2020-2021上海玉华中学高中必修一数学上期末模拟试题附答案

2020-2021上海玉华中学高中必修一数学上期末模拟试题附答案
一、选择题
1．已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是增函数.若()()lg 1f x f <-，则x 的取值范围是（ ）
A ．1,110⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．()10,10,10骣琪??琪桫
C ．1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．()()0,110,⋃+∞ 2．已知4
213332,3,25a b c ===，则
A ．b a c <<
B ．a b c <<
C ．b c a <<
D ．c a b << 3．
若函数()f x =
的定义域为R ，则实数m 取值范围是（ ） A ．[0,8)
B ．(8,)+∞
C ．(0,8)
D ．(,0)(8,)-∞⋃+∞
4．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，212[0,)()x x x ∈+∞≠，有
2121
()()0f x f x x x -<-，则（ ）． A ．(3)(2)(1)f f f <-<
B ．(1)(2)(3)f f f <-<
C ．(2)(1)(3)f f f -<<
D ．(3)(1)(2)f f f <<-
5．对于函数()f x ，在使()f x m ≤恒成立的式子中，常数m 的最小值称为函数()f x 的“上界值”，则函数33()33
x x f x -=+的“上界值”为（ ） A ．2 B ．－2 C ．1 D ．－1
6．函数()()
2
12log 2f x x x =-的单调递增区间为（ ） A ．(),1-∞ B ．()2,+∞ C ．(),0-∞ D ．()1,+∞
7．设函数()()212
log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,则实数的a 取值范围是( ) A ．()()1,00,1-⋃
B ．()(),11,-∞-⋃+∞
C ．()()1,01,-⋃+∞
D ．()(),10,1-∞-⋃
8．已知全集为R ，函数()()ln 62y x x =--的定义域为集合
{},|44A B x a x a =-≤≤+，且R A B ⊆ð，则a 的取值范围是（ ）
A ．210a -≤≤
B ．210a -<<
C ．2a ≤-或10a ≥
D ．2a <-或10a >
9．若函数y
a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a
56＋log a 485＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
10．已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]
g x x =为取整函数，0x 是函数()2ln f x x x
=-的零点，则()0g x 等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
11．函数()f x 是周期为4的偶函数,当[]0,2x ∈时，()1f x x =-,则不等式()0xf x >在[]1,3-上的解集是 ( )
A ．()1,3
B ．()1,1-
C ．()()1,01,3-U
D ．()()1,00,1-U 12．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
恒成立，则a 的取值范围为( ) A ．0a ≥ B ．2a ≥- C ．52a ≥- D ．3a ≥-
二、填空题
13．已知函数()135
2=++f x ax bx （a ，b 为常数），若()35f -=，则()3f 的值为______ 14．已知()()22,02,
0x a b x x f x x ⎧+++≤=⎨>⎩，其中a 是方程lg 4x x +=的解，b 是方程104x x +=的解，如果关于x 的方程()f x x =的所有解分别为1x ，2x ，…，n x ，记121==+++∑n i n i x
x x x L ，则1n
i i x ==∑__________． 15．若函数()()()()
22,0,0x x x f x g x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩为奇函数，则()()1f g -=________． 16．已知函数()()1123121x a x a x f x x -⎧-+<=⎨≥⎩
的值域为R ，则实数a 的取值范围是_____. 17．已知2()y f x x =+是奇函数，且f （1）1=，若()()2g x f x =+，则(1)g -=___．
18．若幂函数()a f x x =的图象经过点1(3)9
，，则2a -=__________. 19．若函数()121
x f x a =++是奇函数，则实数a 的值是_________. 20．已知函数1,0()ln 1,0
x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若方程()()f x m m R =∈恰有三个不同的实数解
()a b c a b c <<、、，则()a b c +的取值范围为______；
三、解答题
21．计算或化简：
（1）1123021273log 161664π⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
； （2）6log 2332log 27log 2log 36lg 2lg 5+⋅-++.
22．科研人员在对某物质的繁殖情况进行调查时发现，1月、2月、3月该物质的数量分别为3、5、9个单位.为了预测以后各月该物质的数量，甲选择了模型2y ax bx c =++，乙选
择了模型x y pq r =+，其中y 为该物质的数量，x 为月份数，a ，b ，c ，p ，q ，r 为常数.
（1）若5月份检测到该物质有32个单位，你认为哪个模型较好，请说明理由.
