黑龙江省绥化市第九中学2022届高三数学寒假训练题（五） 理

黑龙江省绥化市第九中学高三理科数学寒假训练题（五）
参考公式： 如果
事
件
A
、
B
互
斥
，
那
么
1()3V S S S S h
=++下下上上h 21i
i
+1i +1i -1i -+1i --21
{|,,1},{|230},1
M y y x x R x N x x x x ==+∈≠=--≤-集合M N φ
⋂=R M C N ⊆R M C M ⊆M N R ⋃=||1,||2,()a b a a b ==⊥-且
9.1
y bx a a =+中为13112113813138
221
x y +=12133332
4821201212(3)(2)(2)(2),
x x a a x a x a x +=+++++
++21311log ()
a a a ++
+2
8
n a n S n S ()
y f x =3.2
n
a 22
221x y a b
-=∞()f x (1)(3)f x f x -=-(1)(3)f x f x -=-()f x ()0f x '>()f x [2,21]()k k k Z +∈[21,2]()k k k Z -∈[2,22]()k k k Z +∈[22,2]()
k k k Z -∈sin ,[0,]
x x π∈3
π
3
22()sin cos ()k k k f x x x x R =+∈()k f x ()
k f x 2,
4
π
(cos sin )ρθθ-2()23sin cos 2cos 2.f x x x x =-+()f x ()2
f x m -<2
π
的取值范围． 17．（本小题满分12分）
某校从高二年级4个班中选出18名学生参加全国数学联赛，学生
）班 高二（2）
班
高二（3）
班
高二（4）
班
人数
4
6
3
5
（I ）从这18名学生中随机选出两名，求两人来自同一个班的概率；
（Ⅱ）若要求从18位同学中选出两位同学介绍学习经验，设其中来自高二（1）班的人数
为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．
18．（本小题满分12分）
如图，已知四棱台ABCD –A 1B 1C 1D 1的侧棱AA 1垂直于底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，四边形A 1B 1C 1D 1是边长为1的正方形，DD 1=2。

（ I ）求证：平面A 1ACC 1⊥平面B 1BDD 1； （Ⅱ）求四棱台ABCD - A 1B 1C 1D 1的体积； （Ⅲ）求二面角B —C 1C —D 的余弦值．
19．（本小题满分12分）
已知数列1*11{}:2,332().n n n n n a a a a n N ++==+-∈满足
（I ）设2,3n
n n n
a b -=
证明：数列{}n b 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （II ）求数列{}n n a n S 的前项和； （III ）设**1
(),,n n n k n
a C n N k N C C a +=
∈∈≤是否存在使得对一切正整数n 均成立，并说明理由。

20．（本小题满分13分）
已知椭圆22
221(0,0)x y a b a b
+=>>的离心率为12，两焦点之间的距离为4。

（I ）求椭圆的标准方程；
（II ）过椭圆的右顶点作直线交抛物线24y x =于A 、B 两点，
（1）求证：OA ⊥OB ；
（2）设OA 、OB 分别与椭圆相交于点D 、E ，过原点O 作直线DE 的垂线OM ，垂足为M ，
证明|OM|为定值。

21．（本小题满分14分） 已知函数2()2ln(2).f x x x =+
（I ）若函数()()g x f x ax =+在其定义域内为增函数，求实数a 的取值范围； （II ）设2
()2()3(),()h x f x x kx k h x =--∈R 若存在两个零点m ，n 且02x m n =+，证明：
函数00()(,())h x x h x 在处的切线不可能平行于轴。

