新2019高中数学 第2章 推理与证明章末检测 苏教版选修1-2

第2章 推理与证明
章末检测
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．在△ABC 中，E 、F 分别为AB ，AC 的中点，则有EF ∥BC ，这个问题的大前提为________． 答案 三角形的中位线平行于第三边
解析 这个三段论推理的形式为：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：EF 为△
ABC 的中位线；结论：EF ∥BC .
2．对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式： 22
＝1＋3 32＝1＋3＋5 42＝1＋3＋5＋7 23＝3＋5 33＝7＋9＋11 43＝13＋15＋17＋19
根据上述分解规律，若m 2
＝1＋3＋5＋…＋11，n 3
的分解中最小的正整数是21，则m ＋n ＝________. 答案 11
解析 ∵m 2
＝1＋3＋5＋…＋11＝1＋112×6＝36，
∴m ＝6.∵23
＝3＋5,33
＝7＋9＋11，
43
＝13＋15＋17＋19，∴53
＝21＋23＋25＋27＋29， ∵n 3的分解中最小的数是21， ∴n 3
＝53
，n ＝5，∴m ＋n ＝6＋5＝11.
3．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，其反证假设是________． 答案
2＋3是有理数
解析 应对结论进行否定，则2＋3不是无理数，即2＋3是有理数． 4．已知f (x ＋1)＝2f (x )f (x )＋2
，f (1)＝1(x ∈N *
)，猜想f (x )的表达式为________．
答案
2x ＋1
解析 当x ＝1时，f (2)＝
2f (1)f (1)＋2＝23＝2
2＋1
，
当x ＝2时，f (3)＝2f (2)f (2)＋2＝24＝2
3＋1；
当x ＝3时，f (4)＝2f (3)f (3)＋2＝25＝2
4＋1
，
故可猜想f (x )＝
2x ＋1
. 5．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a －b )2
＋(b －c )2
＋(c －a )2
≠0； ②a ＝b 与b ＝c 及a ＝c 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立． 其中判断正确的个数为________． 答案 1
解析 若(a －b )2
＋(b －c )2
＋(c －a )2
＝0，则a ＝b ＝c ，与“a ，b ，c 是不全相等的正数”矛盾，故①正确．a ＝b 与b ＝c 及a ＝c 中最多只能有一个成立，故②不正确．由于“a ，b ，c 是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确． 6．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有________个． ①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥． 答案 2
解析 类比相似形中的对应边成比例知，①③属于相似体． 7．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1
a n ，则a 2015等于________．
答案 －1
解析 ∵a 1＝12，a n ＋1＝1－1
a n
，
∴a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝1
2
，
a 5＝1－1a 4＝－1，a 6＝1－1
a 5
＝2， ∴a n ＋3k ＝a n (n ∈N *
，k ∈N *
) ∴a 2015＝a 2＋3×671＝a 2＝－1.
8．若数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3＋5，a 3＝7＋9＋11，a 4＝13＋15＋17＋19，…，则a 8＝________. 答案 512
解析 由a 1，a 2，a 3，a 4的形式可归纳： ∵1＋2＋3＋4＋…＋7＝7×(1＋7)
2
＝28，
∴a 8的首项应为第29个正奇数，即2×29－1＝57. ∴a 8＝57＋59＋61＋63＋65＋67＋69＋71 ＝
8×(57＋71)
2
＝512. 9．在数列{a n }中，a 1＝1，且S n ，S n ＋1,2S 1成等差数列(S n 表示数列{a n }的前n 项和)，则S 2，S 3，
S 4分别为________，猜想S n ＝________.
答案 32，74，158 2n
－12
n －1(n ∈N *
)
解析 由S n ，S n ＋1,2S 1成等差数列，得2S n ＋1＝S n ＋2S 1，因为S 1＝a 1＝1，所以2S n ＋1＝S n ＋2. 令n ＝1，则2S 2＝S 1＋2＝1＋2＝3⇒S 2＝32，
同理，分别令n ＝2，n ＝3，可求得S 3＝74，S 4＝15
8.
由S 1＝1＝21
－120，S 2＝32＝22
－121，S 3＝74＝23
－1
22，
S 4＝158＝24－123，猜想S n ＝2n
－1
2
n －1.
10．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地面砖的块数是________．
答案 4n ＋2
解 观察可知：除第一个以外，每增加一个黑色地板砖，相应的白地板砖就增加四个， 因此第n 个图案中有白色地面砖的块数是一个“以6为首项，公差是4的等差数列的第n 项”． 故第n 个图案中有白色地面砖的块数是4n ＋2. 11．观察下列等式： (1＋1)＝2×1
(2＋1)(2＋2)＝22
×1×3
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23
×1×3×5 按此规律，第n 个等式可为________．
答案 (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n
·1·3·5…(2n －1)
12．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *
)，经计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，
推测当n ≥2时，有________．
答案 f (2n
)>2＋n 2
(n ≥2)
解析 观测f (n )中n 的规律为2k
(k ＝1,2，…) 不等式右侧分别为2＋k
2，k ＝1,2，…，
∴f (2n
)>2＋n 2(n ≥2)．
13．已知2＋23
＝223，3＋38
＝338
，4＋415
＝4
4
15，…，若6＋a b ＝6
a
b
(a ，b 均为实数)，推测a ＝________，b ＝________. 答案 6 35
解析 由前面三个等式，推测被开方数的整数与分数的关系，发现规律．由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是分子的平方减1，由此推测6＋a b
中，a ＝6，b ＝62
－1
＝35，即a ＝6，b ＝35.
