4 回溯法 (2)
回溯法详解
回溯法详解回溯法（Backtracking）是一种解决问题的算法，也称为试探法。
它是一种基于深度优先策略的搜索方法，用于在一个大型的搜索空间中找到所有可能的解。
回溯法常用于解决组合问题、优化问题、排列问题、路径问题等等。
回溯法的实现方法是：从一个初始状态开始，不断地向前搜索，直到找到一个合法的解或者所有的搜索空间都被遍历结束。
在搜索的过程中，如果发现当前的搜索路径不可能得到合法的解，就会回溯到上一个状态，继续向其他方向搜索。
回溯法仍然是一种穷举算法，但它通过剪枝操作排除大部分不必要的搜索路径，从而减少了搜索的时间和空间复杂度。
回溯法的实现过程中，我们需要完成以下三个步骤：1. 选择基于当前的状态，选择一个可能的方向，继续向前搜索。
这意味着我们需要对问题进行建模，找到一些限制条件或者选择条件，来指导我们如何选择下一个状态。
2. 约束在选择方向之后，我们需要考虑当前方向是否可行。
这称为约束条件。
如果当前的方向违反了某些约束条件，那么我们需要回溯到上一个状态，重新选择一个合法的方向。
3. 回溯如果当前方向无法得到一个合法解，我们就需要回溯到上一个状态，并尝试其他的方向。
回溯操作的核心是恢复状态，也就是将当前状态的改变撤回。
这意味着我们需要记录每一个状态的改变，从而能够正确地回溯。
回溯法的优点在于它的适用范围比较广泛，在解决复杂问题时能够得到很好的效果。
但同时回溯法也存在一些缺点，例如在搜索效率方面并不是最优的，在搜索空间比较大的情况下，时间和空间复杂度也会非常高。
因此，在实践中，我们需要结合具体问题来选择合适的算法。
八皇后问题详细的解法
若无法放下皇后则回到上一行， 即回溯
当n行的皇后都已确定后，我们 就找到了一种方案
check2 (int a[ ],int n)
queen21(例) 1 b加约束的枚举算法{//i多nt次i; 被调用，只是一重循环
{int a[9]; for (a[1]=1;a[1]<=8;a[1]++) for (a[2]=1;a[2]<=8;a[2]++)
八皇后问题
1
1八皇后问题背景 2盲目的枚举算法 3加约束的枚举算法 4回溯法及基本思想 5 回溯法应用 6八皇后问题的递归回溯算法 7八皇后问题的非递归回溯算法
2
【背景】 八皇后问题是一个以国际象棋为背
景的问题： 如何能够在 8×8 的国际象棋棋盘上
放置八个皇后，使得任何一个皇后都 无法直接吃掉其他的皇后？为了达到 此目的，任两个皇后都不能处于同一 条横行、纵行或斜线上。
for(a[8]=1;a[8]<=8;a[8]++) 此算法可读性很好，
{if (check(a,8)==0)continue; 体现了“回溯”。但
else for(i=1;i<=8;i+nt(a[i]); }
题，而不能解决任意
}}}}}}}
的n皇后问题。
18
2 回溯法应用-算法说明
按什么顺序去搜？ 目标是没有漏网之鱼，尽量速度快。
5
2 【问题设计】盲目的枚举算法
a 盲目的枚举算法
通过8重循环模拟搜索空间中的88个状态；
按枚举思想，以DFS的方式，从第1个皇后在第1列开 始搜索，枚举出所有的“解状态”：
从中找出满足约束条件的“答案状态”。
回溯算法的步骤
回溯算法的步骤介绍回溯算法是一种常用于解决组合优化问题的算法。
它将问题转化为一个搜索树，并使用深度优先搜索的方式遍历整个搜索空间，通过剪枝操作来减少不必要的搜索。
思想回溯算法的思想是不断地试错和回溯。
它通过尝试每一种可能的解决方案，并在发现这条路不可能得到正确解时进行回溯，回退到上一步继续尝试其他的方案。
回溯算法适用于十分灵活的问题，因为它并不局限于特定的解决策略，而是通过搜索整个解空间来找到问题的解。
步骤回溯算法的步骤可以总结为以下几个部分：1. 定义问题的解空间首先需要明确问题的解空间是什么。
解空间是所有可能的解的集合，可以用一个树形结构来表示。
2. 确定搜索的起点确定搜索的起点，通常是空解或者是一个可以快速得到解的初始解。
3. 确定搜索的终点确定搜索的终点，即找到一个满足问题要求的解，或者搜索到整个解空间。
4. 递归地搜索解空间递归地搜索解空间，从起点开始不断地向下搜索，直到找到一个满足条件的解，或者搜索到整个解空间。
5. 对每一个可能的解进行评估对每一个可能的解进行评估，判断是否满足问题的要求。
6. 进行剪枝操作在搜索过程中，如果发现当前的解已经不可能得到满足要求的解，可以进行剪枝操作，直接放弃当前解在解空间的搜索，回溯到上一步继续搜索其他的解。
7. 回溯操作如果当前解满足了问题的要求，可以将其加入到结果集中。
然后进行回溯操作，回退到上一步继续搜索其他的解。
8. 返回解集最后返回所有满足问题要求的解。
实例分析为了更好地理解回溯算法的步骤，我们用一个实例来进行分析。
问题：给定一个数组，求所有可能的子集。
解空间：解空间是所有可能的子集的集合。
起点：空集。
终点：找到所有可能的子集。
步骤： 1. 确定问题的解空间：所有可能的子集的集合，可以用一个树形结构来表示，根节点是空集。
2. 确定搜索的起点：空集。
3. 确定搜索的终点：找到所有可能的子集。
4. 递归地搜索解空间：从起点开始向下搜索，每次可选的操作是向集合添加一个新元素或不添加。
回溯法的基本介绍以及原理
回溯法的基本介绍以及原理
回溯法是一种通过逐步试探、回溯到上一步来寻找问题解的方法。
它适用于在一个问题的解空间中搜索所有可能的解，通过深度优先的方式进行搜索。
