苏教版九年级上册数学 期末试卷复习练习(Word版 含答案)

苏教版九年级上册数学 期末试卷复习练习(Word 版 含答案)
一、选择题
1．如图，OA 、OB 是⊙O 的半径，C 是⊙O 上一点．若∠OAC ＝16°，∠OBC ＝54°，则∠AOB 的大小是（ ）
A ．70°
B ．72°
C ．74°
D ．76° 2．若直线l 与半径为5的O 相离，则圆心O 与直线l 的距离d 为（ ）
A ．5d <
B ．5d >
C ．5d =
D ．5d ≤ 3．已知一元二次方程x 2+kx-3=0有一个根为1，则k 的值为（ ）
A ．−2
B ．2
C ．−4
D ．4
4．把二次函数y =2x 2的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的函数关系式是
（ ）
A ．22(3)2y x =-+
B ．22(3)2y x =++
C ．22(3)?2y x =-
D ．22(3)?2y x =+
5．将函数的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A （1，4）的方法是
（ ）
A ．向左平移1个单位
B ．向右平移3个单位
C ．向上平移3个单位
D ．向下平移1个单位 6．数据3、4、6、7、x 的平均数是5，这组数据的中位数是（ ）
A ．4
B ．4.5
C ．5
D ．6 7．O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与O 的位置关系是( )
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．无法确定
8．如图，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，PO 的延长线交⊙O 于点B ，连接AB ，若∠B ＝25°，则∠P 的度数为（ ）
A ．25°
B ．40°
C ．45°
D ．50° 9．已知1x =是方程220x ax ++=的一个根，则方程的另一个根为（ ）
A ．-2
B ．2
C ．-3
D ．3
10．下列对于二次函数y ＝﹣x 2+x 图象的描述中，正确的是（ ） A ．开口向上 B ．对称轴是y 轴
C ．有最低点
D ．在对称轴右侧的部分从左往右是下降的
11．如图所示的网格是正方形网格，则sin A 的值为（ ）
A ．
12
B ．
22
C ．
35
D ．
45
12．将抛物线2
3y x =先向左平移一个单位，再向上平移两个单位，两次平移后得到的抛物线解析式为（ ）
A ．23(1)2y x =++
B ．23(1)2y x =+-
C ．23(1)2y x =-+
D ．23(1)2=--y x
二、填空题
13．如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△EDC ，若点A 、D 、E 在同一条直线上，∠ACD ＝70°，则∠EDC 的度数是_____．
14．将二次函数y=2x 2的图像沿x 轴向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，所得函数图像的函数关系式为______________.
15．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，A 、B 、C 分别为直线l 1，l 2，l 3上的动点，连接AB ，BC ，AC ，线段AC 交直线l 2于点D ．设直线l 1，l 2之间的距离为m ，直线l 2，l 3之间的距离为n ，若∠ABC ＝90°，BD ＝3，且
1
2
m n =，则m ＋n 的最大值为___________．
16．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，12AC =，9BC =，圆P 在ABC ∆内自由移动.若
P 的半径为1，则圆心P 在ABC ∆内所能到达的区域的面积为______.
17．如图，D、E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD
AB
＝
AE
AC
，AE＝2，EC＝6，AB＝
12，则AD的长为_____．
18．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y﹣0.03﹣0.010.020.04
则方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是_____．
19．一个不透明的布袋中装有3个白球和5个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是______.
20．若
3
2
x
y
=，则
x y
y
+
的值为_____．
21．圆锥的底面半径是4cm，母线长是6cm，则圆锥的侧面积是______cm2（结果保留π）．
22．若点 M（-1， y1），N（1， y2），P（7
2
, y3 ）都在抛物线 y＝-mx2 +4mx+m2 +1（m
＞0）上，则y1、y2、y3大小关系为_____（用“＞”连接）．
23．已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式21220
h t t
=-++，则火箭升空的最大高度是___m
24．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在△ABC中，AB=AC，若△ABC是“好玩三角形”，则tanB____________。

三、解答题
25．如图，分别以△ABC的边AC和BC为腰向外作等腰直角△DAC和等腰直角△EBC，连接DE.
