隆回县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

隆回县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．命题“设a、b、c∈R，若ac2＞bc2则a＞b”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知x，y∈R，且，则存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立的P（x，y）构成的区域面
积为（）
A．4﹣B．4﹣ C．D．+
3．设集合A={x|2x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B等于（）
A．（1，2） B．[1，2] C．[1，2）D．（1，2]
4．给出定义：若（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m 在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x﹣{x}|的四个命题：
①；②f（3.4）=﹣0.4；
③；④y=f（x）的定义域为R，值域是；
则其中真命题的序号是（）
A．①②B．①③C．②④D．③④
5．459和357的最大公约数（）
A．3 B．9 C．17 D．51
6．设a，b∈R且a+b=3，b＞0，则当+取得最小值时，实数a的值是（）
A．B． C．或D．3
7．等比数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（）
A．B2=AC B．A+C=2B C．B（B﹣A）=A（C﹣A）D．B（B﹣A）=C（C﹣A）
8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）
A ．（，+∞）
B ．（1，）
C ．（2．+∞）
D ．（1，2）
9． 已知f （x ）=
，g （x ）=（k ∈N *
），对任意的c ＞1，存在实数a ，b 满足0＜a ＜b ＜c ，使得f （c ）
=f （a ）=g （b ），则k 的最大值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
10．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是AA 1，AD 的中点，则CD 1与EF 所成角为（ ）
A ．0°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
11．已知命题:()(0x p f x a a =>且1)a ≠是单调增函数；命题5:(,)44
q x ππ
∀∈，sin cos x x >.
则下列命题为真命题的是（ ）
A ．p q ∧
B ．p q ∨⌝ C. p q ⌝∧⌝ D ．p q ⌝∧
12．若将函数y=tan （ωx+
）（ω＞0）的图象向右平移
个单位长度后，与函数y=tan （ωx+
）的图象
重合，则ω的最小值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．袋中装有6个不同的红球和4个不同的白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为 ．
14．多面体的三视图如图所示，则该多面体体积为（单位cm ） ．
15．下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是____．
16．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色的涂料，且三个房间的颜色各不相同．三个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如下表：
那么在所有不同的粉刷方案中，最低的涂料总费用是 _______元．
17．一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ．
18．直线20x y t +-=与抛物线216y x =交于A ，B 两点，且与x 轴负半轴相交，若O 为坐标原点，则
OAB ∆面积的最大值为 .
【命题意图】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查分析问题以及解决问题的能力.
三、解答题
19．有编号为A 1，A 2，…A 10的10个零件，测量其直径（单位：cm ），得到下面数据：
编号 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A 9 A 10 直径
1.51
1.49
1.49
1.51
1.49
1.51
1.47
1.46
1.53 1.47
其中直径在区间[1.48，1.52]内的零件为一等品． （Ⅰ）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；
（Ⅱ）从一等品零件中，随机抽取2个． （ⅰ）用零件的编号列出所有可能的抽取结果；
（ⅱ）求这2个零件直径相等的概率．
20．已知f （）=﹣x ﹣1．
（1）求f （x ）；
（2）求f （x ）在区间[2，6]上的最大值和最小值．
21．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC 的中点，AE⊥
A1B1，D为棱A1B1上的点．
（1）证明：DF⊥AE；
（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由．
2220142015CBA5场比赛中的投篮次数及投中次数如下表所示：
（1）分别求该运动员在这5场比赛中2分球的平均命中率和3分球的平均命中率；
（2）视这5场比赛中2分球和3分球的平均命中率为相应的概率．假设运动员在第6场比赛前一分钟分别获得1次2分球和1次3分球的投篮机会，该运动员在最后一分钟内得分ξ分布列和数学期望．
23．已知三次函数f（x）的导函数f′（x）=3x2﹣3ax，f（0）=b，a、b为实数．
（1）若曲线y=f（x）在点（a+1，f（a+1））处切线的斜率为12，求a的值；
（2）若f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值、最大值分别为﹣2、1，且1＜a＜2，求函数f（x）的解析式．