（2）对于乙选择的模型，试分别计算4月、7月和10月该物质的当月增长量，从计算结果中你对增长速度的体会是什么？
23．已知函数2()(,)1
ax b f x a b x +=
∈+R 为在R 上的奇函数,且(1)1f =. (1)用定义证明()f x 在(1,)+∞的单调性; (2)解不等式()()
2341x x f f +≤+.
24．如图，OAB ∆是等腰直角三角形，ABO 90∠=o ，且直角边长为22，记OAB ∆位于直线()0x t t =>左侧的图形面积为()f t ，试求函数()f t 的解析式.
25．已知函数21()f x x x
=-是定义在(0,)+∞上的函数. （1）用定义法证明函数()f x 的单调性；
（2）若关于x 的不等式()
220f x x m ++<恒成立，求实数m 的取值范围.
26．即将开工的南昌与周边城镇的轻轨火车路线将大大缓解交通的压力，加速城镇之间的流通．根据测算，如果一列火车每次拖4节车厢，每天能来回16次；如果一列火车每次拖7节车厢，每天能来回10次，每天来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数．
（1）写出与的函数关系式；
（2）每节车厢一次能载客110人，试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数最多？并求出每天最多的营运人数（注：营运人数指火车运送的人数）
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一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
【分析】
利用偶函数的性质将不等式()()lg 1f x f <-变形为()
()lg 1f x f <，再由函数()y f x =在[)0,+∞上的单调性得出lg 1x <，利用绝对值不等式的解法和对数函数的单调性即可求出结果.
【详解】
由于函数()y f x =是偶函数，由()()lg 1f x f <-得()
()lg 1f x f <，
又Q 函数()y f x =在[)0,+∞上是增函数，则lg 1x <，即1lg 1x -<<，解得11010x <<. 故选：C.
【点睛】
本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，同时也涉及了对数函数单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
2．A
解析：A
【解析】
【分析】
【详解】 因为422233332=4,3,5a b c ===，且幂函数23
y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.
点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小. 3．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据题意可得出，不等式mx 2-mx +2>0的解集为R ，从而可看出m ＝0时，满足题意，
m ≠0时，可得出2080m m m ⎧⎨=-<⎩
V ＞，解出m 的范围即可． 【详解】
∵函数f （x ）的定义域为R ；
∴不等式mx 2-mx +2>0的解集为R ；
①m ＝0时，2>0恒成立，满足题意；
②m ≠0时，则2080
m m m ⎧⎨
=-<⎩V ＞； 解得0＜m <8；
综上得，实数m 的取值范围是[0,8)
故选：A ．
【点睛】
考查函数定义域的概念及求法，以及一元二次不等式的解集为R 时，判别式△需满足的条件． 4．A
解析：A
【解析】
由对任意x 1，x 2 ∈ [0，＋∞)(x 1≠x 2)，有()()
1212f x f x x x -- <0，得f (x )在[0，＋∞)上单独递
减，所以(3)(2)(2)(1)f f f f <=-<，选A.
点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行
5．C
解析：C
【解析】
【分析】
利用换元法求解复合函数的值域即可求得函数的“上界值”.
【详解】
令3,0x
t t => 则 361133
t y t t -==-<++ 故函数()f x 的“上界值”是1；
故选C
【点睛】
本题背景比较新颖，但其实质是考查复合函数的值域求解问题，属于基础题，解题的关键是利用复合函数的单调性法则判断其单调性再求值域或 通过换元法求解函数的值域.
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
求出函数
()()212
log 2f x x x =-的定义域，然后利用复合函数法可求出函数()y f x =的单调递增区间.
【详解】
解不等式220x x ->，解得0x <或2x >，函数()y f x =的定义域为()(),02,-∞+∞U . 内层函数22u x x =-在区间(),0-∞上为减函数，在区间()2,+∞上为增函数， 外层函数12
log y u =在()0,∞+上为减函数， 由复合函数同增异减法可知，函数
()()212
log 2f x x x =-的单调递增区间为(),0-∞. 故选：C.
【点睛】
本题考查对数型复合函数单调区间的求解，解题时应先求出函数的定义域，考查计算能力，属于中等题.
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
【详解】
因为函数()()212
log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,所以220log log a a a >⎧⎨>-⎩或()()122
0log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩，解得1a >或10a -<<，即实数的a 取值范围是
()()1,01,-⋃+∞，
故选C. 8．C
解析：C
【解析】
【分析】
由()()620x x -->可得{}|26=<<A x x ，{}
44R C B x a x a 或=-+，再通过A 为 R C B 的子集可得结果.
【详解】
由()()ln 62y x x =--可知，
()()62026x x x -->⇒<<，所以{}|26=<<A x x ，
{}
44R C B x a x a 或=-+，
因为R A C B ⊆，所以6424a a 或≤-≥+，即102a a ≥≤-或，故选C.
