精品解析：【全国百强校】黑龙江省大庆第一中学2019届高三第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)
2019届黑龙江省大庆市高三上学期第二次模拟考试数学(理)试题(word版)
2019届黑龙江省大庆市高三上学期第二次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则( )A. B. C. D.【答案】D2.若复数满足（其中是虚数单位），则（）A. 2B. 4C.D.【答案】A3.设命题在定义域上为减函数；命题为奇函数，则下列命题中真命题是( )A. B. C. D.【答案】C4.设，满足约束条件则的最小值是( )A. -7B. -6C. -5D. -3【答案】B5.在等差数列中，，是方程的两个实根，则( )A. B. -3 C. -6 D. 2【答案】A6.已知，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】C7.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等.现有同高的三棱锥和圆锥满足祖暅满足祖暅原理的条件.若圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，由此推算三棱锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】D8.已知是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，若，则直线的斜率为( )A. 3B. 1C. 2D.【答案】B9.已知函数，的值域为，则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C10.某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥4个侧面中，直角三角形共有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】A11.已知双曲线的右焦点为，过作双曲线渐近线的垂线，垂足为，直线交双曲线右支于点，且为线段的中点，则该双曲线的离心率是（）A. 2B.C.D.【答案】D12.已知是定义在上的可导函数，且，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（将答案填在答题纸上）13.______．【答案】14.已知，为锐角，且，则_____．【答案】15.已知球是棱长为4的正方体的外接球，，分别是和的中点，则球截直线所得弦长为______．【答案】16.已知为的外心，，，，设，则_____．【答案】3三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设数列的前项和为，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用，求得数列{}是等比数列，由此求得数列的通项公式.（2）先求得的通项公式，然后利用裂项求和法求得的值.【详解】（Ⅰ）当时，由得，∴.当时，，∴.∴是以为首项，以为公比的等比数列.其通项公式为.（Ⅱ）∵∴【点睛】本小题主要考查利用求数列的通项公式，考查利用裂项求和法求数列的前项和.属于中档题.18.在中，内角，，所对的边分别为，，，且.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，面积为1，求边中线的长度.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角形内角和定理以及正弦定理化简已知条件，求得的值，利用齐次方程求得的值.（2）根据（1）求得的值，求出的值，根据三角形的面积列方程，求得的值，利用余弦定理求得的值，然后可利用余弦定理、向量的模或者平行四边形的性质，求得边中线的长.【详解】（Ⅰ）∵，∴，由正弦定理得∵，∴，∴.∴.（Ⅱ）∵，且，∴为锐角.且，∴，∵，∴.在中，由余弦定理得，.设边的中点为，连接.法一：在，中，分别由余弦定理得：∴，∴.法二：∵，∴，.法三：由平行四边形的性质得：，∴.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查利用余弦定理解三角形，属于中档题.19.如图所示，在四棱锥中，平面，，，AP=AD=2AB=2BC，点在棱上.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）当平面时，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（I）设中点为，连接、.设出的边长，通过计算证明，根据已知得到，由此证得平面，从而证得.（II）以为空间坐标原点建立空间直角坐标系，利用平面计算出点的坐标，根据直线的方向向量和平面的法向量计算出线面角的正弦值.【详解】（Ⅰ）设中点为，连接、.由题意.∵，∴四边形为平行四边形，又，∴为正方形.设，在中，，又，.∴，∴.∵平面，平面，∴.∵，平面，且，∴平面.∵平面，∴.（Ⅱ）因为平面，所以，，又，故，，两两垂直，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.由（Ⅰ）所设知，则，，，.由已知平面，∴，设，则.，∵，∴，，∴.设平面的法向量，则令，得.设所求的角为，.所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查线面垂直的证明，考查利用空间向量的方法计算直线与平面所成角的正弦值，属于中档题.20.已知椭圆的离心率为，短轴长为4.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作两条直线，分别交椭圆于，两点（异于点）.当直线，的斜率之和为定值时，直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】（I）根据椭圆的离心率和短轴长列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.（II）当直线的斜率存在时，设出直线的方程，根据化简得到表达式.联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，并代入上面求得的表达式，化简后可求得的关系式，带回直线的方程，由此求得直线所过定点.当直线斜率不存在时，设直线的方程为，利用，求出的值，由此判断此时直线所过定点.【详解】（Ⅰ）由题意知：，，.解得，，，所以椭圆方程为.（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线方程为，，由，得，整理得联立，消去得，由题意知二次方程有两个不等实根.∴，，代入得.整理得.∵，∴，∴，即.所以直线过定点.当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，，，其中.∴ ，由，得，∴.∴当直线的斜率不存在时，直线也过定点.综上所述，直线恒过定点.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.求解椭圆的标准方程，主要方法是根据题目所给已知条件，结合列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.在设直线方程时，要注意考虑直线斜率是否存在.21.已知函数.（Ⅰ）若点在函数的图象上运动，直线与函数的图象不相交，求点到直线距离的最小值；（Ⅱ）若当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（I）先求得函数的定义域，然后利用导数求得函数对应图像上与平行的切线方程，利用两平行线间的距离公式求得到直线距离的最小值.（II）（1）构造函数，利用的导函数，对分类讨论函数的单调性，结合求得的取值范围. （2）将分类常数，转化为，利用导数求得的最小值，由此求得的范围.结合（1）（2）可求得的的取值范围.【详解】（Ⅰ）的定义域为，.由题意，令，得，解得或（舍去），∵，∴到直线的距离为所求的最小值.（Ⅱ）（1）当，恒成立时，设，.①当即时，，，，所以，即在上是增函数.又，即，∴时满足题意.②当即时，令.因为，所以存在，使.当时，，即，在上是减函数，，∴时，不恒成立；（2）当，恒成立时，.设，，，，，，∴在上是减函数，在上是增函数，，∴.综上所述，的取值范围是.【点睛】本小题主要考查曲线上的点到直线的最小距离的求法，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.要求曲线上的点到直线的最小距离，是通过找到曲线上和直线平行的一条直线，利用两条平行直线间的距离公式，来求得最小值.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），是上的动点，点满足，点的轨迹为曲线.（Ⅰ）求的普通方程；（Ⅱ）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线与交于，两点，交轴于点，求的值.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(I)设出点的坐标，根据两个向量相等的坐标表示，求得点的坐标，消去参数后得到的普通方程.（II）方法一：先求得直线的直角坐标方程，联立直线的方程和的方程，求得交点的坐标，利用两点间的距离公式求得的长，进而求得的值.方法二：先求出直线的参数方程，将参数方程代入的方程，利用直线参数的几何意义，求得的值.【详解】（Ⅰ）设，.∵∴，消去得的普通方程为.（Ⅱ）法一：直线的极坐标方程，即.∵，，得直线的直角坐标方程为.∴，由得，∴，.∴，，∴.法二：直线的极坐标方程，即.∵，，得直线的直角坐标方程为.∴.∵直线的倾斜角为，∴可得直线的参数方程为（为参数）.代入，得，设此方程的两个根为，，则.∴.【点睛】本小题主要考查轨迹方程的求法，考查极坐标和直角坐标的转化，考查直线的参数方程，属于中档题.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）求函数的值域.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（I）利用零点分段法去绝对值，然后解不等式求得解集.（II）利用绝对值不等式求得的最小值，根据的单调性，求得的值域【详解】（Ⅰ）∵，即，当时，原不等式化为，解得，∴，当时，原不等式化为，解得，∴，当时，原不等式化为，解得，∴，综上，原不等式的解集为.（Ⅱ）设，则.∵，∴的最小值为1.∵在上是减函数，∴，∴函数的值域为.【点睛】本小题主要考查含有绝对值不等式的解法，考查利用绝对值不等式求不等式的最小值，考查指数函数的单调性，属于中档题.- 11 -。
2019年黑龙江高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2019年黑龙江省大庆市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|﹣2＜x≤2}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1}C．{﹣2，﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知向量=（2，﹣1），=（3，x）．若•=3，则x=（）A．6 B．5 C．4 D．34．已知双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=x，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5．已知条件p：|x﹣4|≤6，条件q：x≤1+m，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，9]C．[1，9]D．[9，+∞）6．运行如图所示的程序框图，输出的结果S=（）A．14 B．30 C．62 D．1267．在二项式（x﹣）n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是（）A．35 B．﹣35 C．﹣56 D．568．已知α，β是两个不同的平面，l，m，n是不同的直线，下列命题不正确的是（）A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αB．若l∥m，l⊄α，m⊂α，则l∥αC．若α⊥β，α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，，则m⊥n9．已知，函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，则φ的值可以是（）A． B． C． D．10．男女生共8人，从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率为，则其中女生人数是（）A．2人B．3人C．2人或3人D．4人11．已知抛物线y2=4x，过焦点F作直线与抛物线交于点A，B（点A 在x轴下方），点A1与点A关于x轴对称，若直线AB斜率为1，则直线A1B的斜率为（）A． B．C． D．12．下列结论中，正确的有（）①不存在实数k，使得方程xlnx﹣x2+k=0有两个不等实根；②已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a2+b2=2c2，则角C的最大值为；③函数y=ln与y=lntan是同一函数；④在椭圆+=1（a＞b＞0），左右顶点分别为A，B，若P为椭圆上任意一点（不同于A，B），则直线PA与直线PB斜率之积为定值．A．①④B．①③C．①②D．②④二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且a1+a3=，a2+a4=，则S6=．14．已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为．15．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的半径为．16．下列命题正确是，（写出所有正确命题的序号）①若奇函数f（x）的周期为4，则函数f（x）的图象关于（2，0）对称；②若a∈（0，1），则a1+a＜a；③函数f（x）=ln是奇函数；④存在唯一的实数a使f（x）=lg（ax+）为奇函数．三、解答题（本题6小题，共70分）17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=+A．（1）求cosB的值；（2）求sin2A+sinC的值．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，E、F分别是CC1，BC的中点．（1）求证：平面AB1F⊥平面AEF；（2）求二面角B1﹣AE﹣F的余弦值．19．