昌黎县高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

昌黎县高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 不等式x （x ﹣1）＜2的解集是（ ）
A ．{x|﹣2＜x ＜1}
B ．{x|﹣1＜x ＜2}
C ．{x|x ＞1或x ＜﹣2}
D ．{x|x ＞2或x ＜﹣1} 2． 在复平面内，复数（﹣4+5i ）i （i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3． 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则异面直线EF 和BC 1所成的角是（ ）
A ．60°
B ．45°
C ．90°
D ．120°
4． 函数f （x ）=﹣x 的图象关于（ ） A ．y 轴对称 B ．直线y=﹣x 对称 C ．坐标原点对称 D ．直线y=x 对称
5． 复数i ﹣1（i 是虚数单位）的虚部是（ ）
A ．1
B ．﹣1
C ．i
D ．﹣i
6． 已知x ，y 满足，且目标函数z=2x+y 的最小值为1，则实数a 的值是（ ）
A ．1
B ．
C ．
D ．
7． 棱台的两底面面积为1S 、2S ，中截面（过各棱中点的面积）面积为0S ，那么（ ）
A ．=
B ．0S =
C ．0122S S S =+
D ．20122S S S =
8． 已知集合{}{421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且*
,,a N x A y B ∈∈∈使B 中元素31y x =+和A 中的元素
x 对应，则,a k 的值分别为（ ） A ．2,3 B ．3,4 C ．3,5 D ．2,5
9． 观察下列各式：a+b=1，a 2+b 2=3，a 3+b 3=4，a 4+b 4=7，a 5+b 5=11，…，则a 10+b 10=（ ） A ．28
B ．76
C ．123
D ．199
10．十进制数25对应的二进制数是（ ）
A ．11001
B ．10011
C ．10101
D ．10001
11．（2014新课标I ）如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 做直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数f （x ），则y=f （x ）在[0，π]的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．已知函数y=x 3+ax 2+（a+6）x ﹣1有极大值和极小值，则a 的取值范围是（ ）
A ．﹣1＜a ＜2
B ．﹣3＜a ＜6
C ．a ＜﹣3或a ＞6
D ．a ＜﹣1或a ＞2
二、填空题
13．在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为 ． ①函数y=2x 3+3x ﹣1的图象关于点（0，1）成中心对称； ②对∀x ，y ∈R ．若x+y ≠0，则x ≠1或y ≠﹣1；
③若实数x ，y 满足x 2+y 2=1，则
的最大值为
；
④若△ABC 为锐角三角形，则sinA ＜cosB ．
⑤在△ABC 中，BC=5，G ，O 分别为△ABC 的重心和外心，且•
=5，则△ABC 的形状是直角三角形．
14．设函数 则
______；若
，
，则
的大小
关系是______．
15．已知圆O ：x 2+y 2=1和双曲线C ：
﹣
=1（a ＞0，b ＞0）．若对双曲线C 上任意一点A （点A 在圆O
外），均存在与圆O 外切且顶点都在双曲线C 上的菱形ABCD ，则
﹣
= ．
16．复数z=（i 虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为 ．
17．函数f （x ）=的定义域是 ．
18．当时，4x
＜log a x ，则a 的取值范围 ．
三、解答题
19．已知椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>），点3(1,)2在椭圆C 上，且椭圆C 的离心率为12．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过椭圆C 的右焦点F 的直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，A 为椭圆C 的右顶点，直线PA ，QA 分别
交直线：4x =于M 、N 两点，求证：FM FN ⊥．
20．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：
零件的个数x （个） 2 3 4 5 加工的时间y （小时）
2.5
3
4
4.5
（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
（2）求出y 关于x 的线性回归方程=x+，并在坐标系中画出回归直线；
（3）试预测加工10个零件需要多少时间？
