趣味数学114：不可思议的“雪花曲线”
雪花中的数学问题
雪花中的数学问题雪花中的数学问题主要是与雪花曲线（也称为科赫曲线）有关。
雪花曲线是由一组连续的三角形构成，每个三角形都以一个点为中心，向外延伸出三个分支，每个分支又继续向外延伸出三个分支，如此不断重复。
这种曲线的形状类似于雪花，因此得名。
在雪花曲线中，有一个重要的数学概念叫做“迭代函数系统”（Iterated Function Systems，简称IFS）。
迭代函数系统是由一组函数构成，每个函数都会将输入的图像变换成另一幅图像。
在雪花曲线的生成过程中，每个三角形都可以看作是一个迭代函数，通过不断应用这些函数，最终生成了雪花曲线的形状。
此外，雪花曲线还与分形几何有关。
分形几何是一种研究形状和结构的数学分支，它的特点是可以通过不断迭代来生成复杂的形状。
雪花曲线是一种典型的分形几何图形，其形状和结构可以通过迭代函数系统和分形几何的理论来描述和分析。
除了在自然界中发现的美丽分形结构，雪花曲线还与计算机图形学和数据压缩等领域有着紧密的联系。
在计算机图形学中，雪花曲线可以作为一种生成复杂形状和图案的有效方法。
而在数据压缩领域，雪花曲线因其独特的形状和结构也被用作一种高效的数据压缩算法。
此外，雪花曲线还被应用于图像处理和模式识别等领域。
通过利用雪花曲线的特性和算法，可以实现对图像的高效处理和识别。
例如，在图像处理中，可以使用雪花曲线来分割图像中的不同区域，从而实现图像的分割和识别。
总之，雪花曲线作为一种独特的数学概念和分形几何图形，不仅在自然界中有着广泛的应用，还在计算机科学、数据压缩、图像处理和模式识别等领域发挥着重要的作用。
通过深入研究和探索雪花曲线背后的数学原理和算法，我们可以不断发现新的应用场景并推动相关领域的发展。
雪花曲线的有趣故事
雪花曲线的有趣故事在自然界中，有一种美妙而神奇的现象叫做“雪花曲线”。
这个现象是指雪花的形状会随着温度的变化而改变，从而形成不同的曲线形状。
这个有趣的现象背后隐藏着一段引人入胜的故事。
故事发生在一个寒冷的冬天。
一个年轻的科学家叫做阿尔弗雷德，对雪花的形状变化产生了浓厚的兴趣。
他花了很多时间观察和研究不同温度下雪花的形态。
他发现，当温度越低，雪花的形状就越接近于曲线。
阿尔弗雷德意识到，这种雪花曲线可能是由于水分子在结冰时的特殊排列所致。
他开始进行实验，使用显微镜观察结冰过程中水分子的排列情况。
他发现，水分子在接近冰点的温度下会形成六边形的晶体结构，而在低于冰点的极端寒冷温度下，水分子会形成一种特殊的螺旋排列。
阿尔弗雷德非常激动，他开始将这些发现应用于他的研究当中。
他设计了一个实验装置，通过控制温度的变化来观察雪花的形态。
他发现，当温度处于特定的范围时，雪花的形状会呈现出美丽的曲线，就像被一个无形的艺术家塑造一样。
阿尔弗雷德的研究引起了科学界的广泛关注。
他的成果被认为是对自然界中奇妙现象的重要突破。
人们开始将他的研究应用于气象学和物理学中，以更好地理解和预测天气变化和自然界的规律。
除了科学意义之外，雪花曲线也给人们带来了美学上的享受。
人们开始欣赏雪花的形状和曲线，并将其应用于艺术创作中。
许多艺术家受到雪花曲线的启发，创作出了许多美丽的艺术作品。
雪花曲线的故事告诉我们，自然界中充满了无限的奇迹和美妙。
人类的探索精神和好奇心使得我们能够发现这些奇迹，并将其应用于实践中。
我们应该保持对自然界的敬畏之心，继续探索和研究其中的奥秘，为人类的发展和进步做出贡献。
总之，雪花曲线是一个令人着迷的现象，它不仅让我们对自然界的多样性有了更深的理解，也带给我们美学和艺术上的享受。
这个有趣的故事告诉我们，科学和艺术可以相互交融，创造出更加美好的世界。
科赫曲线
科赫曲线
简介
科赫曲线(Koch curve )是一种像雪花的几何曲线，所以又称为雪花曲线。
1904年瑞典数学家科赫第一次描述了这种不论由直段还是由曲段组成的始终保持连通的线，因此将这种曲线成为科赫曲线。
定义