14．在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AE EB ＝AC BC
，把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD 中(如图所示)，面DEC 平分二面角ACDB 且与AB 相交于E ，则得到的类比的结论是________．
答案
AE EB ＝S △ACD
S △BCD
解析 CE 平分∠ACB ，而面CDE 平分二面角ACDB .∴AC BC 可类比成S △ACD S △BCD ，故结论为AE EB ＝S △ACD
S △BCD
. 二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)已知a 、b 、c 是互不相等的非零实数．求证三个方程ax 2＋2bx ＋c ＝0，bx 2
＋2cx ＋a ＝0，cx 2
＋2ax ＋b ＝0至少有一个方程有两个相异实根． 证明 反证法：
假设三个方程中都没有两个相异实根，
则Δ1＝4b 2
－4ac ≤0，Δ2＝4c 2
－4ab ≤0，Δ3＝4a 2
－4bc ≤0.相加有a 2
－2ab ＋b 2
＋b 2
－2bc ＋c 2
＋c 2
－2ac ＋a 2≤0，
(a －b )2
＋(b －c )2
＋(c －a )2
≤0.①
由题意a 、b 、c 互不相等，∴①式不能成立．
∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根． 16．(14分)设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和． (1)求证：数列{S n }不是等比数列； (2)数列{S n }是等差数列吗？为什么？
(1)证明 假设数列{S n }是等比数列，则S 2
2＝S 1S 3， 即a 2
1(1＋q )2
＝a 1·a 1·(1＋q ＋q 2
)， 因为a 1≠0，所以(1＋q )2
＝1＋q ＋q 2
， 即q ＝0，这与公比q ≠0矛盾， 所以数列{S n }不是等比数列．
(2)解 当q ＝1时，S n ＝na 1，故{S n }是等差数列； 当q ≠1时，{S n }不是等差数列，否则2S 2＝S 1＋S 3， 即2a 1(1＋q )＝a 1＋a 1(1＋q ＋q 2
)， 得q ＝0，这与公比q ≠0矛盾．
17．(14分)请你把不等式“若a 1，a 2是正实数，则有a 21a 2＋a 22
a 1
≥a 1＋a 2”推广到一般情形，并证
明你的结论． 解 推广的结论：
若a 1，a 2，…，a n 都是正实数，则有
a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1
≥a 1＋a 2＋…＋a n . 证明：∵a 1，a 2，…a n 都是正实数，
∴a 21a 2＋a 2≥2a 1；a 22
a 3＋a 3≥2a 2；… a 2n －1a n ＋a n ≥2a n －1；a 2n
a 1
＋a 1≥2a n ， a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1
≥a 1＋a 2＋…＋a n . 18．(16分)已知a ，b ，c 为正数，且f (n )＝lg a n ＋b n ＋c n
3
，
求证：2f (n )≤f (2n )． 证明 要证2f (n )≤f (2n )
只需证⎝ ⎛⎭
⎪⎫a n ＋b n ＋c n 32≤
a 2n ＋
b 2n ＋
c 2n 3 即证(a n ＋b n ＋c n )2≤3(a 2n ＋b 2n ＋c 2n
) 即2a n b n ＋2c n b n ＋2a n c n ≤2(a 2n ＋b 2n ＋c 2n
) ∵a 2n
＋b 2n
≥2a n b n ，a 2n ＋c 2n ≥2a n c n
，
b 2n ＋
c 2n ≥2b n c n
∴2a n b n ＋2c n b n ＋2a n c n ≤2(a 2n ＋b 2n ＋c 2n
) ∴原不等式成立．
19．(16分)正实数数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝5，且{a 2
n }成等差数列．证明数列{a n }中有无穷多项为无理数．
证明 由已知有：a 2
n ＝1＋24(n －1)， 从而a n ＝1＋24(n －1)，取n －1＝242k －1
，
则a n ＝1＋242k
(k ∈N *
)．
用反证法证明这些a n 都是无理数．
假设a n ＝1＋242k 为有理数，则a n 必为正整数，且a n ＞24k
，
故a n －24k
≥1，a n ＋24k
＞1，与(a n －24k
)(a n ＋24k
)＝1矛盾，所以a n ＝1＋242k
(k ∈N *
)都是无理数，
即数列{a n }中有无穷多项为无理数．
20．(16分)设a ，b ，c 为一个三角形的三条边，s ＝12
(a ＋b ＋c )，且s 2
＝2ab ，试证：s ＜2a .
证明 要证s ＜2a ，由于s 2
＝2ab ，所以只需证s ＜s 2
b
，
即证b ＜s .
因为s ＝1
2(a ＋b ＋c )，所以只需证2b ＜a ＋b ＋c ，即证b ＜a ＋c .
由于a ，b ，c 为一个三角形的三条边，所以上式成立，于是原命题成立．。