参考公式：回归直线=bx+a ，其中b==，a=﹣b ．
21．（1）求与椭圆有相同的焦点，且经过点（4，3）的椭圆的标准方程．
（2）求与双曲线有相同的渐近线，且焦距为
的双曲线的标准方程．
22．（本小题满分16分）
给出定义在()+∞,0上的两个函数2()ln f x x a x =-,()g x x =- （1）若()f x 在1=x 处取最值．求的值；
（2）若函数2()()()h x f x g x =+在区间(]0,1上单调递减，求实数的取值范围； （3）试确定函数()()()6m x f x g x =--的零点个数，并说明理由．
23．（本小题满分12分）
如图长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16， BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝4，D 1F ＝8，过点E ，F ，C 的平面α与长方体的面
相交，交线围成一个四边形．
（1）在图中画出这个四边形（不必说明画法和理由）； （2）求平面α将长方体分成的两部分体积之比．
24．设f （x ）=ax 2﹣（a+1）x+1 （1）解关于x 的不等式f （x ）＞0；
（2）若对任意的a ∈[﹣1，1]，不等式f （x ）＞0恒成立，求x 的取值范围．
昌黎县高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：∵x（x﹣1）＜2，
∴x2﹣x﹣2＜0，
即（x﹣2）（x+1）＜0，
∴﹣1＜x＜2，
即不等式的解集为{x|﹣1＜x＜2}．
故选：B
2．【答案】B
【解析】解：∵（﹣4+5i）i=﹣5﹣4i，
∴复数（﹣4+5i）i的共轭复数为：﹣5+4i，
∴在复平面内，复数（﹣4+5i）i的共轭复数对应的点的坐标为：（﹣5，4），位于第二象限．
故选：B．
3．【答案】A
【解析】解：如图所示，设AB=2，
则A（2，0，0），B（2，2，0），B1（2，2，2），C1（0，2，2），E（2，1，0），F（2，2，1）．
∴=（﹣2，0，2），=（0，1，1），
∴===，
∴=60°．
∴异面直线EF和BC1所成的角是60°．
故选：A．
【点评】本题考查了利用向量的夹角公式求异面直线所成的夹角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．【答案】C
【解析】解：∵f（﹣x）=﹣+x=﹣f（x）
∴是奇函数，所以f（x）的图象关于原点对称
故选C．
5．【答案】A
【解析】解：由复数虚部的定义知，i﹣1的虚部是1，
故选A．
【点评】该题考查复数的基本概念，属基础题．
6．【答案】B
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
由图可知A （a ，a ），
化目标函数z=2x+y 为y=﹣2x+z ，
由图可知，当直线y=﹣2x+z 过A （a ，a ）时直线在y 轴上的截距最小，z 最小，z 的最小值为2a+a=3a=1，解得：
a=． 故选：B ．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
7． 【答案】A 【解析】
试题分析：不妨设棱台为三棱台，设棱台的高为2h 上部三棱锥的高为，根据相似比的性质可得：
22
0()2()a S a h
S a S a h
S '⎧=⎪+⎪⎨'⎪=
+⎪⎩
，解得=A ． 考点：棱台的结构特征． 8． 【答案】D 【解析】
试题分析：分析题意可知：对应法则为31y x =+，则应有42331331a a a k ⎧=⨯+⎪⎨+=⋅+⎪⎩（1）或4
231
3331
a k a a ⎧=⋅+⎪⎨+=⨯+⎪⎩（2），
由于*
a N ∈，所以（1）式无解，解（2）式得：25
a k =⎧⎨=⎩。

故选D 。

考点：映射。

9． 【答案】C
【解析】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．
继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a 10+b 10
=123，．
故选C ．
10．【答案】A
【解析】解：25÷2=12...1 12÷2=6...0 6÷2=3...0 3÷2=1 (1)
1÷2=0 (1)
故25（10）=11001（2）故选A．
【点评】本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键．
11．【答案】C
【解析】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，
∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|
=|cosx||sinx|=|sin2x|，
其周期为T=，最大值为，最小值为0，
故选C．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．
12．【答案】C
【解析】解：由于f（x）=x3+ax2+（a+6）x﹣1，
有f′（x）=3x2+2ax+（a+6）．
