2024年北京三十五中初三(上)10月月考数学试题及答案

2024北京三十五中初三10月月考
数 学
一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意．共16分，每小题2分）
1. 二次函数
()213y x =−−的最小值是（ ） A. 3− B. 2−
C. 1−
D. 1 2. 中秋节是中国的传统节日，有“团圆”、“丰收”的寓意．月饼是首选传统食品，不仅美味，而且设计多样．下列月饼图案中，为中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D. 3. 将抛物线22y x =平移，得到抛物线22(4)1y x =−+，下列平移方法正确的是（ ）
A. 先向左平移4个单位，在向上平移1个单位
B. 先向左平移4个单位，在向下平移1个单位
C. 先向右平移4个单位，在向上平移1个单位
D. 先向右平移4个单位，在向下平移1个单位
4. 如图，一块含30°角的直角三角板ABC 绕点C 顺时针旋转到A B C ''△，当B ，C ，A '在一条直线上时，三角板ABC 的旋转角度为（ ）
A. 30°
B. 60°
C. 120°
D. 150° 5. 关于x 的一元二次方程()25410a x x −−−=有实数根，则a 满足（ ）
A. a ≥1
B. 1a >且5a ≠
C. a ≥1且5a ≠
D. 5a ≠ 6. 抛物线y ＝223ax ax a −−的对称轴是（ ）
A. 直线 x a =
B. 直线2x a =
C. 直线1x =
D. 直线1x =− 7. 已知函数2y x bx c =−++，其中00b c ＞，＜，此函数的图象可以是（ ）
A. ．
B. ．
C. ．
D. 8. 如图，在ABC 中，90C ∠=︒，5AC =，10BC =，动点M ，N 分别从A ，C 两点同时出发，点M 从点A 开始沿边AC 向点C 以每秒1个单位长度的速度移动，点N 从点C 开始沿CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度移动，设运动时间为t ，点M ，C 之间的距离为y ，MCN △的面积为S ，则y 与t ，S 与t 满足的函数关系分别是（ ）
A. 正比例函数关系，一次函数关系
B. 正比例函数关系，二次函数关系
C. 一次函数关系，正比例函数关系
D. 一次函数关系，二次函数关系
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 已知关于x 的一元二次方程240x ax ++=有一个根为1，则a 的值为________．
10. 写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y 轴交于点（0，2），这个二次函数的解析式可以是______．
11. 反比例函数()0k y k x
=
>的图象经过点()2,a −，()1,b −，()3,c ，则a ，b ，c 的大小关系为__________．
12. 如图，抛物线2(0)y ax a =≠与直线(0)y bx c b =+≠的两个交点坐标分别为(1,1)A −，(2,4)B ，则使得关于x 的不等式2ax bx c <+成立的x 的取值范围是________.
13. 抛物线y ＝x 2+6x +m 与x 轴只有一个公共点，则m 的值为_____．
14. 已知二次函数()2
14y x =+−，当02x ≤≤时，函数值y 的取值范围为__________
15. 已知A （12
−，1y ），B （1，2y ），C （4，3y ）三点都在二次函数()22y x k =−−+的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系为_______．
16. 如图为二次函数2y ax bx c =++的图象，此图象与x 轴的交点坐标分别为()1,0−、()3,0．下列说法：①0abc >；②方程20ax bx c ++=的根为11x =−，23x =；③当1x >时，y 随着x 的增大而增大；④420a b c ++<．
正确序号是____________．
三、解答题（本题共68分，第17、18、19题每题各8分；第20、21、22、23、27题，每小题5分；第24题7分；第25、26题，每小题6分）
17. 解方程：
（1）2280x x +−=；
（2）2410x x −−=．
18. 将下列函数表达式利用配方转化为()2y a x h k =−+的形式，并写出图象的开口方向和顶点坐标． （1）224y x x =++；
（2）21432
y x x =−+． 19. 已知二次函数223y x x =−−+．
（1）将二次函数化成()2
y a x h k =−+的形式____________；
（2）写出该二次函数图象的对称轴是____________；顶点坐标是____________；
（3）写出该函数图象与x 轴的交点坐标是____________，与y 轴的交点坐标是____________；
（4）用五点法在平面直角坐标系中画出223y x x =−−+的图象；
（5）结合函数图象，直接写出0y >时x 的取值范围____________．
20. 画出反比例函数4y x
=−的大致图象，结合图象回答： （1）当2x =时，y 的值；
（2）当14x <≤时，y 的取值范围；
（3）当y −≤<14且0y ≠时，x 的取值范围．
21. 若二次函数24y ax x a =++的最大值是3，求a 的值．
22. 已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +k +3＝0有两个不相等的实数根
（1）求k 的取值范围；
（2）若k 为大于3的整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．
23. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：1y x =−与双曲线k y x
=
相交于点(2,)A m . （1）求点A 坐标及反比例函数的表达式；
（2）若直线l 与x 轴交于点B ，点P 在反比例函数的图象上，当OPB △的面积为1时，求点P 的坐标.
