大学物理-功和能

f
Gm1m2 r2
r0
r0 为单位矢量
dr
B
AAB
B
f dr
A(L)
rB rA ( L)
Gm1m2 r2
r0
d
r
rB Gm1m2 d r Gm1m2 Gm1m2
rA ( L)
r2
rB
rA
dr
r d r m2 rB
r
L
m1 万有引力做功与始末位置有关，与路径无关。
rA
A
r0 d r r0 | d r | cos d r
[思考]
B
B
B
A F1 d r A F2 d r A FN d r
B
A Fi d ri A1AB A2 AB
i
ANAB
对于质点系，各个力做功之和等于合力做功吗？
4. 功率
P d A Fdr Fv
dt
dt
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F2 dr
B
F1
A
F4
F3
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4.2
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动能定理 Harbin Institute of Technology at Weihai
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例5. 如图所示，一木块M静止在光滑水平面上。一子弹m沿水平方向以速度v0 射入木块内一段距离s而停在木块内。 （1）估算子弹和木块间的摩擦力。 （2）子弹和木块间摩擦力分别对子弹和木块各做了功多少？
L1
L2
B
A
f d r f d r
f dr 0
(L)பைடு நூலகம்
A( L1 )
B(L2 )
B
保守力：沿任意回路做功为零的力或做功与具体路径无 关的力都称为保守力。
2）非保守力：做功与具体路径有关的力则为非保守力。
典型的非保守力：滑动摩擦力
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4.1 功 Harbin Institute of Technology at Weihai
m1: A1合 A1外 A1内 E1kB E1kA
m2: A2合 A2外 A2内 E2kB E2kA
……………
mn: An合 An外 An内 EnkB EnkA
n
n
n
n
Aiext Aiint EikB EikA
i 1
i 1
i 1
i 1
Aext + Aint = Ek
（2）A是标量，反映了能量的变化，是能量的量度。 正负：取决于力与位移的夹角。
0 /2 /2 /2
A0 A0 A0
正功
不做功 负功
（3）功是相对量。与位移和参考系的选择有关。
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4.1 功 Harbin Institute of Technology at Weihai
（1）一对内力所做的功只与两质点的相对位移有关，与所选取的参考系无关！ 例如 相对于地面参考系：
摩擦力对小木块所做的功为：Af f l-s
摩擦力对平板车所做的功：Af ' f l 一对摩擦力的总功： A一对摩擦力 f s （2）一对力做功与所选参考系无关而只与相对位置有关。 保守内力：总功只与初末相对位形有关 非保守内力：总功只与初末相对路径有关 （3）内力的总功并不一定为零。内力不能改变系统的总动量，但能改变系统的总动能！
mg
dy
mghA
mghB
重力做功与始末位置有关，与路径无关。
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4.1 功 Harbin Institute of Technology at Weihai
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2. 弹力做功：（已知弹簧倔强系数为k ）
f O xA
A
Bx
xB
建立如图所示的坐标系：原点为弹簧自然长度的位置。 f kx
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3. 一对内力做功
f21= - f12
d A f12 d r1 f21 d r2 f21 (d r2 d r1)=f21 d(r2 r1)
A到B过程中：
B
AAB A f21 d r21
一对力所做的总功等于其中一个质点受的力沿 该质点相对于另一个质点所移动的路径所做的
z
功，或者说两质点间一对力的功等于一个质点
受的力和该质点相对于另一质点的相对位移点
积的线积分。
x
B
dr1
m1
r1
f12 A r21
r2
f21 dr2 m2
O
y
4.2
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➢ 结论：
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4.1 功 Harbin Institute of Technology at Weihai
4.1.1 功 功率
1. 物体作直线运动，恒力做功
A F cos | r | F r
2. 物体作曲线运动，变力做功
元功： d A F d r
总功： A
B
B
d A Fdr
(L) A
所有外力对质点系做的功和内力对质点系做的功之和等于质点系总动能的增量。 ➢ 注意：1）内力的总功并不一定为零。
2) 内力能改变系统的总动能，但不能改变系统的总动量。 3) 质点系中各力做功之和不一定等于合力的功。
4.2
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解：
AAB
1 2
mv 2
0
AAB
B
(T mg) d r
A
B
mg d r
A
B
mg d s cos
A
d s l d
AAB 0 mg cosl d mgl sin
mgl sin
1 2
mv 2
v 2gl sin
l
o
T
T
v mg
4.2
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功和能 Harbin Institute of Technology at Weihai
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§4.1 功
§ 4.2 动能定理
§ 4.3 § 4.4 § 4.5
势能 机械能守恒定律 碰撞
本章要点：理解和掌握力的空间积累表征；掌握势能概念的深刻含义；能够用动能 定理、机械能守恒定律及功能原理分析和解决实际问题；掌握碰撞问题 的分析方法。
A( L)
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F 1 r 2
B
dr F
A
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4.1 功 Harbin Institute of Technology at Weihai