高三理科数学寒假训练题（五）答案
一、选择题：
1．B 2．D 3．B 4．B 5．D 6．C 7．C 8．B 9．A 10．A 二、填空题：
11．12 12．2 13．}2{]3,0(⋃ 14．()1
112k k f x -≤≤ 15．（1）2
2
；（2）3 三、解答题： 16．（本小题满分12分）
解：1)6
2sin(212cos 2sin 3)(+-=+-=π
x x x x f ．
（Ⅰ）由ππ
π
ππ
k x k 22
6
222
+≤
-
≤+-
，解得Z k k x k ∈+≤
≤+-
,3
6
ππ
ππ
．
所以，)(x f 的递增区间为]3
,
6
[ππ
ππ
k k ++-Z ∈k ,． ………………………
（5分）
（Ⅱ）由()2f x m -<，得()x f m >+2对一切]2
,
0[π
∈x 均成立．
]65,6[62 ],2,0[π
πππ-∈-∴∈x x ．
.3)(0 ,1)6
2sin(21≤≤∴≤-≤-∴x f x π
∴32>+m ，1>∴m ．
所以实数m 的取值范围范围为()+∞,1． ………………………………（12分） 17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）“从这18名同学中随机选出两名，两人来自于同一个班”记作事件A ，
则2
22246352
18
2
()9C C C C P A C +++==． ………………………………（5分） （Ⅱ）的所有可能取值为0，1，2．
∵21421891(0)153C P C ξ===，1141421856(1)153C C P C ξ===，2
42186
(2)153
C P C ξ===，
∴的分布列为：
915664
()0121531531539
E ξ=⨯
+⨯+⨯=
1AA BD AA ⊥1 ABCD BD AC ⊥∴ 1AA AC
11ACC A BD 11ACC A ⊂BD 11B BDD 11A ACC ⊥11B BDD 1D AD H D ⊥1
A A H D 11//1AA ⊥
∴H D 1ABCD
DH D Rt 1∆31=H D A A 1=
()
()3
37342131 31=⨯++⨯=+'+'=
h S S S S V AC BD
1OC 1
1BCC B C C BM 1⊥，连接MD ．
由（Ⅰ）知BD ⊥平面11ACC A ，C C BD 1⊥∴． 所以⊥C C 1平面BMD ， MD C C ⊥∴1． 所以，BMD ∠是二面角D C C B --1的平面角． 在OC C Rt 1∆中，求得51=C C ，从而求得5
30
11=
⋅=
C C OC OC OM ． 在BMO Rt ∆中，求得554=
BM ，同理可求得5
5
4=DM ． 在BMD ∆中，由余弦定理，求得4
1
2cos 222-=⋅-+=
∠DM BM BD DM BM BMD ．…………（12分）
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）n n n n n n n n a a b b 32321111---=
-++++ 132********=----+=+++n
n
n n n n n n a a ， }{n b ∴为等差数列．又0=1b ，1-=∴n b n ．
()n n n n a 231+⋅-=∴． …………………（4分）
（Ⅱ）设n n n T 3)1(313021⋅-++⋅+⋅= ，则 31323)1(3130+⋅-++⋅+⋅=n n n T ．
111
23)1(3
1)
31(93
)1(332+-+⋅----=⋅--++=-∴n n n n n n n T ．
49
3)32(23)1(439111+⋅-=⋅-+-=∴+++n n n n n n T ．
(
)()4
1
23322
22312++-=++++=∴++n n n
n n n T S ．…………………（8分）
（Ⅲ）由已知得()n
n n n n n n C 2
31231
1+-+⋅=++，从而求得 ,62259,1362,213321===C C C 猜测
C 1最大，下证：
1
111211]
23)1[(132)23(a a n n a a a a C C n n n n n n n n ⋅+⋅--⋅+⋅=
-=-+++ 02.93)713(1
≤⋅-⋅-=a a n n n
n ，
∴存在1=k ，使得k n C C ≤对一切正整数n 均成立． …………………（12分） 20．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由⎪⎩⎪⎨⎧==,2
1,
42a c c 得42a c =⎧⎨=⎩，故122
=b ．
所以，所求椭圆的标准方程为
22
11612
x y +=． ……………………（4分） （Ⅱ）（1）设过椭圆的右顶点()0,4的直线AB 的方程为4+=my x ． 代入抛物线方程24y x =，得24160y my --=． 设()11,y x A 、()22,y x B ，则⎩⎨
⎧-==+.
16,
42121y y m y y
∴()()1212121244x x y y my my y y +=+++＝()
()2
12121416m y y m y y ++++＝0．
∴OB OA ⊥． ……………………（8分）
（2）设()33,y x D 、()44,y x E ，直线DE 的方程为λ+=ty x ，代入
22
11612
x y +=，得 ()
0483643222
=-+++λλy t y t
．
于是4348
3,4362243243+-=+-=+t y y t t y y λλ．
从而()()4348422
24343+-=++=t t ty ty x x λλλ
OE OD ⊥ ，04343=+∴y y x x ．
代入，整理得(
)
14872
2
+=t λ．
∴原点到直线DE 的距离7
21
412
=
+=t d λ
为定值． ……………………（13分） 21．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）()(),2ln 2ax x x x g ++= )0(1
222x 2(x)g >++=++=
'x a x
x a x ． 由已知，得0)(≥'x g 对一切),0(+∞∈x 恒成立．
012≥++
∴a x x ，即⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+-≥x x a 12对一切),0(+∞∈x 恒成立． 2212-≤⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+-x x ，22-≥∴a ．
a ∴的取值范围为),22[+∞-． ……………………………（5分）
（Ⅱ）()()[]
()kx x x kx x x x x h --=--+=2222ln 232ln 2．
由已知得0)2ln(2)(2=--=km m m m h ，0)2ln(2)(2=--=kn n n n h ．
)()(ln
222km m kn n m n
+-+=∴，即)())((ln 2m n k m n m n m
n -+-+=． 假设结论不成立，即0)(0='x h ，则02200=--k x x ，00
22
x x k -=∴． 又n m x +=02，
))(22
())((ln
200
m n x x m n m n m n --+-+=∴ ))(4
())((m n n m n m m n m n ---++-+=m
n m n +-=4)(． m
n m n m n +-=∴)
(2ln
． 令
),1(+∞∈=t m n ，则有211()ln t t t
-=+． 令2111()
()ln ,t t t t t
γ-=-
>+． ()2221211114
11()()()()()t t t t t t t γ+--⋅+'∴=-=-++0)
1()1()1()41(2
222>+-=+-+=t t t t t t t ． )(t γ∴在),1(+∞上是增函数，
∴当1>t 时，0)1()(=>γγt ，即01)
1(2ln >+--t
t t ． ∴当1>t 时，t
t t +-=1)
1(2ln 不可能成立， ∴假设不成立．
)(x h ∴在00(,())x h x 处的切线不平行于x 轴． …………………………（14分）。