回溯法的基本原理是：从问题的初始状态开始，不断地进行选择，当发现选择导致了无效的解或者无法继续选择时，就回溯到上一步重新进行选择。
在回溯的过程中，保存了每一步的选择，这样可以在找到一个解或者搜索完整个解空间后，利用已经保存的选择恢复出解。
具体来说，回溯法一般包含以下步骤：
1. 定义问题的解空间：也就是问题的所有可能的解组成的空间。
2. 制定问题的解空间的搜索规则：决定了在解空间中搜索的顺序和方式。
3. 利用深度优先的方式进行搜索：从问题的初始状态开始，逐步进行选择，如果选择导致了无效的解或者无法继续选择，则回溯到上一步。
4. 终止条件：当搜索完整个解空间或者找到一个解时，终止搜索。
回溯法的时间复杂度一般很高，因为它需要搜索整个解空间。
但是，通过合理的剪枝策略，可以减少搜索的路径，降低时间
复杂度。
回溯法常常应用于解决组合问题、排列问题、子集问题等涉及组合选择的问题，也可以用于解决图的遍历问题等其他类型的问题。
回溯法简介——精选推荐
回溯法简介回溯法(探索与回溯法)是⼀种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到⽬标。
但当探索到某⼀步时，发现原先选择并不优或达不到⽬标，就退回⼀步重新选择，这种⾛不通就退回再⾛的技术为回溯法，⽽满⾜回溯条件的某个的点称为“回溯点”。
有许多问题，当需要找出它的解集或者要求回答什么解是满⾜某些约束条件的最佳解时，往往要使⽤回溯法。
回溯法的基本做法是搜索，或是⼀种组织得井井有条的、能避免不必要搜索的穷举式搜索法。
这种⽅法适⽤于解⼀些组合数相当⼤的问题。
回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根结点出发搜索解空间树。
算法搜索⾄解空间树的任意⼀点时，先判断该结点是否包含问题的解：如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的⼦树的搜索，逐层向其祖先结点回溯；否则，进⼊该⼦树，继续按深度优先策略搜索。
问题的解空间应⽤回溯法解问题时，⾸先应明确定义问题的解空间。
问题的解空间应⾄少包含问题的⼀个(最优)解。
问题的解向量：回溯法希望⼀个问题的解能够表⽰成⼀个n元式(x1,x2,…,xn)的形式显约束：对分量xi的取值限定隐约束：为满⾜问题的解⽽对不同分量之间施加的约束解空间：对于问题的⼀个实例，解向量满⾜显式约束条件的所有多元组，构成了该实例的⼀个解空间注意：同⼀个问题可以有多种表⽰，有些表⽰⽅法更简单，所需表⽰的状态空间更⼩（存储量少，搜索⽅法简单）例如，对于有n种可选物品的0-1背包问题，其解空间由长度为n的0-1向量组成状态空间树的动态搜索 可能解----》可⾏解---》最优解可能解：解空间的⼀个⼦集。
可⾏解：满⾜约束条件的解最优解：使⽬标函数取极值的最优解。
在背包问题中，有2^n中可能解，其中有些是可⾏解，有些不是可⾏解。
在可⾏解中，也只有⼀个或⼏个是最优解。
有些问题不需要寻找最优解，例如后⾯的⼋后问题和图的着⾊问题，只要找出满⾜约束条件的可⾏解即可。
回溯法的基本步骤：(1)针对所给问题，定义问题的解空间；(2)确定易于搜索的解空间结构；(3)以深度优先⽅式搜索解空间，并在搜索过程中⽤剪枝函数避免⽆效搜索。
回溯法
回溯法回溯法也称为试探法，该方法首先暂时放弃关于问题规模大小的限制，并将问题的候选解按某种顺序逐一枚举和检验。
当发现当前候选解不可能是解时，就选择下一个候选解；倘若当前候选解除了还不满足问题规模要求外，满足所有其他要求时，继续扩大当前候选解的规模，并继续试探。
如果当前候选解满足包括问题规模在内的所有要求时，该候选解就是问题的一个解。
在回溯法中，放弃当前候选解，寻找下一个候选解的过程称为回溯。
扩大当前候选解的规模，以继续试探的过程称为向前试探。
1、回溯法的一般描述可用回溯法求解的问题P，通常要能表达为：对于已知的由n元组（x1，x2，…，xn）组成的一个状态空间E={（x1，x2，…，xn）∣xi∈Si ，i=1，2，…，n}，给定关于n元组中的一个分量的一个约束集D，要求E中满足D的全部约束条件的所有n元组。
其中Si是分量xi的定义域，且|Si| 有限，i=1，2，…，n。
我们称E中满足D的全部约束条件的任一n元组为问题P的一个解。
解问题P的最朴素的方法就是枚举法，即对E中的所有n元组逐一地检测其是否满足D 的全部约束，若满足，则为问题P的一个解。
但显然，其计算量是相当大的。
我们发现，对于许多问题，所给定的约束集D具有完备性，即i元组（x1，x2， (xi)满足D中仅涉及到x1，x2，...，xi的所有约束意味着j（jj。
因此，对于约束集D具有完备性的问题P，一旦检测断定某个j元组（x1，x2，...，xj）违反D中仅涉及x1，x2， (x)的一个约束，就可以肯定，以（x1，x2，…，xj）为前缀的任何n元组（x1，x2，…，xj，xj+1，…，xn）都不会是问题P的解，因而就不必去搜索它们、检测它们。
回溯法正是针对这类问题，利用这类问题的上述性质而提出来的比枚举法效率更高的算法。
回溯法首先将问题P的n元组的状态空间E表示成一棵高为n的带权有序树T，把在E 中求问题P的所有解转化为在T中搜索问题P的所有解。
算法分析与设计实验报告--回溯法
算法分析与设计实验报告--回溯法实验目的：通过本次实验，掌握回溯法的基本原理和应用，能够设计出回溯法算法解决实际问题。