24. 已函数21y x x
=+，请结合学习函数的经验，探究它的相关性质： （1）自变量x 的取值范围是________；
（2）x 与y 的几组对应值如下表，请补全表格：
（3）下图中画出了函数的一部分图象，请根据上表数据，用描点法补全函数图象；
（4）请写出这个函数的一条性质：________________________；
（5）结合图象，直接写出方程2120x x x
−+=的所有实根：________.
25. 如图，已知BD 是矩形ABCD 的一条对角线，点E 在BA 的延长线上，且AE ＝AD ．连接EC ，与AD 相交于点F ，与BD 相交于点G ．
（1）依题意补全图形；
（2）若AF ＝AB ，解答下列问题：
①判断EC 与BD 的位置关系，并说明理由；
②连接AG ，用等式表示线段AG ，EG ，DG 之间的数量关系，并证明．
26. 已知抛物线2y x bx =−+．
（1）点()11,A y −，()22,B y −在抛物线上，总有12y y <，求b 的取值范围；
（2）点()11,P y −，()2,Q m y 在抛物线上，当12m <<时，总有12y y <，求b 的取值范围．
27. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线222y x mx m m =−+−+的顶点为A
（1）求抛物线的顶点坐标（用m 表示）；
（2）若点A 在第一象限，且OA =，求抛物线的解析式；
（3）已知点(1,2)B m m −−，(2,2)C ，若抛物线与线段BC 有公共点，结合函数图象，直接写出m 的取值范围
参考答案
一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意．共16分，每小题2分）
1. 【答案】A
【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的性质和顶点坐标可得结论．
【详解】解：∵二次函数()2
13y x =−−中，10a =>，顶点坐标为()1,3−， ∴该二次函数的图象开口向上，
∴当1x =时，二次函数有最小值3−．
故选：A ．
2. 【答案】B
【分析】根据中心对称图形的概念逐项分析即可中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180︒，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】A.不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
B.是中心对称图形，故该选项符合题意；
C.不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
D.不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．
3. 【答案】C
【分析】先利用顶点式得到两抛物线的顶点式，然后通过点平移的规律得到抛物线平移的情况．
【详解】解：抛物线y=2x 2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=2（x-4）2+1的顶点坐标为（4，1），而点（0，0）先向右平移4个单位，再向上平移1个单位可得到点（4，1），
所以抛物线y=2x 2先向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到抛物线y=2（x+4）2+1． 故选：C ．
【点睛】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
4. 【答案】D
【分析】此题主要考查了旋转的性质，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，正确得出对应边是解题关键．直接利用旋转的性质得出对应边，再根据三角板的内角的度数得出答案．
【详解】解：∵将一块含30°角的直角三角板ABC 绕点C 顺时针旋转到A B C ''△，
∴BC 与B C '是对应边，
∴旋转角18030150BCB '∠=︒−︒=︒．
故选：D ．
5. 【答案】C
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根与24b ac ∆=−有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当0∆<时，方程无实数根．
利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到得50a −≠且()()()2Δ44510a =−−−⨯−≥，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得50a −≠且()()()2Δ44510a =−−−⨯−≥，
解得a ≥1且5a ≠．
故选：C ．
