山东省威海市2016届高三数学下学期第一次模拟考试试题理

山东省威海市2016 届高三数学下学期第一次模拟考试试题理
一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知全集U＝ R，集合 A＝ {x ｜－ 1≤ x≤2 } ， B＝ {x ｜ x＜－ 3，或 x＞ 4} ，那么 A∩（ C U B）＝
A ． {x ｜－ 1≤ x≤4}
B ． {x ｜－ 3≤ x≤ 2}
C． {x ｜－ 1≤ x≤ 2} D ．{x ｜－ 3≤ x≤ 4}
2．已知复数为纯虚数，那么实数a＝
A．－2B．－C．2D．
3．设函数 f （ x）的定义域为R，则“∈ R，f（x＋1）＞f（x）”是“函数f （x）为增
函数”的
A ．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．一个棱长为 2 的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几
何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A．7B．C．D．
5．当 n＝ 5 时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值是
A ．7B．10C．11D．16
6．某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织 6 个年级的学生
外出参观包括甲博物馆在内的 6 个博物馆，每个年级任
选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆
的方案有A．×种B．×种C．×种D．×种
7．函数y＝ a＋ sinbx （ b＞0 且 b≠ 1）的图象如图所示，那么函数y＝的图象
可能
是
8．设α，β 是两个不同的平面，l ，m是两条不同的直线，且lα ，mβ ．下列命题正确的是
A．若 l ⊥ β，则α ⊥ β ．B．若α ⊥ β ，则l⊥ m．
C．若l∥ β ，则α ∥ β．D．若α ∥ β，则l∥ m．
9．向量 a， b， c 在正方形网络中的位置如图所示，若
c＝λα＋μ b（λ ，μ ∈R），则＝
A．－ 8B．－ 4
C． 4D． 2
10．已知点E（－λ， 0）（λ ≥0），动点 A， B 均在抛物线C：
（ p＞ 0）上，若·的最小值为0，则
λ 的值为
A．B．0C．P D．2p
11．曲线 y＝ sinx （0≤ x≤ π）与 x 轴围成的封闭区域的面积为___________．
12．如果 a， b 满足 ab＝ a＋ b＋ 3，那么 ab 的取值范围是 ___________．
13．满足的约束条件，则z＝2x－y的最大值为_____ ________．
14．设函数 f（ x）＝，则满足f（f（a））＝的a的取值范围是____________．
15 如图， F1、 F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双
曲线的左右两支分别交于点A、 B．若△ ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为
____________
16．（本小题满分12 分）在△ ABC中，b＝2，cosC＝，△ ABC的面积为．（Ⅰ）求 a 的值；（Ⅱ）求sin2A值．
17．（本小题满分12 分）
随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来
越关注的话题，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组对某社区随
机抽取了 50 人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：
年龄在 [25 ，30），[55 ， 60）的被调查者中赞成人数分别是 3 人和 2 人，现从这两组的被调查者中各随机选取 2 人，进行跟踪调查．
（Ⅰ）求年龄在[25 ， 30）的被调查者中选取的 2 人都是赞成的概率；
（Ⅱ）求选中的 4 人中，至少有 3 人赞成的概率；
（Ⅲ）若选中的 4 人中，不赞成的人数为X，求随机变量X 的分布列和数学期望．
18 ．（本小题满分12 分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，底面 ABCD为直角梯形， AD∥ BC，AD⊥ DC，平面 PAD⊥底
面 ABCD， Q 为 AD的中点， M是棱 PC的中点， PA＝ PD＝ 2， B C＝AD＝1， CD＝．（Ⅰ）求证：PQ⊥ AB；
（Ⅱ）求二面角P－ QB－ M的余弦值．
19 已知正项数列的前n项和为，且
．
(I)求数列的通项公式；
( Ⅱ ) 设数列与的前n项和为，求证：
20已知椭圆C：，（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，）．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）设与圆 O：相切的直线l 交椭圆C与A，B两点，求△OAB面积的最大值，
及取得最大值时直线l 的方程．
21．已知函数 f （ x）＝ lnx － ax＋，对任意的x∈（ 0，＋∞），满足 f （ x）＋ f （）＝0，其中 a， b 为常数．
（Ⅰ）若 f （ x）的图像在x＝ 1 处的切线经过点（0，－ 5），求 a 的值；
（Ⅱ）已知0＜ a＜ 1，求证 f （）＞0；
（Ⅲ）当 f （ x）存在三个不同的零点时，求 a 的取值范围．
高三理科数学试题参考答案
（1）．C；（ 2）． D；（ 3 ）B．；（ 4）．C；（ 5）．C；（ 6）．D；（ 7）．C；（8）．A；（ 9）．C；（ 10）．A；
11．2； 12．或；13 ．8； 14 ．．15
16. 解：（Ⅰ）因为，且，所以．因为，
得．（Ⅱ）由余弦定理，所以．
由正弦定理，，得．所以．
所以．
17．解：( Ⅰ)设“年龄在的被调查者中选取的人都是赞成”为事件，
所以,,,,,3分
( Ⅱ )设“选中的人中，至少有 3 人赞成”为事件，
所以,,,,,,7 分（Ⅲ）的可能取值为，，，
所以，，
，
3
所以,,,,,,,,12分18（I）证明：在中，为中点.所以
因为平面底面，且平面底面所以底面又平面所以.（II）在直角梯形中，//为中点所以所以四边形为平
行四边形因为所以由（I）可知平
面所以，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如
图.
因为所以平面即为平面的法向量，且因为是棱的中点所以点的坐标为又设平面的法向量为则
即令得所以所以
由题知，二面角为锐角所以二面角的余弦值为
20解（ 1）由题意可得：
（2）①当不存在时，，
②当存在时，设直线为，
——
———— 10分
当且仅当即时等号成立
，∴面积的最大值为，此时直线方程.—————12分
（21. ）。