某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（I）求直方图中x的值；（Ⅱ）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业1200个，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（Ⅲ）从企业中任选4个，这4个企业年上缴税收少于20万元的个数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点P（2，），离心率e=，直线l的渐近线为x=4．（1）求椭圆C的方程；（2）经过椭圆右焦点D的任一直线（不经过点P）与椭圆交于两点A，B，设直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，问是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求出λ的值若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．（1）当a=﹣1时，求f（x）的最大值；（2）若f（x）在区间（0，e]上的最大值为﹣3，求a的值；（3）设g（x）=xf（x），若a＞0，对于任意的两个正实数x1，x2（x1≠x2），证明：2g（）＜g（x1）+g（x2）．[选修4-1：几何证明选讲]22．在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t 为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=asinθ．（Ⅰ）若a=2，求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（Ⅱ）设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，求a的值．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+5|，且f（x）≥m恒成立．（Ⅰ）求m的取值范围；（Ⅱ）当m取最大值时，解关于x的不等式：|x﹣3|﹣2x≤2m﹣8．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|﹣2＜x≤2}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1}C．{﹣2，﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】根据交集的定义写出A∩B即可．【解答】解：集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|﹣2＜x≤2}，则A∩B={﹣1，0，1，2}．故选：A．2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】利用两个复数代数形式的乘法，以及虚数单位i的幂运算性质，求得复数为，它在复平面内对应的点的坐标为（，﹣），从而得出结论．【解答】解：∵复数==，它在复平面内对应的点的坐标为（，﹣），故选D ．3．已知向量=（2，﹣1），=（3，x ）．若•=3，则x=（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意， =（2，﹣1），=（3，x ）．•=3，由数量积公式可得到方程6﹣x=3，解此方程即可得出正确选项．【解答】解：∵向量=（2，﹣1），=（3，x ）．•=3， ∴6﹣x=3，∴x=3．故选D4．已知双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=x ，则此双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】因为焦点在 x 轴上的双曲线方程的渐近线方程为y=±，由双曲线的一条渐近线方程为y=，就可得到含a ，b 的齐次式，再把b 用a ，c 表示，根据双曲线的离心率e=，就可求出离心率的值．【解答】解：∵双曲线的焦点在x 轴上，∴渐近线方程为y=±，又∵渐近线方程为y=，∴∴ ∵b 2=c 2﹣a 2，∴化简得，即e 2=，e= 故选A5．已知条件p ：|x ﹣4|≤6，条件q ：x ≤1+m ，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣1]B ．（﹣∞，9]C ．[1，9]D ．[9，+∞） 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】解出关于p 的不等式，根据充分必要条件的定义求出m 的范围即可．【解答】解：由|x ﹣4|≤6，解得：﹣2≤x ≤10，故p ：﹣2≤x ≤10；q ：x ≤1+m ，若p 是q 的充分不必要条件，则1+m ≥10，解得：m ≥9；故选：D．6．运行如图所示的程序框图，输出的结果S=（）A．14 B．30 C．62 D．126【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=6时，不满足条件k≤5，退出循环，计算输出S的值．【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=1，S=0满足条件k≤5，S=2，k=2满足条件k≤5，S=6，k=3满足条件k≤5，S=14，k=4满足条件k≤5，S=30，k=5满足条件k≤5，S=62，k=6不满足条件k≤5，退出循环，输出S的值为62，故选：C．7．在二项式（x﹣）n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是（）A．35 B．﹣35 C．﹣56 D．56【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式中恰好第5项的二项式系数最大，得出n 的值，再利用展开式的通项公式求出展开式中含x2项的系数即可．【解答】解：∵在二项式（x﹣）n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，∴展开式中第5项是中间项，共有9项，∴n=8；展开式的通项公式为T r+1=•x8﹣r•=（﹣1）r••x8﹣2r，令8﹣2r=2，得r=3，∴展开式中含x2项的系数是（﹣1）3•=﹣56．故选：C．8．已知α，β是两个不同的平面，l，m，n是不同的直线，下列命题不正确的是（）A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αB．若l∥m，l⊄α，m⊂α，则l∥αC．若α⊥β，α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，，则m⊥n【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据线面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面，进行判定即可．【解答】解：若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，不能推出l⊥α，缺少条件m与n相交，故不正确．故选A9．已知，函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，则φ的值可以是（）A． B． C． D．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；运用诱导公式化简求值；图形的对称性．【分析】化简函数的表达式，函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，说明是偶函数，求出选项中的一个φ即可．【解答】解：=2sin（x+），函数y=f（x+φ）=2sin（x+φ+）的图象关于直线x=0对称，函数为偶函数，∴φ=故选D．10．男女生共8人，从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率为，则其中女生人数是（）A．2人B．3人C．2人或3人D．4人【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】设女生人数是x人，则男生（8﹣x）人，利用从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率为，可得=，即可得出结论．【解答】解：设女生人数是x人，则男生（8﹣x）人，∵从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率为，∴=，∴x=2或3，故选C．11．已知抛物线y2=4x，过焦点F作直线与抛物线交于点A，B（点A 在x轴下方），点A1与点A关于x轴对称，若直线AB斜率为1，则直线A1B的斜率为（）A． B．C． D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得直线AB的方程，代入椭圆方程，根据直线的斜率公式及韦达定理，即可求得直线A1B的斜率．【解答】解：∵抛物线y2=4x上的焦点F（1，0），设A（x1，y1），B （x2，y2），A1（x1，﹣y1），则可设直线AB的方程为y=x﹣1联立方程，可得x2﹣6x+1=0则有x1+x2=6，x1x2=1，直线A1B的斜率k====，∴直线A1B的斜率为，故选C．12．下列结论中，正确的有（）①不存在实数k，使得方程xlnx﹣x2+k=0有两个不等实根；②已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a2+b2=2c2，则角C的最大值为；③函数y=ln与y=lntan是同一函数；④在椭圆+=1（a＞b＞0），左右顶点分别为A，B，若P为椭圆上任意一点（不同于A，B），则直线PA与直线PB斜率之积为定值．A．①④B．①③C．①②D．②④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，函数f（x）=xlnx﹣x2在定义域内单调，不存在实数k，使得方程xlnx﹣x2+k=0有两个不等实根；②，a2+b2=2c2≥2ab，cosC=则角C的最大值为；③，函数y=ln与y=lntan的定义域不同，不是同一函数；④，设A（﹣a，0），B（a，0），P（m，n），则b2m2+a2n2=a2b2⇒a2n2=b2（a2﹣m2）⇒直线PA与直线PB斜率之积为（定值）．【解答】解：对于①，函数f（x）=xlnx﹣x2在定义域内单调，不存在实数k，使得方程xlnx﹣x2+k=0有两个不等实根，正确；对于②，∵a2+b2=2c2，∴a2+b2=2c2≥2ab，cosC=，则角C的最大值为，故错；对于③，函数y=ln与y=lntan的定义域不同，不是同一函数，故错；对于④，设A（﹣a，0），B（a，0），P（m，n），则b2m2+a2n2=a2b2⇒a2n2=b2（a2﹣m2）⇒直线PA与直线PB斜率之积为（定值），故正确．故选：A．二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且a1+a3=，a2+a4=，则S6=．【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a3=，a2+a4=，∴a2+a4==q（a1+a3）=q，解得q=．∴=，解得a1=2．则S6==故答案为：．14．已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为20．【考点】简单线性规划．【分析】先画出可行域，结合z为目标函数纵截距四倍，平移直线0=2x+4y，发现其过（0，2）时z有最大值即可求出结论．【解答】解：画可行域如图，z为目标函数z=2x+4y，可看成是直线z=2x+4y的纵截距四倍，画直线0=2x+4y，平移直线过A（2，4）点时z有最大值20故答案为：20．15．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的半径为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图知该几何体是平放的直三棱柱，可还原为长方体，利用外接球的直径是长方体对角线的长，求出半径．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是平放的直三棱柱，且三棱柱的底面为直角三角形，高为12；可还原为长宽高是12、8、6的长方体，其外接球的直径是长方体对角线的长，∴（2R）2=122+82+62=244，即R2=61，∴半径为R=．故答案为：．16．下列命题正确是①③，（写出所有正确命题的序号）①若奇函数f（x）的周期为4，则函数f（x）的图象关于（2，0）对称；②若a∈（0，1），则a1+a＜a；③函数f（x）=ln是奇函数；④存在唯一的实数a使f（x）=lg（ax+）为奇函数．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，若奇函数f（x）的周期为4，则f（﹣x）=f（﹣x+4）=﹣f（x），则函数f（x）的图象关于（2，0）对称；②，若a∈（0，1），1+a＜1+则a1+a＞a；③，函数f（x）=ln满足f（x）+f（﹣x）=0，且定义域为（﹣1，1），f（x）是奇函数；④，f（x）=lg（ax+）为奇函数时（ax+）（ax+）=1⇒a=±1．【解答】解：对于①，若奇函数f（x）的周期为4，则f（﹣x）=f（﹣x+4）=﹣f（x），则函数f（x）的图象关于（2，0）对称，故正确；对于②，若a∈（0，1），1+a＜1+则a1+a＞a，故错；对于③，函数f（x）=ln满足f（x）+f（﹣x）=0，且定义域为（﹣1，1），f（x）是奇函数，正确；对于④，f（x）=lg（ax+）为奇函数时，（ax+）（ax+）=1⇒a=±1，故错．故答案为：①③三、解答题（本题6小题，共70分）17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=+A．（1）求cosB的值；（2）求sin2A+sinC的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）运用正弦定理和诱导公式、以及同角公式，即可得到cosB；（2）由二倍角的正弦和余弦公式，以及诱导公式，化简计算即可得到．【解答】解（1）∵，∴cosB=cos（+A）=﹣sinA，又a=3，b=4，所以由正弦定理得，所以=，所以﹣3sinB=4cosB，两边平方得9sin2B=16cos2B，又sin2B+cos2B=1，所以，而，所以．（2）∵，∴，∵，∴2A=2B﹣π，∴sin2A=sin（2B﹣π）=﹣sin2B=又A+B+C=π，∴，∴sinC=﹣cos2B=1﹣2cos2B=．∴．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，E、F分别是CC1，BC的中点．