设想一个边长为1的等边三角形，取每边中间的三分之一，接上去一个形状完全相似的但边长为其三分之一的三角形，结果是一个六角形。
现在取六角形的每个边做同样的变换，即在中间三分之一接上更小的三角形，以此重复，直至无穷。
外界的变得原来越细微曲折，形状接近理想化的雪花。
画法
1、任意画一个正三角形，并把每一边三等分；
2、取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉；
3、重复上述两步，画出更小的三角形。
4、一直重复，直到无穷，所画出的曲线叫做科赫曲线。
特性
1、它是一条连续的回线，永远不会自我相交。
2、曲线任何处不可导，即任何地点都是不平滑的。
3、曲线是无限长的，即在有限空间里的无限长度。
4、曲线上任意两点距离无穷大。
5、每次变化面积都会增加，但是总面积是有限的，不会超过初始三角形的外接圆。
思考
科赫曲线中产生一个匪夷所思的悖论："无穷大"的边界，包围着有限的面积。
这让保守派数学大师们都很难相信。
科赫曲线是比较典型的分形图形，它具有严格的自相似特性。
提问:在有限面积里面,无穷的去选择无穷小的点来组成的"封闭"曲线.会包围着无穷大的面积吗?。
雪花曲线
当我们的老管家在他的一亩六分地上享 受夕阳红的时候，我们再看一眼这个奇 妙的雪花吧。你有没有发现，其实它可 以是任意的大小？如果开始我们规定六 角形的面积是1公顷而不是1亩，那雪花 的面积就是1.6公顷。或者如果把三角形 缩小成1平方米，那就会得到1.6平方米 的雪花。可是，不管面积大还是小，周 长永远趋于无穷。奇怪不奇怪？
啊哈，原来是一个等比数列！等比就是 不停地乘上一个相同的比值。他记起高 中老师教过怎么算等比数列的和。对于 形如 的式子，如果ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱr小于1的话，即使这个数列无限延伸下 去，它的和也是有限的。根据求和公式 ，得出面积是原面积的八分之五。
管家傻眼儿了，费了这么半天劲，原来 才一亩二分地啊！是不是搞错了？地主 肯定耍花招了，这么下去周长肯定不是 无穷大。管家重新检查了一下周长：每 次抹去各条边的三分之一，换成两条相 同长度的线段，那么就变成了原先的三 分之四。每条边增长相同的比例，总周 长就也增长到原先的三分之四。
起始的三角形3条边，那么第一步得到的新 图形就有3x4=12条边，第二步得到的图形 就有3x4x4=48条边，接下去就是3x4x4x4条 边。。。。所以，从三角形开始，第一次 增加了3个三角形，第二次增加了3x4=12个 ，第三次3x4x4=48个，接下去是3x4x4x4个 。。。
太好了，最后就是算出每次 增加的三角形的面积，把它 们加起来就能算出总面积。 这很容易，因为新三角形的 边长都是老三角形的三分之 一，所以新三角形的面积是 老三角形的九分之一。老管 家一系列推算的心理活动全 在这儿。经过一番心算，他 终于得出了面积的计算公式 。想想是什么呢？
实验一
如果在裁好的一张纸条正中间画一条线，粘 成“莫比乌斯带”，再沿线剪开，把这个圈一分 为二，照理应得到两个圈儿，奇怪的是，剪开后 竟是一个大圈儿。 实验二 如果在纸条上划两条线，把纸条三等分，再 粘成“莫比乌斯带”，用剪刀沿画线剪开，剪刀 绕两个圈竟然又回到原出发点，猜一猜，剪开后 的结果是什么，是一个大圈？还是三个圈儿？都 不是。它究竟是什么呢？你自己动手做这个实验 就知道了。你就会惊奇地发现，纸带不是一分为 二，而是一大一小的相扣环。
奇妙的雪花曲线
奇妙的雪花曲线教学目标:(知识目标)1 通过对雪花曲线周长、面积等问题的探究让学生了解数学知识的形成过程;2 使学生了解分形几何的有关内容。
(能力目标)1 通过系列的探究性活动，使学生了解提出和解决数学问题的方法;2 通过对雪花曲线等图形的探究提高学生应用数学的能力。
(情感目标)1 让学生感受数学来源于实践，又服务于实践的辨证唯物主义观点2 通过生活中的具体实例，培养学生对数学美的认识以及对大自然的热爱。
