人教版(2024)九年级上册22.2 二次函数与一元二次方程 课件(共27张PPT)

(3，0)，则 a－b＋c 的值为 ( A ) A. 0 B. －1 C. 1 D. 2
（4）球从飞出到落地要用多少时间？ h
h＝0，0＝20t－5t2 t
解：（1）解方程 15＝20t－5t2，即：t2－4t＋3＝0，t1＝1，t2＝3. ∴当球飞行 1 s 和 3 s 时，它的高度为 15 m. （2）解方程 20＝20t－5t2，即：t2－4t＋4＝0，t1＝t2＝2. ∴当球飞行 2 s 时，它的高度为 20 m. （3）解方程 20.5＝20t－5t2，即：t2－4t＋4.1＝0. 因为 (－4)2－4×4.1＜0，所以方程无解， ∴球的飞行高度达不到 20.5 m. （4）解方程 0＝20t－5t2，即：t2－4t＝0，t1＝0，t2＝4. ∴球的飞行 0 s 和 4 s 时，它的高度为 0 m.即飞出到落地用了 4 s.
离为
10
m.抛物线的对称轴为
x＝5，顶点为
5，16 5
.
设此时对应的抛物线解析式为 y a(x 5)2 16 .
5
又
∵点
(0，0)
在此抛物线上，∴25a 16
5
0 ，解得
a
16 . 125
∴ y 16 (x 5)2 16 ，y 16 x2 32 x.
125
5
125 25
讨论---这节课的学习内容.
D. 3 个
2.抛物线 y＝mx2－3x＋3m＋m2 经过原点，则其顶点坐标为＿(＿12＿, 43＿) .
3.关于 x 的一元二次方程 x2－x－n＝0 没有实数根，则抛物线 y＝x2－x－n
的顶点在 ( A )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.已知二次函数 y＝2x2－mx－m2. （1）求证：对于任意函数 m，该二次函数的图象与 x 轴总有公共点； （2）若该二次函数的图象与 x 轴有两个公共点 A、B，且 A 点的坐标为 (1，0)，求 B 点坐标. 解：（1）证明：令 y＝0，得 2x2－mx－m2＝0.
y＝x2＋x－2
y＝x2－6x＋9
y＝x2－x＋1
（2）一元二次方程 x2＋x－2＝0，x2－6x＋9＝0 有几个根？验证一下 一元二次方程 x2－x＋1＝0 有根吗？ 答：分别有 2 个不等的根 ，2 个相等的根，无实数根.
问题2：边观察边思考
y＝x2＋x－2
y＝x2－6x＋9
y＝x2－x＋1
（3）二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和 x 轴交点的坐标与一元
解：（1）证明：令 y＝0，得 2x2－(m＋1)x＋m－1＝0.
∵＝(m＋1)2－4×2×(m－1)＝m2－6m＋9＝(m－3)2 ≥ 0.
∴不论 m 取何值，函数图象与 x 轴总有交点， 且 m＝3 时，只有一个交点. （2）图象经过原点，则 m－1＝0，m＝1. （3）由（2）知二次函数为 y＝2x2－2x， 二次函数与 x 轴交点为 (0，0)、(1，0). 又函数图象开口向上，∴0＜x＜1 时，y＜0；x＜0 或 x＞1 时，y＞0.
b2 4ac 2a
得
x1＝
5 2
，x2＝－1.
即抛物线 y＝2x2－3x－5 与 x 轴有两个交点，
分别为 ( 5 ，0)、 (－1，0).
2
牛刀小试
2.一元二次方程
3x2＋x－10＝0
的两个根是
x1＝－2，x2＝
5 3
，那么

5
二次函数 y＝3x2＋x－10 与 x 轴的交点坐标是＿(－＿2＿，＿0)、＿(＿3＿，＿0)＿.
走近中考 1.已知函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，那么关于 x 的方程
ax2＋bx＋c＋2＝0 的根的情况是 ( D )
A. 无实数根
B. 有两个相等实根
C. 有两个异号实数根 D. 有两个同号不等实数根
2.抛物线 y＝2x2＋8x＋m 与轴只有一个公共点，则
m 的值为＿8＿.
3. 抛物线 y＝ax2＋bx＋c (a＞0) 的对称轴是直线 x＝1，且经过点
解：作 y＝x2－2x－2 的图象， 它与 x 轴的公共点的横坐标大约是 －0.7、2.7. ∴方程 x2－2x－2＝0 的实数根为 x1≈－0.7，x2≈2.7.
升华提高
二次函数与一元二次方程的关系：
如果抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴有公共点 (x0，0)，那么 x＝x0 就是方程 ax2＋bx＋c＝0 的一个根.
思考：若抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴有交点，则 b2－4ac _≥_0__.
牛刀小试
1. 抛物线 y＝2x2－3x－5 与 x 轴有无交点？若无说出理由，若有求出 交点坐标？
解：令 2x2－3x－5＝0，a＝2、b＝－3、c＝－5.
b2－4ac＝7＞0，方程有两个不等实根.
利用求根公式 x= b
的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位：m)
与飞行时间 t (单位：s) 之间具有关系2：0＝h＝202t－0t－5t25t2.
考虑下列问题： （1）球的飞行高度能否达到 15 m？ 若能，需要多1少5＝时2间0t－？5t2
（2）球的飞行高度能否达到 20 m？ 若能，需要多20少.5时＝间20？t－5t2 （3）球的飞行高度能否达到 20.5 m？ 若能，需要多少时间？
22.2 二次函数与一元二次方程 第二十二章 二次函数
活动1－－－复习. 1.一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根的情况可由_b_2_－__4_a_c_确定. ① b2－4ac＞0，有两个不相等的实数根； ② b2－4ac＝0，有两个相等的实数根； ③ b2－4ac＜0，没有实数根.