6. 【答案】C
【分析】直接利用y ＝223ax ax a −−图象的性质得出其对称轴．
【详解】解：抛物线y ＝223ax ax a −−的对称轴是直线1x =
故选：C
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握简单二次函数的图象是解题关键．
7. 【答案】D
【分析】根据系数与图象的关系解答即可．
【详解】解：由2y x bx c =−++得10a =−<，
∴图象开口向下，故A 选项错误；
∵00b c ＞，＜，
∴抛物线的对称轴在y 轴右侧，且图象与y 轴交于负半轴，
故B 、C 选项错误，D 选项正确；
故选：D ．
【点睛】此题考查了抛物线2y ax bx c =++的图象与字母系数的关系，a 决定抛物线的开口方向及大小；a 、b 的符号决定抛物线的对称轴位置：左同右异；c 决定抛物线与y 轴交点位置，熟记各字母系数与图象的关系是解题的关键．
8. 【答案】D
【分析】本题考查一次函数和二次函数的几何应用，根据题意，结合图形，列出y 与t ，S 与t 满足的函数关系式，根据一次函数和二次函数的定义判断即可．
【详解】解：由题意，AM t =，2CN t =，则5CM AC AM t =−=−，
则5y t =−+，()21125522
S CN CM t t t t =⋅=⨯⨯−=−+， ∴y 与t 满足一次函数关系，S 与t 满足二次函数关系，
故选：D ．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 【答案】5−
【分析】将1x =代入方程240x ax ++=，解方程即可得到a 的值．
【详解】∵关于x 的一元二次方程240x ax ++=有一个根为1，
∴将1x =代入方程240x ax ++=，得
140a ++=，
解得：5a =−，
故答案为：5−
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，理解一元二次方程的解是使得方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
10. 【答案】22y x =−+（答案不唯一）
【分析】根据抛物线开口方向得出a 的符号，进而得出c 的值，即可得出二次函数表达式.
【详解】解：∵图象为开口向下，并且与y 轴交于点（0，2），
∴a ＜0，c=2，
∴二次函数表达式为：y=-x 2+2（答案不唯一）．
故答案为y=-x 2+2（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次函数的图像特征及性质，掌握二次函数的图像特征及性质是解题的关键. 11. 【答案】c a b >>
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数图象所在象限以及增减性判断即可． 【详解】解：由题意，反比例函数()0k y k x =
>的图象位于第一、三象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而减小， ∵反比例函数()0k y k x
=>的图象经过点()2,a −，()1,b −，()3,c ，2103−<−<<， ∴0c a b >>>，
故答案为：c a b >>．
12. 【答案】12x −<<
【分析】由2ax bx c <+可得：二次函数值小于一次函数值，可得二次函数的图像在一次函数图像的下方，结合函数的图像与交点坐标，从而可得答案．
【详解】解：由2ax bx c <+可得：
二次函数值小于一次函数值，
∴ 二次函数的图像在一次函数图像的下方， 又 交点坐标分别为(1,1)A −，(2,4)B ，
所以：结合图像可得：12x −<<，
故答案为：12x −<<．
【点睛】本题考查的是利用二次函数与一次函数的图像解一元二次不等式，掌握数形结合的思想是解题的关键．
13. 【答案】9
【分析】由题意可得240b ac ∆=−=，即可得到关于m 的方程，解出即可．
【详解】解：∵抛物线y ＝x 2+6x +m 与x 轴只有一个公共点，
∴224046m b ac −=−∆==，解得：9m =．
故答案为：9．
【点睛】此题考查了抛物线与x 轴的交点问题，解题的关键是熟练掌握二次函数与一元二次方程的关
系．抛物线与x 轴交点个数由△决定：Δ＝b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；Δ＝b 2﹣4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；Δ＝b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．
14. 【答案】35y −≤≤##53x ≥≥−
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据题意得当1x >−时，y 随x 的增大而增大，求得当0x =时，=3y −；2x =时，5y =，即可求解．