教学重点:探究雪花曲线的周长及其所围面积;教学难点:雪花曲线所围面积的计算方法的寻求;教学方法:引导探究式教学媒体:计算机教学过程设计:1一、问题背景:播放雪景的图片，提问雪花的形状如何,激发学生兴趣。
二、研究问题:如果把雪花想象成如图所示的正六角形，提问学生能否从一个等边三角形出发作出这样的图形。
接着进一步指出，雪花的形状其实非常复杂，右图是瑞典数学家科赫将雪花理想化得到的科赫雪花曲线，提问学生能否仍然从等边三角形出发作出这样的一条雪花曲线,由学生讨论得出:在等边三角形每条边的中央分别向外作等边三角形，边长是原三角形边长的三分之一，就得到了一个六角形。
依照此法，无限制的进行下去，就可以得到漂亮的雪花曲线了。
雪花曲线除了具有漂亮的外形，还蕴涵了哪些数学规律，这就是我们这节课要研究的内容(板书课题)2问题1:对雪花曲线作进一步思考，在雪花曲线的每一次生长中，相对于原三角形都发生了哪些变化,导学生发现它的边长、边数、周长和面积等都发生了变化。
问题2:逐步生长，探究周长的变化规律引导学生发现等边三角形的每一边在生长过程中所发生的变化都是相同的，因此可以只研究其中一条边的变化规律，从而找到解决问题的最优化策略。
让学生自主发现、互相讨论，共同寻找到规律:3得到周长的计算公式后可以提问学生:当n越来越大时，雪花曲线的周长会有什么变化,当原图中三角形的边长为1cm时，显然三角形的周长是3cm，n=33呢,n=82呢, 我们不妨用计算机计算出这样一组数据:n=33时，周长为39819.84cm，约为398米;10 n=82时，周长约为5.27×10cm。
《雪花曲线》说课稿
江苏省前黄高级中学曹锁明一、教学背景分析：本节课所学内容可以看作属于高一数学《数列》中的内容，《数列》是人教版教材中第三章的内容，在讲完了等比数列后开设本节研究课。
本节课通过研究大家熟知的雪花，分析它的形状、周长及其面积，来激发大家学习的兴趣，唤起大家对数学美的追求。
同时通过研究雪花曲线，将分形几何的内容逐步渗透到我们的教学中来，为以后的进一步学习打下铺垫。
二、教学目标：1．认知目标：①学会用等比数列解决实际问题；②了解雪花曲线，了解分形几何。
2．能力目标：①培养学生自我探究，自我发现的能力；②利用几何画板自我掌握新知识的能力；③同学之间相互协作的能力。
3．情感目标：①创设问题情境，激发学生学习数学的热情和兴趣；②培养学生对数学美的认识，对美的追求。
三、教法、学法：通过提出问题“雪花的形状如何？”引出话题，激起学生的兴趣，相互讨论得出结论，由老师给出科赫的雪花曲线构成方法，让学生在几何画板环境下作雪花曲线，以探求曲线形状。
雪花曲线的周长及其所围面积可通过讨论由学生来发现计算方法，老师在其中起引导作用。
本节课以学生为主来发现问题、解决问题，通过学生之间的讨论来达到对能力的培养。
四、教学重、难点：重点：对雪花曲线认识及其周长、所围面积的求法。
难点：雪花曲线的周长无限长，而面积是有限的，即无限的曲线围成一个有限的面积的认识。
五、教学程序：（一）创设情景，激起兴趣通过封面的雪花飘落，引出“雪花形状”这个话题，让学生自由探讨，发表自己对雪花的理解，以激起他们对研究雪花的兴趣。
（二）激烈讨论，引出话题当同学们通过讨论，构造雪花曲线的方法，花曲线是无限生长的，永无止境，对曲线放大，观察局部， （三）逐步生长，探究周长 引导学生使用数列来研究，相互讨论，所围的面积是否无限？从而激起学生进一步的争论，引出下一个问题。
（四）继续深入，探求面积 通过雪花曲线的逐步生长，引导学生寻求面积的计算方法。
可让学生使用几何画板来生长曲线，寻找规律。
雪花曲线边数公式
雪花曲线边数公式
1概述
雪花曲线（Snowflake Curve）是一种多边形，采用不同的6块六角形组合起来，由此而形成的一个多边形称为雪花曲线。
它是17世纪的用斯坦图西的研究成果之一。
对于这种新的自治多边形，用斯坦图西提出了一个确定它边数的公式：边数=3×2^n，式中n称为“维数”或“调节变量”，它是用斯坦图西雪花曲线的重要参数。
