《基本不等式》PPT教学课件人教A版高中数学
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基本不等式人教A版高中数学必修五PPT课件
函数的最小值为 4.
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条件. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
基本不等式人教A版高中数学必修五PP T课件
基本不等式人教A版高中数学必修五PP T课件
练习
1、若x 0，求f ( x) 12 3x的最小值 x
2、已知x 0，y 0，求证 x y 2 yx
基本不等式人教A版高中数学必修五PP T课件
2.基本不等式 基本不等式人教A版高中数学必修五PPT课件 （均值定理）
如果a 0, b 0，那么 a b ab 2
(当且仅当a b时，取""号)
我们把 a b 叫做正数a, b的算术平均数， 2
把 ab叫做正数a, b的几何平均数。
此定理又可叙述为：
解：∵ x 0
x
x 1 2 x 1 2
x
x
当且仅当x 1 ,即x 1时，原式有最小值 2 x
变式、已知x 0，求x 1 的最值 x
解：∵ x 0， x 0
x 1 [( x) 1 ] 2 ( x) 1 2
x
( x)
( x)
运用均当且值仅不当等式x 的1过,程即x中，1时a、，b原必式须有最为大“正值 数 2”．
(1)a、b均为正数;
(2)a+b与ab有一个为定值;
(3)等号必须取到。பைடு நூலகம்
以上三个条件缺一不可. “一正”、“二定”、“三相等”。
构造积为定值，利用基本不等式求最值
例1、求函数y 1 x( x 3)的最小值
x3
练习:
已知x 1，求x 1 的最小值以及取得最小 值时x的值 x1
答：最小值是3，取得最小值时x的值为2
高中数学人教A版必修5《基本不等式》PPT
，此时 x 6 。
2
下面几道题的解答可能有错，如果错了， 那么错在哪里？
１．已知函数 f (x) x 1 ，求函数的 最小值和此时x的取值． x
运用均值不等式的过程中，忽略了“正数” 这个条件．
２．已知函数 f (x) x 3 (x 2) ， x2
求函数的最小值．
用均值不等式求最值，必须满足“定值”这 个条件．
3.4.1《基本不等式 -均值不等式》
教学目标
• 推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们
的几何平均数这个重要定理；利用均值定理求极 值。了解均值不等式在证明不等式中的简单应用。 • 教学重点： • 推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数这个重要定理；利用均值定理求极值。 了解均值不等式在证明不等式中的简单应用。
定理：如果a，b∈R，那么a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b 时取“=”）
证明： a2 b2 2ab (a b)2
当a b时，(a b)2 0
当a
b时，(a
b)2
0
a2 b2 2ab
1．指出定理适用范围： a,b R
2．强调取“=”的条件： a b
均值定理： 如果a, b∈R+，那么 a b ab
3 求函数y sin 4 其中 （0， ]
sin
2
的最小值。
解：y sin 4 2 sin • 4
sin
sin
4,函数的最小值为4。
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条 件.
如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
练习题： 1.已知x>0, y>0, xy=24, 求4x+6y的最小值，
3.我们把不等式 a b ab (a≥0,b≥0)
人教A版《基本不等式》PPT课件完美1
人 教 A 版 《基 本不等 式》P PT课件 完美1
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(5)乘方 如果 a＞b＞0，那么 an___＞____bn(n 为正整数)． (6)开方 如果 a＞b＞0，那么n a＞n b(n∈N，n≥2)．
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1．若ab＞1，a＞b 一定成立吗？为什么？ 提示：不一定，例如，－ －21＞1，但－2＞－1 不成立．当 b ＞0 时，ab＞1，才能使 a＞b 成立．
二、阅读教材P2～P4“不等式的性质”的有关内容，完成下 列问题：
3．不等式的基本性质 (1)对称性 如果a＞b，那么b___＜___ a；如果b___＜____ a，那么a＞b.即 a＞b⇔b＜a. (2)传递性 如果a＞b，b＞c，那么a___＞____ c，即a＞b，b＞c⇒a＞c.
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甲同学认为 a＞b⇔1a＜1b，乙同学认为 a＞b＞0⇔1a＜1b，丙 同学认为当 ab＞0 时，a＞b⇔1a＜1b.请你思考一下，谁的观点正 确？
解：丙．如果 a＝2，b＝－3，那么12＞－13.所以甲同学的观 点错误．如果1a＝－12＜1b＝1，那么 a＝－2 不大于 b＝1.因此， 乙同学的观点也是错的．同号的两个数，大的倒数小、小的倒 数大，因此，丙同学的观点正确．
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2．(1)“如果 a＞b，且 c＞d，那么 a－c＞b－d”一定成立 吗？
(2)“如果 a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd”一定成立吗？ 提示：(1)不一定成立，如 5＞2，－3＞－10，而 5－(－3) ＜2－(－10)． (2)不一定成立，如 5＞2＞0,10＞1＞0，而150＜21.