若f（x）有极大值和极小值，
则△=4a2﹣12（a+6）＞0，
从而有a＞6或a＜﹣3，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件．属基础题．
二、填空题
13．【答案】：①②③
【解析】解：对于①函数y=2x3﹣3x+1=的图象关于点（0，1）成中心对称，假设点（x0，y0）在函数图象上，则其关于①点（0，1）的对称点为（﹣x0，2﹣y0）也满足函数的解析式，则①正确；
对于②对∀x，y∈R，若x+y≠0，对应的是直线y=﹣x以外的点，则x≠1，或y≠﹣1，②正确；
对于③若实数x，y满足x2+y2=1，则=，可以看作是圆x2+y2=1上的点与点（﹣2，0）连线
的斜率，其最大值为，③正确；
对于④若△ABC为锐角三角形，则A，B，π﹣A﹣B都是锐角，
即π﹣A﹣B＜，即A+B＞，B＞﹣A，
则cosB＜cos（﹣A），
即cosB＜sinA，故④不正确．
对于⑤在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，
取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图：则OD⊥BC，GD=AD，
∵=|，
由
则，
即
则
又BC=5
则有
由余弦定理可得cosC＜0，
即有C为钝角．
则三角形ABC为钝角三角形；⑤不正确．
故答案为：①②③
14．【答案】，
【解析】【知识点】函数图象分段函数，抽象函数与复合函数
【试题解析】
，因为，所以
又若，结合图像知：
所以：。

故答案为：，
15．【答案】1．
【解析】解：若对双曲线C上任意一点A（点A在圆O外），
均存在与圆O外切且顶点都在双曲线C上的菱形ABCD，
可通过特殊点，取A（﹣1，t），
则B（﹣1，﹣t），C（1，﹣t），D（1，t），
由直线和圆相切的条件可得，t=1．
将A（﹣1，1）代入双曲线方程，可得﹣=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查双曲线的方程和运用，同时考查直线和圆相切的条件，属于基础题．
16．【答案】．
【解析】解：复数z==﹣i（1+i）=1﹣i，
复数z=（i虚数单位）在复平面上对应的点（1，﹣1）到原点的距离为：．
故答案为：．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．17．【答案】{x|x＞2且x≠3}．
【解析】解：根据对数函数及分式有意义的条件可得
解可得，x＞2且x≠3
故答案为：{x|x＞2且x≠3}
18．【答案】．
【解析】解：当时，函数y=4x的图象如下图所示
若不等式4x＜log a x恒成立，则y=log a x的图象恒在y=4x的图象的上方（如图中虚线所示）
∵y=log a x的图象与y=4x的图象交于（，2）点时，a=
故虚线所示的y=log a x的图象对应的底数a应满足＜a＜1
故答案为：（，1）
三、解答题
19．【答案】（１） 22
143
x y +=；（２）证明见解析． 【解析】
试题分析： （１）由题中条件要得两个等式，再由椭圆中c b a ,,的等式关系可得b a ,的值，求得椭圆的方程；（２）可设直线P Q 的方程，联立椭圆方程，由根与系数的关系得122634m y y m -+=
+，12
29
34
y y m -=+，得直线PA l ，直线QA l ，求得点 M 、N 坐标，利用0=⋅FN FM 得FM FN ⊥．
试题解析： （1）由题意得222221
91,41,2,a b c a a b c ⎧+=⎪⎪
⎪=⎨⎪
⎪=+⎪⎩
解得2,
a b =⎧⎪⎨=⎪⎩
∴椭圆C 的方程为22
143
x y +=．
又111x my =+，221x my =+， ∴112(4,
)1y M my -，222(4,)1y N my -，则112(3,)1y FM my =-，2
22(3,)1
y FN my =-，
12122
121212
22499111()y y y y FM FN my my m y y m y y ⋅=+⋅=+---++222
22363499906913434
m m m m m -+=+=-=---+++ ∴FM FN ⊥
考点：椭圆的性质；向量垂直的充要条件． 20．【答案】
【解析】解：（1）作出散点图如下：
…（3分）
（2）=（2+3+4+5）=3.5，=（2.5+3+4+4.5）=3.5，…（5分）
=54，x i y i=52.5
∴b==0.7，a=3.5﹣0.7×3.5=1.05，
∴所求线性回归方程为：y=0.7x+1.05…（10分）
（3）当x=10代入回归直线方程，得y=0.7×10+1.05=8.05（小时）．
∴加工10个零件大约需要8.05个小时…（12分）
【点评】本题考查线性回归方程的求法和应用，考查学生的计算能力，属于中档题．21．【答案】
【解析】解：（1）由所求椭圆与椭圆有相同的焦点，
设椭圆方程，
由（4，3）在椭圆上得，
则椭圆方程为；
（2）由双曲线有相同的渐近线，
设所求双曲线的方程为﹣=1（λ≠0），
由题意可得c2=4|λ|+9|λ|=13，
解得λ=±1．
即有双曲线的方程为﹣=1或﹣=1．