（1）求证：△DAC ∽△EBC ； （2）求△ABC 与△DEC 的面积比．
26．如图，AD 是⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，OP ⊥AD ，OP 与AB 的延长线交于点P ，点C 在OP 上，满足∠CBP ＝∠ADB ． （1）求证：BC 是⊙O 的切线；
（2）若OA ＝2，AB ＝1，求线段BP 的长．
27．某鱼塘中养了某种鱼5000条，为了估计该鱼塘中该种鱼的总质量，从鱼塘中捕捞了3次，取得的数据如下：
数量/条 平均每条鱼的质量/kg 第1次捕捞 20 1.6 第2次捕捞 15 2.0 第3次捕捞
15
1.8
（1）求样本中平均每条鱼的质量； （2）估计鱼塘中该种鱼的总质量；
（3）设该种鱼每千克的售价为14元，求出售该种鱼的收入y （元）与出售该种鱼的质量x （kg ）之间的函数关系，并估计自变量x 的取值范围．
28．已知，如图，抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(1,9)M ，经过抛物线上的两点
(3,7)A --和(3,)B m 的直线交抛物线的对称轴于点C ．
（1）求抛物线的解析式和直线AB 的解析式．
（2）在抛物线上,A M 两点之间的部分（不包含,A M 两点），是否存在点D ，使得
2DAC DCM S S ∆∆=？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点,,,A M P Q 为顶点的四边形是平行四边
形时，直接写出满足条件的点P 的坐标．
29．如图，⊙O 为ABC ∆的外接圆，9012ACB AB ∠=︒=，，过点C 的切线与AB 的延长线交于点D ，OE 交AC 于点F ，CAB E ∠=∠.
（1）判断OE 与BC 的位置关系，并说明理由； （2）若3
tan 4
BCD ∠=，求EF 的长. 30．阅读理解：
如图，在纸面上画出了直线l 与⊙O ，直线l 与⊙O 相离，P 为直线l 上一动点，过点P 作⊙O 的切线PM ，切点为M ，连接OM 、OP ，当△OPM 的面积最小时，称△OPM 为直线l 与⊙O 的“最美三角形”．
解决问题：
（1）如图1，⊙A 的半径为1，A(0，2) ，分别过x 轴上B 、O 、C 三点作⊙A 的切线BM 、OP 、CQ ，切点分别是M 、P 、Q ，下列三角形中，是x 轴与⊙A 的“最美三角形”的是 ．(填序号)
①ABM ；②AOP ；③ACQ
（2）如图2，⊙A 的半径为1，A(0，2)，直线y=kx （k≠0）与⊙A 的“最美三角形”的面积为
1
2
，求k 的值．
（3）点B在x轴上，以B为圆心，3为半径画⊙B，若直线y=3x+3与⊙B的“最美三
角形”的面积小于
3
2
，请直接写出圆心B的横坐标B x的取值范围．
31．中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献．
（1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率
为；
（2）某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率．
32．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为AC的中点，过点D作
DE∥AC，交BC的延长线于点E．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CE＝16
3
，AB＝6，求⊙O的半径．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠OCA=16°；∠OBC=∠OCB=54°求出∠ACB 的度数，然后根据同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解．
【详解】
解：连接OC
∵OA=OC，OB=OC
∴∠OAC=∠OCA=16°；∠OBC=∠OCB=54°
∴∠ACB=∠OCB-∠OCA=54°-16°=38°
∴∠AOB=2∠ACB=76°
故选：D
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质及同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，掌握相关性质定理是本题的解题关键.
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
直线与圆相离等价于圆心到直线的距离大于半径，据此解答即可.
【详解】
解：∵直线l与半径为5的O相离，
d .
∴圆心O与直线l的距离d满足：5
故选：B.
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，属于应知应会题型，若圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，当d>r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d<r时，直线与圆相交. 3．B
解析：B
【解析】
分析：根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得关于k的一次方程1-3+k=0，然后解一次方程即可．
详解：把x=1代入方程得1+k-3=0，
解得k=2．
点睛：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4．A
解析：A 【解析】
将二次函数2
2y x =的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的函数关系式为：
22(3)2y x =-+.
故选A.
5．D
解析：D 【解析】
A.平移后，得y=(x+1)2，图象经过A 点，故A 不符合题意；
B.平移后，得y=(x−3)2，图象经过A 点，故B 不符合题意；
C.平移后，得y=x 2+3，图象经过A 点，故C 不符合题意；
D.平移后，得y=x 2−1图象不经过A 点，故D 符合题意； 故选D.