实验内容：1.回溯法概述回溯法全称“试探回溯法”，又称“逐步退化法”。
它是一种通过不断试图寻找问题的解，直到找到解或者穷尽所有可能的解空间技术。
回溯法的基本思路是从问题的某一个初始状态开始，搜索可行解步骤，一旦发现不满足求解条件的解就回溯到上一步，重新进行搜索，直到找到解或者所有可能的解空间已经搜索完毕。
2.回溯法的基本应用回溯法可用于求解许多 NP 问题，如 0/1 背包问题、八皇后问题、旅行商问题等。
它通常分为两种类型：一种是通过枚举所有可能的解空间来寻找解；另一种则是通过剪枝操作将搜索空间减少到若干种情况，大大减少了搜索时间。
3.回溯法的解题思路（1）问题分析：首先需要对问题进行分析，确定可行解空间和搜索策略；（2）状态表示：将问题的每一种状况表示成一个状态；（3）搜索策略：确定解空间的搜索顺序；（4）搜索过程：通过逐步试探，不断扩大搜索范围，更新当前状态；（5）终止条件：在搜索过程中，如果找到了满足要求的解，或者所有的可行解空间都已搜索完毕，就结束搜索。
4.八皇后问题八皇后问题是指在一个 8x8 的棋盘上放置八个皇后，使得任意两个皇后都不在同一行、同一列或同一对角线上。
通过回溯法可以求解出所有的可能解。
实验过程：回溯法的实现关键在于搜索空间的剪枝，避免搜索无用的解；因此，对于八皇后问题，需要建立一个二维数组来存放棋盘状态，以及一个一维数组来存放每行放置的皇后位置。
从第一行开始搜索，按照列的顺序依次判断当前的空位是否可以放置皇后，如果可以，则在相应的位置标记皇后，并递归到下一行；如果不能，则回溯到上一行，重新搜索。
当搜索到第八行时，获取一组解并返回。
代码实现：```pythondef is_valid(board, row, col):for i in range(row):if board[i] == col or abs(board[i] - col) == abs(i - row):return Falsereturn True实验结果：当 n=4 时，求得的所有可行解如下：```[[1, 3, 0, 2],[2, 0, 3, 1]]```本次实验通过实现回溯法求解八皇后问题，掌握了回溯法的基本原理和应用，并对回溯法的核心思想进行了深入理解。
回溯法
回溯法一、回溯法：回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的的搜索算法。
它在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。
算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。
如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索，逐层向其祖先结点回溯。
否则，进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。
回溯法在用来求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有子树都已被搜索遍才结束。
而回溯法在用来求问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。
这种以深度优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯法，它适用于解一些组合数较大的问题。
二、算法框架：1、问题的解空间：应用回溯法解问题时，首先应明确定义问题的解空间。
问题的解空间应到少包含问题的一个（最优）解。
2、回溯法的基本思想：确定了解空间的组织结构后，回溯法就从开始结点（根结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。
这个开始结点就成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。
在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。
这个新结点就成为一个新的活结点，并成为当前扩展结点。
如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。
换句话说，这个结点不再是一个活结点。
此时，应往回移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。
回溯法即以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。
运用回溯法解题通常包含以下三个步骤：（1）针对所给问题，定义问题的解空间；（2）确定易于搜索的解空间结构；（3）以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索；3、递归回溯：由于回溯法是对解空间的深度优先搜索，因此在一般情况下可用递归函数来实现回溯法如下：procedure try(i:integer);varbeginif i>n then 输出结果else for j:=下界 to 上界 dobeginx[i]:=h[j];if 可行{满足限界函数和约束条件} then begin 置值；try(i+1); end;end;end;说明：i是递归深度；n是深度控制，即解空间树的的高度；可行性判断有两方面的内容：不满约束条件则剪去相应子树；若限界函数越界，也剪去相应子树；两者均满足则进入下一层；二、习题：1、0-1背包：n=3,w=[16,15,15],p=[45,25,25],c=302、旅行售货员问题：某售货员要到若干城市去推销商品，已知各城市之间的路程（或旅费）。