（1）求证：平面AB1F⊥平面AEF；（2）求二面角B1﹣AE﹣F的余弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）连结AF，由已知条件推导出面ABC⊥面BB1C1C，从而AF⊥B1F，由勾股定理得B1F⊥EF．由此能证明平面AB1F⊥平面AEF．（2）以F为坐标原点，FA，FB分别为x，y轴建立直角坐标系，利用向量法能求出二面角B1﹣AE﹣F的余弦值．【解答】（1）证明：连结AF，∵F是等腰直角三角形△ABC斜边BC 的中点，∴AF⊥BC．又∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴面ABC⊥面BB1C1C，∴AF⊥面BB1C1C，AF⊥B1F．…设AB=AA1=1，则，EF=，．∴=，∴B1F⊥EF．又AF∩EF=F，∴B1F⊥平面AEF．…而B1F⊂面AB1F，故：平面AB1F⊥平面AEF．…（2）解：以F为坐标原点，FA，FB分别为x，y轴建立直角坐标系如图，设AB=AA1=1，则F（0，0，0），A（），B1（0，﹣，1），E（0，﹣，），，=（﹣，，1）．…由（1）知，B1F⊥平面AEF，取平面AEF的法向量：=（0，，1）．…设平面B1AE的法向量为，由，取x=3，得．…设二面角B1﹣AE﹣F的大小为θ，则cosθ=|cos＜＞|=||=．由图可知θ为锐角，∴所求二面角B1﹣AE﹣F的余弦值为．…19．某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（I）求直方图中x的值；（Ⅱ）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业1200个，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（Ⅲ）从企业中任选4个，这4个企业年上缴税收少于20万元的个数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）由直方图可得：20×（x+0.025+0.0065+0.003×2）=1，解得x即可．（II）企业缴税收不少于60万元的频率=0.003×2×20=0.12，即可得出1200个企业中有1200×0.12个企业可以申请政策优惠．（III）X的可能取值为0，1，2，3，4．由（I）可得：某个企业缴税少于20万元的概率=0.0125×20=．因此X～B（4，），可得分布列为P（X=k）=，（k=0，1，2，3，4），再利用E（X）=4×即可得出．【解答】解：（I）由直方图可得：20×（x+0.025+0.0065+0.003×2）=1，解得x=0.0125．（II）企业缴税收不少于60万元的频率=0.003×2×20=0.12，∴1200×0.12=144．∴1200个企业中有144个企业可以申请政策优惠．（III）X的可能取值为0，1，2，3，4．由（I）可得：某个企业缴税少于20万元的概率=0.0125×20=0.25=．因此X～B（4，），∴分布列为P（X=k）=，（k=0，1，2，3，4），∴E（X）=4×=1．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点P（2，），离心率e=，直线l的渐近线为x=4．（1）求椭圆C的方程；（2）经过椭圆右焦点D的任一直线（不经过点P）与椭圆交于两点A，B，设直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，问是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求出λ的值若不存在，说明理由．【考点】圆锥曲线的存在性问题；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系；圆锥曲线的定值问题．【分析】（1）利用点在椭圆上，椭圆的离心率，求解a，b，得到椭圆方程．（2）假设存在常数λ，使得k1+k2=λk3．设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣2），代入椭圆方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，结合A、F、B共线，通过k=k AF=k BF，求出k1+k2，然后推出k1+k2=2k3．即可．【解答】解：（1）由点在椭圆上得，①②由①②得c2=4，a2=8，b2=4，故椭圆C的方程为…..（2）假设存在常数λ，使得k1+k2=λk3．由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣2）③代入椭圆方程并整理得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣8=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则有④…在方程③中，令x=4得，M（4，2k），从而，，．又因为A、F、B共线，则有k=k AF=k BF，即有…所以k1+k2===⑤…将④代入⑤得k+k2=，又，所以k1+k2=2k3．故存在常数λ=2符合题意…21．已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．（1）当a=﹣1时，求f（x）的最大值；（2）若f（x）在区间（0，e]上的最大值为﹣3，求a的值；（3）设g（x）=xf（x），若a＞0，对于任意的两个正实数x1，x2（x1≠x2），证明：2g（）＜g（x1）+g（x2）．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）在定义域（0，+∞）内对函数f（x）求导，求其极大值，若是唯一极值点，则极大值即为最大值．（2）在定义域（0，+∞）内对函数f（x）求导，对a进行分类讨论并判断其单调性，根据f（x）在区间（0，e]上的单调性求其最大值，并判断其最大值是否为﹣3，若是就可求出相应的最大值．（3）先求导，再求导，得到g′（x）为增函数，不妨令x2＞x1，构造函数，利用导数即可证明【解答】解：（1）易知f（x）定义域为（0，+∞），当a=﹣1时，f（x）=﹣x+lnx，，令f′（x）=0，得x=1．当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．f（x）max=f（1）=﹣1．∴函数f（x）在（0，+∞）上的最大值为﹣1，（2）∵．①若，则f′（x）≥0，从而f（x）在（0，e]上是增函数，∴f（x）max=f（e）=ae+1≥0，不合题意，②若，则由，即由，即，从而f（x）在（0，﹣）上增函数，在（﹣，e]为减函数∴令，则，∴a=﹣e2，（3）证明：∵g（x）=xf（x）=ax2+xlnx，x＞0∴，∴g′（x）为增函数，不妨令x2＞x1令，∴，∵，∴而h（x1）=0，知x＞x1时，h（x）＞0故h（x2）＞0，即[选修4-1：几何证明选讲]22．在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t 为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=asinθ．（Ⅰ）若a=2，求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（Ⅱ）设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，求a的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）直接把极坐标方程和参数方程转化成直角坐标方程．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式，建立方程求出a 的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，ρ=asinθ转化为ρ=2sinθ整理成直角坐标方程为：x2+（y﹣1）2=1直线的参数方程（t为参数）．转化成直角坐标方程为：4x+3y ﹣8=0（Ⅱ）圆C的极坐标方程转化成直角坐标方程为：直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，所以：2|3a﹣16|=5|a|，利用平方法解得：a=32或．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+5|，且f（x）≥m恒成立．（Ⅰ）求m的取值范围；（Ⅱ）当m取最大值时，解关于x的不等式：|x﹣3|﹣2x≤2m﹣8．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】对第（1）问，由m≤f（x）恒成立知，m≤f（x）min，只需求得f（x）的最小值即可．对第（2）问，先将m的值代入原不等式中，再变形为|x﹣3|≤4+2x，利用“|g（x）|≤h（x）⇔﹣h（x）≤g（x）≤h（x）”，可得其解集．【解答】解：（Ⅰ）要使f（x）≥m恒成立，只需m≤f（x）min．由绝对值不等式的性质，有|2x﹣1|+|2x+5|≥|（2x﹣1）+（2x+5）|=6，即f（x）min=6，所以m≤6．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，m=6，所以原不等式化为|x﹣3|﹣2x≤4，即|x ﹣3|≤4+2x，得﹣4﹣2x≤x﹣3≤4+2x，转化为，化简，得，所以原不等式的解集为．。
【精品解析】黑龙江省大庆市2019届高三上学期第二次模拟考试数学(理)试题 (附解析)
黑龙江省大庆市2019届高三上学期第二次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合的具体范围，然后求两个集合的交集，从而得出正确选项【详解】由解得，故.故选D.【点睛】本小题主要考查集合交集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2.若复数满足（其中是虚数单位），则（）A. 2B. 4C.D.【答案】A【解析】【分析】利用复数乘法和除法运算，化简为的形式，再求的模.【详解】依题意，故.故选A.【点睛】本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数的除法运算，考查复数的模，属于基础题.3.设命题在定义域上为减函数；命题为奇函数，则下列命题中真命题是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别判断命题的真假性，由此判断出正确的选项.【详解】对于命题，的减区间是和，不能写成并集，故命题为假命题.对于命题，为奇函数，故命题为真命题.所以为真命题，故选C.【点睛】本小题主要考查含有简单逻辑连接词命题真假性的判断，还考查了函数的单调性，三角函数的诱导公式以及三角函数的奇偶性，属于中档题.4.设，满足约束条件则的最小值是( )A. -7B. -6C. -5D. -3【答案】B【解析】试题分析：作出可行域：，并作出直线，平移到经过点Ｅ(3,4)时，目标函数取得最小值为：；故选B．考点：线性规划．【此处有视频，请去附件查看】5.在等差数列中，，是方程的两个实根，则( )A. B. -3 C. -6 D. 2【答案】A【解析】【分析】利用韦达定理列出，的关系式，然后利用等差数列的性质求得所求表达式的值.【详解】由于，是方程的两个实根，所以，所以.故选A.【点睛】本小题主要考查等差数列的基本性质，考查一元二次方程根与系数关系，属于中档题.6.已知，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用对数运算的公式化简为形式相同的表达式，由此判断出的大小关系.【详解】依题意得，，，而，所以，故选C.【点睛】本小题主要考查对数的运算公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.7.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等.现有同高的三棱锥和圆锥满足祖暅满足祖暅原理的条件.若圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，由此推算三棱锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据圆锥侧面展开图是半径为的半圆，计算出圆锥的体积，也即是三棱锥的体积.【详解】设圆锥的底面半径为，则，解得，故圆锥的高为，所以圆锥的体积也即三棱锥的体积为.故选D.【点睛】本小题主要考查圆锥侧面展开图与底面圆的半径的关系，考查中国古代数学文化，属于基础题.8.已知是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，若，则直线的斜率为( )A. 3B. 1C. 2D.【答案】B【解析】【分析】根据求得的值，利用点差法求得直线的斜率.【详解】由于为中点，根据抛物线的定义，解得，抛物线方程为.设，则，两式相减并化简得，即直线的斜率为，故选B.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查利用点差法求解有关弦的中点问题，属于中档题.9.已知函数，的值域为，则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由的取值范围，求得的取值范围，结合函数的值域，求得的取值范围.【详解】由于，所以，由于，所以，解得.故选C.【点睛】本小题主要考查三角函数值域，考查三角函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题.10.某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥4个侧面中，直角三角形共有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】A【解析】【分析】画出三视图对应的直观图，根据直观图，判断出个侧面中有几个直角三角形.【详解】画出三视图对应的四棱锥如下图所示.由三视图可知是直角三角形.而，所以，即为直角三角形.所以直角三角形一共有个，故选A.题.11.已知双曲线的右焦点为，过作双曲线渐近线的垂线，垂足为，直线交双曲线右支于点，且为线段的中点，则该双曲线的离心率是（）A. 2B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求得点的坐标，根据中点坐标公式求得点坐标，将点坐标代入双曲线方程，化简后求得双曲线的离心率. 【详解】由于双曲线焦点到渐近线的距离为，所以，所以，由于是的中点，故，代入双曲线方程并化简得，即，.【点睛】本小题主要考查双曲线的几何性质，考查双曲线焦点到渐近线的距离，考查中点坐标公式，考查双曲线离心率的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.双曲线焦点到渐近线的距离是一个定值，这个要作为结论来记忆.要求双曲线的离心率，可从一个等式中得到，本题通过双曲线上一个点的坐标来得到一个等式，由此解出双曲线的离心率.12.