【详解】解：由题意得，10a =>，对称轴1x =−，
∴当1x >−时，y 随x 的增大而增大，
∵当0x =时，=3y −；2x =时，5y =，
∴当02x ≤≤时，函数值y 的取值范围为35y −≤≤，
故答案为：35y −≤≤．
15. 【答案】y 1＜y 3＜y 2##y 2＞y 3＞y 1
【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，然后比较三个点距离对称轴的距离，再利用二次函数的性质判断对应函数值的大小．
【详解】解：∵二次函数2(2)y x k =−−+的图像开口方向向下，对称轴是x =2，
∴A （12−
，1y ）距对称轴的距离是52，B （1，2y ）距对称轴的距离是1，C （4，3y ）距对称轴的距离是2， ∵5212
>>， ∴231y y y >>
故答案为：231y y y >>．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．解决此题的关键是能根据函数的图象理解二次函数，当a ＞0时，距离对称轴越远的点，函数值越大；当a ＜0时，距离对称轴越远的点，函数值越小．
16. 【答案】①②③④
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据图象的开口方向、对称轴及y 轴的交点可得a 、b 、c 的符号，进而可判断①；根据图象与x 轴的交点可判断②；根据图象的增减项可判断③；根据当2x =时，
0y <可判断④，进而可求解．
【详解】解：∵该二次函数的图象开口向上，与y 轴的负半轴相交，
∴0a >，0c <，
∵图象与x 轴的交点坐标分别为()1,0−、()3,0， ∴对称轴为直线1312x −+=
=，方程20ax bx c ++=的根为11x =−，23x =，故②正确； ∴12b a
−=，则20b a =−<， ∴0abc >，故①正确；
∵该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线1x =，
∴当1x >时，y 随x 的增大而增大，故③正确；
由图象，当2x =时，0y <，
∴420a b c ++<，故④正确，
综上，正确的序号为：①②③④．
故答案为：①②③④
三、解答题（本题共68分，第17、18、19题每题各8分；第20、21、22、23、27题，每小题5分；第24题7分；第25、26题，每小题6分）
17. 【答案】（1）14x =−，22x =
（2）12x =−22x =+
【分析】本题考查解一元二次方程，本题考查解一元二次方程，
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【小问1详解】
解：2280x x +−=，
因式分解得，()()420x x +−=，
∴40x +=或20x −=，
∴14x =−，22x =；
【小问2详解】
解：2410x x −−=，
∵()2
41641120b ac =−=−⨯⨯−=，
∴x =，
∴12x =，22x =+．
18. 【答案】（1）()2
13y x =++，开口向上，顶点坐标为()1,3−； （2）()21452
y x =−−，开口向上，顶点坐标为()4,5−． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，正确配方是解答的关键．
（1）利用配方法化为顶点式，进而可求解；
（2）利用配方法化为顶点式，进而可求解．
【小问1详解】
解：由于()222413y x x x =++=++，10a =>，
∴该函数的图象开口向上，顶点坐标为()1,3−；
【小问2详解】 解：由于()2211434522y x x x =−+=−−，102
a =>， ∴该函数的图象开口向上，顶点坐标为()4,5−．
19. 【答案】（1）()214y x =−++
（2）直线1x =−；()1,4−；
（3）()3,0−和()1,0；()0,3
（4）见解析 （5）31x −<<
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．
（1）利用配方法求解即可；
（2）根据二次函数的性质可求解；
（3）令0y =，解方程可得x 轴的交点坐标；令0x =，可求解y 轴坐标；
（4）根据列表、描点、连线可画出函数图象；
（5）根据图象，找出图象位于x 轴上方部分的点的横坐标的取值范围即可求解．
【小问1详解】
解：二次函数()2
22314y x x x =−−+=−++，
故答案为：()214y x =−++；
【小问2详解】
解：由()214y x =−++得，该二次函数图象的对称轴是直线1x =−；顶点坐标是()1,4−； 故答案为：直线1x =−；()1,4−；
【小问3详解】
解：当0y =时，由2023x x =−−+得13x =−，21x =，