回溯法详解
回溯法详解
回溯法是一种常用的算法思想，通常用于解决一些组合问题，如排列、组合、子集等。
回溯法的基本思想是从一组可能的解中逐一尝试，如果发现当前尝试的解不符合要求，则回溯到上一步继续尝试其他解。
回溯法可以看作是一种深度优先搜索算法，它的搜索过程类似于一棵树的遍历。
在搜索过程中，从根节点开始，逐层向下搜索，直到找到符合条件的解或者搜索完所有的可能情况。
回溯法的实现通常采用递归的方式，具体步骤如下：
1. 定义一个解空间，即所有可能的解的集合。
2. 逐步扩展解空间，直到找到符合条件的解或者搜索完所有可
能的情况。
3. 在扩展解空间的过程中，对于每个扩展的状态，检查它是否
符合要求，如果符合要求，则继续扩展；否则回溯到上一步。
回溯法的时间复杂度通常很高，因为它需要搜索所有的可能情况。
但是在实际应用中，回溯法的效率往往比暴力枚举要高，因为它能够利用一些剪枝策略，避免搜索无用的状态。
例如，在求解八皇后问题时，回溯法可以通过剪枝策略，避免搜索一些不可能的状态，从而大大缩短搜索时间。
回溯法也是一种非常灵活的算法思想，可以应用于各种问题的求解。
在实际应用中，需要根据具体问题的特点，设计合适的解空间和剪枝策略，以提高算法效率。
回溯法的基本概念
回溯法的基本概念回溯法，也叫试探法，是一种基于深度优先搜索的算法。
它是一种非常实用的解决问题的方法，通常用来解决那些需要尝试许多可能性的问题。
在回溯法中，我们需要枚举所有的可能性，并根据条件进行深度搜索，直到找到所有的解或达到终止条件。
回溯法的基本思想是：将问题分成多个小问题来解决，每个小问题都需要尝试不同的解决方案，直到找到最优解或达到终止条件。
当我们尝试的方案不符合要求时，我们需要“回溯”（撤销上一步的操作），尝试其他解决方案。
回溯法的应用非常广泛，比如在图形学、人工智能、网络协议设计等领域都有广泛的应用。
在算法竞赛中，回溯法是一个非常重要的算法，也是我们必须要掌握的算法之一。
使用回溯法的关键在于如何组织搜索空间。
我们需要确定搜索树的遍历顺序和搜索深度，以及如何剪枝搜索空间。
通常情况下，我们可以使用递归函数来实现回溯算法。
这个递归函数需要接收状态参数，在每一次递归调用中，我们需要将状态参数进行更新，并考虑是否达到了终止条件。
在回溯算法的实现中，通常要注意以下几点：1. 前缀和预处理：如果我们需要快速传递状态信息，可以使用前缀和预处理技术。
2. 剪枝：剪枝是一种优化手段，可以在搜索中减少不必要的计算。
比如我们可以根据当前状态进行剪枝，减少搜索量。
3. 记忆化搜索：如果我们需要多次查询相同的状态，可以使用记忆化搜索来优化。
这样可以避免重复计算，提高算法效率。
4. 双向搜索：双向搜索可以从起点和终点同时进行搜索，这样可以减少搜索时间和空间复杂度。
总之，回溯法是一种非常实用的算法，在实际问题求解中具有广泛的应用。
要想掌握回溯法，需要多做题、多思考，掌握其基本原理和常见技巧，逐步提高自己的解题能力。
回溯法原理
回溯法原理
回溯法是一种用于解决问题的算法，它的核心思想是在解空间中进行深度优先搜索，通过不断地试错和回溯，找到问题的解。
回溯法通常应用于求解组合优化问题、排列组合问题、图论问题等。
回溯法的具体实现过程，一般包括以下几个步骤：
1. 定义问题的解空间：首先需要明确问题的解空间，即指所有可能的解构成的空间。
2. 确定扩展解策略：在解空间中选择一个可行解作为起点，然后通过一定的扩展策略生成新的可行解，这些新的可行解将被加入到搜索树中。
3. 搜索解空间：从起点开始，按照扩展策略不断生成新的可行解，并将这些新的可行解加入到搜索树中，然后深入搜索直到找到问题的解或者搜索完整个解空间。
4. 回溯：如果某个可行解无法继续扩展，或者扩展后发现不合法，那么就需要回溯到上一个可行解，重新选择扩展策略，并继续搜索。
回溯法的优点在于能够找到所有解，但缺点也很明显，就是时间复杂度很高，因为需要搜索整个解空间。
为了减少搜索时间，可以采用一些剪枝技巧，如约束传播、可行性剪枝等。
总之，回溯法是一种通用的求解算法，它的基本思想和实现方式可以应用于各种类型的问题，但要注意在实际应用中需要根据具体问题进行合理的优化和改进。
回溯法方法简介
回溯法方法简介回溯法（backtracking）是一种常用于解决组合优化问题和搜索问题的算法。
它通过逐步建立解决方案的过程，并在某一步发现不满足条件时回溯到前一步，尝试其他可能的选择，直至找到满足条件的解决方案或者确定无解。
回溯法的思想类似于穷举搜索，但通过一些剪枝等优化策略，可以提高搜索效率。
回溯法是许多经典算法问题的核心思想，如八皇后问题、0-1背包问题、图的着色问题等。
回溯法的过程通常包括五个步骤：1. 选择解空间；2. 约束条件；3. 判断当前解是否满足约束条件；4. 如果满足条件则记录当前解，否则回溯到前一步；5. 继续遍历其他分支，直至找到最终解或确定无解。
回溯法通常使用递归的方式来实现，其中递归函数包括参数表示当前搜索深度、当前解决方案、约束条件等信息。
在递归函数中，根据约束条件和当前解决方案，判断是否需要继续搜索或者回溯。
