2021北师大版数学必修第一册专题强化训练5 函数应用

专题强化训练(五)函数应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x 12345
f(x)－4－2147
A．(1，2)B．(2，3)
C．(3，4) D．(4，5)
B[由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)<0，所以函数在(2，3)内有零点．]
2．若函数f(x)唯一的零点同时在区间(0，16)，(0，8)，(0，4)，(0，2)内，那么下列命题正确的是()
A．函数f(x)在区间(0，1)内有零点
B．函数f(x)在区间(0，1)或(1，2)内有零点
C．函数f(x)在区间[2，16)上无零点
D．函数f(x)在区间(1，16)内无零点
C[由题意可确定f(x)唯一的零点在区间(0，2)内，故在区间[2，16)内无零点．] 3．在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I与电线半径r的三次方成正比，若已知电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为() A．60安B．240安
C．75安D．135安
D[由已知，设比例常数为k，则I＝k·r3.由题意，当r＝4时，I＝320，故有
320＝k×43，解得k＝320
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＝5，所以I＝5r3.故当r＝3时，I＝5×33＝135(安).故选
D.]
4．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是( )
C [小明匀速运动时，所得图象为一条线段，且距离学校越来越近，排除A ；因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，排除
D ；后来为了赶时间加快速度行驶，排除B.只有C 满足题意．]
5．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，1＋1x ，x >0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
C [函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数就是y ＝f (x )与y ＝－3x 两个函数图象的交点个数，如图所示，由函数的图象可知，零点个数为2.]
二、填空题
6．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，
则函数f (x )的零点为________． 0 [当x ≤1时，令f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；
当x >1时，令f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解．
综上，函数f(x)的零点只有0.]
m，n，其中m，n为相邻的7．设x0为函数f()x＝2x＋x－2的零点，且x0∈()
整数，则m＋n＝________．
1[函数f()x＝2x＋x－2的零点为x0，且x0∈(m，n)，f(0)＝1＋0－2＝－1<0；f(1)＝2＋1－2＝1>0，
∴f()0·f()1<0，故函数f()x＝2x＋x－2的零点在区间(0，1)内，
故m＝0，n＝1，m＋n＝1.]
8．方程2x＋3x＝k的解在[1，2)内，则k的取值范围是________．
[5，10)[令函数f(x)＝2x＋3x－k，则f(x)在R上是增函数．当方程2x＋3x＝k 的解在(1，2)内时，f(1)·f(2)<0，即(5－k)(10－k)<0，解得5<k<10.
又当f(1)＝0时，k＝5.则方程2x＋3x＝k的解在[1，2)内，k的取值范围是[5，
10).]
三、解答题
9．已知函数f (x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点．
(1)求m的取值范围；
(2)求函数的零点．
[解](1)因为f (x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．
设2x＝t(t>0)，则t2＋mt＋1＝0.
当Δ＝0时，即m2－4＝0，
所以m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去).
所以2x＝1，x＝0符合题意．
当Δ>0时，即m>2或m<－2时，t2＋mt＋1＝0，t1·t2＝1>0有两正或两负根，即f (x)有两个零点或没有零点．所以这种情况不符合题意．
综上可知：当m ＝－2时，f (x )有唯一零点．
(2)由(1)可知，该函数的零点为x ＝0.
10．学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40 min 的一节课中，注意力指数y 与听课时间x (单位：min)之间的关系满足如图所示的图象．当x ∈(0，12]时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点A (10，80)，过点B (12，78)；当x ∈[12，40]时，图象是线段BC ，其中C (40，50).根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．
(1)试求y ＝f (x )的函数关系式；
(2)教师在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由．
[解] (1)当x ∈(0，12]时，设f (x )＝a (x －10)2＋80(a ≠0).
因为该部分图象过点B (12，78)，将B 点的坐标代入上式，
得a ＝－12，所以f (x )＝－12(x －10)2＋80.
当x ∈[12，40]时，设f (x )＝kx ＋b (k ≠0).因为线段BC 过点B (12，78)，C (40，
50)，将它们的坐标分别代入上式，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧12k ＋b ＝78，40k ＋b ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝90，
所以f (x )＝－x ＋90.
故所求函数的关系式为
f (x )＝⎩⎨⎧－12（x －10）2＋80，x ∈（0，12]，－x ＋90，x ∈（12，40].
(2)由题意，得
⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤12，－12
（x －10）2＋80＞62或⎩⎪⎨⎪⎧12<x ≤40，－x ＋90＞62， 解得4<x ≤12或12<x <28，即4<x <28.
故老师应在x ∈(4，28)分钟内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳．
11．高为H ，满缸水量为V 的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h 时水的体积为v ，则函数v ＝f (h )的大致图象是( )
A B C D
B [v ＝f (h )是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.]
12．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( )
A ．各月的平均最低气温都在0 ℃以上
B ．七月的平均温差比一月的平均温差大
C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D ．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个
D [由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A 正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，故B 正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C 正确；平均最高气温高于20 ℃的月份只有2个，D 错误．故选D.]
13．在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________．
－12
[函数y ＝|x －a |－1的图象如图所示，因为直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，故2a ＝－1，解得a ＝－12.]
14．若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是________． (1，＋∞) [因为函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，所以方程x 2＋2x ＋a ＝0无实根，即Δ＝4－4a <0，由此可得a >1.]
15．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本).
销售收入R (x )(万元)满足R (x )＝
⎩
⎨⎧－0.4x 2＋4.2x （0≤x ≤5），11（x >5）. 假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：
(1)写出利润函数y ＝f (x )的解析式(利润＝销售收入－总成本)；
(2)要使工厂有盈利，求产量x 的取值范围；
(3)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？
[解] (1)由题意得G (x )＝2.8＋x .
∴f (x )＝R (x )－G (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8（0≤x ≤5），8.2－x （x >5）.
(2)①当0≤x ≤5时，由－0.4x 2＋3.2x －2.8>0得x 2－8x ＋7<0，解得1<x <7， ∴1<x ≤5.
②当x >5时，由8.2－x >0，得x <8.2，所以5<x <8.2.
综上，当1<x <8.2时，有y >0，即当产量x 大于100台，小于820台时，能使工厂有盈利．
(3)当0≤x ≤5时，函数f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6，当x ＝4时，f (x )有最大值为
3.6；
当x >5时，∵函数f (x )单调递减，∴f (x )<f (5)＝3.2(万元).
综上，当工厂生产4百台产品时，可使盈利最多，为3.6万元．。