24．已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）﹣1
（Ⅰ）求f（x）在区间[0，]上的最大值；
（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（B）=1，a+c=2，求b的取值范围．
隆回县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：命题“设a、b、c∈R，若ac2＞bc2，则c2＞0，则a＞b”为真命题；
故其逆否命题也为真命题；
其逆命题为“设a、b、c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”在c=0时不成立，故为假命题
故其否命题也为假命题
故原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2个
故选C
【点评】本题考查的知识点是四种命题的真假判断，不等式的基本性质，其中熟练掌握互为逆否的两个命题真假性相同，是解答的关键．
2．【答案】A
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形OAB，
若存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立，
则（cosθ+sinθ）=﹣1，
令sinα=，则cosθ=，
则方程等价为sin（α+θ）=﹣1，
即sin（α+θ）=﹣，
∵存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立，
∴|﹣|≤1，即x2+y2≥1，
则对应的区域为单位圆的外部，
由，解得，即B（2，2），
A（4，0），则三角形OAB的面积S=×=4，
直线y=x的倾斜角为，
则∠AOB=，即扇形的面积为，
则P（x，y）构成的区域面积为S=4﹣，
故选：A
【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件作出对应的图象，求出对应的面积是解决本题的关键．综合性较强．
3．【答案】D
【解析】解：A={x|2x≤4}={x|x≤2}，
由x﹣1＞0得x＞1
∴B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}
∴A∩B={x|1＜x≤2}
故选D．
4．【答案】B
【解析】解：①∵﹣1﹣＜﹣≤﹣1+
∴{﹣}=﹣1
∴f（﹣）=|﹣﹣{﹣}|=|﹣+1|=
∴①正确；
②∵3﹣＜3.4≤3+
∴{3.4}=3
∴f（3.4）=|3.4﹣{3.4}|=|3.4﹣3|=0.4
∴②错误；
③∵0﹣＜﹣≤0+
∴{﹣}=0
∴f（﹣）=|﹣﹣0|=，
∵0﹣＜≤0+
∴{}=0
∴f（）=|﹣0|=，
∴f（﹣）=f（）
∴③正确；
④y=f（x）的定义域为R，值域是[0，]
∴④错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查对于新定义的理解与运用，是对学生能力的考查．
5．【答案】D
【解析】解：∵459÷357=1…102，
357÷102=3…51，
102÷51=2，
∴459和357的最大公约数是51，
故选：D．
【点评】本题考查辗转相除法，这是一个算法案例，还有一个求最大公约数的方法是更相减损法，这种题目出现的比较少，但是要掌握题目的解法．本题也可以验证得到结果．
6．【答案】C
【解析】解：∵a+b=3，b＞0，
∴b=3﹣a＞0，∴a＜3，且a≠0．
①当0＜a＜3时，+==+=f（a），
f′（a）=+=，
当时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递减．
∴当a=时，+取得最小值．
②当a＜0时，+=﹣（）=﹣（+）=f（a），
f′（a）=﹣=﹣，
当时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递减．
∴当a=﹣时，+取得最小值．
综上可得：当a=或时，+取得最小值．
故选：C．
【点评】本题考查了导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
7．【答案】C
【解析】解：若公比q=1，则B，C成立；
故排除A，D；
若公比q≠1，
则A=S n=，B=S2n=，C=S3n=，
B（B﹣A）=（﹣）=（1﹣q n）（1﹣q n）（1+q n）
A（C﹣A）=（﹣）=（1﹣q n）（1﹣q n）（1+q n）；
故B（B﹣A）=A（C﹣A）；
故选：C．
【点评】本题考查了等比数列的性质的判断与应用，同时考查了分类讨论及学生的化简运算能力．
8．【答案】C
【解析】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆x2+（y﹣2）2=1相交
∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1
∴3a2＜b2，
∴c2=a2+b2＞4a2，
∴e=＞2
故选：C．
【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式等．考查了学生数形结合的思想的运用．
9．【答案】B
【解析】解：∵f（x）=，g（x）=（k∈N*），
对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），
∴可得：＞，对于x＞1恒成立．
设h（x）=x•，h′（x）=，且y=x﹣2﹣lnx，y′=1﹣＞0在x＞1成立，
∴即3﹣2﹣ln3＜0，4﹣2﹣ln4＞0，
故存在x0∈（3，4）使得f（x）≥f（x0）＞3，
∴k的最大值为3．
故选：B
【点评】本题考查了学生的构造函数，求导数，解决函数零点问题，综合性较强，属于难题．
10．【答案】C
【解析】解：连结A1D、BD、A1B，
∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，∴EF∥A1D，
∵A1B∥D1C，∴∠DA1B是CD1与EF所成角，
∵A1D=A1B=BD，
∴∠DA1B=60°．
∴CD1与EF所成角为60°．
故选：C．
【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
11．【答案】D
【解析】
考点：1、指数函数与三角函数的性质；2、真值表的应用.