通过不断调用递归函数，可以逐步构建解空间，并寻找满足条件的解决方案。
回溯法的优点在于可以找到问题的所有解（或满足条件的解），适用于许多组合优化问题和搜索问题。
回溯法的搜索过程中可以使用剪枝等策略来提高效率，避免不必要的搜索。
回溯法的缺点在于可能需要遍历整个解空间，并且在某些情况下可能会导致比较大的时间复杂度。
回溯法在实际应用中有许多经典问题的解决方案。
八皇后问题是回溯法的典型案例。
八皇后问题是一个经典的棋盘游戏问题，要求在8×8的国际象棋棋盘上放置8个皇后，使得彼此之间不能相互攻击。
通过回溯法逐步尝试不同的布局，可以找到所有满足条件的解决方案。
同样，回溯法在解决0-1背包问题、图的着色问题、旅行推销员问题等组合优化问题中也有广泛的应用。
除了组合优化问题，回溯法也常用于搜索问题的解决。
在图的遍历中，可以使用回溯法来寻找从起点到终点的路径。
在人工智能领域，回溯法也常用于解决逻辑推理、规划等问题。
通过对搜索空间进行回溯和剪枝，可以高效地找到问题的解决方案。
回溯法是一种重要的算法思想，适用于解决组合优化问题和搜索问题。
回溯法求解组合问题
回溯法求解组合问题
《回溯法求解组合问题》
回溯法是一种常用的求解组合问题的算法。
它通过不断试探和回溯来寻找所有可能的解，是一
种深度优先搜索的思想。
组合问题是指从给定的元素集合中选取出指定个数的元素的所有可能组合。
比如，从1、2、3、4四个元素中选取两个元素，可以得到以下组合：{1, 2}、{1, 3}、{1, 4}、{2, 3}、{2, 4}和{3, 4}。
使用回溯法求解组合问题的基本思路是，从起始位置开始，一次选择一个元素，并递归调用函数，然后撤销当前选择，再选择下一个元素。
在递归的过程中，通过设置适当的条件进行剪枝，以提高算法的效率。
具体来说，求解组合问题的回溯函数可以定义如下：
1. 设定一个索引变量start，表示当前正在进行组合选择的位置；
2. 设定一个列表result，用于存储当前已选择的组合；
3. 设定一个参数k，表示需要选择的元素个数；
4. 如果result的长度已经等于k，说明已经选择了足够的元素，将result加入到结果集合中；
5. 从索引变量start开始，遍历剩下的元素，选择其中一个元素加入result中；
6. 递归调用回溯函数，继续选择下一个元素；
7. 撤销选择，将result中的最后一个元素移除，进行下一次选择。
通过反复调用回溯函数，直到结果集合中包含了所有可能的组合，即可求解组合问题。
回溯法求解组合问题是一个经典的算法思想，它可以应用于很多实际问题。
比如，在密码学中，可以使用回溯法来生成所有可能的密码组合；在排列组合中，可以利用回溯法来生成所有可能
的排列组合方式。
通过理解回溯法的原理和应用，我们可以更好地解决许多实际问题。
学习电脑信息五大常用算法之四：回溯法
五大常用算法之四：回溯法五大常用算法之四：回溯法1、概念回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程,主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回,尝试别的路径。
回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。
但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择,这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点"。
许多复杂的，规模较大的问题都可以使用回溯法，有“通用解题方法"的美称。
2、基本思想在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解空间树。
当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解,如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯.（其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法）。
若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束.而若使用回溯法求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。
3、用回溯法解题的一般步骤：（1）针对所给问题,确定问题的解空间:首先应明确定义问题的解空间，问题的解空间应至少包含问题的一个(最优)解。
（2）确定结点的扩展搜索规则（3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。
4、算法框架(1）问题框架设问题的解是一个n维向量(a1，a2,………，an),约束条件是ai(i=1,2，3，…。
,n)之间满足某种条件,记为f（ai)。