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
首先根据3、4、6、7、x 这组数据的平均数求得x 值，再根据中位数的定义找到中位数即可． 【详解】
由3、4、6、7、x 的平均数是5， 即(3467)55++++÷=x 得5x =
这组数据按照从小到大排列为3、4、5、6、7，则中位数为5． 故选C 【点睛】
此题考查了平均数计算及中位数的定义，熟练运算平均数及掌握中位数的定义是解题关键．
7．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据直线和圆的位置关系可知，圆的半径大于直线到圆距离，则直线l 与O 的位置关系是相交．
∵⊙O的半径为5，圆心O到直线的距离为3，∴直线l与⊙O的位置关系是相交．
故选A．
【点睛】
本题考查了直线和圆的位置关系，直接根据直线和圆的位置关系解答即可．
8．B
解析：B
【解析】
【分析】
连接OA，由圆周角定理得，∠AOP＝2∠B＝50°，根据切线定理可得∠OAP＝90°，继而推出∠P＝90°﹣50°＝40°．
【详解】
连接OA，
由圆周角定理得，∠AOP＝2∠B＝50°，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∴∠P＝90°﹣50°＝40°，
故选：B．
【点睛】
本题考查圆周角定理、切线的性质、三角形内角和定理，解题的关键是求出∠AOP的度数．
9．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系求解．
【详解】
设另一根为m，则
1•m=2，解得m=2．
故选B．
【点睛】
考查了一元二次方程根与系数的关系．根与系数的关系为：x1+x2=-b
a
，x1•x2=
c
a
．要求
熟练运用此公式解题．10．D
【解析】 【分析】
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】
解：∵二次函数y ＝﹣x 2+x ＝﹣(x 12-
)2+14
， ∴a ＝﹣1，该函数的图象开口向下，故选项A 错误； 对称轴是直线x ＝1
2
，故选项B 错误； 当x ＝
12时取得最大值1
4
，该函数有最高点，故选项C 错误； 在对称轴右侧的部分从左往右是下降的，故选项D 正确； 故选：D ． 【点睛】
本题考查了二次函数的性质，掌握函数解析式和二次函数的性质是解题的关键．
11．C
解析：C 【解析】 【分析】
设正方形网格中的小正方形的边长为1，连接格点BC ，AD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，解直角三角形即可得到结论． 【详解】
解：设正方形网格中的小正方形的边长为1， 连接格点BC ，AD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，
∵AC BC ===BC ＝AD =，
∵S △ABC ＝
12AB •CE ＝1
2
BC •AD ，
∴CE ＝
22
5BC AD AB ==
，
∴
3
5
CE A sin CAB C ∠==
＝， 故选：C ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的问题，掌握解直角三角形的方法以及锐角三角函数的定义是解题的关键．
12．A
解析：A
【解析】
【分析】
按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．
【详解】
抛物线23y x =先向左平移1个单位得到解析式：()2
31y x =+，再向上平移2个单位得到抛物线的解析式为：()2
312y x =++．
故选：A ．
【点睛】
此题考查了抛物线的平移变换以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 二、填空题
13．115°
【解析】
【分析】
根据∠EDC＝180°﹣∠E﹣∠DCE，想办法求出∠E，∠DCE 即可．
【详解】
由题意可知：CA ＝CE ，∠ACE＝90°，
∴∠E＝∠CAE＝45°，
∵∠ACD＝7
解析：115°
【解析】
【分析】
根据∠EDC ＝180°﹣∠E ﹣∠DCE ，想办法求出∠E ，∠DCE 即可．
【详解】
由题意可知：CA ＝CE ，∠ACE ＝90°，
∴∠E ＝∠CAE ＝45°，
∵∠ACD＝70°，
∴∠DCE＝20°，
∴∠EDC＝180°﹣∠E﹣∠DCE＝180°﹣45°﹣20°＝115°，
故答案为115°．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，问题，属于中考常考题型．
14．y=2(x+2)2-3
【解析】
【分析】
根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.
【详解】
解：根据“上加下减，左加右减”的原则可知，
二次函数y＝2x2的图象向左平移2个单位，再向下平移
解析：y=2(x+2)2-3
【解析】
【分析】
根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.