【点睛】
本题考查不等式的解集和对数函数的定义域，以及集合之间的交集和补集的运算；若集合的元素已知，求解集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解. 9．C
解析：C
【解析】
【分析】
先分析得到a ＞1，再求出a =2,再利用对数的运算求值得解.
【详解】
由题意可得a －a x ≥0，a x ≤a ，定义域为[0，1]，
所以a >1，
y [0，1]上单调递减，值域是[0，1]，
所以f (0)1，f (1)＝0，
所以a ＝2，
所log a
56＋log a 485＝log 256＋log 2485
＝log 28＝3. 故选C
【点睛】 本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
10．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据零点存在定理判断023x <<，从而可得结果.
【详解】
因为()2ln f x x x
=-在定义域内递增， 且()2ln 210f =-<，()23ln 303f =-
>， 由零点存在性定理可得023x <<，
根据[]
x 表示不超过实数x 的最大整数可知()02g x =，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.
11．C
解析：C
【解析】
若[20]x ∈-，，则[02]x -∈，，此时1f x x f x -=--Q （），（）是偶函
数，1f x x f x ∴-=--=（）（）， 即1[20]f x x x =--∈-（
），，， 若[24]x ∈， ，则4[20]x -∈-，， ∵函数的周期是4，4413f x f x x x ∴=-=---=-（）（）（），
即120102324x x f x x x x x ---≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪-≤≤⎩
，（），， ，作出函数f x （）在[1
3]-， 上图象如图， 若03x ≤＜，则不等式0xf x （）＞ 等价为0f x （）＞ ，此时13x ＜＜，
若10x -≤≤ ，则不等式0xf
x （）＞等价为0f x （）＜ ，此时1x -＜＜0 ， 综上不等式0xf x （）＞ 在[13]-， 上的解集为1310.⋃-（，）（，）
故选C.
【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和周期性求出对应的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．
12．C
解析：C
【解析】
【分析】
【详解】
2
10x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭成立， 则等价为a ⩾21x x
--对于一切x ∈(0,1 2)成立， 即a ⩾−x −
1x 对于一切x ∈(0,1 2)成立， 设y =−x −1x ,则函数在区间(0,1 2
〕上是增函数
∴−x −1x <−12−2=52
-， ∴a ⩾52
-
. 故选C. 点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;
（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >.
二、填空题
13．【解析】【分析】由求得进而求解的值得到答案【详解】由题意函数（为常数）且所以所以又由故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值的求解其中解答中根据函数的解析式准确运算是解答的关键着重考查了计算能力属于基 解析：1-
【解析】
【分析】
由()35f -=，求得1532723a b -⋅-+=，进而求解()3f 的值，得到答案.
【详解】
由题意，函数()1352=++f x ax bx （a ，b 为常数），且()35f -=，
所以()15332725f a b -=-⋅-+=，所以1
53273a b -⋅-=，
又由()1533272321f a b -=⋅++=-+=-.
故答案为：1-.
【点睛】
本题主要考查了函数值的求解，其中解答中根据函数的解析式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题. 14．【解析】【分析】根据互为反函数的两个图像与性质可求得的等量关系代入解析式可得分段函数分别解方程求得方程的解即可得解【详解】是方程的解是方程的解则分别为函数与函数和图像交点的横坐标因为和互为反函数所以 解析：1-
【解析】
【分析】
根据互为反函数的两个图像与性质,可求得a ,b 的等量关系,代入解析式可得分段函数()f x .
分别解方程()f x x =,求得方程的解,即可得解.
【详解】
a 是方程lg 4x x +=的解,
b 是方程104x x +=的解,
则a ,b 分别为函数4y x =-+与函数lg y x =和10x
y =图像交点的横坐标 因为lg y x =和10x y =互为反函数,所以函数lg y x =和10x y =图像关于y x =对称
所以函数4y x =-+与函数lg y x =和10x
y =图像的两个交点也关于y x =对称 所以函数4y x =-+与y x =的交点满足4y x y x =-+⎧⎨
=⎩,解得22x y =⎧⎨=⎩
根据中点坐标公式可得4a b += 所以函数()242,02,
0x x x f x x ⎧++≤=⎨>⎩ 当0x ≤时,()2
42f x x x =++,关于x 的方程()f x x =,即242x x x ++= 解得2,1x x =-=-
当0x >时,()2f x =,关于x 的方程()f x x =,即2x =
所以()()12121n
i i x ==-+-+=-∑
故答案为:1-
【点睛】
本题考查了函数与方程的关系,互为反函数的两个函数的图像与性质,分段函数求自变量,属于中档题.