（2）非递归回溯框架1：int a[n］,i；2：初始化数组a［］；3: i = 1；4: while (i〉0(有路可走）and （未达到目标）) // 还未回溯到头5：{6：if（i > n）// 搜索到叶结点7：｛8: 搜索到一个解，输出；9: ｝10：else// 处理第i个元素11: ｛12：a［i]第一个可能的值；13: while(a［i］在不满足约束条件且在搜索空间内) 14：｛15：a［i］下一个可能的值；16：｝17: if（a[i]在搜索空间内）18: {19：标识占用的资源;20: i = i+1; // 扩展下一个结点21: }22: else23: {24：清理所占的状态空间；// 回溯25：i = i –1;26: ｝27: ｝（3）递归的算法框架回溯法是对解空间的深度优先搜索，在一般情况下使用递归函数来实现回溯法比较简单，其中i为搜索的深度,框架如下：1: int a［n］；2：try（int i）3：{4：if（i>n）5: 输出结果；6：else7：｛8: for(j = 下界; j 〈= 上界; j=j+1) // 枚举i所有可能的路径9：{10: if（fun(j）) // 满足限界函数和约束条件11: ｛12: a[i］= j；13：。
回溯法的使用条件和基本方法
回溯法的使用条件和基本方法
回溯法是一种基于试错的搜索算法，它的使用条件是问题具有明确的求解步骤，并且可以通过逐步求解来逼近最终答案。
基本方法包括以下步骤：
1. 定义问题的解空间：确定问题的解空间，即问题的可能解的集合。
解空间通常是一个图或树，其中每个节点表示问题的一个状态，每个边表示从一个状态转移到另一个状态的操作。
2. 确定问题的约束条件：确定问题的约束条件，即限制问题解的规则。
约束条件可以帮助缩小解空间，减少搜索的规模。
3. 搜索解空间：从解空间的根节点（通常是最初始状态）开始搜索，按照一定的搜索策略（如深度优先搜索、广度优先搜索等）遍历解空间。
在搜索过程中，如果遇到未访问过的节点，就扩展该节点，并递归地搜索其子节点。
如果遇到已经访问过的节点，则回溯到上一个节点，继续搜索其他分支。
4. 判断是否找到解：在搜索过程中，如果找到了满足约束条件的解，就停止搜索并返回该解。
如果搜索完整个解空间都没有找到解，则说明该问题无解。
5. 优化搜索效率：为了提高搜索效率，可以采用一些启发式搜索策略，如A 搜索算法、模拟退火算法等。
这些策略可以在一定程度上减少搜索的路径数量，加速搜索过程。
以上是回溯法的基本使用条件和基本方法。
在实际应用中，可以根据问题的特点选择适合的回溯法变种或改进方法，以获得更好的求解效果。
回溯法 ppt课件
回溯法举例：
[旅行商问题] 在这个问题中 ，给出一个n 顶点网络（有向 或无向） ，要求找出一个包含所有n 个顶点的具有最小耗 费的环路 。任何一个包含网络中所有n 个顶点的环路被称 作一个旅行（t o u r ）。在旅行商问题中 ，要设法找到一 条最小耗费的旅行。 [分析]图给出了一个四顶点网络 。在这个网络中 ，一些旅
Bound(t) : 返回的值为true时 ， 在当前扩展节点处 x[1： t]的取值为时 目标函数越界 ， 还需由Backtrack(t+1) 对其相应的子树做进一步搜索 。否则 ， 当前扩展节点处 x[1： t]的取值是目标函数越界 ，可剪去相应的子树
for循环作用： 搜索遍当前扩展的所有未搜索过的 子树。
si+1均不满足约束条件,则去掉xi , 回溯到(x 1 , x 2 , … xi-1), 添加尚 未考虑过的xi , 如此反复进行,直到(x1 , x2 , … xk) k n满足所有的 约束条件或证明无解.
E= { (x1 , x2 , … xn), xi si , si为有限集 }称为问题的解空间.
5. 1 回溯法基本思想
穷举法技术建议我们先生成所有的候选解 ， 然后找出那个 具有需要特性的元素
1 、 回溯法主要思想是每次只构造解的一个分量 ，然后按照 鲜明的方法来评估这个部分构造解 。如果一个部分构造解可以进一 步构造而不会违反问题的约束 ， 我们就接受对下一个分量所作的第 一个合法选择 。如果无法对下一个分量进行合法的选择 ， 就不对剩 下的任何分量再做任何选择了 。在这种情况下 ，该算法进行回溯 ， 把部分构造解的最后一个分量替换为它的下一个选择。
算法模式 Procedure BACKTRACK (n)； {k := l；
算法——回溯法
算法——回溯法回溯法回溯法有“通⽤的解题法”之称。
⽤它可以系统地搜索⼀个问题的所有解或任⼀解。
回溯法是⼀种即带有系统性⼜带有跳跃性的搜索算法。
它在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根节点出发搜索解空间树。
算法搜索⾄解空间树的任⼀结点时，先判断该节点是否包含问题的解。
如果不包含，则跳过对以该节点为根的⼦树的搜索，逐层向其它祖先节点回溯。
否则，进⼊该⼦树，继续按照深度优先策略搜索。
回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根节点的所有⼦树都已被搜索遍才结束。
回溯法求问题的⼀个解时，只要搜索到问题的⼀个解就可结束。
这种以深度优先⽅式系统搜索问题的算法称为回溯法，它是⽤于解组合数⼤的问题。
问题的解空间⽤回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。
问题的解空间⾄少包含问题的⼀个（最优）解。
例如对于有n种可选择物品的0-1背包问题，其解空间由长度为n的0-1向量组成。
该解空间包含对变量的所有可能的0-1赋值。
例如n=3时，其解空间是{(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}定义了问题的解空间后，还应该将解空间很好地组织起来，使得能⽤回溯法⽅便地搜索整个解空间。
