品读向量知识内涵,感受数学文化之美

可
Ｍ 为 Ｖ ４ （ ８ ，
）
ｉ ，
的 中 点 故 点 为 所 ＾ Ａ Ｍ
，
ｉＶ
４ （
２ ，
），
以］
８ ＝
（
，
４ ） 。
因 为 Ｅ Ａ Ａ Ｅ ｉＶ＝
Ｖ ｉ
—
＝
４ ２ — （
，
）
，
ｇ 丄 互］
所 以 解 得 （ ８ ， ４ ）
？
２ ０ ＝
ｉ —
（ ４
，
）
，
工 ＝５ 。
展 中 的 人 文 成 分 ， 数 学 与 社 会 的 联 系 ， 数 学 与
各 种 文 化 的 关 系 等 。 《 普 通 髙 中 数 学 课 程 标 准 （ 征 求 意 见 稿 ） 》 强 调 ： “ 通 过 高 中 数 学 课 程
的 学 习 ， 认 识 数 学 的 科 学 价 值 应 、 用 价 值 、 文 化 价 值 和 审 美 价 值 进 一 步 促 进 学 生 全 面 、 可
足 ａＶ
＋ ＢＣ２
Ｏ ＝
Ｂ２
＋ ＣＡ ２ ，
求证
ＡＢ
：
丄
２ ４
特生 表 理化 知 识 篇 ？ 数 学 文 化 与 赏 析
离 一数学
年 ２０ １ ９
５ 月
解
： 因 为 ＯＡ ２
＋ ＢＣ２
Ｏ ＝
Ｂ２
＋ ＣＡ ２
，
等 价
Ｍ ｇ ＾ 于
１５ ２ ＋
２
＝
｜
２ ＋
｜
｜
ｔ
２ ，
Ｍ 乌 斯 以
表 示 起 点 为 Ａ ， 终 点 为 Ｂ 的 向 量 。
１ ９ １ ２ 年 兰 格 文 用 〖 表 示 向 量 ， 以 后 字 母 上 加
箭 头 表 示 向 量 的 方 法 逐 渐 流 行 。 不 过 为
４
等 表 示 向 量 ， 这 种 用 法 直 一 沿
即
｜
｜
｜
｜
｜
ＯＡ ２＋
Ｏ 〇 Ｃ －
Ｂ ２
＝
｜
Ｏ ＋ ｜
Ｂ２ ｜
｜
｜
｜
Ｍ ５５ ２ —
。
｜
｜
所 以 ５Ｘ ２ ＋ ＾５ ２ ＋
｜
｜
｜
｜
ＯＢ
Ｏ ２ ２ －
Ｃ ？Ｏ Ｂ＝
ＯＢ
＋ ２ ＯＣ
２ ＋
＼
＼
｜
｜
｜
｜
５ 所 以 ５？ ５＾ ５？ Ｘｔ ？
２ ２ —
？ ．
？
＝
．
｜
｜
石 文 即 石芒 ． ，
石笞 ＾ 所 以 ＾ ＇
一
（
）
＝
０
，
．
Ｈ 所 以 丄 ０ ＝
，
ＡＢ
ＯＣ 。
【知＾色 ＠ ：
７
解 答 过 程 ０ 百 芒 中 ３ ２ ＝
２ ＝
丨
｜
—
这 样 的 变 形 可 谓
｜
‘‘
神
来之
笔
” ，
让
原
本
死
板
的
〇Ａ ２ ＋ Ｂ Ｃ２
＝ ＯＢ ２＋
一 、 重 温 向 量 的 发 展 历 史
向 量 词 “
”
一
来
自
力学
、 解析几何
中
的
有
向 线 段 。 大 约 在 公 元 前 ３ ５ ０ 年 前 ， 古 希 腊 著
名 的 学 者 亚 里 士 多 德 就 知 道 了 力 可 以 表 示 成
向 量 两 个 力 的 组 合 作 用 可 用 著 名 的 平 行 四 ，
，
持 续 发 展 。 ” 这 里 的 “ 科 学 价 值 、 应 用 价 值 、 文
化 价 值 和 审 美 价 值 ” 其 实 都 可 以 归 结 为 数 学 ， 文 化 的 不 同 体 现 。 下 面 就 让 我 们 起 一 来 品 读