【详解】
解：根据“上加下减，左加右减”的原则可知，
二次函数y＝2x2的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位后得到的图象表达式为y=2(x+2)2-3
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
15．【解析】
【分析】
过作于，延长交于，过作于，过作于，设，，得到，，根据相似三角形的性质得到，，由，得到，于是得到，然后根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】
解：过作于，延长交于，过作于，过
解析：274
【解析】
【分析】
过B 作1BE l ⊥于E ，延长EB 交3l 于F ，过A 作2AN l ⊥于N ，过C 作2CM l ⊥于M ，设AE BN x ==，CF BM y ==，得到3DM y =-，4DN x =-，根据相似三角形的性质得到xy mn =，29y x =-+，由12
m n =，得到2n m =，于是得到()3m n m +=最大，然后根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】
解：过B 作1BE l ⊥于E ，延长EB 交3l 于F ，过A 作2AN l ⊥于N ，过C 作2CM l ⊥于M ，
设AE BN x ==，CF BM y ==， 3BD =，
3DM y ∴=-，3DN x =-，
90ABC AEB BFC CMD AND ∠=∠=∠=∠=∠=︒，
90EAB ABE ABE CBF ∴∠+∠=∠+∠=︒，
EAB CBF ∴∠=∠，
ABE BFC ∴∆∆∽，
∴AE BE BF CF
=，即x m n y =， xy mn ∴=，
ADN CDM ∠=∠，
CMD AND ∴∆∆∽，
∴AN DN CM DM
=，即3132m x n y -==-， 29y x ∴=-+，
1
2
m n =， 2n m ∴=，
()3m n m ∴+=最大，
∴当m 最大时，()3m n m +=最大，
22(29)292mn xy x x x x m ==-+=-+=，
∴当92(29)4x =-
=⨯-时，28128mn m ==最大， 94
m ∴=最大， m n ∴+的最大值为927344
⨯=． 故答案为：274
． 【点睛】
本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，正确的作出辅助线，利用相似三角形转化线段关系，得出关于m 的函数解析式是解题的关键．
16．24
【解析】
【分析】
根据题意做图，圆心在内所能到达的区域为△EFG，先求出AB 的长，延长BE 交AC 于H 点，作HM⊥AB 于M ，根据圆的性质可知BH 平分∠ABC，故CH=HM,设CH=x=HM ，根
解析：24
【解析】
【分析】
根据题意做图，圆心P 在ABC ∆内所能到达的区域为△EFG ，先求出AB 的长，延长BE 交AC 于H 点，作HM ⊥AB 于M ，根据圆的性质可知BH 平分∠ABC ，故CH=HM,设
CH=x=HM ，根据Rt △AMH 中利用勾股定理求出x 的值，作EK ⊥BC 于K 点，利用
△BEK ∽△BHC ，求出BK 的长，即可求出EF 的长，再根据△EFG ∽△BCA 求出FG ，即可求出△EFG 的面积.
【详解】
如图，由题意点O 所能到达的区域是△EFG ，连接BE ，延长BE 交AC 于H 点，作HM ⊥AB 于M ，EK ⊥BC 于K ，作FJ ⊥BC 于J ．
∵90C ∠=︒，12AC =，9BC =，
∴15=
根据圆的性质可知BH 平分∠ABC
∴故CH=HM,设CH=x=HM ，则AH=12-x ，BM=BC=9,
∴AM=15-9=6
在Rt △AMH 中，AH 2=HM 2+AM 2
即AH 2=HM 2+AM 2
（12-x ）2=x 2+62
解得x=4.5
∵EK ∥AC ， ∴△BEK ∽△BHC ，
∴
EK BK HC BC =，即14.59
BK = ∴BK=2，
∴EF=KJ=BC-BK-JC=9-2-1=6，
∵EG ∥AB ，EF ∥AC ，FG ∥BC ， ∴∠EGF ＝∠ABC ，∠FEG ＝∠CAB ，
∴△EFG ∽△ACB ，
故
EF FG BC AC =,即6912
FG = 解得FG=8 ∴圆心P 在ABC ∆内所能到达的区域的面积为
12FG×EF=12
×8×6=24, 故答案为24.
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质综合，解题的关键是熟知勾股定理、相似三角形的判定与性质.