通常将解空间组织成树或者图的形式。
例如，对于n=3时的0-1背包问题，可⽤⼀颗完全的⼆叉树表⽰其解空间，如下图。
解空间树的第i层到第i+1层边上的标号给出了变量的值。
从树根到叶⼦的任⼀路径表⽰解空间中的⼀个元素。
例如，从根节点到节点H的路径相当与解空间中的元素(1,1,1)。
回溯法的基本思想确定了解空间的组织结构后，回溯法从根节点出发，以深度优先搜索⽅式搜索整个解空间。
回溯法以这种⼯作⽅式递归地在解空间中搜索，直到找到所要求的解或解空间所有解都被遍历过为⽌。
回溯法搜索解空间树时，通常采⽤两种策略避免⽆效搜索，提⾼回溯法的搜索效率。
其⼀是⽤约束函数在当前节点（扩展节点）处剪去不满⾜约束的⼦树；其⼆是⽤限界函数剪去得不到最优解的⼦树。
回溯法——精选推荐
回溯法一、算法介绍：回溯是一种模拟人类思维过程的算法思想。
它的基本方法是：按照深度优先的顺序向下一层扩展结点；扩展到某一层时，若已无法继续扩展且仍未找到解，则退回到父结点，从父结点的下一个分支开始，按同样的策略继续扩展……，直到找到问题的解或证明无解。
代码框架：procedure try(i:integer);varbeginif i>nthen 输出结果else for j:=下界to 上界dobeginx[i]:=h[j];if 可行{满足限界函数和约束条件} thenbegin置值；try(i+1);{尝试下一个位置}对此位置还原；end;end;end;二、典型例题：1、n皇后：在一个n×n国际象棋盘上，有n个皇后，每个皇后占一格；要求皇后间不会出现相互“攻击”的现象，即不能有两个皇后处在同一行、同一列或同一对角线上。
问共有多少种不同的方法。
【思路】逐一对每行的n个位置进行尝试（横坐标记为i，纵坐标记为j）。
若此位置安全则占用，并表明此位置所在的两对角线、列不安全（由于是对每行进行尝试，故不需标注该行是否安全）。
若此位置不安全则尝试下一个位置。
找到本行的安全位置后，如果已经尝试n行则输出结果，否则对下一行进行同样的尝试。
无论是继续尝试还是输出结果，在进行操作后都要对所占位置进行释放（即返回，进行本行下一位置的尝试）。
【注】棋盘中，从左至右的对角线横纵坐标之和一定（如图），从右至左的对角线横纵坐标之差一定。
varn,i:longint;no:longint;{记录方案个数}ans:array[1..1000]of longint;｛储存答案｝ lr,rl,l:array[-1000..1000] of boolean; {储存左右对角线、右左对角线、列是否安全}procedure print; {输出答案}vari:longint;beginno:=no+1;write('NO.',no,':');for i:=1 to n do write(ans[i],' '); writeln;end;procedure try(j:longint);vari:longint;beginfor i:=1 to n doif l[i] and rl[i+j] and lr[j-i]thenbeginl[i]:=false;rl[i+j]:=false;lr[j-i]:=false;ans[j]:=i;if j<n then try(j+1)else print;l[i]:=true;{释放该位置}rl[i+j]:=true;lr[j-i]:=true;end;end;beginwriteln('How many queens?');read(n);no:=0;for i:=1 to n do l[i]:=true;for i:=2 to 2*n do rl[i]:=true;for i:=1-n to n-1 do lr[i]:=true;try(1);if no=0 then write('No way!');end.2、跳马：在5*5格的棋盘上，从（1,1）点出发，按日字跳马，要求不重复地跳经所有方格。
回溯法的基本步骤
回溯法的基本步骤回溯法是一种通过试错的方式来解决问题的算法。
它基于深度优先搜索的思想，在解决问题的过程中，通过尝试不同的选择，当发现当前选择不能达到目标时，回溯到上一步重新选择，直到找到解决方案或者确定无解。
回溯法的基本步骤如下：1. 定义问题的解空间：首先要明确问题的解空间是什么，即问题的解可以表示为一个状态空间树，树中的每个节点表示问题的一个可能解。
2. 确定问题的约束条件：对于给定问题，通常会有一些约束条件限制解的范围。
在回溯法中，通过约束条件来剪枝，减少无效的搜索。
3. 确定解的选择方式：在问题的解空间中，需要确定每一步选择的方式。
通常可以采用递归的方式，对每个节点进行扩展，生成新的状态。
4. 判断选择的合法性：在生成新的状态后，需要判断该状态是否满足约束条件。
如果不满足，则回溯到上一步，重新选择。
5. 判断是否达到目标：在每一步选择后，都需要判断当前状态是否达到了目标。
如果达到了目标，将该解保存下来，否则继续进行下一步选择。
6. 回溯到上一步：如果当前状态无法达到目标，需要回溯到上一步，重新选择。
回溯的过程就是不断地向上回退，直到找到下一个可行的选择。
7. 终止条件：当所有的选择都尝试过后，如果仍然没有找到解，说明问题无解。
在回溯法中，通常会设定一个终止条件，当满足该条件时，停止搜索。
回溯法的特点是能够穷尽所有可能的解，但同时也带来了指数级的时间复杂度。
因此，在使用回溯法解决问题时，需要注意对解空间的剪枝，减少不必要的搜索。