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(5)乘方 如果 a＞b＞0，那么 an___＞____bn(n 为正整数)． (6)开方 如果 a＞b＞0，那么n a＞n b(n∈N，n≥2)．
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1．若ab＞1，a＞b 一定成立吗？为什么？ 提示：不一定，例如，－ －21＞1，但－2＞－1 不成立．当 b ＞0 时，ab＞1，才能使 a＞b 成立．
二、阅读教材P2～P4“不等式的性质”的有关内容，完成下 列问题：
3．不等式的基本性质 (1)对称性 如果a＞b，那么b___＜___ a；如果b___＜____ a，那么a＞b.即 a＞b⇔b＜a. (2)传递性 如果a＞b，b＞c，那么a___＞____ c，即a＞b，b＞c⇒a＞c.
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甲同学认为 a＞b⇔1a＜1b，乙同学认为 a＞b＞0⇔1a＜1b，丙 同学认为当 ab＞0 时，a＞b⇔1a＜1b.请你思考一下，谁的观点正 确？
解：丙．如果 a＝2，b＝－3，那么12＞－13.所以甲同学的观 点错误．如果1a＝－12＜1b＝1，那么 a＝－2 不大于 b＝1.因此， 乙同学的观点也是错的．同号的两个数，大的倒数小、小的倒 数大，因此，丙同学的观点正确．
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2．(1)“如果 a＞b，且 c＞d，那么 a－c＞b－d”一定成立 吗？
(2)“如果 a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd”一定成立吗？ 提示：(1)不一定成立，如 5＞2，－3＞－10，而 5－(－3) ＜2－(－10)． (2)不一定成立，如 5＞2＞0,10＞1＞0，而150＜21.
人教A版高中数学必修第一册第二章基本不等式课件
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4．若 a≥b＞0，试比较 a，
a2＋2 b2，a＋2 b， ab，1a＋2 1b，b 的大小．
解：a≥b>0，∴
a2＋b2 2≤
a2＋a2 2 ＝a，
∵a2＋b2≥2ab，
a2＋b2 a＋b ∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2，∴ 2 ≥( 2 )2.
∴a≥
a2＋b2 a＋b 2 ≥2≥
ab≥a1＋2 1b≥b.
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1．知识清单：(1)基本不等式． (2)利用基本不等式求最值的两类模型． (3)利用基本不等式判断不等关系及比较大小． 2．方法归纳：配凑法． 3．常见误区：忽略利用基本不等式求最值的条件：“一正、二定、三 相等”，尤其是“当且仅当，等号成立”这八个字．
(2)已知 x＞－2，求 x＋x＋162的最小值． 解：(2)因为 x＞－2， 所以 x＋x＋162＝(x＋2)＋x＋162－2≥2 (x＋2)·x＋162－2＝6. 当且仅当 x＋2＝x＋162，即(x＋2)2＝16，x＝2 时等号成立， 因此所求的最小值为 6.
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利用基本不等式判断不等关系及比较大小 已知 a＞0，b＞0，则 a＋b_≥___2 ab， ab_≤___a＋2 b.
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[例 3] (1)(多选)下列条件中能使ba＋ab≥2 成立的是(ACD)
A．ab＞0
利用基本不等式求最值的两类模型 已知x，y都为正数，则(1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时， 和x＋y有最小值_2__P__；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，
2新人教A版高中数学(选修4-5)《基本不等式》ppt课件
2
基本不等式
我们已 经 学 过 重 要 不等式 a b 2ab2 Nhomakorabea2
a, b R , 为了方便同学们学习下面将它 ,
以定理的形式给出并给出证明 , .
定理1
如果 a, b R, 那么a b 2ab, 当
2
2
且仅当a b时, 等号成立 .
证明 因为 a b 2 ab a b 0 , 当且仅
2 2 2
a b 时等号成立 成立 .
, 所以 , 当且仅当 a b 时 , 等号
探究 你能从几何的角度解释 定理1 吗?
A
如果把实数 , b作为线段 a 长度那么可以这样来解 释定理1 :
借助几何画板 解释定理1 .
B H
I
K
b
D
G
F
a
b
J
a
C
b
E
图 1 .1 2
以 a b 为例 , 如图 1 . 1 2 , 在正方形 a ; 在正方形 S 正方形
1设总造价为S元, AD长为x米, 试建立S关于x的函数
关系式;
2 当x为何值时S最小, 并求出这个最小值 .
