2025年中考数学复习专题复习：几何问题解法专题讲解--第 13章 黄金三角形系列

第13章黄金三角形系列
※【黄金三角形】顶角为36°的等腰三角形.
·：·【白金三角形】底角为36°的等腰三角形.
黄金△ABC,白金△ABD,白金△ACD
AD=AB=BC=t,DC=k
△DAC△DBAIAAIDA²=DC⋅DB
t²=k(k+t),k²+tk−t²=0
t
k=√5−1
2
1.【☆☆☆】△ABC,D在BC上,CD=AB,∠ABC=24°,∠ACB=30°,求∠BAD.
【简释】
【法1】【30°对称法】E、B 关于AC 对称,正△BCE,【白金△BAE】
【黄金△EAF】⇒【白金△BFA】DC=AB=AE=EF,BD=BF
△BAF△BEAKAADBA²=BF⋅BE=BD⋅BC
△BAD∽△BCA【AA】θ=30°
【法2】【30°外心法】AB、AC 中垂线交于E,EB=EA=EC α+β=126°,,四边形A BEC,∠BEC=108°,γ=36°正△ABE,【黄金△CDE2δ=24°,.【白金△BDE)△
ABD≅△AED[SAS】θ=30°
2.【☆☆☆】△ABC,D 在BC上,( CD=AB,∠ABC=24°,∠BAD=30°,求∠C.
【简释】
【30°对称法】正△ABC
CD=AB=BE=t
【白金BDE×2BD=√5−1
t
2
t,BD⋅BC=t2=BA2
BC=√5+1
2
△BAD△BCAISAS)θ=30°
3.【8 下】【☆☆☆) =△ABC,D 在BC 上,E BD=AC,∠ABC=30°,∠ACB=40°,求∠ADC.
【简释】
【法1】E、A 对称,正△ABE,作AF=AC=BD,∠AFC=∠ACF=80°∠FAC=20°,两个30°,蓝△≌【S AS】∠ADC=∠AFC=80°
【法2】□ADBE,三个20°,F、C关于AB 对称,正△BCF,5个20°
黄△≌【AAS】CE=CF=BC,∠ADC=∠EBC=80°
【法3】□ACED⇒20°,灰黄△≌【SSS】∠EDF=∠CAB=110°=∠BDF
蓝灰△≌【SAS】正△BFE,BC=EF=BE,∠BCE=80°=∠ADC
4.【8下】【☆☆☆】△ABC,D 在BC上,BD=AC,∠ABC=30°,∠ADC=80°,求∠ACB.
【简释】
E、D 关于AB 对称
正△BDE
蓝△≅(AAS)EF=AG
灰△≌【HL】
∠ACB=∠ADE=40°
5.【8下】【☆☆☆】△ABC,D 在BC 上,BD =AC,∠ADC =80°,∠ACB=40°,求∠ABC.
【简释】
作AE=AD
蓝△≅(SSS)
正△BDF
灰黄△≌【SSS】
∠ABC=30°
6.【☆☆☆☆】四边形ABCD,AB=2,∠BCD=90°,∠CBD=24°,∠ABD=54°, ∠ADB=30°,则CD=(
【简释】
【30°对称法】正△ADE
∠AEB=36°,∠EBG=30°=∠EDB
【黄金△BEF】
EF=EB=AB=2,△ABF∽△AEB【AA】
AB²=AE·AF,4=AE(AE--2),AE √5₅+
【美人鱼】△EBG∽△EDB【AA】
EB2=EG⋅ED,4=(√5+1−GD)(√5+1)
GD=2=AB,黄△≌【边锐角】
CD=AH=1
2AE=√5+1
2
7.【8上】【☆☆☆☆】△ABC内一点P,AB=AC,∠BAC=36°,∠PBA=30°,∠PCA =18°,求证：. AP=BC.
【简释】
【法1】等腰梯形ACBE,CE=AB=AC,△PCE≌△PCA【SAS】AP=PE EA=EB,中垂线EHF,【角分线双高法】PG=PT,灰黄△≌【HL】∠APE=∠GPT=60°,,正△APE,AP=AE=BC
【法2】ABCD 共圆,中垂线AE,延长线CPF,α=36°,蓝共圆, β=84°正△AFD,DP=DF=DA=FA=FC= FB,灰△≅(SAS)AP=BC。