17．3
【解析】
【分析】
把AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12代入已知比例式，即可求出答案．
【详解】
解：∵＝，AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12，
∴＝，
解得：AD ＝3，
故答案为：3．
【点睛】
本题
解析：3
【解析】
【分析】
把AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12代入已知比例式，即可求出答案．
解：∵
AD AB ＝AE AC
，AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12， ∴12AD ＝226
， 解得：AD ＝3，
故答案为：3．
【点睛】 本题考查了成比例线段，灵活的将已知线段的长度代入比例式是解题的关键.
18．18＜x ＜6.19
【解析】
【分析】
根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y ＝0时，相应的自变量的取值范围即可．
【详解】
由表格数据可得，当x ＝6.18时，y ＝﹣0.01，当x ＝6.19
解析：18＜x ＜6.19
【解析】
【分析】
根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y ＝0时，相应的自变量的取值范围即可．
【详解】
由表格数据可得，当x ＝6.18时，y ＝﹣0.01，当x ＝6.19时，y ＝0.02，
∴当y ＝0时，相应的自变量x 的取值范围为6.18＜x ＜6.19，
故答案为：6.18＜x ＜6.19．
【点睛】
本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y 由正变为负时，自变量的取值即可．
19．【解析】
【分析】
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】
根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红 解析：58
【解析】
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】
根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红球，共5
个，从中随机摸出一个，则摸到红球的概率是
55 538
= +
故答案为: 5
8
．
【点睛】
本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件
A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝m
n
．
20．．
【解析】
【分析】
根据比例的合比性质变形得：
【详解】
∵，
∴
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了合比性质，对比例的性质的记忆是解题的关键．
解析：5
2
．
【解析】【分析】
根据比例的合比性质变形得：
325
.
22 x y
y
++
==
【详解】
∵
3
2
x
y
=，
∴
325
.
22 x y
y
++
==
故答案为：5 2 .
【点睛】
本题主要考查了合比性质，对比例的性质的记忆是解题的关键．
【解析】
【分析】
根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】
解：∵圆锥的底面半径为4cm，
∴圆锥的底面圆的周长=2π•4=8π，
解析：24π
【解析】
【分析】
根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】
解：∵圆锥的底面半径为4cm，
∴圆锥的底面圆的周长=2π•4=8π，
∴圆锥的侧面积=1
2
×8π×6=24π（cm2）．
故答案为：24π．
【点睛】
本题考查了圆锥的侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周
长，扇形的半径为圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式：S=1
2
•l•R，（l为弧长）．
22．y1＜y3＜y2
【解析】
【分析】
利用图像法即可解决问题．
【详解】
y＝mx2 +4mx+m2 +1（m＞0），
对称轴为x＝，
观察二次函数的图象可知：y1＜y3＜y2．
故答案为：y
解析：y1＜y3＜y2
【解析】
【分析】
利用图像法即可解决问题．
y ＝-mx 2 +4mx+m 2 +1（m ＞0），
对称轴为x ＝ 422m m
-=-， 观察二次函数的图象可知：y 1＜y 3＜y 2．
故答案为：y 1＜y 3＜y 2．
【点睛】
本题考查二次函数图象上的点的特征，解题的关键是学会利用图象法比较函数值的大小． 23．56
【解析】
【分析】
将函数解析式配方，写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．
【详解】
解：∵
=
=，
∵，
∴抛物线开口向下，
当x=6时，h 取得最大值，火箭能达到最大高度为56m ．
故
解析：56
【解析】
【分析】
将函数解析式配方，写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．
【详解】
解：∵21220h t t =-++
=2(23636)120t t -+-+-
=2(6)56t --+，
∵10a =-<，
∴抛物线开口向下，
当x=6时，h 取得最大值，火箭能达到最大高度为56m ．
故答案为：56．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，熟练掌握配方法及二次函数的性质，是解题的关键． 24．2或
【解析】
【分析】
分两种情形分别求解即可解决问题．
【详解】
①如图1中，取BC 的中点H ，连接AH ．
∵AB=AC，BH=CH ，
∴AH⊥BC，设BC=AH=2a ，则BH=CH=a ，
∴t
解析：2或
153
【解析】
【分析】
分两种情形分别求解即可解决问题．
【详解】
①如图1中，取BC 的中点H ，连接AH ．
∵AB=AC ，BH=CH ，
∴AH ⊥BC ，设BC=AH=2a ，则BH=CH=a ，
∴tanB=2AH a BH a
==2． ②取AB 的中点M ，连接CM ，作CN ⊥AM 于N ，如图2．
设CM=AB=AC=4a ，则BM=AM=2a ，
∵CN ⊥AM ，CM=CA ，
∴AN=NM=a ，
在Rt △CNM 中，()22=154a a a -，
∴=
故答案为2． 【点睛】
本题考查解直角三角形、等腰三角形的性质、“好玩三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题
25．（1）见解析；（2）
12 【解析】
【分析】
（1）利用等腰直角三角形的性质证明△DAC ∽△EBC ；
（2）依据△DAC ∽△EBC 所得条件，证明△ABC 与△DEC 相似，通过面积比等于相似比的平方得到结果.