向 量 知 识 中 蕴 含 的 数 学 文 化 之 美 吧 ！
用 今 至
。
二 、 赏 析 向 量 的 计 算 之 美
向 量 的 工 具 性 特 点 在 高 中 数 学 的 许 多 分
支
中都有体
现 ，
向量 思想
的
渗
透非
常广泛
。
下 面 介 绍 一 下 向 量 与 已 学 知 识 的 关 联 希 望 ，
同 学 们 能 体 会 向 量 视 角 下 的 解 题 所 带 来 的 不
几 何 基 础 。 而 考 虑 到 正 方 形 ＡＢ ＣＤ 的 直 角 特
征，建
立平
面直
角
坐标
系
将 ，
几何
问题
坐标
化 ，
通 过 向 量 的 坐 标 运 算 达 到 快 速 求 解 的 目 的 。
洌 ２ 如 图 ３ 所 示 ， ０ 为 Ａ Ａ Ｂ Ｃ 所 在 平
点 满 面 内 一
且 ，
同 思 维 感 受 。
１ ． 向 量 在 平 面 几 何 中 的 应 用 。
例 １ 如 图 １ 所 示 ， 在 正 方 形 Ａ Ｂ ＣＤ 中 ，
点
Ｍ
是
ＢＣ
的 中 点 ， 将 正方 形 沿着
ＥＦ
折起 ，
使点
Ａ
与点 Ｍ
重合 ， 若 正 方 形 的 面 积为
６４ ，
求 的 积 Ａ Ａ Ｅ Ｖ Ｊ ｆ
所 以 Ａ Ｅ 所 以 去 Ａ Ｅ
５ ＝
，
Ｓ＝
Ａ Ａ ＥＭ ｜
．
｜
０ ＝
１
。
Ａ ＥＢ
图 ２
可 以 看 到 ， 整 个 求 解 过 程
凸 显 向 量 方 法 的 数 学 美 和 向 量
运 算 的 独 特 魅 力 。 传 统 几 何 法 对 解 题 者 的 思
维 水 平 要 求 较 高 ， 需 要 解 题 者 具 有 较 好 的 平 面
ＣＡ ２ 变 得 鲜 活 起 来 ． 将 长 度 的 平 方 关 系 演 变
为
向 量运 算．
由
向量运 算
回
归到
特 几 何
征 。
柯 生省 理化 知 识 篇 ？ 数 学 文 化 与 赏 析
高 数 学 年 一
２０１ ９
５ 月
＿ 肭 品读 间
丨
涵，
驢數 学文化之 美
■ 侯 军
数 学 文 化 狭 义 上 是 指 数 学 的 思 想 、 精 神 、
方法
、观点、语言
，
以及它 们
的形成和
发
展 ；
广
义 上 包 含 数 学 史 、 数 学 美 、 数 学 教 育 、 数 学 发
边 形 法 则 来 得 到 。 英 国 科 学 家 牛 顿 是 最 先 使
用 有 向 线 段 来 表 示 向 量 的 。 向 量 符 号 的 形 成
不 是 一 蹴 而 就 的 。 １ ８ ０ ６ 年 瑞 士 人 阿 尔 冈 用
Ｍ 表 示 一 个 有 向 线 段 或 向 量 。 １ ８ ２ ７ 年 莫 比
面 。
图 １
解 ： 如 图 ２ 所 示 ， 以 Ａ Ｂ Ａ Ｄ 所 在 的 直 线 ，
为
轴 ， 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 。 由 正 方 形
的 面 积 为 ６ ４ ， 可 知 正 方 形 的 边 长 为 ８ 。 设 点
为 点 是 Ｅ
题 意 得 由 ０ （ ｘ ，
），