之后，由于用斯坦图西雪花曲线的几何形状充满了艺术美感，因此引起人们对其形状、构造、定义以及其边数的研究，进而有了关于雪花曲线边数的一些数学公式。
2公式
1.杨氏公式
杨氏公式的表达形式：边数=3×3^n。
杨氏研究的是只由三种等边三角形构成的曲线，它的边数为：3×3^n。
2.用斯坦图西公式
用斯坦图西公式的表达形式：边数=3×2^n，n称为“维数”。
用斯坦图西研究的是只由6种相等六边形构成的曲线，其形状近似于一个雪花，它的边数为：3×2^n。
3总结
以上介绍了十七世纪伟大数学家用斯坦图西提出的雪花曲线边数公式，由于它的几何形状充满了艺术美感，因此引起了许多数学家的关注，有了关于雪花曲线边数的一些数学公式，比如杨氏公式和用斯坦图西雪花曲线公式，它们的表达形式分别为：边数=3×3^n和边数=3×2^n。
不论是科学家还是艺术家，都能从雪花曲线中获得它精美绝伦的美学启示，有着无注释的重要历史价值及现代价值，一直被人们所倾倒和探求。
趣味数学114：不可思议的“雪花曲线”
如果说有一种平面图形，它的面积是有限的而周长却是无限的，你相信吗？“雪花曲线”就是这样。
那么，什么是“雪花曲线”呢？“雪花曲线”是从一个等边三角形(如图)开始，一步一步作出来的。
第一步：把等边三角形的各边三等分，从每条边三等分后的中段，向外作小等边三角形，再去掉与原来等边三角形重叠的边(如图)。
为了便于叙述，以后把这个过程简称为“变化”。
第二步：对上一步得到的小等边三角形，重复上面的变化(如图)。
第三步：再对上一步得到的小等边三角形，重复上面的变化(如图)。
第四步：再对上一步得到的小等边三角形，重复上面的变化(如图)。
第五步、第六步……照这样一直进行下去，就得到“雪花曲线”。
现在来计算“雪花曲线”(所围成的图形)的面积和周长。
从以上过程可以看出，“雪花曲线”是一个边长、边数不断变化，同一图形边长相等的对称图形。
所以，必须首先研究一下图形的边数、边长和面积的变化规律。
观察发现：规律一：每次变化后，原来等边三角形的一条边，所形成的折线包括4条线段，所以，新图形的边数是原图形的4倍，而边长是原图形的1/3；规律二：每次变化后，原来等边三角形的一条边上，所作的小等边三角形的面积，是原来等边三角形面积的1/9(参看下图)。
一、“雪花曲线”的面积：为了便于计算，设原来等边三角形的面积为“1”。
第一步以后，因为原来的边数是3，向外作了3个小等边三角形；每个小等边三角形的面积是1/9，增加的面积是3×1/9。
第二步以后，边数变成3×4，向外作了3×4个小等边三角形；每个小等边三角形的面积是(1/9)2，增加的面积是3×4×(1/9)2。
第三步以后，边数变成3×42，向外作了3×42个小等边三角形；每个小等边三角形的面积是(1/9)3，增加的面积是3×42×(1/9)3。
第四步以后，边数变成3×43，向外作了3×43个小等边三角形；每个小等边三角形的面积是(1/9)4，增加的面积是3×43×(1/9)4。
科赫雪花曲线的面积
科赫雪花曲线的面积
科赫雪花曲线是17世纪荷兰数学家科赫出名的一种几何曲线，由六角形和二十三边形的
螺旋组成。
科赫雪花曲线有着独特的美丽，很多艺术家使用它作为作品的主题。
另外，科
赫雪花曲线也有很强的数学性质，特别是它的面积。
虽然这个曲线看似无限，但它的面积
是有限的。
科赫雪花曲线的面积可以以英尺或米来衡量，它也可以由一些特殊的公式来计算，比如说
L'Huillier公式或Gosper公式。
这些公式可以计算出科赫雪花曲线的面积，而且结果是一
定的。
虽然它看似无穷，但实际上，科赫雪花曲线的面积是有界的，取决于曲线的复杂程度。
基于定义，科赫雪花曲线的面积是有限的，用英尺衡量它的面积约为1692，而用米衡量
它的面积大约为1693.7。
而从公式来看，科赫雪花曲线的面积可以由公式精确的计算出来。
总的来说，科赫雪花曲线的面积有限，取决于曲线的复杂程度及公式的使用。
科赫雪花曲线不仅是一种独特的几何曲线，它有独特的美丽，也有很强的数学性质。
特别
是它的面积，尽管看似无限，但它的面积是有限的，而从定义和公式来看，可以精确计算
