2020年江苏省无锡市暨阳中学高三数学文测试题含解析

2020年江苏省无锡市暨阳中学高三数学文测试题含解
析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为（）
A．﹣2 B．5 C．6 D．7
参考答案：
A
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：先画出约束条件的可行域，再将可行域中各个角点的值依次代入目标函数z=x﹣y，不难求出目标函数z=x﹣y的最小值．
解答：解：如图作出阴影部分即为满足约束条件的可行域，
由得A（3，5），
当直线z=x﹣y平移到点A时，直线z=x﹣y在y轴上的截距最大，即z取最小值，
即当x=3，y=5时，z=x﹣y取最小值为﹣2．
故选A．
点评：本题主要考查线性规划的基本知识，用图解法解决线性规划问题时，利用线性规划求函数的最值时，关键是将目标函数赋予几何意义．
2. 已知定义在R上的奇函数满足（其中e=2.7182…），且在区
间[e,2e]上是减函数，令，则f(a), f(b), f(c) 的大小关系（用不等号连接）为
A．f(b)>f(a)>f(c) B. f(b)>f(c)>f(a) C. f(a)>f(b)>f(c) D. f(a)>f(c)>f(b)
参考答案：
A
3. 已知命题p :对任意的，有，则是（）
A．存在，有 B．对任意的，有
C．存在，有 D．对任意的，有
参考答案：
C
4. 设，
则下列关系式中正确的是（）
A． B．
C． D．
参考答案：
A
5. 长方形的对角线与过同一个顶点的两边所成的角为，则，将长方形与长方体进行类比，长方体的一条体对角线与长方体过同一个顶点的三个面所成的角分别为，则正确的结论为（）
A． B．
C． D．
参考答案：
B
6. 已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y=﹣x，则它的离心率为
（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：求出双曲线的渐近线方程，可得b=a，再由离心率公式及a，b，c的关系，计算即可得到所求值．
解答：解：双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，
由一条渐近线为y=﹣x，可得=，
即b=a，
即有e====．
故选A．
点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．
7. 设x∈R，向量，且，则=（）
A．B．C．10 D．
参考答案：
A
【考点】平面向量的坐标运算．
【分析】向量的数量积先求出x的值，再求出向量的模即可．
【解答】解：向量，且，
∴x﹣2=0，
解得x=2，
∴==，
故选：A．
8. 下列命题正确的是（）
A.函数在区间内单调递增
B.函数的最小正周期为
C.函数的图像是关于点成中心对称的图形
D.函数的图像是关于直线成轴对称的图形
参考答案：
C
9. 若集合，且，则集合可能是（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
因为，所以.又因为集合，所以集合可能是.选A
10. 设，记，，，则，，的大小关系为
（）．
A．B．C．
D．
参考答案：
A
解：令，则，
，，，
由图可得．
故选A．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 是定义在上的函数，且满足，当时，，
则．
参考答案：
12. 如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=，D，E分别为BC，AB上的点，∠ADC=∠EDB=，DB=，AE=3EB，则边长AC的值为．
参考答案：
【考点】三角形中的几何计算．
【分析】由题意，设DE=y，EB=x，AE=3x，则AD=，AC=CD=，在两个三角形中，分别建立方程，即可得出结论．
【解答】解：由题意，设DE=y，EB=x，AE=3x，则AD=，
AC=CD=，
∴△DEB中，x2=2+y2﹣2=2+y2﹣2y，
△ABC中，16x2=（）2+（+）2，
联立解得AC=，
故答案为．
【点评】本题考查余弦定理、勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．13. 过抛物线的焦点且倾斜角为的直线被圆截得的
弦长是__________．
参考答案：
略
14. 已知命题：“，使x2+2x+a≥0”为真命题，则a的取值范围是．
参考答案：
a≥-8
15. 若△的内角满足,则的最小值是▲ .
参考答案：
16. 不等式≤的解集为.