22．【答案】（1） 2a = （2） a ≥2（3）两个零点． 【解析】
试题分析：（1） 开区间的最值在极值点取得，因此()f x 在1=x 处取极值，即(1)0f =′
，解得2a = ，需验证（2） ()h x 在区间(]0,1上单调递减，转化为()0h x ′
≤在区间(]0,1上恒成立，再利用变量分离转化为对应函数最值：2
41
x a x +≥的最大值，根据分式函数求最值方法求得()241x F x x =+最大值2（3）先利用导数研究函数
()x m 单调性：当()1,0∈x 时，递减，当()+∞∈,1x 时，递增；再考虑区间端点函数值的符号：()10m <，
4)0m e ->（ ， 4()0m e >，结合零点存在定理可得零点个数
试题解析：（1） ()2a
f x x x
=-′
由已知，(1)0f =′
即: 20a -=, 解得：2a = 经检验 2a = 满足题意 所以 2a = ………………………………………4分
因为(]0,1x ∈，所以[)1
1,x ∈+∞，所以2min
112x x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以()max 2F x =，所以a ≥2 ……………………………………10分
（3）函数()()()6m x f x g x =--有两个零点．因为(
)2
2ln 6m x x x x =--+ 所以(
)
)(
)1222
221x m x x x x
=--+==′ ………12分
当()1,0∈x 时，()'x m ，当()+∞∈,1x 时，()0>'x m
所以()()min 140m x m ==-<， ……………………………………14分
32
4
1-e)(1+e+2e )(=0e m e -<（） ，8424
812(21))0e e e m e e -++-=>（ 44
42()1)2(7)0m e e e e =-+->（ 故由零点存在定理可知：
函数()x m 在4(,1)e - 存在一个零点，函数()x m 在4(1,)e 存在一个零点，
所以函数()()()6m x f x g x =--有两个零点． ……………………………………16分 考点：函数极值与最值，利用导数研究函数零点，利用导数研究函数单调性 【思路点睛】
对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 23．【答案】 【解析】解：
（1）交线围成的四边形EFCG （如图所示）． （2）∵平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ， 平面A 1B 1C 1D 1∩α＝EF ， 平面ABCD ∩α＝GC ， ∴EF ∥GC ，同理EG ∥FC . ∴四边形EFCG 为平行四边形， 过E 作EM ⊥D 1F ，垂足为M ， ∴EM ＝BC ＝10，
∵A 1E ＝4，D 1F ＝8，∴MF ＝4. ∴GC ＝EF ＝EM 2＋MF 2＝
102＋42＝116，
∴GB ＝
GC 2－BC 2＝
116－100＝4（事实上Rt △EFM ≌Rt △CGB ）．
过C 1作C 1H ∥FE 交EB 1于H ，连接GH ，则四边形EHC 1F 为平行四边形，由题意知，B 1H ＝EB 1－EH ＝12－8＝4＝GB .
∴平面α将长方体分成的右边部分由三棱柱EHG -FC 1C 与三棱柱HB 1C 1­GBC 两部分组成． 其体积为V 2＝V 三棱柱EHG -FC 1C ＋V 三棱柱HB 1C 1­GBC ＝S △FC 1C ·B 1C 1＋S △GBC ·BB 1 ＝12×8×8×10＋1
2
×4×10×8＝480，
∴平面α将长方体分成的左边部分的体积V 1＝V 长方体－V 2＝16×10×8－480＝800. ∴V 1V 2＝800480＝53
， ∴其体积比为53（3
5也可以）．
24．【答案】
【解析】解：（1）f （x ）＞0，即为ax 2
﹣（a+1）x+1＞0，
即有（ax ﹣1）（x ﹣1）＞0，
当a=0时，即有1﹣x ＞0，解得x ＜1；
当a ＜0时，即有（x ﹣1）（x ﹣）＜0，
由1＞可得＜x ＜1；
当a=1时，（x ﹣1）2
＞0，即有x ∈R ，x ≠1；
当a ＞1时，1＞，可得x ＞1或x ＜；
当0＜a ＜1时，1＜，可得x ＜1或x ＞． 综上可得，a=0时，解集为{x|x ＜1}；
a ＜0时，解集为{x|＜x ＜1}； a=1时，解集为{x|x ∈R ，x ≠1}；
a ＞1时，解集为{x|x ＞1或x ＜}；
0＜a ＜1时，解集为{x|x ＜1或x ＞}．
（2）对任意的a ∈[﹣1，1]，不等式f （x ）＞0恒成立， 即为ax 2﹣（a+1）x+1＞0，
即a （x 2
﹣1）﹣x+1＞0，对任意的a ∈[﹣1，1]恒成立．
设g （a ）=a （x 2
﹣1）﹣x+1，a ∈[﹣1，1]．
则g （﹣1）＞0，且g （1）＞0，
即﹣（x 2﹣1）﹣x+1＞0，且（x 2
﹣1）﹣x+1＞0，
即（x ﹣1）（x+2）＜0，且x （x ﹣1）＞0， 解得﹣2＜x ＜1，且x ＞1或x ＜0． 可得﹣2＜x ＜0．
故x 的取值范围是（﹣2，0）．。