已知是定义在上的可导函数，且，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，利用已知条件求得的正负，由此判断函数的单调性，并解出不等式的解集.【详解】由得，构造函数，，故为上的减函数.原不等式可转化为，即，所以，解得，故选B.【点睛】本小题主要考查函数导数运算，考查利用导数判断函数的单调性，考查构造函数法解函数不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.题目给定一个含有导数的式子，此类题目主要的解题方法是构造函数法，构造出符合题目已知条件的函数，通过所给的条件得出所构造函数的单调性，由此来解不等式.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（将答案填在答题纸上）13.______．【答案】【解析】【分析】利用微积分基本定理计算出定积分.【详解】依题意.【点睛】本小题主要考查利用微积分基本定理计算定积分，考查原函数的求法，属于基础题.14.已知，为锐角，且，则_____．【答案】【解析】【分析】将题目所给方程展开后，化简为的形式，由此求得的大小.【详解】将展开得，即，由于，为锐角，，故.【点睛】本小题主要考查利用两角和的正切公式对已知条件进行化简，考查特殊角的三角函数值，属于中档题. 15.已知球是棱长为4的正方体的外接球，，分别是和的中点，则球截直线所得弦长为______．【答案】【解析】【分析】先求得球心到直线的距离，然后利用勾股定理求得所求弦长.【详解】依题意可知球心为正方体体对角线的交点处，将球心和投影到平面内，画出图像如下图所示，由图可知到直线的距离为.由于球的半径等于正方体对角线的一半，即，根据勾股定理求得所求弦长为.【点睛】本小题主要考查正方体的外接球，考查与球有关的长度的计算，考查空间想象能力，属于中档题.与球有关的问题求解的关键在于找到球心的位置，本题由于几何体为正方体，球心在体对角线的中点处.求与球有关的弦长问题，主要先求得球心到弦的距离，然后利用勾股定理可求出弦长.16.已知为的外心，，，，设，则_____．【答案】3【解析】【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，计算出外心的坐标，由此求得的值.【详解】以为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示，根据已知条件可知.根据外心的几何性质可知在直线上.中点坐标为，的斜率为，故中垂线的斜率为，方程为，令，解得.由得，解得，所以.【点睛】本小题主要考查向量的坐标运算，考查利用向量求解有关平面几何的问题，考查外心的定义以及找外心的方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.由于题目涉及到向量的运算，而且题目所给三角形的角度比较特殊，故可采用建立坐标系的方法，利用代数化来解决几何问题.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设数列的前项和为，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用，求得数列{}是等比数列，由此求得数列的通项公式.（2）先求得的通项公式，然后利用裂项求和法求得的值.【详解】（Ⅰ）当时，由得，∴.当时，，∴.∴是以为首项，以为公比的等比数列.其通项公式为.（Ⅱ）∵∴【点睛】本小题主要考查利用求数列的通项公式，考查利用裂项求和法求数列的前项和.属于中档题.18.在中，内角，，所对的边分别为，，，且.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，面积为1，求边中线的长度.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角形内角和定理以及正弦定理化简已知条件，求得的值，利用齐次方程求得的值.（2）根据（1）求得的值，求出的值，根据三角形的面积列方程，求得的值，利用余弦定理求得的值，然后可利用余弦定理、向量的模或者平行四边形的性质，求得边中线的长.【详解】（Ⅰ）∵，∴，由正弦定理得∵，∴，∴.∴.（Ⅱ）∵，且，∴为锐角.且，∴，∵，∴.在中，由余弦定理得，.设边的中点为，连接.法一：在，中，分别由余弦定理得：∴，∴.法二：∵，∴，.法三：由平行四边形的性质得：，∴.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查利用余弦定理解三角形，属于中档题.19.如图所示，在四棱锥中，平面，，，AP=AD=2AB=2BC，点在棱上.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）当平面时，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（I）设中点为，连接、.设出的边长，通过计算证明，根据已知得到，由此证得平面，从而证得.（II）以为空间坐标原点建立空间直角坐标系，利用平面计算出点的坐标，根据直线的方向向量和平面的法向量计算出线面角的正弦值.【详解】（Ⅰ）设中点为，连接、.由题意.∵，∴四边形为平行四边形，又，∴为正方形.设，在中，，又，.∴，∴.∵平面，平面，∴.∵，平面，且，∴平面.∵平面，∴.（Ⅱ）因为平面，所以，，又，故，，两两垂直，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.由（Ⅰ）所设知，则，，，.由已知平面，∴，设，则.，∵，∴，，∴.设平面的法向量，则令，得.设所求的角为，.所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查线面垂直的证明，考查利用空间向量的方法计算直线与平面所成角的正弦值，属于中档题.20.已知椭圆的离心率为，短轴长为4.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作两条直线，分别交椭圆于，两点（异于点）.当直线，的斜率之和为定值时，直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】（I）根据椭圆的离心率和短轴长列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.（II）当直线的斜率存在时，设出直线的方程，根据化简得到表达式.联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，并代入上面求得的表达式，化简后可求得的关系式，带回直线的方程，由此求得直线所过定点.当直线斜率不存在时，设直线的方程为，利用，求出的值，由此判断此时直线所过定点.【详解】（Ⅰ）由题意知：，，.解得，，，所以椭圆方程为.（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线方程为，，由，得，整理得联立，消去得，由题意知二次方程有两个不等实根.∴，，代入得.整理得.∵，∴，∴，即.所以直线过定点.当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，，，其中.∴ ，由，得，∴.∴当直线的斜率不存在时，直线也过定点.综上所述，直线恒过定点.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.求解椭圆的标准方程，主要方法是根据题目所给已知条件，结合列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.在设直线方程时，要注意考虑直线斜率是否存在.21.已知函数.（Ⅰ）若点在函数的图象上运动，直线与函数的图象不相交，求点到直线距离的最小值；（Ⅱ）若当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（I）先求得函数的定义域，然后利用导数求得函数对应图像上与平行的切线方程，利用两平行线间的距离公式求得到直线距离的最小值.（II）（1）构造函数，利用的导函数，对分类讨论函数的单调性，结合求得的取值范围. （2）将分类常数，转化为，利用导数求得的最小值，由此求得的范围.结合（1）（2）可求得的的取值范围.【详解】（Ⅰ）的定义域为，.由题意，令，得，解得或（舍去），∵，∴到直线的距离为所求的最小值.（Ⅱ）（1）当，恒成立时，设，.①当即时，，，，所以，即在上是增函数.又，即，∴时满足题意.②当即时，令.因为，所以存在，使.当时，，即，在上是减函数，，∴时，不恒成立；（2）当，恒成立时，.设，，，，，，∴在上是减函数，在上是增函数，，∴.综上所述，的取值范围是.【点睛】本小题主要考查曲线上的点到直线的最小距离的求法，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.要求曲线上的点到直线的最小距离，是通过找到曲线上和直线平行的一条直线，利用两条平行直线间的距离公式，来求得最小值.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），是上的动点，点满足，点的轨迹为曲线.（Ⅰ）求的普通方程；（Ⅱ）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线与交于，两点，交轴于点，求的值.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(I)设出点的坐标，根据两个向量相等的坐标表示，求得点的坐标，消去参数后得到的普通方程.（II）方法一：先求得直线的直角坐标方程，联立直线的方程和的方程，求得交点的坐标，利用两点间的距离公式求得的长，进而求得的值.方法二：先求出直线的参数方程，将参数方程代入的方程，利用直线参数的几何意义，求得的值.【详解】（Ⅰ）设，.∵∴，消去得的普通方程为.（Ⅱ）法一：直线的极坐标方程，即.∵，，得直线的直角坐标方程为.∴，由得，∴，.∴，，∴.法二：直线的极坐标方程，即.∵，，得直线的直角坐标方程为.∴.∵直线的倾斜角为，∴可得直线的参数方程为（为参数）.代入，得，设此方程的两个根为，，则.∴.【点睛】本小题主要考查轨迹方程的求法，考查极坐标和直角坐标的转化，考查直线的参数方程，属于中档题. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）求函数的值域.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（I）利用零点分段法去绝对值，然后解不等式求得解集.（II）利用绝对值不等式求得的最小值，根据的单调性，求得的值域【详解】（Ⅰ）∵，即，当时，原不等式化为，解得，∴，当时，原不等式化为，解得，∴，当时，原不等式化为，解得，∴，综上，原不等式的解集为.（Ⅱ）设，则.∵，∴的最小值为1.∵在上是减函数，∴，∴函数的值域为.【点睛】本小题主要考查含有绝对值不等式的解法，考查利用绝对值不等式求不等式的最小值，考查指数函数的单调性，属于中档题.。
黑龙江省大庆市2019届高三第二次模拟考试
黑龙江省大庆市2019届高三第二次模拟考试语文试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上.第I卷（选择题)一、选择题阅读下面的文字，完成下列小题。
自媒体时代信息传播与交往方式的重大变革对“立德树人”所立之“德”产生了深刻的冲击与影响。
海量信息的自由开放和“零门槛”，可能引发社会成员价值取向和判断的混乱，并使整个社会价值体系日趋多元化。
在这一趋势中，“德”的主导性也随之被消解，这种消解在自媒体时代产生的“圈子文化”中有较多的体现。
自媒体时代完成了以传播方式为中心的一系列变革，使人的思维方式与交往方式活跃起来，社会成员开始以自我为中心建立各种“小圈子”“大圈子”。
“圈子”的扩大催生了“圈子文件”，社会舆论则在不同“圈子”的信息交互和影响中产生，随着“圈子”量的增加与影响域的扩散而扩大。
由于监管审查机制尚不完善，主体权力容易得到极致发挥，社会舆论易通过非理性方式表达。
一些视觉冲击力强、视角标新立异的内容往往会对“圈子”内成员甚至其他“圈子”产生影响，进而疏导舆论的走向，甚至衍生出舆论危机。
而舆论危机一旦爆发，就会借由自媒体广阔的话语平台与话语媒介，形成一股影响极大的“舆论波”，从而削弱“德”的主导地位。
若想恢复“德”的主导性，就要建构自媒体时代“立德树人”的新模式。
首先，创建自媒体时代“立德树人”的“联动产品”。
“联动产品”是指创建一些区别于其他教育活动与文化产品的彰显“立德树人”根本属性的自媒体产品。
这些产品既有共同的教育目标，又能充分发挥联动性作用。
这既包括微博“大V”、公众号等意见领袖，也包括网易公开课等能够发挥协同传播效用的教育平台，还包括“那年那兔那些事儿”等兼具观赏性、教育性的文化产品。
其次，营造自媒体时代“立德树人”的“舆论场”。
我们要在舆论爆发前建立舆情预警系统；在舆论爆发初期积极设置议题与议程，引导社会舆论朝向积极、有利的方向发展；在舆论发展中期，做好信息公开，依托国家数字化教育资源中心等平台实现社会范围内的资源共享；在舆论发展中后期，启动舆情监督系统，设置“把关人”。
黑龙江省大庆市2019届高三第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)
【答案】C
【解析】
【分析】
分别判断命题 的真假性，由此判断出正确的选项.
【详解】对于命题 ， 的减区间是 和 ，不能写成并集，故命题 为假命题.对于命题 ， 为奇函数，故命题 为真命题.所以 为真命题，故选C.
【点睛】本小题主要考查含有简单逻辑连接词命题真假性的判断，还考查了函数的单调性，三角函数的诱导公式以及三角函数的奇偶性，属于中档题.
【点睛】本小题主要考查函数导数运算，考查利用导数判断函数的单调性，考查构造函数法解函数不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.题目给定一个含有导数的式子，此类题目主要的解题方法是构造函数法，构造出符合题目已知条件的函数，通过所给的条件得出所构造函数的单调性，由此来解不等式.
第Ⅱ卷（非选择题）
19.如图所示，在四棱锥 中， 平面 ， ， ，AP=AD=2AB=2BC，点 在棱 上.
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）当 平面 时，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）见证明；（2）
【解析】
【分析】
（I）设 中点为 ，连接 、 .设出 的边长，通过计算证明 ，根据已知得到 ，由此证得 平面 ，从而证得 .（II）以 为空间坐标原点建立空间直角坐标系，利用 平面 计算出 点的坐标，根据直线 的方向向量和平面 的法向量计算出线面角的正弦值.
∴ 是以 为首项，以 为公比的等比数列.其通项公式为 .
（Ⅱ）∵
∴
【点睛】本小题主要考查利用 求数列的通项公式，考查利用裂项求和法求数列的前 项和.属于中档题.
18.在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ， 面积为1，求 边中线的长度.