∴该函数图象与x 轴的交点坐标是()3,0−和(1,0)；
当0x =时，3y =，
∴该函数图象与y 轴的交点坐标是(0,3)；
故答案为：()3,0−和(1,0)；(0,3)；
【小问4详解】
解：列表：
【小问5详解】
解：如图，当31x −<<时，二次函数的图象位于x 轴的上方，
故当0y >时x 的取值范围为31x −<<，
故答案为：31x −<<．
20. 【答案】（1）2y =−；
（2）41y −<≤−
（3）1x <−或4x ≥
【分析】作出反比例函数图象，如图所示，
（1）把2x =代入反比例解析式求出y 的值即可；
（2）分别求出1x =与4x =时y 的值，结合图象确定出y 的范围即可；
（3）分别求出1y =−与4y =时x 的值，结合图象确定出x 的范围即可．
【小问1详解】
解：作出反比例函数4y x
=−的图象，
把2x =代入得：422y
； 【小问2详解】
解：当1x =时，4y =−；当4x =时，1y =−， 根据图象得：当14x <≤时，y 的取值范围为41y −<≤−；
【小问3详解】
解：当1y =−时，4x =；当4y =时，1x =−，
根据题意得：当y −≤<14且0y ≠时，x 的取值范围为1x <−或4x ≥．
【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，画反比例函数的图象，熟练掌握反函数的图象是解本题的关键．
21. 【答案】1−
【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的性质，当0a <时有最大值求解即可．
【详解】解：∵二次函数2
4y ax x a =++的最大值是3， ∴0a <且22
4434a a
−=，即2340a a −−=， 解得1a =−（正值舍去）．
22. 【答案】（1）k ＜6；（2）k =5 ．
【分析】（1）利用根的判别式大于0，即可得出结论；
（2）利用上题的结果及题中要求的k 为大于3的整数，限定k 的取值，代入此方程中，解方程，求出满足方程的根都是整数的k 值．
【详解】（1）因为若方程有两个不相等的实数根，
则Δ=b 2-4ac =36-4（k +3）>0，
整理：24-4k >0，
解得：k ＜6，
所以k 的取值范围为k ＜6；
（2）因为k ＜6，且k 为大于3的整数，
所以k 可以为4或5，
当 k =4时，原方程为2670x x −+= ，无整数解，故舍去 ，
当k =5时，原方程为2680x x −+=，解为122,4x x ==，符合题意，
所以k =5．
所以k 的值为5．
考点：1．一元二次方程根的判别式；2．解一元二次方程．
23. 【答案】（1）点(2,1)A ，反比例函数2y x
=；（2）点()P 12，或（－1，－2） 【分析】（1）代入坐标点先求坐标，再求反比例函数表达式；
（2）作图，根据图像求出P 点纵坐标，再代入反比例函数即可求出坐标．
【详解】（1）∵A 在y=x-1上，
∴当x=2时，y=1，即m=1，
点(2,1)A ，
再把A 的坐标代入反比例函数解得：2y x
=
； （2）
由函数表达式可求得点(1,0)B ，
∵1OPB S =△， 即12
OB ||1p y =， ∴||1p y =，
点()P 12，或（－1，－2）；
【点睛】此题考查反比例函数与一次函数相关知识，结合图像是关键．
24. 【答案】（1）0x ≠；（2）2.25，2；（3）见解析；（4）答案不唯一；（5）10.6x =−，21x =，3 1.6x =.
【分析】（1）观察解析式可直接得出结果；
（2）分别带入相应自变量的值即可计算出；
（3）先描点，然后用平滑的曲线连接各点；
（4）可根写增减性，也可写相应取值范围内的最值；
（5）看作两个函数交点问题来解决即可．
【详解】（1）0x ≠；
（2）分别将0.5x =和1x =带入解析式，得 2.25m =，2n =；
（3）如图；
（4）答案不唯一，
如：当0x <时，y 随x 的增大而减小；
（5）对于方程2120x x x −+
=，可变形为212x x x +=，求该方程的实数根，即为求函数1y 与2y 交点的横坐标，其中211y x x
=+，22y x =，故在图中做出22y x =的图象，如图，直接可读出三个交点得横坐标为10.6x =−，21x =，3 1.6x =．
【点睛】本题考查的是新函数探究问题，但本质上考查的是对函数的研究方法和逻辑；掌握函数求自变量取值范围，以及根据函数解析式求确定自变量时的函数值是基础；画函数图象，并且注意根据自变量的取值范围来确定图象形式是关键；利用作好的图象解决问题是此类题型考查的基本核心，注重数形结合的思想，将复杂的方程或不等式简单化，是本题的目的．
25. 【答案】（1）见解析；（2）①EC ⊥BD
，理由见解析；②EG DG −=
，证明见解析．
【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）①EC ⊥BD ，证明△AEF ≌△ADB （SAS ），则∠AEF ＝∠ADB ，∠GEB ＋∠GBE ＝∠ADB ＋∠ABD ＝90°，即可求解；