15．【解析】根据题意当时为奇函数则故答案为
解析：15-
【解析】
根据题意，当0x <时，()()(),f x g x f x =为奇函数，
()()()()()()()()()211113(323)15f g f f f f f f f -=-=-=-=-=-+⨯=-，则 故答案为15-.
16．【解析】【分析】根据整个函数值域为R 及分段函数右段的值域可判断出左段的函数为单调性递增且最大值大于等于1即可求得的取值范围【详解】当时此时值域为若值域为则当时为单调递增函数且最大值需大于等于1即解得 解析：10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭
【解析】
【分析】
根据整个函数值域为R 及分段函数右段的值域,可判断出左段的函数为单调性递增,且最大值大于等于1,即可求得a 的取值范围.
【详解】
当1x ≥时,()1
2
x f x -=,此时值域为[
)1,+∞ 若值域为R ,则当1x <时.()()123f x a x a =-+为单调递增函数,且最大值需大于等于1 即1201231
a a a ->⎧⎨
-+≥⎩,解得1
02a ≤<
故答案为:10,2⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【点睛】
本题考查了分段函数值域的关系及判断,指数函数的性质与一次函数性质的应用,属于中档题.
17．-1【解析】试题解析：因为是奇函数且所以则所以考点：函数的奇偶性
解析：-1 【解析】
试题解析：因为2
()y f x x =+是奇函数且(1)1f =，所以
， 则
，所以
．
考点：函数的奇偶性．
18．【解析】由题意有：则： 解析：
14
【解析】 由题意有：1
3,29
a
a =∴=-， 则：()2
2
124
a
--=-=
. 19．【解析】【分析】由函数是奇函数得到即可求解得到答案【详解】由题意函数是奇函数所以解得当时函数满足所以故答案为：【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解参数问题其中解答中熟记奇函数的性质是解答的关键
解析：1
2
-
【解析】 【分析】
由函数()f x 是奇函数，得到()0
1
0021
f a =+=+，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，函数()121x
f x a =++是奇函数，所以()01
0021f a =+=+，解得12
a =-， 当12
a =-
时，函数()11
212x
f x =-+满足()()f x f x -=-，
所以12a =-
. 故答案为：12
-. 【点睛】
本题主要考查了利用函数的奇偶性求解参数问题，其中解答中熟记奇函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
20．【解析】【分析】画出的图像根据图像求出以及的取值范围由此求得的取值范围【详解】函数的图像如下图所示由图可知令令所以所以故答案为：【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质考查数形结合的数学思想方法属
解析：)22,2e e ⎡--⎣
【解析】 【分析】
画出()f x 的图像，根据图像求出+a b 以及c 的取值范围，由此求得()a b c +的取值范围. 【详解】
函数()f x 的图像如下图所示，由图可知
1,22
a b
a b +=-+=-.令2ln 11,x x e -==，令ln 10,x x e -==，所以2e c e <≤，所以)2
()22,2a b c c e e ⎡+=-∈--⎣
. 故答案为：)
2
2,2e e ⎡--⎣
【点睛】
本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
三、解答题
21．（1）1
2
-（2）3 【解析】
【分析】
（1）根据幂的运算法则计算；
（2）根据对数运算法则和换底公式计算． 【详解】
解：（1）原式1
3
13
2
49314164⎡
⎤
⎛⎫⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭⎢⎥+⎣⎦
73
1444
=
++- 12
=-.
（2）原式3
3log 312lg10=+-+
3121=+-+ 3=. 【点睛】
本题考查幂和对数的运算法则，掌握幂和对数运算法则是解题关键．
22．（1）乙模型更好，详见解析（2）4月增长量为8，7月增长量为64，10月增长量为512；越到后面当月增长量快速上升. 【解析】 【分析】
（1）根据题意分别求两个模型的解析式，然后验证当5x =时的函数值，最接近32的模型好；
（2）第n 月的增长量是()()1f n f n --，由增长量总结结论. 【详解】
（1）对于甲模型有3425939a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得：113a b c =⎧⎪
=-⎨⎪=⎩
23y x x ∴=-+当5x =时，23y =.
对于乙模型有23359pq r pq r pq r +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得：121p q r =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，
21x y ∴=+当5x =时，33y =.