出它的面积并有所限定。
大雪天气的趣味数学课利用雪花进行数学运算教学
大雪天气的趣味数学课利用雪花进行数学运算教学冰天雪地，浩瀚的白色世界里，蓬勃的数学运算教学正在间中展开。
大雪纷飞的季节，能够将数学与自然相结合，为学生们创造一个有趣而丰富的学习环境。
本文将介绍如何利用大雪天气进行趣味数学课，在雪花中开展数学运算教学。
一、雪花的奥秘大雪天气中最大的特点就是满天飞舞的雪花。
当雪花轻轻飘落在我们手中时，是否过惊讶于每一片雪花都具有独一无二的形状呢？事实上，雪花是一种六角形的晶体结构，每一朵雪花的形状都是不尽相同的，这就是雪花的奥秘所在。
那么，我们是否可以利用这独特的形态进行数学运算教学呢？接下来，我将为大家介绍一种利用雪花进行数学运算的趣味教学方法。
二、雪花运算法1. 准备工作首先，需要准备一些画纸、铅笔、取样袋和显微镜。
然后，学生们在户外自由取样，收集足够多的雪花样本。
2. 统计雪花样本特征将取样的雪花样本放入取样袋中，然后利用显微镜观察雪花的形态特征。
学生们可以观察雪花的大小、形状、分支数量等等，并记录下来。
3. 将雪花数量转化为数字学生们可以将每一片雪花的大小作为一个数值，比如雪花直径与一个单位长度的关系。
然后，他们可以根据观察到的雪花数量，进行简单的数学运算，如相加、相乘等等，将雪花数量转化为数字。
4. 进行数学运算在收集到足够的雪花样本之后，学生们可以将取样的雪花数量以及它们的数值特征进行统计。
接下来，他们可以进行各种数学运算，如加减乘除，利用雪花的数量和数值特征进行数学问题的求解。
三、利用雪花进行数学游戏除了进行数学运算教学外，雪花还可以用来进行各种数学趣味游戏。
比如，学生们可以根据雪花的形态特征来设计一个游戏规则，让他们在雪地中进行数学问题的解答。
或者，他们可以通过雪花样本的形状来设计一个雪花拼图游戏，提高学生们的观察能力和逻辑思维能力。
总之，在大雪天气中，我们可以将数学与自然相结合，利用雪花进行数学运算教学和趣味游戏，为学生们创造一个充满创造力和乐趣的学习环境。
第24题 雪花曲线
第24题雪花曲线设有一个每边长为a的三角形，按如下规则可以作成一个新的图形：第一次将每边三等分，以中间的一段为边，向形外接上去一个正三角形，第二次在四多边形K1中，再将12边中的每一边三等分，以中间的一段为边，向形外接上去一个更小的正三角形，得到四多边形K2；不断重复，产生一凹多边形序列，如图24—1，其中每一凹多边形记作K n(n=1，2，3，…)。
它们的边界变得越来越细微曲折，它使人想起一种理想的雪花。
我们称凹多边形Kn的边界曲线为雪花曲线。
现在问：四多边形K n的周长是多少？凹多边形的面积是多少？分析：在四多边形序列中，前后两条边界曲线之间的基本关系可由图24—2表示。
欲求凹多边形的面积，关键在于寻找其中的规律性，计算每次增加了多少个小三角形，以及每个小三角形的面积是多少。
解：设第n条曲线的长为L n，所围的面积为A n。
初始三角形的周或通项公式：对于面积的计算，我们先列表24—1。
由表24—1分析可知：每次增加的三角形个数是相邻前一次图形的边数，而增加的小正三角形，由于与相邻前一次所得的正三角形相似，面积可以从如下两个角度求得：(1)每次增加的面积是增加的三角形个数与增加的每个小三角形面积之乘积，可得递推关系式：(2)从图形K2开始，每次增加的小三角形个数是相邻前一次所得三角形个数的4倍，且增加的每个三角形面积是相邻前一次所得的一个回顾：(1)如何从递推关系式推出通项公式呢？……上述n个等式相加得通项公式：也可用数学归纳法加以证明。
(2)只要观察思考一下，就会发现雪花曲线具有某些有趣的性质。
首先，它是一条连续的封闭曲线，永远不自我相交，因为每边上新加的三角形都足够小，以致彼此碰不上。
曲线序列中的向于无限长。
然而，虽然每条曲线都比它相邻前一条曲线所围的面积都增加一点，但总面积仍是有限的，事实上比初始的三角形面积大不了许多。
如果画一个初始三角形的外接圆，雪花曲线永远也不会超出这个圆之外。