12．【答案】D
【解析】解：y=tan（ωx+），向右平移个单位可得：y=tan[ω（x﹣）+]=tan（ωx+）
∴﹣ω+kπ=
∴ω=k+（k∈Z），
又∵ω＞0
∴ωmin=．
故选D．
二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：方法一：由题意，第1次摸出红球，由于不放回，所以袋中还有5个不同的红球和4个不同的白球
故在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为=，
方法二：先求出“第一次摸到红球”的概率为：P1=，
设“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率是P2
再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率为P==，
根据条件概率公式，得：P2==，
故答案为：
【点评】本题考查了概率的计算方法，主要是考查了条件概率与独立事件的理解，属于中档题．看准确事件之间的联系，正确运用公式，是解决本题的关键．
14．【答案】cm3．
【解析】解：如图所示，
由三视图可知：
该几何体为三棱锥P﹣ABC．
该几何体可以看成是两个底面均为△PCD，高分别为AD和BD的棱锥形成的组合体，
由几何体的俯视图可得：△PCD的面积S=×4×4=8cm2，
由几何体的正视图可得：AD+BD=AB=4cm，
故几何体的体积V=×8×4=cm3，
故答案为：cm3
【点评】本题考查由三视图求几何体的体积和表面积，根据已知的三视图分析出几何体的形状是关键．15．【答案】27
【解析】由程序框图可知：
43
符合，跳出循环．
16．【答案】1464
【解析】【知识点】函数模型及其应用
【试题解析】显然，面积大的房间用费用低的涂料，所以房间A用涂料1，房间B用涂料3，
房间C用涂料2，即最低的涂料总费用是元。

故答案为：1464
17．【答案】
．
【解析】解：由题意可得，2a，2b，2c成等差数列
∴2b=a+c
∴4b2=a2+2ac+c2①
∵b2=a2﹣c2②
①②联立可得，5c2+2ac﹣3a2=0
∵
∴5e2+2e﹣3=0
∵0＜e＜1
∴
故答案为：
【点评】本题主要考查了椭圆的性质的应用，解题中要椭圆离心率的取值范围的应用，属于中档试题
18．
【解析】
三、解答题
19．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：由所给数据可知，一等品零件共有6个．
设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A，则P（A）==；
（Ⅱ）（i）一等品零件的编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6．
从这6个一等品零件中随机抽取2个，
所有可能的结果有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，
{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，
{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}共有15种．
（ii）“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”记为事件B
B的所有可能结果有：{A1，A4}，{A1，A6}，{A4，A6}，
{A2，A3}，{A2，A5}，{A3，A5}，共有6种．
∴P（B）=．
【点评】本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力．
20．【答案】
【解析】解：（1）令t=，则x=，
∴f（t）=，
∴f（x）=（x≠1）…
（2）任取x1，x2∈[2，6]，且x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）=﹣=，
∵2≤x1＜x2≤6，∴（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，2（x2﹣x1）＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，
∴f（x）在[2，6]上单调递减，…
∴当x=2时，f（x）max=2，当x=6时，f（x）min=…
21．【答案】
【解析】（1）证明：∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，∴AE⊥AB，
又∵AA1⊥AB，AA1⊥∩AE=A，∴AB⊥面A1ACC1，
又∵AC⊂面A1ACC1，∴AB⊥AC，
以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，
则有A（0，0，0），E（0，1，），F（，，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），设D（x，y，z），且λ∈，即（x，y，z﹣1）=λ（1，0，0），
则D（λ，0，1），所以=（，，﹣1），
∵=（0，1，），∴•==0，所以DF⊥AE；
（2）结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为．
理由如下：
设面DEF的法向量为=（x，y，z），则，
∵=（，，），=（，﹣1），
∴，即，
令z=2（1﹣λ），则=（3，1+2λ，2（1﹣λ））．
由题可知面ABC的法向量=（0，0，1），
∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，
∴|cos＜，＞|==，即=，
解得或（舍），所以当D为A1B1中点时满足要求．
【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系、空间向量及其应用，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题．
22．【答案】
【解析】解：（1）该运动员在这5场比赛中2分球的平均命中率为：
=，
3分球的命中率为：=．
（2）依题意，该运动员投一次2分球命中的概率和投一次3分球命中的概率分别为，，
ξ的可能取值为0，2，3，5，
P（ξ=0）=（1﹣）（1﹣）=，
P（ξ=2）==，
P（ξ=3）=（1﹣）×=，
P（ξ=5）==，
∴该运动员在最后1分钟内得分ξ的分布列为：
∴该运动员最后1分钟内得分的数学期望为Eξ==2．
【点评】本题考查相互独立事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查数据处理能力，考查化归与转化思想．
23．【答案】
【解析】解：（1）由导数的几何意义f′（a+1）=12
∴3（a+1）2﹣3a（a+1）=12
∴3a=9∴a=3
（2）∵f′（x）=3x2﹣3ax，f（0）=b
∴
由f′（x）=3x（x﹣a）=0得x1=0，x2=a
∵x∈[﹣1，1]，1＜a＜2
∴当x∈[﹣1，0）时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x∈（0，1]时，f′（x）＜0，f（x）递减．
∴f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值为f（0）
∵f（0）=b，
∴b=1
∵，
∴f（﹣1）＜f（1）
∴f（﹣1）是函数f（x）的最小值，
∴
∴
∴f（x）=x3﹣2x2+1
【点评】曲线在切点处的导数值为曲线的切线斜率；求函数的最值，一定要注意导数为0的根与定义域的关系．
24．【答案】
【解析】（本题满分为12分）
解：（Ⅰ）f（x）=2cosx（sinx+cosx）﹣1=2sinxcosx+2cos2x﹣1
=sin2x+2×﹣1
=sin2x+cos2x
=sin（2x+），
∵x∈[0，]，
∴2x+∈[，]，
∴当2x+=，即x=时，f（x）min=…6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（B）=sin（+）=1，
∴sin（+）=，
∴+=，
∴B=，
由正弦定理可得：b==∈[1，2）…12分
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．。