回溯法在实际问题中有很多应用，如八皇后问题、0-1背包问题、图的遍历等。
通过灵活运用回溯法的基本步骤，可以高效地解决这些问题。
总结起来，回溯法的基本步骤是：定义问题的解空间，确定约束条件，确定解的选择方式，判断选择的合法性，判断是否达到目标，回溯到上一步，设定终止条件。
通过遵循这些步骤，可以有条不紊地解决问题，找到满足约束条件的最优解。
回溯法是一种强大而灵活的算法，可以应用于各种复杂的问题求解中。
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图的m-着色问题
(a)地图(b)地图对应的平面图
图4-17 一幅地图及其相应的平面图
用5种颜色就足以对任何一幅地图着色在很早以前就已经被证明了，然而却一直找不到一幅需要4种以上颜色才能够着色的地图，因此才有了“4色猜想”。
直到1976年美国的爱普尔(Appel), 黑肯(Haken)和考西(Koch)等利用高速计算机, 花了1200小时证明了“4色猜想”是成立的。
从此，“4色猜想”就变成了4色定理。
本节所要考虑的是所有无向连通图。
同时要找出用m种颜色给此图着色的所有方法。
使用邻接矩阵G(i, j)来存储图。
其中(i, j)是图G中的一条边，i和j则是图G中的两个顶点，此时G(i, j)=1，否则G(i, j)=0。
对于m种不同的颜色可以用1到m的整数表示，那么问题的解可以表示成一个n元组(x1, x2, …, x n)，其中n是图G中顶点的个数，x i 就表示顶点i所着的颜色值。
假设图G有n个顶点，m种颜色，那么问题的状态空间树就可以表示为高是n+1，每个结点的度都是m。
即第i(i∈[1,n])层上的结点都有m个儿子结点，这正好与x i 有m种可能的取值相对应。
为了方便描述，这里给出一棵m=3,n=3的状态空间树。
图4-18 当m=3且n=3时的状态空间树
当顶点1到顶点k-1都被着色之后，要从m种颜色种选出一种可行的颜色给顶点k着色，如果所有颜色都不可行，那么解向量中x k =0。
给第k个顶点挑选可行的颜色的函数我们可以实现如下。
用数组x[n]存储解向量，其中所有元素初始化为0，在进入此函数之前，前k-1个元素已经被赋予1 到m之中的某一个整数值，而且在图中相邻接的两个顶点的值不相等。
m是颜色的数目，n是顶点的数目。
G[n][n]是图G的邻接矩阵，mod是取模运算。
输入：顶点k，图的邻接矩阵，及其顶点数n，色数m
输出：返回表示是否找到颜色的bool值
NextColor()函数的代码描述：
NextColor(int k , bool G[][] ,int m , int n , int x[])
1 int j;
2 while true
3 do{
4 x[k] ←(x[k] + 1) mod (m + 1); //检测是否还有可用的颜色值，若有将
5 //其赋给x[k]，否则令x[k]=0；
6 if x[k] = 0
7 then{ //如果找不到可用的颜色，函数返回值为0，表示着色失败；
8 return 0;
9 }
10 for j ←1 to n
11 do{//检测顶点k所着的颜色是否和与其相邻接的顶点的所着颜色不同；
12 ifG[k][j]=1 and x[k]=x[j]//若顶点k所着的颜色与它的一个13
then break; //邻接点所着的颜色相同，则要给它换下一种颜色；
14 }
15 if j = n //找到一种可用的颜色，函数返回值1，表示对顶点k着色
16 then return 1; //成功。
20 }
此时可以很简单的实现求解m-着色问题的算法在该算法中。
全局数组G[n][n]表示图G 的邻接矩阵，在进入算法前已经构造好。
m是可选颜色的数目，n是图G中顶点的数目，用数组x[n] 存储解向量，其中所有元素初始话为0，在进入此函数之前，前k-1个元素已经被赋予1到m之中的某一个整数值。
k是下一个要着色的顶点。
输入：顶点k，图的邻接矩阵，及其顶点数n，色数m
输出：着色成功，输出解向量x；着色失败，返回0值
求解图的m-着色问题的算法mColoring的代码描述：
mColoring(int m , int n , int k , bool G[][] , int x[])
1 while true
2 do{
3 NextColor(k , G[][] , m , n , x[]); //为顶点k选择颜色；
4 if(x[k] = 0)
5 then{ //如果没有可行的颜色，则函数返回0，表示着色失败；
6 return 0;
7 }
8 if(k = n)
9 then{ //所有顶点都着完色，输出各顶点的着色情况；
10 for i ←1 to n
11 do{
12 cout<<x[i]<<endl;
13 }
14 }
15
else 16
{ //还有未着色的顶点k+1，对k+1调用mColoring()函数。
17
mColoring(m , n , k + 1 , G[][] , x[]) 18
} 19 }
从上面两个算法中可以看出只对状态空间树的内结点使用NextColor()函数，每一次所花费的时间是O(mn)，由于状态空间树的内结点有∑-=10n i i m
，所以算法总的花费时间
)()1/()1(**110n n n i i
n i i nm O m m nm n m mn m =--==∑∑=-=。