如何反映曲线序列中，曲线的长度和曲线所围面积的变化趋势呢？亦即不断重复上述规则，直至无穷，这样的曲线长度L和所围的面积A结果怎样？如果你具备一点数列极限的基本知识，就可以知道：注：n趋向无穷大的雪花曲线，早就引起了人们的注意，它是瑞典数学家科克(Koch Heige Von)首次在1904年发明的，因此也称它为科克曲线。
科赫曲线-雪花曲线
科赫曲线-雪花曲线
科赫曲线
科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，所以又称为雪花曲线，它是分形曲线中的一种，具体画法如下：
1、任意画一个正三角形，并把每一边三等分；
2、取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉；
3、重复上述两步，画出更小的三角形。
4、一直重复，直到无穷，所画出的曲线叫做科赫曲线。
和皮亚诺类似：
1、曲线任何处不可导，即任何地点都是不平滑的
2、总长度趋向无穷大
3、曲线上任意两点距离无穷大
4、面积是有限的
5、产生一个匪夷所思的悖论：无穷大的边界，包围着有限的面积。
（保守派数学大师们晕倒撞墙去吧）
Kohn曲线是比较典型的分形图形，它具有严格的自相似特性。
反雪花曲线
反雪花曲线
反雪花曲线
让我们看看在雪花曲线形成的过程中，将加上去的等边三角形转换一个方向时会出现什么情形．(① 原注：雪花曲线是一种几何分形，最早是1904年科赫在研究具有无限周长和有限面积的曲线时采用的．所以它也称科赫曲线． )
生成一条雪花曲线是从一个等边三角形开始的．把三角形的每条边等分成三段并在中间的一段向外作小的等边三角形，但删去新三角形位于旧三角形边上的底．继续这个程序，对每个等边三角形的边再等分成三段，并在中段向外作更小的等边三角形，如此等等，雪花曲线就是在不断重复这样的过程中产生的．
如果我们画的小等边三角形不是向外而是向内，这样所生成的曲线称为反雪花曲线．
像雪花曲线那样，反雪花曲线有无限的周长和有限的面积．这个事实允许人们能够将它画在一张纸上而不致跑到纸外空间去．。
初中雪花曲线教案设计说明
初中雪花曲线教案设计说明第一篇：初中雪花曲线教案设计说明初中数学《雪花曲线》教案设计说明民立中学丁海扬一．教材分析1．“雪花曲线”是高中一年级第二学期（试验本）即上海市二期课改新教材中“拓展型课程部分”（拓展内容加“﹡”）内容，供学校自主组织教学和学生选择修习。
2．本节课制定的教学目标是：①知道雪花曲线的生成过程；②学会利用递推关系式得到有关雪花曲线的“问题解决”；③通过对雪花曲线问题的探索与研究以及相关背景资料的介绍，理解数学的价值，感悟数学的美。
3．制定教学目标的几点想法（理论支点）：①教学中应尽可能地显现出数学知识的发生、形成过程；改变传统的注入式（结果型）教学模式，促使学生变接受式（记忆型）学习为自主式（探究型）学习。
②教师应成为学生自主学习和知识建构的促进者；教师的这种“促进者”角色将引导、促进学生的自主学习，使学生能够自己去实验、观察、探究、研讨，使他们的身心全部投入到学习活动之中。
这样的课堂才能充分体现教师的主导作用和学生的主体地位。
③教师并不是以知识的传授为目的，而是以激发学生的问题意识、加深问题的深度、探索解决问题的方法，特别是形成自己对解决问题的独立见解为目的；教师要让学生带着问题走进教室，带着更多的问题走出教室，这就是现今倡导的以问题为纽带的教育教学。
④教学的目的在于不仅希望学生掌握知识，更希望学生掌握分析知识、选择知识、更新知识的能力；简单的说，智慧比知识更重要，过程比结果更重要，知识是启发智慧的手段，过程是结果的动态延伸，教学中能够把结果变为过程，才能把知识变成智慧。
二．教法说明1．以“雪花曲线”的发生过程、“雪花曲线”的问题解决、问题解决方法的简单应用为教学主线，旨在体现：①学习的因是实际，学习的果也是实际；②学习的结果是重要的，但更重要的是学习的过程；③学习的过程是“继承和发扬”，继承就是学习基础，发扬就是学会创新。