活动2 问题1：如图，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30 度角的方向击出时，球
二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的 一元二次方程
图象和 x 轴交点
ax2＋bx＋c＝0 的根
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 根的判别式 Δ＝b2－4ac
有两个交点
有两个相异的实数根
b2－4ac＞0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2－4ac＝0
没有交点
没有实数根
b2－4ac＜0
体会两种思想：数形结合思想、分类讨论思想.
3.已知抛物线 y＝x2－8x＋c 的顶点在 x 轴上，则 c＝＿16＿.
4.抛物线 y＝x2－3x＋2 与 y 轴交于点＿(0＿，＿2)＿， 与 x 轴交于点＿(＿1，＿0＿)、＿(2＿，＿0)＿.
试一试
1.抛物线 y＝x2＋2x－3 与 x 轴的交点个数有 ( C )
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
问题2：边观察边思考 1.二次函数 y＝x2＋x－2，y＝x2－6x＋9，y＝x2－x＋1 的图象 如图所示.
y＝x2＋x－2
y＝x2－6x＋9
y＝x2－x＋1
（1）每个图象与 x 轴有几个交点？ 答：分别为 2 个交点，1 个交点，0 个交点.
问题2：边观察边思考 1.二次函数 y＝x2＋x－2，y＝x2－6x＋9，y＝x2－x＋1 的图象如图所示.
问题2：边观察边思考
2.（1）二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和 x 轴有无交点由什么 决定呢？ 答：二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和 x 轴有无交点由 b2－4ac 的正负 情况决定： ① b2－4ac＞0，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和 x 轴有两个交点； ② b2－4ac＝0，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和 x 轴有一个交点； ③ b2－4ac＜0，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和 x 轴没有交点.
二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根有什么关系？
二次函数
y＝x2＋x－2 y＝x2－6x＋9 y＝x2－x＋1
与 x 轴交点坐标 (－2，0)，(1，0)
(3，0)
无交点
相应方程的根 x1＝－2，x2＝1 x1＝x2＝3
无实根
归纳
抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交点的横坐标是一元二次方程 ax2＋bx＋c ＝0 的根.
2.（2）一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根的情况如何？ (b2－4ac 如何) ① b2－4ac＞0，方程有两个不相等的实数根； ② b2－4ac＝0，方程有两个相等的实数根； ③ b2－4ac＜0，方程没有实数根.
二次函数与一元二次方程： 二次函数有两个交点 一元二次方程有两个不等的根. 二次函数有一个交点 一元二次方程有两个相等的根. 二次函数没有交点 一元二次方程没有根.
二次函数与一元 二次方程的关系
当二次函数 y＝ax2＋bx＋c 中 y 的值确定，求 x
的值时，二次函数就变为一元二次方程.即当 y 取定值时，二次函数就为一元二次方程.
二次函数与
交
x 轴的交点
点
两个交点 一个交点 没有交点
b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0
二次函数与 x 轴的交点的横坐标是一元二次方程的解.
练习：看谁算的又快又准.
1.不与 x 轴相交的抛物线是 ( D )
A. y＝2x2－3
B. y＝－2x2＋3
C. y＝－x2－2x D. y＝－2(x＋1)2－3
2.如果关于 x 的一元二次方程 x2－2x＋m＝0 有两个相等的实数根，则
m＝＿1＿，此时抛物线 y＝x2－2x＋m 与 x 轴有＿1＿个交点.
归纳：一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根为 x1，x2 ，则抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴的交点坐标是 (x1，0)，(x2，0).
问题3：利用函数图象求方程 x2－2x－2＝0 的实数根 (精确到 0.1 ).
思路：（1）先作出图象； （2）写出交点的坐标； （3）得出方程的解.
6.王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线 y 1 x2 8 x ，其中 y (m) 是球的飞行高度，x (m) 是球飞出的水平距离，
55 结果球离球洞的水平距离还有 2 m． （1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴． （2）请求出球飞行的最大水平距离． （3）若王强再一次从此处击球， 要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞， 则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．
解：（1）y
1 5
x2
8 5
x
1 5
(
x
4)2
16 5
.
抛物线
y
1 5
x2
8 5
x
开口向下，顶点为
4，16 5
，对称轴为
x＝4.
（2）令 y＝0，得： 1 x2 8 x 0.
55
解得：x1＝0，x2＝8，∴球飞行的最大水平距离是 8 m.
（3）要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距
从上面你能看出，对于二次函数 h＝20t－5t2 中，如何求时间 t 的值吗？ 你能结合图形指出为什么在两个时间球的高度为 15 m 吗？ 那么为什么只在一个时间求得高度为 20 m 呢？ 那么为什么两个时间球的高度为 0 呢？
自由讨论
从上面发现，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 何时为一元二次方程？ 一般地，当 y 取定值时，二次函数为一元二次方程. 如：y＝5 时，则 5＝ax2＋bx＋c 就是一个一元二次方程.
∵＝(－m)2－4×2×(－m2)＝9m2 ≥ 0.
∴不论 m 取何值，抛物线与 x 轴总有公共点. （2）∵ A (1，0) 在抛物线 y＝2x2－mx－m2 上， ∴ 0＝2－m－m2，解得 m1＝－2，m2＝1. ∴ B 点坐标为 (－2，0).
5.已知二次函数 y＝2x2－(m＋1)x＋m－1. （1）求证：无论 m 为何值，函数 y 的图象与 x 轴总有交点，并指出 当 m 为何值时，只有一个交点； （2）当 m 为何值时，函数 y 的图象经过原点； （3）指出（2）的图象中，y＜0 时，x 的取值范围，及 y＞0 时，x 的 取值范围.