参考答案：
或
17. 若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则
k= ．
参考答案：
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可
【解答】解：设y=kx+b与y=lnx+2和y=ln（x+1）的切点分别为（x1，kx1+b）、（x2，kx2+b）；
由导数的几何意义可得k==，得x1=x2+1
再由切点也在各自的曲线上，可得kx1+b=lnx1+2，kx2+b=ln（x2+1）
联立上述式子解得k=2，
故答案为2．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 国家AAAAA级八里河风景区五一期间举办“管仲杯”投掷飞镖比赛．每3人组成一队，每人投掷一次．假设飞镖每次都能投中靶面，且靶面上每点被投中的可能性相同．某
人投中靶面内阴影区域记为“成功”（靶面正方形ABCD如图所示，其中阴影区域的边界曲线近似为函数y=Asinx的图象）．每队有3人“成功”获一等奖，2人“成功”获二等奖，1人“成功”获三等奖，其他情况为鼓励奖（即四等奖）（其中任何两位队员“成功”与否互不影响）．
（Ⅰ）求某队员投掷一次“成功”的概率；
（Ⅱ）设X为某队获奖等次，求随机变量X的分布列及其期望．
参考答案：
【考点】定积分在求面积中的应用；几何概型；离散型随机变量的期望与方差．
【专题】导数的综合应用；概率与统计．
【分析】（Ⅰ）由题意，求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式解答；
（Ⅱ）明确X的取值，分别求出随机变量对应的概率，列出分布列，求期望．
解：（Ⅰ）由题意知：S矩形=10×10=100，=20，
记某队员投掷一次“成功”事件为A，
则P（A）=…．
（Ⅱ）因为X为某队获奖等次，则X取值为1、2、3、4．
，P（X=2）=，
P（X=3）=，P（X=4）=…．
即X分布列为：
所以，X的期望EX=1×+2×+3×+4×=…
【点评】本题考查了几何概型的运用以及随机变量的分布列和期望．
19. 如图所示，圆O的直径为BD，过圆上一点A作圆O的切线AE，过点D作DE⊥AE于点E，延长ED与圆O交于点C．
（1）证明：DA平分∠BDE；
（2）若AB=4，AE=2，求CD的长．
参考答案：
【考点】相似三角形的判定．
【专题】立体几何．
【分析】（1）由于AE是⊙O的切线，可得∠DAE=∠ABD．由于BD是⊙O的直径，可得∠BAD=90°，因此∠ABD+∠ADB=90°，∠ADE+∠DAE=90°，即可得出∠ADB=∠ADE．．
（2）由（1）可得：△ADE∽△BDA，可得，BD=2AD．因此∠ABD=30°．利用
DE=AEtan30°．切割线定理可得：AE2=DE?CE，即可解出．
【解答】（1）证明：∵AE是⊙O的切线，∴∠DAE=∠ABD，
∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°，
∴∠ABD+∠ADB=90°，
又∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠ADB=∠ADE．
∴DA平分∠BDE．
（2）由（1）可得：△ADE∽△BDA，∴，
∴，化为BD=2AD．
∴∠ABD=30°．
∴∠DAE=30°．
∴DE=AEtan30°=．
由切割线定理可得：AE2=DE?CE，
∴，
解得CD=．
【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、相似三角形的性质、直角三角形的边角公式、切割线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20. 已知椭圆C：x2+3y2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B 两点，直线AE与直线x=3交于点M．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；
（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．
参考答案：
【分析】（1）通过将椭圆C的方程化成标准方程，利用离心率计算公式即得结论；
（2）通过令直线AE的方程中x=3，得点M坐标，即得直线BM的斜率；
（3）分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论，利用韦达定理，计算即可．
【解答】解：（1）∵椭圆C：x2+3y2=3，
∴椭圆C的标准方程为： +y2=1，
∴a=，b=1，c=，
∴椭圆C的离心率e==；
（2）∵AB过点D（1，0）且垂直于x轴，
∴可设A（1，y1），B（1，﹣y1），
∵E（2，1），∴直线AE的方程为：y﹣1=（1﹣y1）（x﹣2），令x=3，得M（3，2﹣y1），
∴直线BM的斜率k BM==1；
（3）结论：直线BM与直线DE平行．
证明如下：
当直线AB的斜率不存在时，由（2）知k BM=1，
又∵直线DE的斜率k DE==1，∴BM∥DE；
当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1）（k≠1），设A（x1，y1），B（x2，y2），
则直线AE的方程为y﹣1=（x﹣2），
令x=3，则点M（3，），
∴直线BM的斜率k BM=，
联立，得（1+3k2）x2﹣6k2x+3k2﹣3=0，
由韦达定理，得x1+x2=，x1x2=，
∵k BM﹣1=
=
=
=0，
∴k BM=1=k DE，即BM∥DE；
综上所述，直线BM与直线DE平行．
【点评】本题是一道直线与椭圆的综合题，涉及到韦达定理等知识，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
21. 已知椭圆C：的离心率为，左右焦点分别为F1，F2，抛物线
的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点．
(I)求椭圆C的方程；
(II)已知圆M：的切线l与椭圆相交于A、B两点，那么以AB为直径的圆是否经过定点，如果是，求出定点的坐标，如果不是，请说明理由。

参考答案：
略
22. 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使
用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为
Z（单位：元）是一个随机变量．
（1）求Z的分布列和均值；
（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．
参考答案：
【考点】7D：简单线性规划的应用；CH：离散型随机变量的期望与方差．
【分析】（1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，列出可行域，目标函数，通过当W=12时，当W=15时，当W=18时，分别求出目标函数的最大获利，然后得到Z的分布列．求出期望即可．
（2）判断概率类型是二项分布，然后求解所求概率即可．
【解答】
解：（1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，则有
，①如图1，目标函数为：z=1000x+1200y．
当W=12时，①表示的平面区域如图1，三个顶点分别为A（0，0），B（2.4，4.8），C （6，0）．
将z=1000x+1200y变形为，
当x=2.4，y=4.8时，直线l：在y轴上的截距最大，
最大获利Z=Z max=2.4×1000+4.8×1200=8160．
当W=15时，①表示的平面区域如图2，三个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C
（7.5，0）．．
将z=1000x+1200y变形为，
当x=3，y=6时，直线l：在y轴上的截距最大，
最大获利Z=Z max=3×1000+6×1200=10200．
当W=18时，①表示的平面区域如图3，四个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（6，4），D（9，0）．
将z=1000x+1200y变形为：，
当x=6，y=4时，直线l：y=﹣56x+z1200在y轴上的截距最大，最大获利
Z=Z max=6×1000+4×1200=10800．
故最大获利Z的分布列为：
因此，E（Z）=8160×0.3+10200×0.5+10800×0.2=9708
（2）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率P1=P（Z＞10000）=0.5+0.2=0.7，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为：
．。