B
A F d r A( L)
普适 性
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B
dr
F
➢ 说明
A
（1）功是过程量 。是力对空间的累积作用，某一时刻的功没有意义。
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4.1 功 Harbin Institute of Technology at Weihai
4.摩擦力所做功：（设m与桌面的滑动摩擦系数为 ）k
f k N k mg
则由A到B摩擦力所做的功为
AAB
B
d A
A
B
f
A
B
d s cos f A
ds
B
A k mg
d
4.2
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4.2.1 质点的动能定理
B
B
A合AB A F合 d r A F d s
由
dv F合n man m d t
代入上式
A合AB
Bm dv ds A dt
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4.2.2 质点系的动能定理
1. 质点系的动能
Ek
i
1 2
mi
vi2
i
1 2mi (vc
vi' ) (vc
vi' )
1
2 vc
vc (
i
mi ) vc (
i
mivi' )
i
1 2
mi
vi'
vi'
1 2
mvc2
vc
mvc'
i
1 2
mi vi' 2
EK
1 2
F dr
A( L )
A(L) F d s
F cos ds
A( L )
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B
dr
F
A
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4.1 功 Harbin Institute of Technology at Weihai
3. 合力的功 F F1 F2 FN
B
B
A
F dr
A
A (F1 F2
FN ) d r
l2sg 1 l2sg 2
应用动能定理，因初速度为0，
l2sg 1 l2sg 1 mv2 1 lsv2
2
2
2
v (2l l) g
f
l xo
mg
x
4.2
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例4. 利用动能定理重解例2.9题，小球质量m，系在线的一端，线的另一端固 定在墙上，线长为l ,先保持水平静止，然后使小球下落。求线摆下θ角时小球 的速率？
例2. 如图，一质量为m的物体在外力F的作用下沿圆弧形路面匀速移动。设圆 弧路面的半径为R，拉力总是平行于路面，物体与路面的滑动摩擦系数为μk。
当物体从底端拉上 圆弧时，拉力做功多少？重力和摩擦力各做功多少？
解：由牛顿第二定律：F mg sin f 0 N mg cos 0
θα
由：f =k N
t 1时 y 16m
t 2时 y 32m
由牛顿第二定律
Fx
m dvx dt
80t
Fy
m dvy dt
0
则：
A
Fxdx Fydy
2 320t3dt 1200 J
1
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s kmgs
摩擦力做功与路径有关!
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4.1.2 保守力与非保守力
1）保守力的定义
（1） B
B
f dr
f dr
A(L1 )
A(L2 )
A
（2）沿任意闭合回路做功为 0的力称为保守力。 即
➢ 功的计算 ① 直角坐标系中
B
A F d r A(L)
F Fxi Fy j Fzk d r d xi d yj d zk
B
B
A
F dr
A( L )
A(L) (Fx d x Fy d y Fz d z)
② 自然坐标系中
F F Fnn d r d sτ
B
B
B
A
mvc2
i
12mivi'2 Ekc Ek ,int
---- 柯尼希定理
（轨道动能）（内动能）
vi
vc
vi'
mivi'
vc'
i
M
0
4.2
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2. 质点系的动能定理 对n个质点组成的质点系：每个质点分别使用动能定理
解得：F kmg cos mg sin
则由： A
B
B
F cos ds=
F cos Rd
A(L)
A(L)
N
拉力做功为：
AF
0
k mg
cos
mg
sin
Rd
R
k mg
sin
mg
cos
1
F
重力做功为：
Ag
0
mg sin Rd
mgR cos
1
mg
f
摩擦力做功为：
Af
0 mgk cos Rd mgk sin R
4.1 功 Harbin Institute of Technology at Weihai
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4.1.2 几种常见力的功
1. 重力做功
B
B
A
F dr
A( L )
A(L) (Fx d x Fy d y Fz d z)
hA、hB 是质点初、末位置的高度
mg mgj
A
hB hA
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例3. 利用动能定理重解例2.5题，有一密度为 的细棒，长度为l ，其上端用细 线悬着，下端紧贴着密度为’的液体表面。现悬线剪断，求细棒在恰好全部
没入水中时的沉降速度。（设液体没有粘性）
解：细棒下落过程中，合外力对它作的功为
A (mg f )dr
l
(mg f )d x 0
l
0 (l x)sg d x
小球由A 到B弹力做的功为：
AAB
B
d A
A
xB xA
kx
d
x
1 2
kxA2
1 2
kxB2
弹力做功与始末位置有关，与路径无关。
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3. 万有引力做功
m1对m2的引力做功为：
B
m vdv A
1 2
mvB2
1 2
mv
2 A
1. 质点动能
Ek
1 2
mv2
Ek
p2 2m
注：动能为状态量！
2. 质点的动能定理 A合AB EkB EkA Ek
合外力对质点所做的功（其它物体对它所做的总功）等于质点动能的增量。
4.2
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例1. 质量为10kg 的质点，在外力作用下做平面曲线运动，该质点的速度为
v 4t2i 16 j ，开始时质点位于坐标原点。求在质点从 y = 16m 到 y = 32m 的 过程中，外力做的功。
解：由题意可得：
vx
dx dt
4t 2
vy
dy dt
16
所以：dx 4t2dt y 16t