因此，乙模型更好；
（2）4x =时，当月增长量为(
)(
)
4
3
21218+-+=，
7x =时，当月增长量为()()76212164+-+=，
10x =时，当月增长量为()()109
2121512+-+=，
从结果可以看出，越到后面当月增长量快速上升.（类似结论也给分） 【点睛】
本题考查函数模型，意在考查对实际问题题型的分析能力和计算能力，属于基础题型，本题的关键是读懂题意.
23．(1)证明见解析;(2){|1}x x ≤. 【解析】 【分析】
（1）根据函数为定义在R 上的奇函数得(0)0f =，结合(1)1f =求得()f x 的解析式，再利用单调性的定义进行证明；
（2）因为231x +>,411x +>,由(1)可得2341x x +≥+，解指数不等式即可得答案. 【详解】 (1)因为函数2
()(,)1
ax b
f x a b x +=
∈+R 为在R 上的奇函数,所以(0)0f = 则有0001
111b
a b +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩
解得20a b =⎧⎨=⎩
,即22()1x f x x =+
12,(1,)x x ∀∈+∞,且12x x <
()()()()()()
2
2122112
122222
12122121221111x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++ ()()
()()
12212
2
1
22111x x x x x
x --=
++
因为12,(1,)x x ∀∈+∞,且12x x <,
所以()()
22
12110x x ++>,1210x x ->,210x x ->
所以()()120f x f x ->即()()12f x f x > , 所以()f x 在(1,)+∞上单调递减 .
(2)因为231x +>,411x +>,由(1)可得2341x x +≥+ 不等式可化为22220x x x ⋅--≤,即((
)(
)
21220x
x
+-≤ 解得22x ≤,即1x ≤ 所以不等式的解集为{|1}x x ≤ 【点睛】
本题考查奇函数的应用、单调性的定义证明、利用单调性解不等式，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不等式的解集要写成集合的形式.
24．()2
2
1
,02
2
1
44,24
2
4,4
t t
f t t t t
t
⎧
<≤
⎪
⎪
⎪
=-+-<≤
⎨
⎪
>
⎪
⎪⎩
【解析】
【分析】
分02
t
<≤、24
t
<≤和4
t>三种情况讨论，当02
t
<≤时，直线x t
=左边为直角边长为t的等腰直角三角形；当24
t
<≤时，由AOB
∆的面积减去直角边长为4t
-的等腰直角三角形面积得出()
f t；当4
t>时，直线x t
=左边为AOB
∆.综合可得出函数()
y f t
=的解析式.
【详解】
等腰直角三角形OAB
∆中，ABO90
∠=o，且直角边长为22，所以斜边4
OA=，
当02
t
<≤时，设直线x t
=与OA、OB分别交于点C、D，则OC CD t
==，
()21
2
f t t
∴=；
当24
t
<≤时，设直线x t
=与OA、AB分别交于点E、F，则4
EF EA t
==-，()()22
111
2222444
222
f t t t t
∴=⨯⨯--=-+-.
当4
t>时，()4
f t=.
综上所述，()2
2
1,022144,2424,4t t f t t t t t ⎧<≤⎪⎪
⎪=-+-<≤⎨⎪>⎪⎪⎩
.
【点睛】
本题考查分段函数解析式的求解，解题时要注意对自变量的取值进行分类讨论，注意处理好各段的端点，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 25．（1）证明见解析（2）m 1≥ 【解析】 【分析】
（1）12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，计算()()120f x f x ->得到证明.
（2）根据单调性得到221x x m ++>，即()2
21212m x x x >--=-++，得到答案. 【详解】
（1）函数单调递减，12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，
()()()()22
21121212122222121211x x x x x x f x f x x x x x x x -++⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∵120x x <<，∴210x x ->，2212120x x x x ++>，22
110x x >
∴12()()f x f x >，∴()f x 在(0,)+∞单调递减； （2）()
()2
201f x x m f ++<=，故221x x m ++>，
()2
21212m x x x >--=-++，(0,)x ∈+∞，故m 1≥.
【点睛】
本题考查了定义法证明函数单调性，利用单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 26．(1) ;（2）每次应拖挂节车厢才能使每天的营运人数最多为
人.
【解析】
试题分析：（1）由于函数为一次函数，设出其斜截式方程，将点
代入，可待定系数，求得函数关系式为；（2）结合（1）求出函数的表达式
为
，这是一个开口向下的二次函数，利用对称轴求得其最大值.
试题解析：(1)这列火车每天来回次数为次，每次拖挂车厢节， 则设. 将点代入，解得
∴
.
（2）每次拖挂节车厢每天营运人数为， 则
，
当时，总人数最多为人．
故每次应拖挂节车厢才能使每天的营运人数最多为人．。