【详解】
（1）证明：∵△EBC 是等腰直角三角形
∴BC ＝BE ，∠EBC ＝90°
∴∠BEC ＝∠BCE ＝45°．
同理∠DAC ＝90°，∠ADC ＝∠ACD ＝45°
∴∠EBC ＝∠DAC ＝90°，∠BCE ＝∠ACD ＝45°．
∴△DAC ∽△EBC ．
（2）解：∵在Rt △ACD 中， AC 2＋AD 2＝CD 2，
∴2AC 2＝CD 2
∴2
AC CD =, ∵△DAC ∽△EBC ∴
AC BC ＝DC EC ， ∴EC BC ＝DC AC ， ∵∠BCE ＝∠ACD
∴∠BCE －∠ACE ＝∠ACD －∠ACE ，即∠BCA ＝∠ECD ，
∵在△DEC 和△ABC 中，
EC BC ＝DC AC
，∠BCA ＝∠ECD ， ∴△DEC ∽△ABC ，
∴S△ABC:S△DEC＝
2
DC
AC
⎛⎫
⎪
⎝⎭
＝
1
2
.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，以及相似三角形的面积比等于相似比的平方，解题的关键在于利用（1）中的相似推导出第二对相似三角形.
26．（1）见解析；（2）BP＝7.
【解析】
【分析】
（1）连接OB，如图，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，再根据等腰三角形的性质和已知条件证出∠OBC=90°，即可得出结论；
（2）证明△AOP∽△ABD，然后利用相似三角形的对应边成比例求BP的长．
【详解】
（1）证明：连接OB，如图，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠A+∠ADB＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∵∠CBP＝∠ADB，
∴∠OBA+∠CBP＝90°，
∴∠OBC＝180°﹣90°＝90°，
∴BC⊥OB，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵OA＝2，
∴AD＝2OA＝4，
∵OP⊥AD，
∴∠POA＝90°，
∴∠P+∠A＝90°，
∴∠P＝∠D，
∵∠A＝∠A，
∴△AOP∽△ABD，
∴AP
AD ＝
AO
AB
，即
1
4
BP
+
＝
2
1
，
解得：BP ＝7．
【点睛】
本题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握圆周角定理和切线的判定是解题的关键．
27．（1）1.78kg ；（2）8900kg ；（3）y ＝14x ，0≤x ≤8900．
【解析】
【分析】
（1）根据平均数的公式求解即可；
（2）根据每条鱼的平均质量×总条数＝总质量即可得答案；
（3）根据收入=单价×质量，列出函数表达式即可．
【详解】
（1）样本中平均每条鱼的质量为
20 1.615 2.015 1.8 1.78201515
⨯+⨯+⨯=++（kg ）． （2）∵样本中平均每条鱼的质量为1.78kg ，
∴估计鱼塘中该种鱼的总质量为1.78×5000＝8900（kg ）．
（3）∵每千克的售价为14元，
∴所求函数表达式为y ＝14x ，
∵该种鱼的总质量约为8900kg ，
∴估计自变量x 的取值范围为0≤x≤8900．
【点睛】 本题考查一次函数的应用、用样本估计总体，明确题意，写出相应的函数关系式，利用平均数的知识求出每条鱼的质量是解题关键．
28．（1）抛物线的表达式为：2
28y x x =-++，直线AB 的表达式为：21y x =-；
（2）存在，理由见解析；点P (6,16)-或(4,16)--或(12)+或(12)-．
【解析】
【分析】
（1）二次函数表达式为：y=a （x-1）2+9，即可求解；
（2）S △DAC =2S △DCM ，则()()
()()()21112821139112222DAC C A S DH x x x x x x =-=-++-++=--⨯，，即可求解；
（3）分AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）二次函数表达式为：()2
19y a x =-+，
将点A 的坐标代入上式并解得：1a =-，
故抛物线的表达式为：228y x x =-++…①，
则点()3,5B ，