②方法一：在线段EG 上取点P ，使得EP ＝DG ，连接AP ，证明△AEP ≌△ADG ，得到△P AG 为等腰直角三角形，故可求解；
方法二：过点A 作AG 的垂线，与DB 的延长线交于点Q ，连接AQ ，BQ ，证明△AEG ≌△ADQ ，得到△GAQ 为等腰直角三角形，故可求解．
【详解】解：（1）补全的图形，如图1所示：
（2）①解：EC ⊥BD ．
理由如下：由矩形性质知∠DAB ＝90°，
∴∠EAF ＝90°．
在△AEF 与△ADB 中，
,,,AE AD E ADB AF AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△AEF ≌△ADB （SAS ）．
∴∠E ＝∠ADB ．
∴∠GEB ＋∠GBE ＝∠ADB ＋∠ABD ＝90°．
∴EC ⊥BD ．
②线段AG ，EG ，DG
之间的数量关系：EG DG −=．
证法一：如图2，在线段EG 上取点P ，使得EP ＝DG ，连接AP ．
在△AEP 与△ADG 中，
AE AD E ADG EP DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AEP ≌△ADG （SAS ）．
∴AP ＝AG ，∠EAP ＝∠DAG ．
∴∠P AG ＝∠P AD +∠DAG ＝∠P AD +∠EAP ＝∠DAE ＝90°．
∴△P AG 为等腰直角三角形．
∴PG =．
∴EG DG EG EP PG −=−==
． 证法二：如图3，过点A 作AG 的垂线，与DB 的延长线交于点Q ，连接AQ ，BQ ．
在△AEG 与△ADQ 中，
E ADQ AE AD
EAG DAQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AEG ≌△ADQ （ASA ）．
∴EG ＝DQ ，AG ＝AQ ．
∴△GAQ 为等腰直角三角形．
∴GQ =．
∴EG DG DG GQ DG −====，即EG ﹣DG
AG ．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 26. 【答案】（1）3b <−
（2）1b >
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握根据抛物线的函数值大小和增减性求参数取值范围是解题的关键．
（1）根据二次函数的开口向下，离对称轴越远函数值越小列不等式求解即可；
（2）分类讨论：当
02b ≤，012b <<，12
b ≥时，根据二次函数性质求解即可． 【小问1详解】
解：由2
2224b b y x bx x ⎛⎫=−+=−−+ ⎪⎝⎭，10a =−<得抛物线的开口向下，对称轴为直线2b x =， ∵点()21,A y −，()22,B y −在抛物线上，总有12y y <，
∴点B 到对称轴的距离小于点A 到对称轴的距离， ∴2122
b b +<−−， 解得3b <−；
【小问2详解】
解：∵12m <<，
∴1m −<，又抛物线的开口向下，对称轴为直线2b x =
， 当02
b ≤即0b ≤时，点P 到对称轴的距离小于点Q 得到对称轴的距离， ∴12y y >，不符合题意； 当012b <
<即02<<b 时，点P 关于直线2b x =对称的点的坐标为()11,b y +， 当2
b x >时，y 随x 的增大而减小， ∴当1m b <+即21b <+时，总有12y y <，
∴1b >，即12b <<； 当12
b ≥即2b ≥时，点P 到对称轴的距离大于点Q 得到对称轴的距离， ∴12y y <成立，
综上，满足条件的b 的取值范围为1b >．
27. 【答案】（1）(,)m m ；（2）22y x x =−+或写为：2(1)1y x =−−+；
（3）2m ≤，或3m ≥. 【分析】（1）化抛物线为顶点式，即可写出顶点坐标；
（2）求出点AO ，列方程求解即可；
（3）考虑点C 在抛物线上时m 的值，再结合图形，分情况进行讨论．
【详解】（1）∵2222()y x mx m m x m m =−+−+=−−+，
∴抛物线的顶点A 坐标为(,)m m .
（2）点A 在第一象限，
∴OA =，
∵OA =∴1m =
抛物线的表达式为22y x x =−+，或写为：2(1)1y x =−−+
（3）把22C （，）
代入222y x mx m m =−+−+，得 22224m m m =−+−+，
解得2m =或3，
结合图象可得：
当2m ≤时，抛物线与线段BC 有公共点，
当23m ＜＜时，抛物线与线段BC 无公共点，
当3m ≥时，抛物线与线段BC 有公共点；
综上，当2m ≤或3m ≥时，抛物线与线段BC 有公共点．
【点睛】本题考查了二次函数的综合，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．。