黑龙江省大庆市2019届高三第二次模拟考试数学(文)试题
黑龙江省大庆市2019届高三第二次模拟考试数学（文）试题注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一． 选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}4,3,2,1=M ，{}2,2-=N ，则下列结论成立的是 （A ）M N ⊆ （B ）MN M = （C ）M N N = （D ）{}2MN =（2）从甲、乙、丙三名学生中选出两名，参加两个不同学习小组，其中甲、乙不同时入选的概率为（A ）56 （B ）23 （C ）12 （D ）34（3）已知命题x x R x p lg 2,:>-∈∃，命题0,:2>∈∀x R x q ，则（A ）命题q p ∨是假命题 （B ）命题q p ∧是真命题 （C ）命题)(q p ⌝∧是真命题 （D ）命题)(q p ⌝∨是假命题（4）已知0x 是函数x x f x21log 3)(-=的零点，若010x x <<，则)(1x f 的值满足（A ）0)(1>x f （B ）0)(1<x f（C ）0)(1=x f （D ）0)(1>x f 与0)(1<x f 均有可能（5）双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的渐近线方程是02=±y x ，则其离心率为（A ）5（B ）25（C ）3 （D ）5 （6）等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若21,,++n n n S S S 成等差数列，则公比q 为（A ）2-或1 （B ）1（C ）2- （D ）2或1-（7）阅读如图所示的程序框图，若输入919a =， 则输出的k 值是（A ）9 （B ）10（C ）11（D ）12（8）已知角α的终边在射线()403y x x =-≤上，则 sin 2tan2αα+=（A ）2625 （B ）7425- （C ）2350- （D ）9775-（9）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（A ）224+（B ）244+（C ）8 （D ）10522+++（10）已知P 是抛物线x y 42=上的一个动点，Q 是圆()()22311x y -+-=上的一个动点，)0,1(N 是一个定点，则PQ PN +的最小值为（A ）3 （B ）4 （C ） 5 （D ） 21（11）函数),0()0,(,sin ππ⋃-∈=x xxy 的图象可能是下列图象中的（A ） （B ） （C ） （D ）2 开始a 输入1,0k S ==1(21)(21)S S k k =+-+1k k =+?S a >是否k输出结束222正视图 侧视图俯视图C 1B 1A 1D（12）已知定义在R 上的函数)(x f 满足)(x f =223,([0,1))3,([1,0))x x x x ⎧∈⎪⎨∈⎪⎩＋－－，且)()2(x f x f =+，273)(++=x x x g ，则方程)()(x f x g =在区间]3,8[-上的所有实数根之和为 （A ）0 （B ）10- （C ）11- （D ） 12-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题～（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答.第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答. 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）若复数z 满足)1(2i i z +=-（i 为虚数单位），则=z .（14）在数列{}n a 中，11,a =当n N *∈时，1120n n n n a a a a ++-+=，则{}n a 的通项公式为_____________. （15）已知1=，OB k =,0=⋅OB OA ，点C 在AOB ∠内，且 30=∠AOC ，设2()OC OA OB R λλλ=+∈，则k 等于__________.（16）正方体1111D C B A ABCD -的各顶点都在球O 的球面上，若三棱锥11D AB O -的体积为32，则球O 的体积为____________.三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知BC S ABC =∆2. （I ）求角B ；（II ）若2b =,求a c +的取值范围.（18）（本小题满分12分）已知侧棱垂直于底面的三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都相等，D 为棱1AA 中点.（I ）证明：11DB BC ⊥；（II ）在线段BC 上是否存在点E ,使DE ∥平面11C BA ，若存在,确定点E 的位置；若不存在，请说明理由.（19）（本小题满分12分）某校有1400名考生参加市模拟考试，现采取分层抽样的方法从文、理考生中分别抽取20份和50份数学试卷，进行成绩分析，得到下面的成绩频数分布表：（I ）估计文科数学平均分及理科考生的及格人数（90分为及格分数线）； （II ）在试卷分析中，发现概念性失分非常严重，统计结果如下：问是否有90%的把握认为概念失分与文、理考生的不同有关？ 附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=（20）（本小题满分12分）已知直线01:1=-+y x l 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 相交于B A ,两点，M 是线段AB 上的一点，BM AM -=，且点M 在直线x y l 21:2=上. （I ）求椭圆的离心率；（II ）设椭圆左焦点为1F ，若1AF B ∠为钝角，求椭圆长轴长的取值范围. （21）（本小题满分12分）已知函数21()ln (0)2f x x ax x a =-->. （I ）当2=a 时，求)(x f y =的单调区间和极值；（II ）若存在12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，使12()()f x f x =，证明：0)2(21<+'x x f .请考生在第（22）～（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中. （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，圆O 的直径10=AB ，P 是AB 延长线上一点，2=BP ，割线PCD 交圆O 于点C 、D ，过点P 作AP 的垂线，交直线AC 于点E ，交直线AD 于点F .（I ）求证：PDF PEC ∠=∠；（II ）求PF PE ⋅的值.（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C : 122=+y x ，在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的极坐标方程为6)sin cos 2(=-θθρ.（I ）将曲线1C 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的3倍、2倍后得到曲线2C ，试写出直线l 的直角坐标方程和曲线2C 的参数方程；（II ）在曲线2C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值.（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数a x x x f 212)(-+-=. （I ）当1=a 时，求3)(≤x f 的解集；（II ）当[]2,1∈x 时，3)(≤x f 恒成立，求实数a 的集合.数学试题参考答案及评分标准（文科）说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一．选择题二．填空题（13）i -1； （14）121n a n =-； （15； （16）π34三. 解答题（17）（本小题满分12分）解：（I ）由已知得sin cos ac B B =, ……………………………………2分 ∴3tan =B ，∵π<<B 0，∴3π=B . …………………………………4分（II ）法一：由余弦定理得2242cos3a c ac π=+-， ……………………………6分∴()()2224332a c a c ac a c +⎛⎫=+-≥+- ⎪⎝⎭（当且仅当a c =时取等号）， …………9分 解得04a c <+≤. ………………………………11分又b c a >+，∴42≤+<c a ，∴a c +的取值范围是(]2,4. …………………………………12分 法二：由正弦定理得C c A a sin 34,sin 34==， ……………………………6分又32π=+C A ，∴)]sin([sin 34)sin (sin 34B A A C A c a ++=+=+， …………7分FC 1B 1A 1DEC BA)]3sin([sin 34π++=A A )cos 23sin 21(sin 34A A A ++=， ……………8分)6sin(4)cos 21sin 23(4π+=+=A A A . ………………………………………10分 ∵320π<<A ，∴6566πππ<+<A ，∴1)6sin(21≤+<πA ∴a c +的取值范围是(]2,4. …………………………………………………12分 （18）（本小题满分12分） 解：（I ）连结CB 1,设11BC B C F =,连结1,,DC DB DF ，∵四边形11B BCC 是正方形，∴C B BC 11⊥且F 为1BC 的中点. …………2分 由题意知DAB Rt C DA Rt ∆≅∆11，∴1DC DB =，∴DF BC ⊥1. …………4分又∵⊂C B DF 1,平面DC B 1，F C B DF =⋂1，∴⊥1BC 平面DC B 1. …………6分 ∵⊂1DB 平面DC B 1，∴11DB BC ⊥. ……………………………………7分 （II ）存在点E 为BC 的中点，使//DE 平面11BA C . …………………………8分 连接F A EF 1,,EF121CC ，D A 1121CC ，∴EF ∥D A 1， ∴四边形D EFA 1为平行四边形，∴F A 1∥DE . ………………………………10分 ∵⊂F A 1平面11C BA ，⊄DE 平面11C BA ，∴DE ∥平面11C BA . ………………12分 （19）（本小题满分12分）解: （I ）∵1524547581053135376.520⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∴估计文科数学平均分为76.5. ……………………………………………………3分∵501400100070⨯= ， 208100056050+⨯=，∴理科考生有560人及格. ………………………………………………………6分（II ）706.24.145255020)3052015(7022<=⨯⨯⨯⨯-⨯=K . ……………………………10分 故没有90%的把握认为概念失分与文、理考生的不同有关. ……………………12分 （20）（本小题满分12分） 解：设B A ,两点的坐标分别为),().,(2211y x B y x A .（I ）由BM AM -=知M 是AB 的中点， ……………………1分由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+,1,012222b y ax y x 得：02)(2222222=-+-+b a a x a x b a ， ∴222212b a a x x +=+，222212122)(b a b x x y y +=++-=+， …………………3分 ∴点M 的坐标为),(222222b a b b a a ++. ………………………4分 又点M 在直线2l 上，∴02222222=+-+b a b b a a ， ∴)(222222c a b a -==，∴222c a =，∴22=e . …………………6分 （II ）由（I ）知c b =，方程化为2234220x x c -+-=()2162410,c c ∆=-->>………………………7分 ∴3421=+x x ,212223c x x -=,31321)(2212121+-=++-=c x x x x y y .………8分 由已知知011<⋅B F A F ,即0)(),(),(21221212211<++++=+⋅+y y c x x c x x y c x y c x代入得0342>--c c ,解得72+>c 或72-<c ，综上得72+>c . …………………11分又a = , ∴a 2的取值范围是),14224(+∞+. ……………………12分 （21）（本小题满分12分）解：（I ）当2=a 时，2()ln (0)f x x x x x =-->，∴2121(1)(21)()21x x x x f x x x x x +-+-'=--=-=-，………………………………2分令0)(>'x f ，则210<<x ；令()0f x '<，则21>x ，∴)21,0(是)(x f 的单调递增区间，),21(+∞是)(x f 的单调减区间. …………………5分当21=x 时，)(x f 取极大值为2ln 43--. ………………………………………………6分（II ）解法1： 不妨设012>>x x ，由已知，得)21(ln )21(ln )()(1211222212x ax x x ax x x f x f -----=- )]()(21[ln ln 12212212x x x x a x x -+---=，0)](1)(21[ln ln 121212=-++--=x x x x a x x∴1)(21ln ln 121212++=--x x a x x x x . ……………………………………………………8分∵11)(--='ax xx f ， ∴121221212121ln ln 21)(22)2(x x x x x x x x a x x x x f ---+=-+-+=+' ]ln 1)1(2[112121212x x x x x x x x -+--=. …………………………………………9分 设12x x t =，)1(ln 1)1(2)(>-+-=t t t t t g . ………………………………………………10分∵0)1()1()(22<+--='t t t t g ，∴)(t g 在(1,)+∞上是减函数，∴0)1()(=<g t g ，即0ln 1)1(2121212<-+-x x x x x x ，又∵0112>-x x ， ∴0)2(21<+'x x f . ………………………………………………12分解法2：不妨设012>>x x ， 由已知，得)21(ln )21(ln )()(1211222212x ax x x ax x x f x f -----=- )]()(21[ln ln 12212212x x x x a x x -+---=， 0)](1)(21[ln ln 121212=-++--=x x x x a x x ∴1)(21ln ln 121212++=--x x a x x x x . ……………………………………………………8分 ∵11)(--='ax x x f ， ∴121221212121ln ln 21)(22)2(x x x x x x x x a x x x x f ---+=-+-+=+' 21122121221(ln ln )x x x x x x x x -=+--+. ……………………………………9分 令222222()ln ln ((0,))x x g x x x x x x x-=+-∈+. ………………………………………10分 ∴2222()()0()x x g x x x x -'=>+，∴()g x 在2(0,)x 单调递增，∴12()()0g x g x <=， 又2110x x >-，∴0)2(21<+'x x f . ………………………………………12分（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲解法1：（I ）连接BC ，则 90=∠=∠APE ACB ，即B 、P 、E 、C 四点共圆.