将点,A B 的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线AB 的表达式为：21y x =-；
（2）存在，理由：
二次函数对称轴为：1x =，则点()1,1C ，
过点D 作y 轴的平行线交AB 于点H ，
设点()
2,28D x x x -++，点(),21H x x -， ∵2DAC DCM S S ∆∆=，
则()()
()()()21112821139112222DAC C A S DH x x x x x x =-=-++-++=--⨯， 解得：1x =-或5（舍去5），
故点()1,5D -；
（3）设点(),0Q m 、点(),P s t ，228t s s =-++，
①当AM 是平行四边形的一条边时，
点M 向左平移4个单位向下平移16个单位得到A ，
同理，点(),0Q m 向左平移4个单位向下平移16个单位为()4,16m --，即为点P ， 即：4m s -=，6t -=，而228t s s =-++，
解得：6s =或﹣4，
故点()6,16P -或()4,16--；
②当AM 是平行四边形的对角线时，
由中点公式得：2m s +=-，2t =，而228t s s =-++，
解得：17s =± 故点()17,2P 或()17,2；
综上，点()6,16P -或()4,16--或()17,2或()17,2．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算
等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
29．（1）OE ∥BC .理由见解析；（2）
125
【解析】
【分析】
（1）连接OC ，根据已知条件可推出E ACO ∠∠=，进一步得出AFO EFC 90ACB ∠∠∠==︒=结论得以证明；
（2）根据（1）的结论可得出∠E =∠BCD ，对应的正切值相等，可得出CE 的值，进一步计算出OE 的值，在Rt △AFO 中，设OF =3x ,则AF =4x ，解出x 的值，继而得出OF 的值，从而可得出答案．
【详解】
解：（1） OE ∥BC .理由如下：
连接OC ，
∵CD 是⊙O 的切线，
∴OC ⊥CD ，
∴∠OCE =90︒ ，
∴∠OCA +∠ECF =90︒，
∵OC =OA ，
∴∠OCA =∠CAB ．
又∵∠CAB =∠E ，
∴∠OCA =∠E ，
∴∠E +∠ECF =90︒，
∴∠EFC =180O -(∠E +∠ECF ) =90︒．
∴∠EFC =∠ACB=90︒ ，
∴OE ∥BC ．
(2)由(1)知，OE ∥BC ，
∴∠E =∠BCD ．
在Rt △OCE 中，∵AB =12，
∴OC =6，
∵tan E =tan ∠BCD =
OC CE ， ∴468tan 3
OC CE DCB ==⨯=∠． ∴OE 2=O C 2+CE 2=62+82，
∴OE =10
又由（1）知∠EFC =90︒，
∴∠AFO =90︒．
在Rt △AFO 中，∵tan A =tan E =34
，
∴设OF =3x ,则AF =4x ．
∵OA 2=OF 2+AF 2，即62=(3x )2+(4x )2，
解得：65x =
∴185
OF =， ∴18321055
EF OE OF =-=-=．
【点睛】
本题是一道关于圆的综合题目，涉及到的知识点有切线的性质，平行线的判定定理，三角形内角和定理，正切的定义，勾股定理等，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
30．（1）②；（2）±1；（3）23-＜B x ＜
3或73-＜B x ＜23-- 【解析】
【分析】
（1）本题先利用切线的性质，结合勾股定理以及三角形面积公式将面积最值转化为线段最值，了解最美三角形的定义，根据圆心到直线距离最短原则解答本题．
（2）本题根据k 的正负分类讨论，作图后根据最美三角形的定义求解EF ，利用勾股定理求解AF ，进一步确定∠AOF 度数，最后利用勾股定理确定点F 的坐标，利用待定系数法求k ．
（3）本题根据⊙B 在直线两侧不同位置分类讨论，利用直线与坐标轴的交点坐标确定∠NDB 的度数，继而按照最美三角形的定义，分别以△BND ，△BMN 为媒介计算BD 长度，最后与OD 相减求解点B 的横坐标范围．
【详解】
（1）如下图所示：
∵PM 是⊙O 的切线，
∴∠PMO=90°，