2．以介绍“分形几何”（一门新兴的数学分支学科）为教学支线，显现数学知识的文化背景及人文价值。
绘制雪花曲线流程
绘制雪花曲线流程一、前言雪花曲线是一种美丽的图形，它具有非常高的艺术价值和装饰效果。
在绘画、设计等领域中，经常使用雪花曲线来装饰作品。
本文将介绍如何绘制雪花曲线，包括几何构造方法和手绘方法。
二、几何构造法1. 绘制正六边形首先，我们需要绘制一个正六边形。
可以使用圆规和三角板来绘制。
如果没有这些工具，也可以使用铅笔和直尺。
2. 分割正六边形将正六边形分成6个等分的三角形。
可以使用三角板或者直尺来进行分割。
3. 画出内部三角形在每个三角形中画出一个小等腰三角形，其顶点在原始正六边形的中心处。
这些小三角形将成为雪花曲线的基础。
4. 绘制第一层小三角形从任意一个小三角形开始，向外延伸出一个新的小等腰三角形，并使其两个底边分别与原始小三角形的两条底边平行。
这是第一层小三角形。
5. 继续绘制从新绘制的小三角形的两个底边开始，再次向外延伸出两个新的小三角形，并使其与原始小三角形的底边平行。
这是第二层小三角形。
6. 继续绘制重复步骤5，一直向外延伸出新的小三角形，直到达到所需大小为止。
7. 完成最终结果是一个美丽的雪花曲线。
三、手绘法1. 准备工具准备一支铅笔、一张白纸和一支黑色墨水笔。
2. 绘制基础图案使用铅笔在白纸上画出一个正六边形。
然后分割成6个等分的三角形，并在每个三角形中画出一个小等腰三角形。
3. 绘制第一层线条使用墨水笔从任意一个小三角形开始，向外延伸出一个新的小等腰三角形。
使其两个底边分别与原始小三角形的两条底边平行。
这是第一层线条。
4. 继续绘制从新绘制的小三角形的两个底边开始，再次向外延伸出两个新的小等腰三角形，并使其与原始小三角形的底边平行。
这是第二层线条。
5. 继续绘制重复步骤4，一直向外延伸出新的线条，直到达到所需大小为止。
6. 擦除基础图案使用橡皮擦擦除基础图案，只保留墨水笔绘制的线条。
7. 完成最终结果是一个美丽的手绘雪花曲线。
四、总结以上是两种绘制雪花曲线的方法：几何构造法和手绘法。
科学家称一片雪花的周长超过地球，到底是咋算出来的？英国数学家
科学家称一片雪花的周长超过地球，到底是咋算出来的？英国数学家今天咱们来聊点硬核科普。
雪花咱们都司空见惯了，但是科赫雪花你见过吗？这其实是一名数学家提出的数学理论，就是在这种理论之中的科赫雪花，它的周长甚至能够超过地球，这是为什么呢?科赫雪花并不是雪花，而是一种数学理论，它还有另外一个名字叫做科赫曲线，说白了就是一种几何曲线，因为长的和雪花一样，所以称为雪花曲线。
那么它是哪儿来的呢？出现于一名瑞典数学家的论文当中，这名数学家叫做海里格·冯·科赫，在他论文当中出现了这片雪花，其周长是无限的，甚至能够超越地球的直径。
在这里朋友们可能要问了，这怎么可能呢？那么这个科赫雪花是怎么做出来的呢？从视频中我们可以看到科赫雪花形成的过程。
我们先画出一个等边三角形，在等边三角形的每个边做三等份，然后取出中间的一份往外延伸，又出现一个等边三角形。
然后再把等边三角形的每条边分三份，又延伸出另外的三个三角形，以此类推无限循环，每次循环就叫一次迭代。
那么什么是迭代呢？很好理解，就是不断的重复反馈过程，目的是为了得到我们想要的结果。
这在计算机的程序当中也很常见，就是不断的重复循环，一直到满足条件。
所以到这里大家对于科赫雪花到底是什么，怎么形成的，应该都彻底明白了吧？按照理论。
在面积一定的情况之下，雪花的长度可以无限。
这就很难让人相信，因为如果咱们在科赫雪花外面画一个圆，就足以将它覆盖。
但是圆的周长却远远的小于科赫雪花，甚至于连它的零头都达不到。
是不是很神奇呢？其实对于这种现象，英国人应该是深有体会的，因为他们发现自己每次测量的海岸线长度都不一样，这是为什么？还要从上世纪说起，那是1967年，一名数学家写了一篇论文，名字叫做《英国的海岸线有多长》。