∴CBA PEC ∠=∠. …………………………3分又A 、B 、C 、D 四点共圆，∴PDF CBA ∠=∠∴PDF PEC ∠=∠. ………………………5分（II ）∵PDF PEC ∠=∠，∴F 、E 、C 、D 四点共圆，………………7分∴PD PC PF PE ⋅=⋅，又24)102(2=+⨯=⋅=⋅PA PB PD PC ， ………9分 24=⋅PF PE . ………………………………………10分 解法2：（I ）连接BD ，则AD BD ⊥，又AP EP ⊥∴ 90=∠+∠=∠+∠EAP PEA PDB PDF ，∵EAP PDB ∠=∠，∴PDF PEC ∠=∠. ………5分（II ）∵PDF PEC ∠=∠，DPF EPC ∠=∠，∴PEC ∆∽PDF ∆，∴PDPE PF PC =, 即PD PC PF PE ⋅=⋅, ………………………………7分 又∵24)102(2=+=⋅=⋅PA PB PD PC ， ………………………………………9分 ∴24=⋅PF PE . ………………………………………10分（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（I ）由题意知，直线l 的直角坐标方程为062=--y x ， …………………2分 由题意知曲线2C 的直角坐标方程为1)2()3(22=+y x ，…………………………………4分 ∴曲线2C 的参数方程为3,2sin .x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）. …………………………6分 （II ）设)sin 2,cos 3(ϕϕP ，则点P 到直线l 的距离56)3sin(456sin 2cos 32--=--=ϕπϕϕd ， …………………………8分 当1)3sin(-=-ϕπ时，即点P 的坐标为)1,23(-时，点P 到直线l 的距离最大，此时52564max =+=d . …………………………10分（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（I ）解：原不等式可化为3212≤-+-x x ，当2>x 时，333≤-x ，则2≤x ，无解； …………………………1分 当221≤≤x 时，31≤+x ，则2≤x ，∴221≤≤x ； ………………………3分 当21<x 时，333≤-x ，则0≥x ，∴210<≤x ， ………………………5分 综上所述:原不等式的解集为[]2,0． …………………………6分 （II ）原不等式可化为1232--≤-x a x ，∵[]2,1∈x ，∴x a x 242-≤-， ……………………………7分 即x x a x 24242-≤-≤-，故x a x -≤≤-4243对[]2,1∈x 恒成立，当21≤≤x 时，43-x 的最大值为2，x -4的最小值为2，∴实数a 的集合为{}1． ……………………………10分。
2019年大庆市高三第二次模拟理科数学
大庆市高三第二次教学质量检测试题一、选择题1、已知集合{|(1)(3)0}A x x x =+-<，={1,2,3}B ，则A B ⋂=.A {|13}x x -<< .B {|12}x x ≤≤ .C {1,2,3} .D {1,2}2、若复数z 满足2(2)4(1)i z i +=-+，则||z =.A 2 .B 4 .C5 .D 253、设命题1:()p f x x =在定义域上个为减函数，命题:()cos()2q g x x π=+为奇函数，则下列命题中真命题的是.A p q ∧ .B ()()p q ⌝∧⌝ .C ()p q ⌝∧ .D ()p q ∧⌝4、设,x y 满足约束条件10103x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是.A -7 .B -6 .C -5 .D -35、在等差数列{}n a 中，214,a a 是方程2620x x ++=的两个实根，则8214a a a = .A 32- .B -3 .C -6 .D 26、已知3log 6p =，5log 10q =，7log 14r =，则,,p q r 的大小关系为.A q p r >> .B p r q >> .C p q r >> .D r q p >>7、我国南北朝时期的数学家祖暅提出来了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”。
意思是两个同高的几何体，如果在等高超出的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。
现有同高的三棱锥和圆锥满足祖暅定理的条件，若圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，由此推算三棱锥的体积为.A 233π .B 3π .C 43π .D 33π 8、已知F 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，过点(2,1)R 的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，R 为线段AB 的中点，若||||5FA FB +=，则直线l 的斜率为.A 3 .B 1 .C 2 .D 129、已知函数[]()sin (0),0,3f x x x πωωπ⎛⎫=->∈ ⎪⎝⎭的值域为3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围是.A 15,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ .B 5,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦ .C 55,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦.D ()0,+∞ 10、某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥4个侧面中，直角三角形共有 .A 4个 .B 3个 .C 2个 .D 1个11、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作双曲线渐近线的垂线，垂足为A ，直线AF 交双曲线右支于点B ，且B 为线段AF 的中点，则该双曲线的离心率是.A 2 .B 62 .C 2105.D 2 12、已知()f x 是定义在()0,+∞上的可导函数，且()()f x f x x'>，则不等式21()()0x f f x x->的解集为.A ()0,1 .B ()1,+∞ .C ()1,11,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭ .D 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、填空题 13、(10xedx +⎰=14、已知,αβ为锐角，且()()114αβ=，则αβ+=15已知球O 是棱15、长为4的正方体1234ABCD A B C D -的外接球，,M N 分别是1A B 和1B C 的中点，则球O 截直线MN 所得弦长为16、已知W 为ABC ∆的外心，4,2,120AB AC BAC ︒==∠=，设12AW AB AC λλ=+，则122λλ+=三、解答题17、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233n n S a =- （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设321log n n b a -=，求数列11n n b b +的前n 项和为n T18、在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且sin()2cos b A B C B += （1）求2sin sin 2B B +的值；（2）若2b =，ABC ∆面积为1，求AC 边的中线长。
精品解析：【全国百强校】黑龙江省大庆第一中学2019届高三第二次模拟考试数学(理)试题(原卷版)
2019年黑龙江省大庆一中高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合）
2.已知为虚数单位，则）
3.为正数，且）
4.已知数列）
5.已知函数是奇函数，则实数）
6.是双曲线的左，右焦点，过
的最小值为）
7.我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们．定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活都有着广泛应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样
一个整除问题：将到
）
8.执行下面框图对应的程序，输出的）
9.已知函数
，则下列说法错误的是（ ）
A.
y 轴对称 B.
的极小值为C.
D. 的值域为
10.在三棱锥
已知
若
四点均在球 ）
B. 11.已知是函数
的
） 12.已知点是椭圆动点，过两点，则
）
二、填空题：本共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量．
14.已知直线
相切于点
，则直线_____．。
黑龙江省大庆第一中学2018-2019学年高一下学期第二次阶段考试数学(理)试题(精编含解析)
大庆一中高二年级下学期第二次阶段考试数学试题一、选择题（12×5=60）1.已知积分，则实数k＝( )A. 2B. －2C. 1D. －1【答案】A【解析】【分析】先求出被积函数的一个原函数，利用微积分基本定理即可得出答案。
【详解】因为，所以，所以k＋1＝k，所以k＝2.【点睛】本题主要考察微积分基本定理的应用，属于基础题。
2.已知某物体的运动方程是，则当时的瞬时速度是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据瞬时速度为位移对应导数值求解.【详解】当时的瞬时速度是为导函数在的值，因为，所以，因此当时的瞬时速度是，选C.【点睛】本题考查导数在物理上的应用，考查基本分析求解能力，属基础题.3.为椭圆（）上异于左右顶点、的任意一点，则直线与的斜率之积为定值.将这个结论类比到双曲线，得出的结论为：为双曲线（）上异于左右顶点、的任意一点，则（ ）A. 直线与的斜率之和为定值B. 直线与的斜率之和为定值2C. 直线与的斜率之积为定值D. 直线与的斜率之积为定值2【答案】C 【解析】【分析】验证直线PA 1与PA 2的斜率之积为定值即可.【详解】设 则即，，故选C.【点睛】本题主要考查了类比的思想，双曲线的简单性质，属于中档题.4.设函数在R 上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是A. 函数有极大值和极小值B. 函数有极大值和极小值C. 函数有极大值和极小值D. 函数有极大值和极小值【答案】D【解析】：则函数增；则函数减；则函数减；则函数增；【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于0则函数递减5.幻方，是中国古代一种填数游戏．阶幻方是指将连续个正整数排成的正方形数阵，使之同一行、同一列和同一对角线上的个数的和都相等．中国古籍《周易本义》中的《洛书》记载了一个三阶幻方（如图），即现在的如图．若某3阶幻方正中间的数是2018，则该幻方中的最小数为（）A. 2013B. 2014C. 2015D. 2016【答案】B【解析】【分析】根据三阶幻方对应关系可得结果.【详解】由题意得3阶幻方正中间的数是5时，幻方中的最小数为1；因此3阶幻方正中间的数是2018时幻方中的最小数为，选B.【点睛】本题考查合情推理，考查基本分析求解能力，属基础题.6.函数的部分图象大致为( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】可得为奇函数，，排除，当时，可得，在区间上单调递增，排除即可得到结论【详解】，定义域为，关于原点对称，，则，为奇函数，故排除，，故排除，当时，可得，当时，，为增函数，故排除故选【点睛】本题考查了函数的图象的判断，一般通过函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，变化趋势等知识来解答。
黑龙江省大庆第一中学2019届高三第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)
产品重量（克）
频数
（490，495]
6
（495，500]
8
（500，505]
14
（505，510]
8
（510，515]
4
（1）根据上表数据在答题卡上作出甲流水线样本的频率分布直方图；
（2）若以频率作为概率，试估计从两条流水线分别任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率分别是多少；（3）由以上统计数据完成下面2×2列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关”．
5．（5分）已知函数f（x）＝log2（ +m）是奇函数，则实数m＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【分析】根据奇函数的定义得f（﹣x）+f（x）＝0恒成立．
【解答】解：依题意：f（﹣x）+f（x）＝log2（ +m）+log2（ +m）＝0恒成立，
即（m+ ）（m+ ）＝1，即 （m+1）+m2﹣1＝0，
A．58B．59C．60D．61
【分析】由数能被5除余2且被7除余2的数就是能被35整除余2的数，运用等差数列通项公式，以及解不等式即可得到所求项数．
【解答】解：由数能被5除余2且被7除余2的数就是能被35整除余2的数，
故an＝2+（n﹣1）35＝35n﹣33．
由an＝35n﹣33≤2019
得n≤58+ ，n∈N+，
5．（5分）已知函数f（x）＝log2（ +m）是奇函数，则实数m＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
6．（5分）设F1，F2是双曲线 ＝1（b＞0）的左，右焦点，过F1的直线1交双曲线的左支于A，B两点，若|AF2|+|BF2|的最小值为13，则双曲线的离心率为（ ）
黑龙江省大庆市实验中学近年届高三数学下学期二模考试试题文(含解析)(最新整理)
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析)一、单选题（共12小题，共60分）1.设全集U ＝{x N ∈|﹣1＜x ＜5}，集合A ＝｛1，3}，则集合∁U A 的子集的个数是（ ） A. 16 B 。
8 C. 7 D. 4【答案】B 【解析】因为{}{}|1501234U x N x ，，，，=∈-<<=，{}13A =，，所以{}024U C A =，，，集合U C A 的子集的个数是32=8 ，故选B.2。
下列各式的运算结果为纯虚数的是( ） A 。
i （1+i ）2B. i 2（1﹣i ）C. （1+i ）2D. i （1+i ）【答案】C 【解析】2i 1+i)i 2i=-2,=⋅（ 2i (1i)1i -=-+ ,2(1i)2i += ,i(1i)1i +=-+ ，所以选C.3.数列｛a n }的通项公式为a n ＝3n 2﹣28n ，则数列｛a n }各项中最小项是（ ） A 。
第4项 B. 第5项 C 。
第6项 D. 第7项【答案】B 【解析】二次函数()2328f x x x =-的对称轴为281424633x -=-==, 数列中的项为二次函数自变量为正整数时对应的函数值， 据此可得：数列{}n a 各项中最小项是第5项.本题选择C 选项.4。
在矩形ABCD 中，2AB =，2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在CD ，若2AB AF ⋅=,则AE BF ⋅的值（ )2 B 。
黑龙江省大庆市2019届高三第二次模拟考试数学(理)试题
y2
1 上的一个动点，
43
N (1,0) 是一个定点，若 AB ∥ x 轴，且 x1 x2 ，则 NAB 的周长 l 的取值范围为
（ A ） (10 ,5) 3
8 （ B ） ( ,4)
3
10 （ C） ( ,4)
3
11 （D ） ( ,5)
3
（ 12 ）已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f ( x)
3
4 [sin A sin( A B)]
3
， ……… 7 分
4 [sin A sin( A )]
3
3
4 (sin A 1 sin A 3 cos A)
3
2
2
，
…………… 8 分
4( 3 sin A 1 cos A) 4sin( A )
2
2
6.