解
2
1 设 DQ
y米 , 则
D
2
H
Q
G
x 4 xy 200 ,
从而 y 200 x 4x
2
P
N F
C B
A
M E
.
于是
2
S 4200 x 210 4 xy 80 2 y
C B
M E
2 4000 x
400000 x
2
80000 ,
基本不等式
我们已 经 学 过 重 要 不等式 a b 2ab2 Nhomakorabea2
a, b R , 为了方便同学们学习下面将它 ,
以定理的形式给出并给出证明 , .
定理1
如果 a, b R, 那么a b 2ab, 当
2
2
且仅当a b时, 等号成立 .
证明 因为 a b 2 ab a b 0 , 当且仅
2 2 2
a b 时等号成立 成立 .
, 所以 , 当且仅当 a b 时 , 等号
探究 你能从几何的角度解释 定理1 吗?
A
如果把实数 , b作为线段 a 长度那么可以这样来解 释定理1 :
借助几何画板 解释定理1 .
B H
I
K
b
D
G
F
a
b
J
a
C
b
E
图 1 .1 2
以 a b 为例 , 如图 1 . 1 2 , 在正方形 a ; 在正方形 S 正方形
1设总造价为S元, AD长为x米, 试建立S关于x的函数
关系式;
2 当x为何值时S最小, 并求出这个最小值 .
解
2
1 设 DQ
y米 , 则
D
2
H
Q
G
x 4 xy 200 ,
从而 y 200 x 4x
2
P
N F
C B
A
M E
.
于是
2
S 4200 x 210 4 xy 80 2 y
C B
M E
2 4000 x
400000 x
2
80000 ,
高中数学人教A版《基本不等式》教学课件1
a b 叫做正数a，b的几何平均数；
代数意义：两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数.
探究几何意义
D
ab
A
a OC b
AC = DC E
DC BC
如图,AB是圆的直径，C是 AB上与A、B不重合的一点，
A于aCA=Ba2的,CB弦b=Db≥ ,E过，点连CA作Da垂,Bb直D,
B 则OD=a＿＿b ,CD=＿＿＿＿ 2
高中数学人教A版《基本不等式》教学 课件1
2高.2中基数本学不人等教式A-版【《新基教本材不】等人式教》A版 教（ 学 课20件19） 1 高中数 学必修 第一册 课件( 共19张P PT)
已知 x, y 都是正数, P, S 是常数. (1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). (2) x+y=S xy≤ 14S2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
2.2基本不等式-【新教材】人教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件( 共19张P PT)
例 6.已 知 0x,求 函 数 ysinx 1
sinx 的 最 小 值 .
解：0x 0sinx1
ysinx 1 2 sinx 1 2
sinx
sinx
当且仅当sinxsin1x，即x2时，ymin 2
2.2基本不等式-【新教材】人教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件( 共19张P PT)
2.2基本不等式-【新教材】人教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件( 共19张P PT)
课堂小结
a2+1与b、2初≥本2步a节应b课用主。（要１学）习了若基a,本b∈不等R，式的那证么明
例 7 若 0 x 1 ， 求 函 数 y x ( 1 - x ) 的 最 大 值 .
人教版高中数学必修1《基本不等式》PPT课件
(二)基本知能小试 1．判断正误：
(1)当 x＞0 时，1x＋x 的最小值为 2. (2)已知 m＞0，n＞0，且 mn＝81，则 m＋n 的最小值为 18.
答案：(1)√ (2)√
() ()
2．下列不等式正确的是
A．a＋1a≥2
B．(－a)＋－1a≤－2
C．a2＋a12≥2
D．(－a)2＋－1a2≤－2
(2)已知 0＜x＜12，求 x(1－2x)的最大值；
(3)已知 x＞0，y＞0，且8x＋1y＝1，求 x＋2y 的最小值．
[解]
(1)
∵
x
＞
2
，
∴
x
－
2
＞
0
，
∴
x
＋
4 x－2
＝
x
－
2
＋
4 x－2
＋
2≥2 x－2·x－4 2＋2＝6.当且仅当 x－2＝x－4 2即 x＝4 时，等号成立．∴x＋
x－4 2的最小值为 6.
解析：∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0， ∴ a－bb－c≤a－b＋2 b－c＝a－2 c. 当且仅当 a－b＝b－c，即 2b＝a＋c 时，等号成立． 答案： a－bb－c≤a－2 c
题型二 利用基本不等式求最值 【学透用活】
(1) 利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 ， 必 须 按 照 “ 一 正 ， 二 定 ， 三 相 等 ” 的 条 件 进 行．若具备这些条件，可直接运用基本不等式；若不具备这些条件，则应进行适 当地变形．
()
A．x≥2y
B．x＞2y
C．x≤2y
D．x＜2y
解析：∵不等式成立的前提条件是各项均为正，∴x－2y＞0，即 x＞2y. 故选 B.