在这里朋友们可能要问了，英国的国土面积是一样的，那海岸线的长度自然也是不变的，就这还要写一篇论文?话是这么说，但是如果我们用在现实生活中，就会发现每次测量的英国海岸线长度都不一样，因为我们每次测量使用的工具都不一样。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
如果说有一种平面图形，它的面积是有限的而周长却是无限的，你相信吗？“雪花曲线”就是这样。
那么，什么是“雪花曲线”呢？
“雪花曲线”是从一个等边三角形(如图)开始，一步一步作出来的。
第一步：把等边三角形的各边三等分，从每条边三等分后的中段，向外作小等边三角形，再去掉与原来等边三角形重叠的边(如图)。
为了便于叙述，以后把这个过程简称为“变化”。
第二步：对上一步得到的小等边三角形，重复上面的变化(如图)。
第三步：再对上一步得到的小等边三角形，重复上面的变化(如图)。
第四步：再对上一步得到的小等边三角形，重复上面的变化(如图)。
第五步、第六步……照这样一直进行下去，就得到“雪花曲线”。
现在来计算“雪花曲线”(所围成的图形)的面积和周长。
从以上过程可以看出，“雪花曲线”是一个边长、边数不断变化，同一图形边长相等的对称图形。
所以，必须首先研究一下图形的边数、边长和面积的变化规律。
观察发现：
规律一：每次变化后，原来等边三角形的一条边，所形成的折线包括4条线段，所以，新图形的边数是原图形的4倍，而边长是原图形的1/3；
规律二：每次变化后，原来等边三角形的一条边上，所作的小等边三角形的面积，是原来等边三角形面积的1/9(参看下图)。
一、“雪花曲线”的面积：
为了便于计算，设原来等边三角形的面积为“1”。
第一步以后，因为原来的边数是3，向外作了3个小等边三角形；每个小等边三角形的面积是1/9，增加的面积是3×1/9。
第二步以后，边数变成3×4，向外作了3×4个小等边三角形；每个小等
边三角形的面积是(1/9)2，增加的面积是3×4×(1/9)2。
第三步以后，边数变成3×42，向外作了3×42个小等边三角形；每个小等
边三角形的面积是(1/9)3，增加的面积是3×42×(1/9)3。
第四步以后，边数变成3×43，向外作了3×43个小等边三角形；每个小等
边三角形的面积是(1/9)4，增加的面积是3×43×(1/9)4。
依次类推，第n步以后，边数变成3×4n-1，向外作了3×4n-1个小等边三角
形；每个小等边三角形的面积是(1/9)n，增加的面积是3×4n-1×(1/9)n。
于是，“雪花曲线”的面积
＝1＋3×1/9＋3×4×(1/9)2＋3×42×(1/9)3＋3×43×(1/9)4＋ (3)
S
雪
4n-1×(1/9)n＋…
化简，由第3项开始，从每项的最后一个因数中，拿出1个1/9，与前面
的3乘在一起，于是：
S
＝1＋3×1/9＋(3×1/9)×(4×1/9)＋(3×1/9)×(4×1/9)2＋(3×1/9)雪
×(4×1/9)3＋…＋(3×1/9)×(4×1/9)n-1＋…
＝1＋1/3＋1/3×4/9＋1/3×(4/9)2＋1/3×(4/9)3＋…＋1/3×(4/9)n-1
＋…
＝1＋1/3[1＋4/9＋(4/9)2＋(4/9)3＋…＋(4/9)n-1]＋…
中括号里面是一个首项为1，公比为4/9的无穷等比数列。
根据等比数列的求和公式，首项为a，公比为q时，等比数列前n项的和
＝a(1－q n)/(1－q)。
S
n
对于q＜1的无穷等比数列来说，q n趋于0，
S＝a/(1－q)。
这里，a＝1，q＝4/9＜1，所以，中括号里面的和等于1/(1－4/9)＝9/5。
于是，“雪花曲线”的面积是
＝1＋1/3×9/5＝1＋3/5＝8/5。
S
雪
即，“雪花曲线”的面积是原来等边三角形的8/5倍。
二、“雪花曲线”的周长：
因为，周长＝边长×边数，而每次变化后，边长是原来的1/3，边数是原
来的4倍，所以，周长是原来的1/3×4＝4/3。
也就是说，每次变化后，边长
都比原来增加1/3。
随着变化的持续进行，周长会变得越来越大，以至无穷。
这就是“雪花曲线”的非同寻常之处：它的面积是有限的；
它的周长却是无限的。
是不是“不可思议”？！。