……………………………………… 10 分
2
5
1
0A
A
sin( A ) 1
三 . 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
.
（ 17）（本小题满分 12 分）
在 ABC 中，角 A, B , C 所对的边分别为 a,b,c ，已知 2S ABC （ I ）求角 B ；
3 BA BC .
（ II ）若 b 2 , 求 a c 的取值范围 .
（ 18）（本小题满分 12 分）
f (ab)
af (b) bf (a) ， a n
f (2n) 2n (n
N* ) ， bn
f ( 2n ) (n
n
N * ) ，给出下列命题：①
f (0) f (1)；② f ( x) 为奇函数；③数列 an 为等差数列；④数列 bn 为等比数列 .
2019届黑龙江省大庆第一中学高三第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)
2019届黑龙江省大庆第一中学高三第二次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】可解出集合，然后进行并集的运算即可．【详解】，故选：【点睛】考查描述法、区间的定义，对数函数的定义域，以及并集的运算，属于简单题目. 2．设为正数，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据基本不等式即可求出．【详解】设为正数，且，当且仅当时取等号，故选：【点睛】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．3．已知数列是等差数列，．则使的的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知条件推导出，再由等差数列的求和公式，由此能求出使前项和成立的最小自然数的值.【详解】因为等差数列，首项，，所以，由，可得，，所以使前项和成立的最小自然数的值为16，故选D.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的求和公式，等差数列的性质，属于简单题目.4．已知函数是奇函数，则实数（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据奇函数的定义得恒成立．【详解】依题意：恒成立，即即，，解得故选：【点睛】本题考查了函数奇偶性的性质与判断，属基础题．5．设是双曲线的左，右焦点，过的直线交双曲线的左支于两点，若的最小值为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据双曲线的标准方程可得a＝2，再由双曲线的定义可得得到，再根据两点的位置特征得到答案．【详解】根据双曲线的标准方程，得，由双曲线的定义可得：可得：过双曲线的左焦点的直线交双曲线的左支于两点，当是双曲线的通经时最小．解得，则故选：【点睛】本题考查两条线段和的最小值的求法，解题时要合理运用双曲线的简单性质，是中档题．6．我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们．定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活都有着广泛应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将到这个整数中能被除余且被除余的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由数能被除余且被除余的数就是能被除余的数，运用等差数列通项公式，以及解不等式即可得到所求项数．由数能被除余且被除余的数就是能被除余的数，故由得故此数列的项数为：．故选：【点睛】本题考查数列模型在实际问题中的应用，考查等差数列的通项公式的运用，考查运算能力，属于基本知识的考查．7．执行下面框图对应的程序，输出的，则判断框内应填入的条件是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质．然后对循环体进行分析，找出循环规律．判断输出结果与循环次数以及的关系．最终得出选项.【详解】经判断此循环为“直到型“结构，判断框内为跳出循环的语句，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值由于，由题意，，解得：，即当时，满足判断框内的条件，退出循环，输出可得判断框内应填入的条件是故选：【点睛】本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．题属于基础题.8．在三棱锥中，已知，若四点均在球的球面上，且恰为球的直径，则三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】推导出取中点，连结则从而，进而到平面的距离，由此能求出三棱锥的体积．【详解】在三棱锥中，四点均在球的球面上，且恰为球的直径，取中点，连结，则，，到平面的距离三棱锥的体积：故选：【点睛】本题考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．9．已知点是椭圆上的动点，过作圆的两条切线分别为切于点，直线与轴分别相交于两点，则（为坐标原点）的最小面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，设，由圆的切线方程可得的方程而交于，由此能求出的直线方程，从而可得三角形的面积，利用基本不等式可求最值．【详解】根据题意，设是圆的切线且切点为，则的方程为同理的方程为又由交于点，则有则直线的方程为则的坐标为的坐标为又由点是椭圆的动点，则有则有，即即面积的最小值为.故选：【点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与圆相切，关键是由圆的切线方程分析得到直线AB的方程．二、填空题10．已知直线与圆相切于点，则直线的方程为_____．【答案】【解析】根据题意，分析圆的圆心与半径，又由直线与圆相于点则在直线上且与直线垂直，据此可得且解可得值，代入直线的方程即可得答案．【详解】根据题意，圆即其圆心直线与圆相切于点则在直线上且与直线垂直，，则有，则有，又由在直线上，则有解可得则直线的方程为故答案为：【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相切的性质，属于基础题．11．在正项等比数列中则_____．【答案】【解析】利用等比数列的性质，结合已知条件得到关于的二元方程组，求解后由得到的值，即可求出公比，可得答案【详解】数列是正项等比数列，且联立得或，故答案为：【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．三、解答题12．已知向量，，且，则实数_____．【答案】1【解析】可求出根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出．【详解】；故答案为：．【点睛】考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法和数量积运算．13．在中，已知角所对的边分别为且满足（1）求角；（2）若，试判断的形状．【答案】（1）；（2）直角三角形【解析】（1）用正弦定理化简已知等式，结合诱导公式和两角和的正弦公式化简整理得，再由解出，可得；（2）由已知及余弦定理可得：结合已知等式可求可得利用勾股定理即可判断三角形的形状．【详解】由正弦定理，∴代入上式，得即得得．结合为三角形的内角，可得；又，由余弦定理可得：可得：可得：可得为直角三角形．【点睛】本题主要考查了正弦定理，诱导公式和两角和的正弦公式，余弦定理，勾股定理在解三角形中的综合应用，熟练掌握和应用相关公式定理是解题的关键，属于基础题．14．如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面二面角的大小为，分别是的中点．（1）求证：平面（2）在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）2【解析】（1）连接，取的中点，连接可证平面故而论成立；（2）设建立坐标系，利用向量求出到平面的距离，解方程得出的值，得出结论．【详解】（1）证明：连接，取的中点，连接分别是的中点分别是的中点，又平面，分别是的中点，又平面平面，平面（2）解：平面平面又平面为二面角的平面角，即以为坐标原点建立如图所示的空间坐标系如图所示：设则，，．设平面的法向量为，则，，令可得，到平面的距离，解得．，线段上是否存在一点，使得点A到平面EFM的距离为．且．【点睛】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．15．某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量值落在的产品为合格品，否则为不合格品．表是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图．表：甲流水线样本频数分布表（1）根据上表数据在答题卡上作出甲流水线样本的频率分布直方图；（2）若以频率作为概率，试估计从两条流水线分别任取件产品，该产品恰好是合格品的概率分别是多少；（3）由以上统计数据完成下面列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关”．参考公式：其中临界值表供参考：【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析【解析】（1）根据所给的每一组的频数和样本容量做出每一组的频率，在平面直角坐标系中做出频率分布直方图．（2）根据所给的样本中的合格品数，除以样本容量做出合格品的频率，可估计从甲、乙流水线上任取一件产品该产品为合格品的概率；（3）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，得到有的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关．【详解】（1）根据所给的每一组的频数和样本容量做出每一组的频率，在平面直角坐标系中做出频率分步直方图，甲流水线样本的频率分布直方图如下：（2）由图知，甲样本中合格品数为，合格品的频率为，乙样本中合格品数为合格品的频率为据此可估计从甲、乙流水线上任取一件产品该产品为合格品的概率分别为（3）列联表如下有的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关．【点睛】本题考查频率分步直方图，考查列联表，观测值的求法，是一个独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关．16．已知函数其中为自然对数的底数．（1）讨论的单调性；（2）当时，对于，都有成立．求的取值范围；证明：．【答案】（1）见解析；（2）①；②见解析【解析】（1）．对分类讨论即可得出单调性．（2）①由（1）可得：时,取得最小值，，即可解出．②令．利用导数已知其单调性即可得出，恒成立．令．可得．利用累加求和方法即可得出．【详解】（1）．时，，函数在上单调递增．时，令，解得．则函数在单调递减，在单调递增．（2）①由（1）可得：时，取得最小值，，即，解得，解得．．②令，．则，则在单调递增，．，恒成立．令．．．．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、构造法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．17．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线，过点的直线的参数方程，直线与曲线分别相交于两点．（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）是否存在实数，使得成等比数列，并对你的结论说明理由．【答案】（1）,；（2）见解析【解析】（1）利用代入可得的直角坐标方程，消去参数可得直线的普通方程；（2）根据参数的几何意义可得，利用韦达定理代入求解即可.【详解】（1）,，（2）将代入，得，设两点对应的参数分别为，由韦达定理，得，，所以得，，得从而，化简得，而此方程无解，故不存在实数．【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．18．已知函数（1）若，解不等式（2）若关于的不等式的解集为，且，求证：【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）当，不等式．数轴上的对应点到的距离之和，而和到的距离之和正好等于，从而求得的解集．（2）由求得可得，再根据，利用基本不等式证得要证的等式.【详解】（1）当，不等式，即．由绝对值的意义可得，表示数轴上的对应点到的距离之和，而和到的距离之和正好等于，故的解集为．（2）证明：由关于的不等式，则，即，即由解集为，解得．故有，，，当且仅当时，等号成立，故成立．【点睛】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，属于中档题目.。
2019年黑龙江省大庆市高三年级第二次质量检测试题(文数)试卷及答案
高考数学精品复习资料2019.5大庆市高三年级第二次教学质量检测试题数 学（文科）20xx ．1．8命题组成员：戈冉舟 卢伟峰 王艳萍 王书义 李世明 腾文秀 注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}2320A x x x =-+=，集合{}1B x x =>-，则AB =（A ）(1,2) （B ）{}2 （C ）{}1,2- （D ）{}1,2（2）sin 5α=，则22sin cos αα-的值为 （A ）15- （B ）35-（C ）15 （D ）35（3）如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的表面积为（A ）324π+ （B ）244π+ （C ）4123π+（D ）4243π+（4）执行如图所示的程序框图，输出的T = （A ）29 （B ）44 （C ）52 （D ）62（5）下列说法不正确的是 （A ）若“p 且q ”为真，则p 、q 至少有一个是假命题 （B ）命题“0x R ∃∈，20010x x --<”的否定是“x R ∀∈，210x x --≥”（C ）“2πϕ=”是“sin(2)y x ϕ=+为偶函数”的充要条件（D ）0α<时，幂函数y x α=在(0,)+∞上单调递减（6）已知某线性规划问题的约束条件是34y xy x x y ≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则下列目标函数中，在点(3,1)处取得最下值得是（A ）2z x y =- （B ）2z x y =-+ （C ）12z x y =-- （D ）2z x y =+（7）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2312a a a =，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（A ）29 （B ）31 （C ）33 （D ）36（8）能够把圆22:9O x y +=的周长和面积同时分为相等的两部分的函数)(x f 称为圆O 的“亲和函数”，下列函数不是圆O 的“亲和函数”的是（A ）32()4f x x x =+ （B ）5()15xf x n x -=+ （C ）()2x x e e f x -+= （D ）()tan 5x f x =（9）已知函数3211()2333f x x x x =-++，则与()f x 图象相切的斜率最小的切线方程为 （A ）230x y --= （B ）30x y +-=（C ）30x y --= （D ）230x y +-=（1022lg(1)0x y +-=所表示的曲线的图形是（A ） （B ） （C ） （D ）（11）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，其中1(F -，P 为C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的方程为（A ）221255x y += （B ）2213010x y += （C ）2213616x y += （D ）2214525x y += （12）已知函数1()|log |()(02xa f x x a =->且1)a ≠有两个零点1x 、2x ，则有（A ）1201x x << （B ）121x x = （C ）121x x > （D ）12x x 的范围不确定第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题～（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答.