32yy＝32(6－y)·y. ∵0＜y＜6，∴6－y＞0， ∴S≤32·6－2y＋y2＝227. 当且仅当 6－y＝y，即 y＝3 时，等号成立，此时 x＝4.5. 故每间虎笼长 4.5m，宽 3m 时，可使面积最大．
(1)现有可围 36m 长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为 多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为 24m2，则每间虎笼的长、宽各设 计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
第三章 3.4 第1课时
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[分析] 设每间虎笼长 xm，宽 ym，则问题(1)是在 4x＋ 6y＝36 的前提下求 xy 的最大值；而问题(2)则是在 xy＝24 的 前提下求 4x＋6y 的最小值．因此，使用极值定理解决．
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2．观察下图，ABCD 与 EFGH 均为正方形，考察大正方 形、小正方形面积和 4 个直角三角形面积的和，你发现了什么？
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正方形 ABCD 的面积 a2＋b2 不小于四个直角三角形面积的 和 2ab 即 a2＋b2≥2ab.小正方形 EFGH 缩为一点时 a＝b，此时 a2＋b2＝2ab.
第三章 3.4 第1课时
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学习要点点拨
第三章 3.4 第1课时
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1．注意重要不等式 a2＋b2≥2ab 与基本不等式a＋2 b≥ ab 条件的区别，基本不等式中要求 a>0，b>0.
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∵0＜x＜13，∴13－x＞0. ∴y＝x(1－3x)＝3·x13－x ≤3·x＋132－x2＝112，当且仅当 x＝13－x，即 x＝16时，等号 成立． ∴x＝16时，函数取最大值112.
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第三章
不等式
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3．4
基本不等式
a＋b ab≤ 2
第三章 不等式
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第三章
第 1 课时 算术平均数与几何平均数
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设 a，b∈R，且 a≠b，a＋b＝2，则必有( )
A．1≤ab≤a2＋2 b2
B．ab<1<a2＋2 b2
C．ab<a2＋2 b2<1
a2＋b2 D. 2 <ab<1
[答案] B
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[解析] ∵a≠b，∴a2＋b2>2ab， ∴2(a2＋b2)>(a＋b)2＝4， ∴a2＋2 b2>1， 又由 a2＋b2>2ab，得(a＋b)2>4ab， ∴ab<1，∴ab<1<a2＋2 b2.
②利用极值定理求最大值或最小值时应注意： (1)x，y 必须都是正数； (2)求积 xy 的最大值时，应看和 x＋y 是否为定值；求和 x ＋y 的最小值时，看积 xy 是否为定值； (3)等号是否能够成立． 以上三点可简记为“一正、二定、三相等”． 三个条件缺一不可！
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3．①如果在重要不等式 a2＋b2≥2ab 中，令 x＝a2，y＝b2， 可得 x＋y≥2 xy，由此我们可得
②基本不等式：如果 a，b 是正数，那么 ab≤a＋2 b，当且 仅当 a＝b 时，等号成立．你会证明吗？
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这个圆的半径为a＋2 b，显然，它大于或等于 CD，即a＋2 b ≥ ab，当且仅当点 C 与圆心重合，即 a＝b 时，等号成立．
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4．极值定理
已知 x，y 都为正数，则
(1)若 s2
x＋y＝s(和为定值)，则当
2．要弄清极值定理的条件和结论，准确地应用极值定理 求解最值．
①极值定理的证明如下： 证明：(1)∵x，y 都是正数，∴x＋2 y≥ xy，又 x＋y＝s，∴ xy≤x＋2 y2＝s42，当且仅当 x＝y 时取等号．因此，若 x＋y＝s， 则当 x＝y 时，积 xy 取得最大值s42.
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[解析] ∵0＜x＜13，∴1－3x＞0. ∴y＝x(1－3x)＝13·3x(1－3x)≤133x＋12－3x2＝112，当且仅 当 3x＝1－3x，即 x＝16时，等号成立． ∴当 x＝16时，函数取最大值112.
第三章 不等式
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[点评] (1)本小题也可以将解析式展开，使用二次函数配 方法求解．(2)若使用基本不等式求积的最大值，关键是构造某 个和为定值，为使用基本不等式创造条件，同时要注意等号成 立的条件是否具备．只要将 x 的系数调整为互为相反数即可使 其和为定值．如
x＝y＝2s时，积
xy
取得最大
值4 ；
(2)若 xy＝p(积为定值)，则当 x＝y＝ p时，和 x＋y 取得最
小值 2 p .
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重点：基本不等式的背景及证明，极值定理的理解． 难点：用基本不等式求最值的理解及条件掌握．
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(2)由条件知 S＝xy＝24. 设钢筋网总长为 l，则 l＝4x＋6y. 方法 1：∵2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy＝24， ∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48， 当且仅当 2x＝3y 时，等号成立． 由2xyx＝＝234y， ， 解得xy＝ ＝64， . 故每间虎笼长 6m，宽 4m 时，可使钢筋网总长最小．
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[点评] 关于不等式恒成立的选择题常用特值检验法求 解．本题中令 a＝－1，b＝3，则 ab＝－3，a2＋2 b2＝5，∴
a2＋b2 ab<1< 2 .
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命题方向 求最值和函数值域 [例 2] 已知 0＜x＜13，求函数 y＝x(1－3x)的最大值． [分析] 求函数的最大值，由极值定理可知条件式为积 式，需构造某个和为定值，可考虑把括号内外 x 的系数变成 互为相反数即可．
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[解析] 设每间虎笼长 xm，宽 ym，则由条件知：4x＋6y ＝36，即 2x＋3y＝18.
设每间虎笼面积为 S，则 S＝xy. 方法 1：由于 2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy， ∴2 6xy≤18，得 xy≤227， 即 S≤227，当且仅当 2x＝3y 时，等号成立．
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思路方法技巧
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命题方向 比较大小
[例 1] 在公差不为 0 的等差数列{an}与等比a1＝b1，a7＝b7，则 a4 与 b4 的大小关系为( )
第三章 3.4 第1课时
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课前自主预习
第三章 3.4 第1课时
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1．算术平均数与几何平均数：a＋b 设 a、b 是任意两个正数，把 2 叫做正数 a，b 的算术 平均数；把 ab 叫做正数 a，b 的几何平均数．
第三章 3.4 第1课时
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建模应用引路
第三章 3.4 第1课时
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命题方向 实际应用问题 [例 3] 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四 间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
第三章 3.4 第1课时
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设 a，b∈R＋，若 a＋b＝2，则1a＋1b的最小值等于(
)
A．1
B．3
C．2
D．4
[答案] C
第三章 3.4 第1课时
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[解析] 1a＋1b＝121a＋1b(a＋b) ＝1＋12ba＋ab≥2，等号在 a＝b＝1 时成立．