三角形的角平分线

三角形的角平分线
在几何学中，角平分线是一个基本概念，指的是将一个角分成两个
相等的角的直线。

在三角形中，每个角都有三条角平分线，它们相交
于三角形的内心。

本文将详细讨论三角形的角平分线及其性质。

一、内角平分线的定义与性质
内角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角平分成两个相等的角
的线段。

在三角形中，每个角都有一条内角平分线。

这些内角平分线
交于三角形的内心，可以记作I。

内角平分线的性质如下：
1. 三角形的三条内角平分线交于一个点：在任何三角形中，三条内
角平分线都会相交于同一个点，这个点被称为三角形的内心。

2. 内心到三个顶点的距离相等：内角平分线将角分成两个相等的角，因此从内角平分线的交点I到三角形的每个顶点的距离都相等。

3. 内心到三边的距离相等：内角平分线将角分成两个相等的角，所
以内角平分线也将三角形的三边分成两个相等的线段。

因此，从内心
到三角形的每条边的距离也相等。

二、外角平分线的定义与性质
外角平分线是指从一个三角形的一个顶点开始，将该角的外部继续
平分成两个相等的角的线段。

在三角形中，每个顶点都有一条外角平
分线。

这些外角平分线的性质如下：
1. 三角形的三条外角平分线相交于一点：对于任意三角形，每个顶
点都有一条外角平分线，而这些外角平分线都会相交于同一个点，这
个点被称为三角形的外心。

2. 外心到三个顶点的距离相等：外角平分线将角分成两个相等的角，因此从外角平分线的交点O到三角形的每个顶点的距离都相等。

3. 外心到三角形的边的距离相等：外角平分线将角平分成两个相等
的角，所以外角平分线也将三角形的每条边平分成两个相等的线段。

因此，从外心到三角形的每条边的距离也相等。

三、例题解析
问题一：在一个等边三角形ABC中，连接三个顶点与内心I，证明
线段BI和线段CI是∠B和∠C的角平分线。

解答：由等边三角形ABC的性质可知，三边相等，三个内角也相等，即∠A = ∠B = ∠C。

又根据内角平分线的定义，我们只需证明线
段BI和线段CI将角∠B和∠C平分成两个相等的角即可。

首先，连接线段AI。

由第二条内角平分线的性质可知，内心I到三
个顶点的距离相等，即AI = BI = CI。

其次，观察△AIC和△BIC两个三角形，它们共有一条边：线段IC。

又由第三条内角平分线的性质可知，内心到三角形的每条边的距离相等，即BI = CI。

因此，根据三角形的边边边相等准则可以得知△AIC
≌△BIC。

根据三角形的全等性质，它们对应的角∠BIC和∠AIC也相等。

综上所述，线段BI和线段CI是三角形ABC中∠B和∠C的角平分线，得证。

问题二：在三角形ABC中，内心I到三条边的距离分别为9、12、15，求三角形ABC的周长。

解答：由内心到三边的距离相等的性质可知，AI = BI = CI = r，其中r为三角形的内切圆半径。

设三角形ABC的周长为L。

根据题目条件可得：
AB = AC + BC
= 15 + 9
= 24
BC = AB + AC
= 24 + 12
= 36
AC = AB + BC
= 24 + 36
= 60
根据三角形的周长公式可得：
L = AB + AC + BC
= 24 + 60 + 36
= 120
因此，三角形ABC的周长为120。

通过以上例题，我们对于三角形的角平分线及其性质有了更深入的理解。

角平分线不仅在几何学中具有重要地位，同时也应用在实际问题中。

在解题过程中，我们可以利用角平分线的特性，灵活运用，从而解决各种与三角形相关的问题。