第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答. 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分）（13）11i-的共轭复数为_______． （14）已知向量a 与b 的夹角是3π，且||1a =，||4b =，若(3)a b a λ+⊥，则实数λ=_______．（15）函数log (3)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11+m n的最小值为_______． （16）对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设'()f x 是函数()y f x =的导数，''()f x 是'()f x 的导数，若方程''()0f x =有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数32115()33212f x x x x =-+-，请你根据这一发现，计算 123()()()201520152015f f f +++……2014()2015f +=________． 解析：2'()3f x x x =-+，由''()210f x x =-=得012x =，0()1f x =，则1(,1)2为()y f x =的对称中心，则120141()()2()2201520152f f f +==，则123()()()201520152015f f f +++……2014()20142015f +=．三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）已知公差不为0的等差数列{}n a 满足777S =，且1a ，3a ，11a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．（18）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，226cos a b ab C +=，且2sin 2sin sin C A B =．（1）求角C 的值； （2）设函数()sin (0)f x x x ωωω=->，且()f x 图象上相邻两最高点间的距离为π，求()f A 的取值范围．（19）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为菱形，AC ，BD 交于点O ，1AO ⊥平面ABCD ，12AA BD ==，AC = （1）证明：1AC ⊥平面11BB D D ； （2）求三棱锥1A C CD -的体积．（20）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率是12，其左、右顶点分别为1A 、2A ，B 为短轴的一个端点，12A BA ∆的面积为 （1）求椭圆C 的方程；（2）直线:l x =x 轴交于D ，P 是椭圆C 上异于1A 、2A 的动点，直线1A P 、2A P 分别交直线l 于E 、F 两点，求证：||||DE DF ⋅为定值．（21）已知函数()(2)xf x ax e =-在1x =处取得极值． （1）求a 的值；（2）求函数()f x 在[,1]m m +上的最小值；（3）求证：对任意1x 、2[0,2]x ∈，都有12|()()|f x f x e -≤．请考生在第（22）～（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中. （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，ABC ∆为圆的内接三角形，AB AC =，BD 为圆的弦，且//BD AC ，过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F ． （1）求证：四边形ACBE 为平行四边形； （2）若6AE =，5BD =，求线段CF 的长．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知圆锥曲线2cos :x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）和定点A ，1F 、2F 是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求直线2AF 的直角坐标方程；（2）经过点1F 且与直线2AF 垂直的直线l 交此圆锥曲线于M 、N 两点，求11||||MF NF -的值．（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2|f x x =-，()|3|g x x m =-++．（1）若关于x 的不等式()0g x ≥的解集为[5,1]--，求实数m 的值； （2）若()f x 的图象恒在()g x 图象的上方，求实数m 的取值范围．大庆市高三年级第二次教学质量检测文科数学参考答案13．122i - 14．32- 15．3+ 16．2014 三．解答题（本题共6大题，共70分） 17（本小题满分12分）解：（Ⅰ） 由等差数列{}n a 满足777S =知，4777a =，所以1311a d +=. ①因为1311,,a a a 成等比数列，所以23111a a a =，整理得2123d a d =，又因为数列{}n a 公差不为0，所以123d a =. ② ........................2分 联立①②解得12,3a d ==. (4)分所以31n a n =-. (6)分（Ⅱ）因为2n an b =，所以311282n nn b -==⋅， ……………………8分所以数列{}n b 是以4为首项，8为公比的等比数列， (10)分由等比数列前n 项和公式得，324(18)24187n n n T +--==-. (12)分18.（本小题满分12分）解：（I ）因为C ab b a cos 622=+，由余弦定理知C ab c b a cos 2222+=+,所以abc C 4cos 2=，又因为B A C sin sin 2sin 2=，则由正弦定理得ab c 22=，所以21424cos 2===ab ab ab c C ， 因为(0,)C π∈，所以3π=C .（Ⅱ）()sin 2sin()3f x x x x πωωω==- ， ……………………8分由已知2Tππω==得，2ω=， ……………………9分则()2sin(2)3f A A π=- ，因为2sin 2sin sin C A B =，3π=C ，所以232sin sin()34A A π⋅-=，整理得1sin(2)64A π-=.因为203A π<<，所以72666A πππ-<-<，所以cos(2)64A π-=±.………………10分()2sin(2)2sin(2)366f A A A πππ=-=--12[sin(2)cos(2)]6262A A ππ=-⋅--⋅① 11()2()42424f A =⋅-⋅=，② 11()2()42f A ==，故()f A 的取值范围是. ………………12分19（本小题满分12分）（I ）证明：因为四边形ABCD 为菱形，所以ACBD ⊥，又因为1A O ⊥平面ABCD ，所以1A O BD ⊥.因为1AC AO O ⋂=，所以BD ⊥平面1A AC ，所以1BD A C ⊥. ……………………2分由已知12AA =，AC =1,AO OC AO AC =⊥，所以112AC A A ==， 所以22211A A A C AC +=，所以11A C A A ⊥，因为11B B A A ∥，所以11A C B B ⊥， …………………4分因为1BD B B B ⋂=，所以1A C ⊥平面11BB D D . …………6分（Ⅱ）连接11A C ，因为11AA CC ∥且11AA CC =，所以四边形11ACC A 是平行四边形，所以11A C AC ∥， ………………8分所以三棱锥1A C CD -的体积111113A C CDC ACD A ACD ACD V V V S AO ---∆===⨯ ………10分11112234123AC BD AO =⋅⋅⋅⋅=⋅=. ……………12分20（本小题满分12分）（I）由已知得22212122c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪⋅⋅=⎨⎪⎪=+⎪⎩2,a b ==，故所求椭圆方程为22143x y +=.………………………………4分 （II ）由（I ）可知，12(2,0),(2,0),A A -设00(,)P x y ，依题意022x -<<，于是直线1A P 的方程为00(2)2y y x x =++.令x =02)2y y x =+，所以002)2y DE x =+. …7分又直线2A P 的方程为00(2)2y y x x =--，令x =02)2y y x =-，即002)2y DF x =-. ………………………9分所以22000220000442)2)2244y y y y DE DF x x x x ⋅=⋅==+---, 又00(,)P x y 在22143x y +=上，所以22003412x y +=，即22004123y x =-， …………11分代入上式，得2023(4)34x DE DF x -⋅==-，所以DE DF ⋅为定值3. ……………12分 21（本小题满分12分）解： (Ⅰ)'()(2)(2)xxxf x ae ax e ax a e =+-=+-, (1)分由已知得'(1)0f =，即(22)0xa e -=，解得1a =. (3)分当1a =时,()f x 在1x =处取得极小值,所以1a =. (4)分（II ）()(2)x f x x e =-，'()(2)(1)x x xf x e x e x e =+-=-，令'()0f x >得1x >，令'()0f x <得1x <，所以函数()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， ……………………5分①当1m ≥时，()f x 在[,1]m m +上单调递增，min ()()(2)mf x f m m e ==-；②当01m <<时，11m m <<+，()f x 在[,1]m 上单调递减，在[1,1]m +上单调递增，min ()(1)f x f e ==-；③当0m ≤时，11m +≤，()f x 在[,1]m m +上单调递减，1min ()(1)(1)m f x f m m e +=+=-.综上，()f x 在[,1]m m +上的最小值min1(2)1()01(1)0m m m e m f x e m m e m +⎧-≥⎪=-<<⎨⎪-≤⎩……………… 8分 (III)由(Ⅰ)知()()2xf x x e =-, '()(1)xf x x e =-.令'()0f x =，得1x =，因为(0)2,(1)e,(2)0f f f =-=-=， 所以，[0,2]x ∈时，max min ()0,()e f x f x ==-.………… 10分所以,对任意12,[0,2]x x ∈,都有12max min |()()|()()e f x f x f x f x -≤-=. ………12分（22）（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）因为AE 与圆相切于点A ，所以BAE ACB ＝行．因为AB AC ＝，所以ABC ACB ＝行，所以ABC BAE ＝行，所以AE BC ∥． …………………… 3分因为BD AC ∥，所以四边形ACBE 为平行四边形． ………………… 5分 （Ⅱ）因为AE 与圆相切于点A ，所以2()AE EB EBBD =?，即26(5)EB EB =?，解得4BE =，根据（Ⅰ）有4,6AC BE BC AE ====，设CF x =，由BD AC ∥，得AC CF BD BF =，即456x x =-，解得83x =，即83CF =.（23）（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）曲线2cos :x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩可化为22143x y +=， ……………2分 其轨迹为椭圆，焦点为12(1,0),(1,0)F F -. ………………3分 经过(,3)A 和2(1,0)F 的直线方程为11x +=,即0y +-=. ………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线2AF的斜率为因为2l AF ⊥，所以l倾斜角为30︒， 所以l的参数方程为112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （t 为参数），代入椭圆C的方程中，得213360t --=.……………………8分因为,M N 在点1F的两侧，所以1112MF NF t t -=+=.……………10分 （24）（本小题满分10分）（Ⅰ）因为()30g x x m =-++≥，所以3x m +≤，所以33m x m --≤≤-， ………3分 由题意知3531m m --=-⎧⎨-=-⎩，所以2m =. ……………5分 （Ⅱ）因为()f x 图象总在()g x 图象上方，所以()()f x g x >恒成立， 即23x x m -++>恒成立， ……………7分因为23(2)(3)5x x x x -++≥--+=，当且仅当(2)(3)0x x -+≤时等式成立， 所以m 的取值范围是(,5)-∞. ……10分。
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2019年黑龙江省大庆一中高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
可解出集合，然后进行并集的运算即可．
【详解】
，
故选：
【点睛】考查描述法、区间的定义，对数函数的定义域，以及并集的运算，属于简单题目.
2.已知，其中为虚数单位，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求出，求出的模即可．
【详解】，
故，
故选：
【点睛】本题考查了复数求模问题，考查复数的运算，是一道基础题．
3.设为正数，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据基本不等式即可求出．
【详解】设为正数，且
，当且仅当时取等号，
故选：
【点睛】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．
4.已知数列是等差数列，．则使的的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知条件推导出，再由等差数列的求和公式，由此能求出使前项和成立的最小自然数的值.
【详解】因为等差数列，首项，，
所以，
由，可得，，
所以使前项和成立的最小自然数的值为16，
故选D.
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的求和公式，等差数列的性质，属于。