当⊙O 的半径OM 是定值时，22PM OP OM =-
∵1=2PMO S PM OM ••， ∴要使PMO △面积最小，则PM 最小，即OP 最小即可，当OP ⊥l 时，OP 最小，符合最美三角形定义．
故在图1三个三角形中，因为AO ⊥x 轴，故△AOP 为⊙A 与x 轴的最美三角形． 故选：②．
（2）①当k ＜0时，按题意要求作图并在此基础作FM ⊥x 轴，如下所示：
按题意可得：△AEF 是直线y=kx 与⊙A 的最美三角形，故△AEF 为直角三角形且AF ⊥OF ． 则由已知可得：111=1222
AEF S AE EF EF ••=⨯⨯=，故EF=1． 在△AEF 中，根据勾股定理得：22AF AE =
=．
∵A(0,2)，即OA=2， ∴在直角△AFO 中，22=2OF OA AF AF -==，
∴∠AOF=45°，即∠FOM=45°，
故根据勾股定理可得：MF=MO=1，故F(-1,1)，
将F 点代入y=kx 可得：1k =-．
②当k ＞0时，同理可得k=1．
故综上：1k =±．
（3）记直线33y x =+与x 、y 轴的交点为点D 、C ，则(3,0)D -，(0,3)C ， ①当⊙B 在直线CD 右侧时，如下图所示：
在直角△COD 中，有3OC =，3OD =tan 3OC ODC OD
∠==ODC=60°． ∵△BMN 是直线33y x =+与⊙B 的最美三角形，
∴MN ⊥BM ，BN ⊥CD ，即∠BND=90°，
在直角△BDN 中，sin BN BDN BD ∠=
，
故==sin sin 60?3
BN BN BD BN BDN =∠．
∵⊙B ，
∴BM =．
当直线CD 与⊙B 相切时，BN BM ==
因为直线CD 与⊙B 相离，故BN BD ＞2，所以OB=BD-OD ＞2．
由已知得：11=222BMN S MN BM MN MN ••=•=＜2
，故MN ＜1．
在直角△BMN 中，BN ==，此时可利用勾股定理
算得BD OB BD OD =- -
则2＜B x
②当⊙B 在直线CD 左侧时，同理可得：B x ＜2-
故综上：2＜B x ＜
3或3
-＜B x ＜2- 【点睛】 本题考查圆与直线的综合问题，属于创新题目，此类型题目解题关键在于了解题干所给示例，涉及动点问题时必须分类讨论，保证不重不漏，题目若出现最值问题，需要利用转化思想将面积或周长最值转化为线段最值以降低解题难度，求解几何线段时勾股定理极为常见．
31．（1）
14；（2）16 【解析】
【分析】
（1）根据小聪选择的数学名著有四种可能，而他选中《九章算术》只有一种情况，再根据概率公式解答即可；
（2）此题需要两步完成，所以可采用树状图法或者采用列表法求解．
【详解】
解：（1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读， 则他选中《九章算术》的概率为
14． 故答案为14
；
（2）将四部名著《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》分别记为A，B，C，D，记恰好选中《九章算术》和《孙子算经》为事件M．
方法一：用列表法列举出从4部名著中选择2部所能产生的全部结果：
第1部
第2部
A B C D
A BA CA DA
B AB CB DB
C AC BC DC
D AD BD CD
12种结果出现的可能性相等，
所有可能的结果中，满足事件M的结果有2种，即DB，BD，
∴P（M）＝
21
= 126
．
方法二：根据题意可以画出如下的树状图：
由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，所有可能的结果中，满足事件M的结果有2种，即BD，DB，
∴P（M）＝
21
= 126
．
故答案为：1 6 .
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．32．（1）DE与⊙O相切；理由见解析；（2）4.
【解析】
【分析】
（1）连接OD，由D为AC的中点，得到AD CD
=，进而得到AD=CD，根据平行线的性质得到∠DOA＝∠ODE＝90°，求得OD⊥DE，于是得到结论；
（2）连接BD，根据四边形对角互补得到∠DAB＝∠DCE，由AD CD
=得到∠DAC＝∠DCA ＝45°，求得△ABD∽△CDE，根据相似三角形的性质即可得到结论．。