人教版高中数学A版必修一2.2 基本不等式课件
提示:①AB 表示圆的直径;②������+2������表示线段 OD;③ ������������对应线段 CD; ④圆的半径大于或等于 CD,即������+2������ ≥ ������������.基本不等式的几何意义是 “半径不小于半弦”.
一二
课前篇 自主预习
2.填空
我们称不等式 ������������ ≤ ������+2������为基本不等式,其中 a>0,b>0,当且仅当 a=b 时,等号成立.
∴xy≤4,当且仅当 x=y=2 时,等号成立, ∴xy 的最大值为 4.
答案:(1)4 (2)4
课前篇 自主预习
探究一
探究二
探究三 随堂演练
基本不等式的理解
例1下列命题正确的是( )
A.若 x≠0,则 x+4������≥4
B.若 a,b∈R,且 ab>0,则������������ + ������������≥2
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三 随堂演练
变式训练2(1)已知a,b,c,d都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.
(2)已知 a>0,b>0,且 a+b=2,求证:1������ + 1������≥2. 证明(1)因为 a,b,c,d 都是正数,所以
ab+cd≥2 ������������������������,ac+bd≥2 ������������������������,
C.
������2 + 2 +
1 的最小值为
������2+2
2
一二
课前篇 自主预习
2.填空
我们称不等式 ������������ ≤ ������+2������为基本不等式,其中 a>0,b>0,当且仅当 a=b 时,等号成立.
∴xy≤4,当且仅当 x=y=2 时,等号成立, ∴xy 的最大值为 4.
答案:(1)4 (2)4
课前篇 自主预习
探究一
探究二
探究三 随堂演练
基本不等式的理解
例1下列命题正确的是( )
A.若 x≠0,则 x+4������≥4
B.若 a,b∈R,且 ab>0,则������������ + ������������≥2
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三 随堂演练
变式训练2(1)已知a,b,c,d都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.
(2)已知 a>0,b>0,且 a+b=2,求证:1������ + 1������≥2. 证明(1)因为 a,b,c,d 都是正数,所以
ab+cd≥2 ������������������������,ac+bd≥2 ������������������������,
C.
������2 + 2 +
1 的最小值为
������2+2
2
高中数学人教版必修五：基本不等式(共23张PPT)
基本不等式：
ab
a
b 2
（第一课时）
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
问题 ：你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗？
二、自主探究 推导公式
问题 1：在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b，正方形ABCD的面积为 S ，4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看：
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究：如图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB上一点，
显然，④是成立的.当且仅当 a b 时，④中的等号成立.
2019/10/5
析 ： a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的 面积最大，最大值是81m2。
ab
a
b 2
（第一课时）
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
问题 ：你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗？
二、自主探究 推导公式
问题 1：在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b，正方形ABCD的面积为 S ，4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看：
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究：如图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB上一点，
显然，④是成立的.当且仅当 a b 时，④中的等号成立.
2019/10/5
析 ： a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的 面积最大，最大值是81m2。
基本不等式-ppt课件高中数学人教版
第二章 2.2 第2课时基本不等式的应用-【新教材 】人教 A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 49张PP T) 第二章 2.2 第2课时基本不等式的应用-【新教材 】人教 A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 49张PP T)
第二章 2.2 第2课时基本不等式的应用-【新教材 】人教 A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 49张PP T) 第二章 2.2 第2课时基本不等式的应用-【新教材 】人教 A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 49张PP T)
第二章 2.2 第2课时基本不等式的应用-【新教材 】人教 A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 49张PP T) 第二章 2.2 第2课时基本不等式的应用-【新教材 】人教 A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 49张PP T)
第二章 2.2 第2课时基本不等式的应用-【新教材 】人教 A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 49张PP T) 第二章 2.2 第2课时基本不等式的应用-【新教材 】人教 A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 49张PP T)
第二章 2.2 第2课时基本不等式的应用-【新教材 】人教 A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 49张PP T) 第二章 2.2 第2课时基本不等式的应用-【新教材 】人教 A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 49张PP T)
第二章 2.2 第2课时基本不等式的应用-【新教材 】人教 A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 49张PP T) 第二章 2.2 第2课时基本不等式的应用-【新教材 】人教 A版（2 019） 高中数 学必修 第不等式的应用-【新教材 】人教 A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 49张PP T) 第二章 2.2 第2课时基本不等式的应用-【新教材 】人教 A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 49张PP T)
第二章 2.2 第2课时基本不等式的应用-【新教材 】人教 A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 49张PP T) 第二章 2.2 第2课时基本不等式的应用-【新教材 】人教 A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 49张PP T)
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